Обыкновенные дроби и перевод между формами: задания с ответами

Решим выражение по шагам. В нём есть смешанное число, обыкновенная дробь и десятичная дробь, поэтому сначала удобно привести всё к одной форме и только потом выполнять действия.

1. Переведём смешанное число в неправильную дробь.
Имеем 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}, потому что 1 = \frac{2}{2}, а значит 1\frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

2. Сложим дроби.
Получаем:
\frac{3}{4} + \frac{3}{2}.
Приведём к общему знаменателю 4:
\frac{3}{2} = \frac{6}{4}.
Тогда
\frac{3}{4} + \frac{6}{4} = \frac{9}{4}.

3. Умножим результат на десятичную дробь.
Число 0{,}8 можно представить как \frac{8}{10} = \frac{4}{5}.
Тогда:
\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{9}{5}.

4. Запишем ответ.
\frac{9}{5} = 1{,}8.

Ответ: 1{,}8.

Как не ошибиться на ОГЭ: сначала переводите смешанное число в неправильную дробь, затем складывайте дроби с общим знаменателем, и только после этого умножайте. Частая ошибка — пытаться складывать числитель и знаменатель отдельно или забывать, что при умножении на десятичную дробь можно перевести её в обыкновенную дробь для удобства вычислений.

Решаем выражение по порядку действий. Сначала нужно вычислить сумму в скобках, а уже потом делить на неё смешанное число. Это важный принцип: если сначала начать делить или складывать «как попало», можно получить неверный ответ.

1) Переведём смешанное число в неправильную дробь.

\(2\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}\).

2) Найдём значение выражения в скобках.

\(1\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\), тогда

\[\dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{6}.\]

Приведём к общему знаменателю 6:

\[\dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{6}, \quad \dfrac{9}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{14}{6} = \dfrac{7}{3}.\]

3) Выполним деление дробей.

\[\dfrac{7}{3} : \dfrac{7}{3} = \dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{3}{7} = 1.\]

Значит, ответ равен 1.

Почему это важно для ОГЭ: в таких заданиях часто проверяют, умеет ли ученик правильно переводить смешанные числа в неправильные дроби и не путается ли в порядке действий. Самые частые ошибки — забыть сначала сложить числа в скобках, неправильно перевести смешанное число или при делении дробей не умножить на обратную дробь. Если действовать спокойно и по шагам, такие примеры решаются без лишних потерь баллов.

Решим выражение по правилам порядка действий: сначала выполняем умножение, затем сложение. Это очень важно в заданиях ОГЭ: если начать складывать раньше, ответ получится неверным.

1) Переведём смешанное число в неправильную дробь:

2 3/5 = 13/5.

2) Переведём десятичную дробь в обыкновенную:

1,2 = 12/10 = 6/5.

Тогда выражение принимает вид:

13/5 + 6/5 · 3/4.

3) Сначала умножаем:

6/5 · 3/4 = 18/20 = 9/10.

4) Теперь складываем:

13/5 + 9/10.

Приведём дроби к общему знаменателю 10:

13/5 = 26/10.

Тогда

26/10 + 9/10 = 35/10 = 7/2 = 3 1/2.

Ответ: 3 1/2.

Типичные ошибки в таких примерах:

• не учитывать порядок действий и сначала складывать;

• неправильно переводить смешанное число в неправильную дробь;

• ошибаться при переводе десятичной дроби в обыкновенную;

• складывать дроби без общего знаменателя.

Чтобы не потерять балл на ОГЭ, всегда: сначала переведите числа в удобную форму, затем выполните умножение, потом сложение.

Сначала вспомним главное правило: деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.

Поэтому

\(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} \times \dfrac{3}{2}\).

Теперь можно перемножить числители и знаменатели:

\(\dfrac{3 \cdot 8 \cdot 3}{4 \cdot 9 \cdot 2}\).

Упростим выражение. Здесь удобно сократить дроби до вычисления: число 3 в числителе и 9 в знаменателе сокращаются на 3, а 8 и 4 сокращаются на 4. Получаем:

\(\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 3 \cdot 2} = \dfrac{6}{6} = 1\).

Ответ: 1.

Что важно помнить на ОГЭ:

• не делить дроби «по отдельности» числители и знаменатели;
• всегда заменять деление на умножение на обратную дробь;
• по возможности сокращать до умножения — так меньше риск ошибиться в вычислениях;
• в ответ записывать только число, без лишних слов.

Если потренироваться на таких примерах, можно быстро и без ошибок получать верный ответ даже в простых вычислительных заданиях.

Решаем выражение по правилам действий с дробями.

Шаг 1. Заменяем деление на умножение на обратную дробь. Делить на дробь — значит умножать на дробь, перевёрнутую относительно неё. Поэтому

\( \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{9}{10} : \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{4}{3} \).

