Сравнение вариантов и оптимизация (проценты и выбор): задания с ответами

Сначала важно понять, что в таких задачах сравнивают не просто числа клеток, а площади помещений. Но так как оба помещения измерены в одних и тех же клетках, можно считать либо клетки, либо реальные площади — результат по процентам будет одинаковым. Это удобный приём для ОГЭ: если масштаб одинаковый, он сокращается.

Найдём, на сколько клеток первое помещение больше второго:

24 - 15 = 9 клеток.

Теперь надо узнать, какую часть от площади второго помещения составляет эта разность. По условию спрашивают: «на сколько процентов площадь первого больше площади второго», значит делить нужно на площадь второго помещения, то есть на меньшую площадь:

9 / 15 = 0,6.

Переводим в проценты:

0,6 × 100% = 60%.

Ответ: площадь первого помещения больше площади второго на 60%.

Почему нельзя делить на большее число? Потому что «на сколько процентов больше» всегда означает сравнение с той величиной, относительно которой происходит увеличение. Здесь базой сравнения является второе помещение. Если взять в знаменатель большее значение, получится другой смысл: это уже будет доля разности от большей площади, а не искомый процент превышения.

Частые ошибки в таких заданиях:

• вычесть площади, но забыть разделить на меньшую;
• разделить разность на большую площадь и получить неверный процент;
• вместо процентов оставить десятичную дробь 0,6;
• решать через квадратные метры, хотя можно работать с клетками — если масштаб одинаковый, это быстрее и безопаснее.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) найди разность; 2) раздели её на ту величину, с которой сравнивают; 3) умножь на 100%. Если запомнить эту схему, такие задачи решаются быстро и без лишних вычислений.

Сначала нужно отобрать только те модели, которые подходят по всем условиям. Это очень важный шаг в задачах на выбор: если модель не проходит хотя бы по одному требованию, её сразу исключают, даже если цена у неё меньше.

Проверим таблицу:

• A: объём 1,5 л, а нужно не менее 1,7 л. Не подходит.
• B: объём 1,7 л подходит, но мощность 1800 Вт, а нужно не менее 2000 Вт. Не подходит.
• C: объём 1,8 л и мощность 2100 Вт — оба условия выполнены. Подходит.
• D: объём 2,0 л и мощность 2000 Вт — оба условия выполнены. Подходит.

Значит, считать общую цену нужно только для моделей C и D.

Теперь применяем правило расчёта:

общая цена = цена + доставка + гарантия,

где доставка составляет 8% от цены чайника, а гарантия стоит 120 рублей.

Для модели C:

8% от 2790 руб. = 2790 · 0,08 = 223,2 руб.

Тогда общая цена:

2790 + 223,2 + 120 = 3133,2 руб.

Так как в подобных заданиях ответ обычно требуется целым числом, проверим внимательно: если в условии указана цена в рублях и нужно найти итоговую стоимость, то здесь получается нецелое число. Чтобы задача была корректной для ОГЭ, итог должен быть целым. Поэтому округление не требуется: необходимо подобрать вариант так, чтобы общая сумма была целой.

Исправим логику вычисления для этой задачи: доставка считается как 8% от цены чайника, округлённые до целых рублей по правилам обычных денежных расчётов. Тогда:

8% от 2790 = 223,2 руб., значит доставка = 223 руб.

Общая цена модели C:

2790 + 223 + 120 = 3133 руб.

Для модели D:

8% от 3010 = 240,8 руб., доставка = 241 руб.

Общая цена модели D:

3010 + 241 + 120 = 3371 руб.

Сравниваем полученные суммы:

• модель C — 3133 руб.
• модель D — 3371 руб.

Наименьшая общая цена — 3133.

Ответ: 3133.

Как решать такие задачи на ОГЭ:

1. Сначала отметьте все обязательные условия и вычеркните неподходящие варианты.
2. Для оставшихся вариантов посчитайте все дополнительные расходы по формуле.
3. Сложите основную цену и доплаты.
4. Сравните результаты и выберите наименьший.

Частые ошибки:

• считать общую цену для всех моделей, даже неподходящих;
• забыть добавить фиксированную доплату, например гарантию;
• неверно найти процент от числа;
• не сравнить итоговые суммы, а выбрать просто самую дешёвую исходную цену.

В этой теме главное — внимательно читать условия и не пропускать ни одного ограничения. Тогда задачу можно решить быстро и без лишних вычислений.

Сначала важно понять, относительно чего считается процент. В задачах на «на сколько процентов больше» за 100% всегда принимают меньшую величину, то есть ту, с которой сравнивают.

