Многоугольники, описанные вокруг круга, и вписанная окружность: задания с ответами

Для многоугольника, описанного около окружности, есть очень важная формула площади:

S = r · p,

где r — радиус вписанной окружности, а p — полупериметр многоугольника.

В задаче дан ромб. У ромба все стороны равны, значит, если его сторона равна a, то периметр равен 4a, а полупериметр — 2a.

Подставим это в формулу площади:

S = r · 2a.

Теперь подставим данные из условия:

144 = 6 · 2a.

Получаем:

144 = 12a,

откуда

a = 12.

Ответ: 12 см.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте формулу S = r·p с формулами площади ромба через диагонали;
• в формуле нужен именно полупериметр, а не весь периметр;
• если у ромба сторона равна a, то p = 2a, потому что периметр равен 4a.

Такие задачи решаются быстро, если помнить одну идею: площадь описанного многоугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр.

Для треугольника, в который вписана окружность, есть очень важная формула:

S = r · p,

где S — площадь треугольника, r — радиус вписанной окружности, p — полупериметр треугольника.

Это именно тот случай, который часто встречается в ОГЭ: в условии дан периметр, а значит сначала нужно найти полупериметр.

1. Найдём полупериметр:

p = 30 / 2 = 15.

2. Подставим в формулу площади:

S = 4 · 15 = 60.

Следовательно, площадь треугольника равна 60 см².

Почему нельзя просто умножить радиус на периметр? Потому что в формуле используется не весь периметр, а именно половина периметра. Это одна из самых частых ошибок в таких заданиях.

Как быстро решать такие задачи на экзамене:

• сначала вспомнить формулу S = r · p;
• если дан периметр, обязательно разделить его на 2;
• только потом умножать на радиус.

Ответ: 60.

Для многоугольника, описанного вокруг окружности, есть очень важная формула:

S = r · P / 2,

где r — радиус вписанной окружности, P — периметр многоугольника, S — его площадь.

Почему так? Если провести радиусы к точкам касания, многоугольник как бы разбивается на треугольники, у каждого из которых высота равна радиусу окружности. В сумме получается, что площадь равна произведению радиуса на полупериметр.

Подставим данные:

S = 6 · 38 / 2.

Сначала удобно найти половину периметра:

38 / 2 = 19.

Тогда

S = 6 · 19 = 114.

Ответ: 114.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не путайте эту формулу с формулами для площади круга или правильного многоугольника.
• Обязательно делите периметр на 2: часто ошибаются и умножают радиус на весь периметр.
• Если ответ получается целым числом, это хороший знак, но всё равно нужно проверять вычисления.

Рассмотрим, как решаются задачи на трапецию, описанную около окружности.

1. Главное свойство описанного четырёхугольника. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции это означает:

сумма оснований = сумма боковых сторон.

Обозначим основания трапеции через a и b, а боковые стороны — через c и d. Тогда:

a + b = c + d.

Поскольку периметр равен 28 см, получаем:

a + b + c + d = 28.

Но по свойству описанного четырёхугольника a + b = c + d, значит каждая из этих сумм равна половине периметра:

a + b = c + d = 14.

2. Используем длину одной боковой стороны. Одна боковая сторона равна 8 см, значит другая боковая сторона равна:

14 - 8 = 6 см.

3. Связь с радиусом вписанной окружности. Трапеция прямоугольная, значит одна из боковых сторон является высотой трапеции. В трапеции, в которую вписана окружность, расстояние между основаниями равно удвоенному радиусу окружности, то есть высота равна:

h = 2r.

В прямоугольной трапеции высотой является перпендикулярная боковая сторона. Среди боковых сторон у нас 8 см и 6 см, и высота должна быть больше радиуса, но нам важно понять, какая сторона является высотой. Для прямоугольной трапеции с вписанной окружностью и целыми длинами удобно проверить условие: если высота была бы 8, то радиус был бы 4, а другая боковая сторона 6. Это возможно и согласуется с существованием трапеции.

Значит h = 8, и тогда

r = h/2 = 8/2 = 4 см.

Ответ: 4 см.

Как не ошибиться на ОГЭ: не путайте свойство описанного четырёхугольника с формулами для обычной трапеции; сначала обязательно используйте равенство сумм противоположных сторон, а потом уже находите радиус через высоту. Частая ошибка — делить периметр пополам не там, где нужно, или брать радиус равным высоте. На самом деле радиус в два раза меньше высоты, потому что окружность касается обоих оснований.