Шаг 2. Сокращаем дроби до умножения. Это удобно и помогает не ошибиться. Сократим:

\( \dfrac{9}{3} = 3 \), \( \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \), а также \( \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} \).

Можно переписать выражение так:

\( \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{1} \).

Шаг 3. Перемножаем оставшиеся числители и знаменатели.

\( \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1 \).

Ответ: 1.

Как не потерять балл на ОГЭ:

• не забывайте, что деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь;
• проверяйте, что при сокращении сокращаются только множители, а не слагаемые;
• если ответ целый, не оставляйте его в виде дроби без необходимости;
• полезно сокращать до умножения, а не после — так меньше вычислительных ошибок.

Здесь нужно выполнить два действия с дробями, у которых одинаковые знаменатели. Это очень типичный сюжет для ОГЭ: если знаменатели одинаковые, то сложение и вычитание становятся простыми.

Главное правило: при одинаковых знаменателях складывают или вычитают только числители, а знаменатель оставляют без изменений.

Решим пункт 1:

\(\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3+1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\).

Важно не ошибиться и не складывать знаменатели. Частая ошибка учеников — писать \(\frac{4}{16}\), но так делать нельзя: знаменатель не меняется, потому что части одинакового размера.

Решим пункт 2:

\(\frac{7}{10}-\frac{3}{10}=\frac{7-3}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\).

Здесь снова сначала действуем с числителями: 7 − 3 = 4, затем сокращаем дробь \(\frac{4}{10}\) до \(\frac{2}{5}\). Сокращение полезно, потому что в ответе часто требуется записать результат в более простой форме.

Итог: для первого пункта получаем \(\frac{1}{2}\), для второго — \(\frac{2}{5}\). Значит, нужно выбрать вариант с ответом \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{5}\) в указанном порядке.

Как проверять себя на экзамене:

• сначала убедитесь, что знаменатели одинаковые;
• потом выполните действие только с числителями;
• после этого проверьте, можно ли сократить дробь;
• не путайте порядок ответов, если их несколько.

Если вы запомните этот алгоритм, то такие задания можно решать быстро и без лишних ошибок.

Сначала разберёмся, как удобно считать такие выражения. Здесь есть целое число и дробные слагаемые, причём одно из них дано в виде смешанного числа. В заданиях ОГЭ важно не торопиться: чаще всего ошибки появляются именно на переводе смешанного числа и при работе со знаком «минус».

Шаг 1. Переведём смешанное число в неправильную дробь:

2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}, потому что 2 \cdot 4 + 3 = 11.

Шаг 2. Запишем все числа в виде дробей с одинаковым знаменателем. Удобно представить целое число 5 как \frac{20}{4}, а \frac{1}{2} как \frac{2}{4}.

Тогда выражение становится таким:

\frac{20}{4} - \frac{11}{4} + \frac{2}{4}.

Шаг 3. Складываем и вычитаем числители:

\frac{20 - 11 + 2}{4} = \frac{11}{4}.

Шаг 4. Переведём ответ в десятичную дробь:

\frac{11}{4} = 2{,}75.

Значит, правильный ответ: 2,75.

Как избежать ошибок на экзамене:

• не забывайте, что 2\frac{3}{4} — это 2 + \frac{3}{4}, а не \frac{5}{4};
• внимательно следите за знаком «минус» перед смешанным числом;
• если в ответе требуется десятичная дробь, обязательно переведите результат до конца.

Решим выражение по порядку, используя главное правило: деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь.

Имеем:

\(\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \div \frac{2}{3} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{9} \times \frac{3}{2}\).

Теперь можно перемножить числители и знаменатели:

\(\frac{3 \cdot 8 \cdot 3}{4 \cdot 9 \cdot 2} = \frac{72}{72} = 1\).

Можно было ещё упростить выражение раньше: сократить 8 и 4, затем 3 и 9, и так далее. Это удобно на ОГЭ, потому что помогает не делать лишних вычислений и снижает риск ошибки.

Ответ: \(1\).

Частые ошибки:

• делят числители и знаменатели по отдельности, хотя так делать нельзя;
• забывают заменить деление умножением на обратную дробь;
• не сокращают дроби и получают громоздкие вычисления;
• путают порядок действий.

Полезный алгоритм для таких примеров: сначала замените деление на умножение обратной дроби, затем по возможности сократите дроби, после этого перемножьте числители и знаменатели. Так проще получить верный ответ без лишних ошибок.

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно выполнить деление числителя на знаменатель: \(7 : 20\).

Удобно заметить, что знаменатель 20 можно привести к 100, потому что 20 \cdot 5 = 100. Тогда умножим числитель и знаменатель дроби на 5:

\(\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100} = 0{,}35\).