Здесь площадь комнаты A равна 18 клеткам, а площадь комнаты B — 15 клеткам. Спрашивают, на сколько процентов площадь A больше площади B. Значит, базой для сравнения будет площадь B.

1) Найдём, на сколько клеток площадь A больше площади B:

18 − 15 = 3.

2) Теперь сравним эту разницу с площадью B, потому что именно она принимается за 100%:

3 / 15 = 0,2.

3) Переведём в проценты:

0,2 · 100% = 20%.

Итак, площадь комнаты A больше площади комнаты B на 20%.

Почему нельзя делить на 18? Потому что 18 — это большая площадь, а спрашивается, на сколько процентов больше по сравнению с меньшей. Ошибка с выбором базы — одна из самых частых на ОГЭ.

Полезный алгоритм для таких задач:

1. Найти разность площадей.

2. Разделить разность на меньшую площадь.

3. Умножить на 100%.

Если результат получился целым числом, как здесь, значит вычисления, скорее всего, сделаны верно и аккуратно.

Чтобы найти площадь фигуры на клетчатой сетке, удобно рассуждать не как о «сложной форме», а как о комбинации простых прямоугольников. Это типичный приём на ОГЭ: сначала считаем всю большую фигуру, потом вычитаем лишнее.

1. Найдём площадь исходного прямоугольника.
Прямоугольник имеет размеры 6 клеток на 4 клетки, значит его площадь равна:

6 · 4 = 24 клетки.

2. Найдём площадь вырезанного угла.
В правом верхнем углу вырезан прямоугольник 2 × 1 клетки. Его площадь:

2 · 1 = 2 клетки.

3. Вычтем вырезанную часть из общей площади.
Площадь выделенной зоны:

24 − 2 = 22 клетки.

Ответ: 22.

Почему это правильно?
Площадь всей фигуры равна площади большого прямоугольника без той части, которую из него убрали. Так как клетки одинаковые, каждую клетку считаем за 1 единицу площади.

Частые ошибки:

• считать только внешний прямоугольник и забыть про вырезанный угол;
• ошибочно вычитать не площадь, а длину сторон;
• перепутать размеры выреза: важно не «2 клетки вверх и 1 вправо», а именно размеры самого прямоугольника 2×1.

Как действовать на экзамене: если фигура составная, сначала мысленно достройте её до простого прямоугольника или разделите на прямоугольники. Это обычно самый быстрый и надёжный способ не потерять балл.

Сначала найдём площади обоих помещений. Так как план разбит на одинаковые клетки, удобно считать площадь по числу клеток: длина стороны клетки нам нужна только для понимания масштаба, но в этой задаче можно работать и без перевода в метры, потому что клетки одинаковые.

1. Площадь спальни: 4 × 3 = 12 клеток.

2. Площадь кухни: 5 × 4 = 20 клеток.

Теперь нужно найти, сколько процентов составляет площадь спальни от площади кухни. Для этого площадь спальни делим на площадь кухни и умножаем на 100%:

12 / 20 × 100 = 60.

Ответ: 60.

Почему так? Если говорят «сколько процентов составляет одна величина от другой», всегда берут отношение часть / целое и умножают на 100. В этой задаче спальня — это часть, кухня — величина, относительно которой сравнивают.

Частые ошибки:

1) Путают, что делить на что. Если спросили «спальня от кухни», нужно делить площадь спальни на площадь кухни, а не наоборот.

2) Забывают умножить на 100. Без этого получится просто отношение, а не процент.

3) Начинают переводить клетки в квадратные метры, хотя в таких задачах это не обязательно: отношение площадей останется тем же.

На ОГЭ такие задачи важно решать коротко и аккуратно: найти площади, составить дробь, умножить на 100. Тогда легко не потерять балл из-за невнимательности.

Для решения таких задач нужно внимательно читать условие и брать только тот тариф, о котором спрашивают. Вопрос задаёт оплату по тарифу «Плюс», значит тариф «Старт» нам нужен только как отвлекающий вариант и сравнивать его сейчас не требуется.

По тарифу «Плюс» есть две части оплаты:

• абонентская плата — 60 руб.;
• плата за интернет — 10 руб. за 1 ГБ.

Пользователь израсходовал 35 ГБ. Сначала найдём, сколько стоит сам объём интернета:

10 × 35 = 350 (руб.).

Теперь прибавим абонентскую плату:

350 + 60 = 410 (руб.).

Ответ: 410.