В правильном треугольнике все стороны и углы равны, поэтому есть удобное свойство: радиус вписанной окружности равен одной трети высоты этого треугольника.

Обозначим высоту через h, а радиус вписанной окружности через r. Тогда:

r = h / 3.

По условию h = 12 см, значит:

r = 12 / 3 = 4.

Следовательно, правильный ответ: 4 см.

Почему так? В правильном треугольнике центр вписанной окружности совпадает с центром тяжести и делит высоту в отношении 2:1, если считать от вершины. Поэтому расстояние от центра до стороны — это как раз одна треть высоты.

Частая ошибка: некоторые ученики путают вписанную и описанную окружности. У правильного треугольника радиус описанной окружности равен 2/3 высоты, а радиус вписанной — 1/3 высоты. В этой задаче нужен именно радиус вписанной окружности.

Чтобы не потерять лёгкий балл на ОГЭ, полезно запомнить короткое правило: в правильном треугольнике радиус вписанной окружности — это треть высоты.

Ключевая идея здесь очень простая: если квадрат описан вокруг окружности, то окружность касается всех четырёх сторон квадрата. В таком случае сторона квадрата равна диаметру окружности.

1) Найдём диаметр окружности. Радиус равен 7, значит диаметр равен 2·7 = 14.

2) Это и есть сторона квадрата: a = 14.

3) Площадь квадрата находится по формуле S = a². Тогда S = 14² = 196.

Ответ: 196.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не путайте радиус и диаметр. Сторона квадрата равна именно диаметру окружности, а не радиусу.
• Сначала обязательно найдите сторону, и только потом площадь.
• Если окружность вписана в квадрат или квадрат описан вокруг окружности — это одна и та же связь: сторона квадрата равна диаметру окружности.

Такие задачи обычно решаются в 2–3 шага, поэтому главное — вспомнить связь между фигурой и окружностью.

Для треугольника, в который вписана окружность, есть очень важная формула:

S = r · p,

где S — площадь треугольника, r — радиус вписанной окружности, а p — полупериметр треугольника.

В задаче даны:

• S = 54 см²,
• r = 3 см.

Подставим эти значения в формулу:

54 = 3 · p.

Теперь найдём полупериметр:

p = 54 / 3 = 18.

Но спрашивают периметр, а не полупериметр. Периметр в 2 раза больше:

P = 2p = 2 · 18 = 36 см.

Ответ: 36 см.

Почему это важно на ОГЭ: многие ученики путают периметр и полупериметр. Формула S = r · p даёт именно полупериметр, поэтому после деления площади на радиус нужно обязательно умножить результат на 2, если в вопросе просят периметр.

Типичные ошибки:

• пишут ответ 18 вместо 36, забывая удвоить полупериметр;
• пытаются использовать формулы через высоту или стороны, хотя здесь это не нужно;
• не обращают внимания на единицы измерения.

Удобный алгоритм для таких задач:

1. вспомнить формулу S = r · p;
2. найти полупериметр: p = S / r;
3. найти периметр: P = 2p.

Если запомнить эту схему, такие задания решаются очень быстро и без лишних вычислений.

В равностороннем треугольнике вписанная окружность имеет очень удобную связь с высотой: центр окружности лежит на высоте, а сама высота делится этим центром в отношении 2 : 1 от вершины к основанию. Поэтому радиус вписанной окружности равен одной трети высоты.

Почему так получается? В равностороннем треугольнике все медианы, биссектрисы и высоты совпадают. Центр вписанной окружности находится именно в точке их пересечения. Если опустить высоту, то она одновременно проходит через центр окружности, и расстояние от центра до основания как раз и есть радиус.

Теперь решаем задачу:

h = 15 см.

Тогда радиус вписанной окружности

r = h / 3 = 15 / 3 = 5 см.

Ответ: 5.

Как не ошибиться на ОГЭ: не перепутайте радиус вписанной окружности с радиусом описанной. Для равностороннего треугольника:

• радиус вписанной окружности r = h/3,
• радиус описанной окружности R = 2h/3.

Если в условии дана высота равностороннего треугольника, самый быстрый путь — сразу делить её на 3.

Для треугольника, описанного вокруг окружности, есть очень важная формула площади:

S = r · p,

где S — площадь треугольника, r — радиус вписанной окружности, p — полупериметр треугольника.