Это и есть десятичная запись дроби. Важно не перепутать: 0{,}35 — это тридцать пять сотых, а не 3{,}5 и не 0{,}035.

Частые ошибки на ОГЭ:

• забывают, что в десятичной дроби запятая отделяет целую часть от дробной;
• сдвигают запятую не на то количество знаков;
• пишут только числитель или только знаменатель вместо результата деления.

Проверка ответа помогает избежать ошибок: 0{,}35 меньше 1, значит для дроби \(\frac{7}{20}\) это разумный результат, потому что числитель меньше знаменателя.

Сначала удобно выполнить действия по порядку: сначала сложение в скобках, затем умножение на десятичное число.

1) Переведём смешанное число в неправильную дробь.
Число 2 ¹⁄₄ равно ⁹⁄₄, потому что 2 = ⁸⁄₄, и ещё ¹⁄₄ сверху:
2 ¹⁄₄ = ⁸⁄₄ + ¹⁄₄ = ⁹⁄₄.

2) Складываем дроби.
Приведём к общему знаменателю 12:
⁹⁄₄ = ²⁷⁄₁₂, а ⁵⁄₆ = ¹⁰⁄₁₂.
Тогда
²⁷⁄₁₂ + ¹⁰⁄₁₂ = ³⁷⁄₁₂.

3) Умножаем на 0,4.
Десятичную дробь удобно заменить обыкновенной: 0,4 = ²⁄₅.
Получаем
³⁷⁄₁₂ · ²⁄₅ = ⁷⁴⁄₆₀ = ³⁷⁄₃₀.

Ответ: ³⁷⁄₃₀.

Почему здесь легко ошибиться?

• Иногда забывают перевести смешанное число в неправильную дробь.
• Частая ошибка — складывать числители и знаменатели “по отдельности”, так делать нельзя.
• Ещё одна типичная ошибка — сначала умножать на 0,4, не упростив выражение, и запутаться в вычислениях.

Как действовать на ОГЭ: если в выражении есть смешанное число, дробь и десятичная дробь, лучше привести всё к дробям и считать по шагам. Так меньше шансов потерять балл из-за вычислительной ошибки.

Решим выражение по шагам. Здесь в числителе и знаменателе стоят суммы дробей, поэтому сначала считаем каждую сумму отдельно, а уже потом делим полученные результаты.

1. Находим числитель: 2/3 + 1/6.

Приведём дроби к общему знаменателю 6: 2/3 = 4/6. Тогда

4/6 + 1/6 = 5/6.

2. Находим знаменатель: 5/12 + 1/4.

Приведём дроби к общему знаменателю 12: 1/4 = 3/12. Тогда

5/12 + 3/12 = 8/12 = 2/3.

3. Делим числитель на знаменатель:

(5/6) : (2/3) = (5/6) · (3/2).

Перемножаем числители и знаменатели:

(5·3)/(6·2) = 15/12 = 5/4.

Теперь запишем ответ числом: 5/4 = 1,25.

Ответ: 1,25.

Почему здесь легко ошибиться:

— нельзя складывать дроби «через черту» сразу всё вместе; сначала считаем отдельно числитель и отдельно знаменатель;
— часто забывают привести дроби к общему знаменателю;
— при делении на дробь нужно умножать на обратную, а не делить числители и знаменатели по отдельности;
— в ответе просят число, поэтому дробь нужно перевести в десятичную форму, если это удобно.

Такой способ полезен на ОГЭ: он помогает не потерять баллы на вычислениях и аккуратно довести сложную дробь до конца.

Сначала нужно сложить дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{5}{12}\). Главная идея в таких заданиях — привести дроби к общему знаменателю. Нельзя складывать числители и знаменатели отдельно: это частая ошибка, которая приводит к неверному ответу.

У дробей знаменатели 3 и 12. Удобно заметить, что наименьший общий знаменатель здесь равен 12, потому что 12 делится на 3. Тогда

\(\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\), так как числитель и знаменатель умножили на 4.

Теперь складываем:

\(\frac{8}{12}+\frac{5}{12}=\frac{13}{12}\).

Это неправильная дробь. Переведём её в десятичную форму: \(\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}=1{,}08333\ldots\). В школьных тестах, если нужен ответ в виде десятичной дроби, обычно записывают точное значение в виде бесконечной периодической дроби или выбирают вариант с таким представлением, как указано в ответах.

В этом задании удобнее сверяться с вариантом ответа: правильный результат — \(1{,}08333\ldots\), то есть \(1{,}08(3)\).

Как не потерять балл на ОГЭ: 1) найдите общий знаменатель; 2) приведите обе дроби к нему; 3) сложите числители; 4) при необходимости сократите или переведите ответ в нужную форму. Если знаменатель делит другое число, это часто сильно упрощает вычисления.