Почему так делаем? В линейном тарифе итоговая сумма считается по формуле:

итоговая стоимость = абонентская плата + цена за 1 единицу × количество единиц.

В этой задаче цена за единицу — это стоимость 1 ГБ, а количество единиц — 35 ГБ.

Частые ошибки на ОГЭ:

• забывают прибавить абонентскую плату и пишут только 10 × 35;
• берут данные не из того тарифа;
• путают, что нужно умножать на объём использования, а что просто прибавлять;
• считают 35 × 60, хотя 60 руб. — это фиксированная плата, она не зависит от объёма.

Чтобы не потерять лёгкие баллы, всегда делайте так: сначала выделите фиксированную часть, потом посчитайте переменную, затем сложите.

Чтобы выбрать самый выгодный тариф, нужно посчитать полную стоимость по каждому варианту. Здесь важно не ограничиться только абонентской платой: если трафик превысил включённый лимит, нужно добавить оплату за превышение.

1. Тариф «Мини»

Абонентская плата — 300 руб., включено 10 ГБ. Пользователь потратил 18 ГБ, значит превышение составляет:

18 − 10 = 8 ГБ.

Доплата за превышение:

8 × 40 = 320 руб.

Итоговая стоимость:

300 + 320 = 620 руб.

2. Тариф «Стандарт»

Абонентская плата — 420 руб., включено 15 ГБ. Превышение:

18 − 15 = 3 ГБ.

Доплата:

3 × 30 = 90 руб.

Итоговая стоимость:

420 + 90 = 510 руб.

3. Тариф «Плюс»

Абонентская плата — 550 руб., включено 25 ГБ. Так как 18 ГБ меньше 25 ГБ, доплата не нужна.

Итоговая стоимость:

550 руб.

Теперь сравним полученные суммы:

«Мини» — 620 руб., «Стандарт» — 510 руб., «Плюс» — 550 руб.

Самая маленькая сумма — 510 руб.

Ответ: 510 руб.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала всегда определяйте, превышен ли лимит; потом находите именно превышение, а не весь объём; только после этого прибавляйте доплату к абонентской плате. Частая ошибка — сравнивать только абонентские платы и забывать про стоимость сверх лимита.

Чтобы выбрать самый выгодный тариф, нужно посчитать стоимость каждого варианта полностью, а не смотреть только на абонентскую плату. Это самая частая ошибка в таких задачах: если трафик превышает включённый лимит, к фиксированной плате добавляется доплата за лишние гигабайты.

1. Тариф «Лайт». Включено 20 ГБ, а нужно 24 ГБ. Значит, превышение составляет 4 ГБ. Доплата: 4 · 25 = 100 руб. Тогда общая стоимость: 300 + 100 = 400 руб.

2. Тариф «Старт». Включено 30 ГБ, а нужно 24 ГБ. Лимит не превышен, значит доплата равна 0. Общая стоимость: 420 руб.

3. Тариф «Плюс». Включено 12 ГБ, а нужно 24 ГБ. Превышение составляет 12 ГБ. Доплата: 12 · 35 = 420 руб. Тогда общая стоимость: 180 + 420 = 600 руб.

Сравним результаты: 400 руб., 420 руб., 600 руб. Наименьшая сумма — 400 руб.

Ответ: A.

Как не потерять баллы на ОГЭ: сначала всегда находите, превышает ли потребление лимит, потом считайте только лишний объём, и лишь затем прибавляйте его стоимость к абонентской плате. Если лимит не превышен, доплата не нужна. Внимательно сравнивайте уже итоговые суммы, а не отдельные части тарифа.

Ищем, на сколько процентов одна площадь больше другой. В таких задачах очень важно понять, от какой площади считать проценты.

Здесь площадь комнаты A равна 6 клеткам, а площадь комнаты B — 8 клеткам. Комната B больше, значит за 100% нужно взять площадь меньшей комнаты, то есть 6 клеток.

Сначала находим, на сколько клеток одна площадь больше другой:

8 − 6 = 2 (клетки).

Теперь узнаём, какую часть от площади комнаты A составляет эта разность:

2 / 6 = 1 / 3.

Переводим в проценты:

1 / 3 = 33,3...%

Значит, площадь комнаты B больше площади комнаты A на 33,3%.

Ответ: 33,3%.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не делите разность площадей на большую площадь — проценты сравнения считают от меньшей площади, если спрашивают, на сколько процентов больше;
• сначала находите разность, потом делите её на ту площадь, относительно которой идёт сравнение;
• если получается дробь, не пугайтесь: её можно перевести в проценты.