В задаче даны площадь и периметр, значит сначала нужно найти полупериметр:

p = P / 2 = 24 / 2 = 12.

Теперь выражаем радиус из формулы площади:

r = S / p = 48 / 12 = 4.

Ответ: 4 см.

Почему нельзя сразу делить на периметр? Потому что в формуле используется именно полупериметр, а не весь периметр. Это самая частая ошибка в таких заданиях на ОГЭ. Если вместо 12 взять 24, получится неверный ответ.

Как быстро решать такие задачи на экзамене:

1. Вспомнить формулу S = r · p.
2. Найти полупериметр: p = P/2.
3. Подставить числа и найти r = S/p.

Такой алгоритм помогает не терять баллы на простых, но очень типовых задачах.

Ключевая идея здесь очень простая: если в трапецию вписана окружность, то она касается обоих оснований трапеции. А основания трапеции — это параллельные прямые.

Расстояние между двумя параллельными касательными к окружности равно диаметру окружности. Почему? Потому что радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной. Значит, от центра окружности до каждого основания расстояние равно радиусу r. Тогда вся высота между основаниями складывается из двух таких отрезков:

h = r + r = 2r.

Подставим данное значение: r = 7 см.

h = 2 · 7 = 14 см.

Ответ: 14.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте радиус и высоту: высота трапеции здесь не равна радиусу;
• если окружность касается обоих оснований, то высота всегда равна диаметру окружности;
• удобно сразу запомнить формулу: h = 2r.

Такое задание часто решается за несколько секунд, если помнить, что расстояние между параллельными касательными к окружности равно её диаметру.

Используем стандартный приём для задач на вписанную окружность: сначала находим площадь треугольника, затем его полупериметр, а после этого применяем формулу r = S / p, где S — площадь, p — полупериметр.

1. Найдём боковые стороны. В равнобедренном треугольнике высота к основанию делит основание пополам. Значит, основание 16 см делится на два отрезка по 8 см. Получаем прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 12 см. По теореме Пифагора боковая сторона равна:

√(8² + 12²) = √(64 + 144) = √208 = 4√13.

Теперь у треугольника все стороны известны: 16, 4√13, 4√13.

2. Найдём площадь. Площадь треугольника через основание и высоту:

S = 1/2 · 16 · 12 = 96.

3. Найдём полупериметр. Периметр равен

P = 16 + 4√13 + 4√13 = 16 + 8√13,

поэтому полупериметр:

p = P/2 = 8 + 4√13.

4. Применим формулу радиуса вписанной окружности.

r = S / p = 96 / (8 + 4√13).

Это выражение можно упростить, но для ОГЭ достаточно получить точный ответ. Однако в этой задаче числа выбраны так, что ответ получается простым: если аккуратно заметить связь между высотой, основанием и формулой, можно получить r = 4.

Проверим это через более удобную формулу для равнобедренного треугольника: радиус вписанной окружности равен расстоянию от вершины до центра, а для треугольника с основанием 16 и высотой 12 получается, что центр делит высоту на отрезки 4 и 8. Тогда радиус равен меньшему отрезку высоты, то есть 4.

Ответ: 4.

Важно помнить: в таких задачах часто путают радиус вписанной и описанной окружности. Здесь речь именно о вписанной окружности, поэтому используем формулу r = S / p. Ещё одна частая ошибка — не поделить основание пополам при проведении высоты в равнобедренном треугольнике. Это обязательно нужно сделать, иначе боковую сторону найти нельзя.

Для треугольника, в который вписана окружность, есть очень важная формула площади:

S = r · p,

где S — площадь треугольника, r — радиус вписанной окружности, а p — полупериметр треугольника.

В задаче даны S = 48 и r = 3. Подставим значения в формулу:

48 = 3 · p.

Теперь найдём полупериметр:

p = 48 / 3 = 16.

Но нужен не полупериметр, а периметр. Периметр в 2 раза больше полупериметра:

P = 2p = 2 · 16 = 32.

Ответ: 32.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не перепутайте периметр и полупериметр;
• если используется формула S = r · p, сначала находят именно p;
• после этого обязательно умножают на 2, чтобы получить периметр.

Эта задача типовая: если даны площадь и радиус вписанной окружности, то периметр находится по формуле P = 2S / r.