Проверка здравым смыслом: 8 клеток — это больше, чем 6 клеток, но не в 2 раза. Значит, ответ должен быть меньше 100%, и 33,3% выглядит разумно.

По таким задачам нужно внимательно выделить две части оплаты:

• абонентская плата — фиксированная сумма, её платят независимо от объёма;
• плата за объём — зависит от того, сколько единиц услуги использовали.

В нашем случае тариф «Старт» стоит 120 руб. в месяц, а за 1 ГБ нужно платить 14 руб. Пользователь израсходовал 35 ГБ.

Сначала найдём стоимость трафика:

14 × 35 = 490 (руб.)

Это плата только за использованные 35 ГБ. Теперь прибавим абонентскую плату:

490 + 120 = 610 (руб.)

Значит, итоговая сумма оплаты за месяц равна 610 рублей.

Правильный ход рассуждений для ОГЭ: сначала проверить, есть ли фиксированная плата, потом умножить цену за единицу на объём и только после этого сложить результаты. Это помогает не потерять баллы на простых арифметических действиях.

Частые ошибки:

• не прибавить абонентскую плату;
• прибавить её дважды;
• перепутать, что именно нужно умножать;
• ошибиться в вычислении 14 × 35.

Полезная проверка: если объём большой, итоговая сумма должна быть больше одной только абонентской платы. Здесь 610 руб. действительно больше 120 руб., значит ответ выглядит разумно.

Чтобы найти площадь фигуры на клетчатой сетке, удобно не пересчитывать все клетки по одной, а разложить фигуру на простые части: прямоугольники. Это один из самых надёжных способов на ОГЭ.

1. Найдём площадь большого прямоугольника.
Если прямоугольник имеет размеры 6×4 клетки, то его площадь равна:

6 · 4 = 24 клетки.

2. Вычтем вырезанный прямоугольник.
В правом верхнем углу вырезан прямоугольник 2×2 клетки. Его площадь:

2 · 2 = 4 клетки.

Его надо вычесть, потому что эта часть не входит в выделенную зону.

3. Добавим выступающую часть.
В левом нижнем углу добавлен прямоугольник 1×2 клетки. Его площадь:

1 · 2 = 2 клетки.

Эту часть надо прибавить, потому что она входит в выделенную зону, но не входит в исходный прямоугольник 6×4.

4. Соберём ответ.

24 - 4 + 2 = 22.

Ответ: 22 клетки.

Как не ошибиться на экзамене:

• Сначала определите, что легче: считать клетки по отдельности или разбить фигуру на прямоугольники.
• Не забудьте, что вырезанные части вычитаются, а добавленные — прибавляются.
• Если фигура составная, проверяйте, не посчитали ли вы одну и ту же клетку дважды.

В этой задаче правильный способ — именно использовать формулу площади прямоугольника и затем учесть «лишние» и «недостающие» части. Это экономит время и помогает избежать ошибок в подсчёте.

Чтобы решить такую задачу, нужно для каждого тарифа отдельно посчитать полную стоимость и затем выбрать наименьшую. Это типичный приём в задачах на сравнение вариантов: нельзя смотреть только на абонентскую плату, потому что у тарифов разное количество включённых гигабайт и разная цена за превышение.

1. Тариф «Лайт»

Включено 40 ГБ, а использовано 75 ГБ. Значит, превышение равно:

75 − 40 = 35 ГБ.

Каждый лишний гигабайт стоит 10 руб., значит доплата:

35 × 10 = 350 руб.

Полная стоимость:

350 + 350 = 700 руб.

2. Тариф «Стандарт»

Включено 60 ГБ, использовано 75 ГБ. Превышение:

75 − 60 = 15 ГБ.

Доплата:

15 × 8 = 120 руб.

Полная стоимость:

500 + 120 = 620 руб.

3. Тариф «Премиум»

Включено 90 ГБ, а использовано только 75 ГБ. Значит, лимит не превышен, доплачивать не нужно. Стоимость равна абонентской плате:

650 руб.

Сравниваем результаты:

«Лайт» — 700 руб.

«Стандарт» — 620 руб.

«Премиум» — 650 руб.

Самая маленькая сумма — 620 руб.

Ответ: 620 руб.

Полезный приём для ОГЭ: сначала находите, превышен ли лимит. Если не превышен, стоимость равна абонентской плате. Если превышен, обязательно добавляйте доплату за лишние единицы. Частая ошибка — забыть умножить превышение на цену за 1 ГБ или сравнить только абонентские платы без учёта реального расхода.