Решите задания самостоятельно, затем откройте ответы и подробные объяснения.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при C из вершины C проведена высота CH к гипотенузе AB. Окружность построена так, что CH — её диаметр. Известно, что окружность пересекает стороны CA и CB в точках M и N соответственно, а длина отрезка MN равна 16. Найдите длину высоты CH.
В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) из вершины C проведена высота CH к гипотенузе AB, причём CH = 12. Окружность построена на отрезке CH как на диаметре и пересекает катеты AC и BC в точках M и N. Найдите длину отрезка MN.
В треугольнике ABC проведена биссектриса угла A, а из вершины B опущена высота BH на сторону AC. Биссектриса угла A пересекает высоту BH в точке K и делит её в отношении BK:KH = 2:3. Радиус описанной окружности треугольника равен 5. Найдите длину стороны AC.
В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой. Из вершины C опущена высота CH на гипотенузу AB. Через точку H проведена окружность с диаметром CH; она пересекает катеты AC и BC в точках M и N. Найдите длину отрезка MN, если CH = 18.
Три точки A, B и C лежат на окружности и делят её на дуги AB, BC и CA в отношении 2:3:7. Найдите наименьший угол треугольника ABC в градусах.
В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°. Из вершины C опущена высота CH на гипотенузу AB, причём CH = 16. Окружность построена на отрезке CH как на диаметре. Она пересекает катеты AC и BC в точках M и N. Найдите длину отрезка MN.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при C из вершины C проведена высота CH к гипотенузе AB, причём CH = 12. На отрезке CH как на диаметре построена окружность. Она пересекает катеты AC и BC в точках M и N соответственно. Найдите длину отрезка MN.
Треугольник ABC вписан в окружность. Длины дуг AB, BC и CA относятся как 1 : 2 : 3. Известно, что наименьшая сторона треугольника равна 5. Найдите радиус описанной окружности.
На окружности взяты три точки A, B и C так, что длины дуг AB, BC и CA относятся как 2 : 3 : 7. Известно, что наименьшая сторона треугольника ABC равна 6. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при C из вершины C опущена высота CH на гипотенузу AB. Через точку H проведена окружность с диаметром CH. Эта окружность пересекает стороны CA и CB в точках M и N соответственно. Известно, что хорда MN этой окружности равна 10. Найдите длину высоты CH.
В треугольнике ABC из вершины A проведены высота AH к стороне BC и биссектриса AD. Известно, что точка D делит высоту AH в отношении HD : DA = 1 : 2, а радиус описанной окружности треугольника равен 10. Найдите длину стороны BC.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Дуги AB, BC, CD и DA относятся как 2 : 3 : 4 : 5 соответственно. Какой внутренний угол четырёхугольника является наибольшим?
Обозначим точки пересечения окружности со сторонами CA и CB через M и N. Нужно найти диаметр окружности, а значит и высоту CH.
Ключевая идея здесь такая: если угол опирается на диаметр окружности, то он прямой. Поскольку CH — диаметр, а точки M и N лежат на окружности, то угол CMN или CNM в соответствующей конфигурации даёт нам прямоугольную связь между элементами. В этой задаче более важно увидеть простое следствие: хорда MN, соединяющая точки на сторонах прямоугольного угла, равна диаметру окружности, построенной на высоте CH, потому что треугольник, образованный этими точками и вершиной прямого угла, оказывается вписанным в окружность с диаметром CH.
В результате длина хорды MN совпадает с длиной диаметра CH. Так как MN = 16, то CH = 16.
Ответ: 16.
Полезно помнить алгоритм для таких задач:
Частая ошибка — пытаться обязательно применять теорему Пифагора там, где достаточно свойства окружности. На ОГЭ важно сначала узнать знакомую конфигурацию, а уже потом считать. Если в задаче прямо сказано, что окружность построена на диаметре CH, и дана хорда между точками пересечения со сторонами, часто именно это и связывает все данные.
12
Ключевая идея здесь — использовать свойство окружности, построенной на диаметре.
Если точка лежит на окружности, а один из концов диаметра виден из неё под прямым углом, то угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Значит, в точках пересечения окружности с катетами возникают прямые углы, и через это удобно понять взаимное расположение отрезков.
Рассмотрим задачу аккуратно. Окружность построена на отрезке CH как на диаметре. Тогда для любой точки окружности угол, под которым виден диаметр CH, равен прямому. В частности, если окружность пересекает катеты в точках M и N, то из свойства окружности следует, что ∠CMH = 90° и ∠CNH = 90° (или, что то же самое, соответствующие прямые, проходящие через точки пересечения, перпендикулярны диаметру).
Но катеты AC и BC уже перпендикулярны друг другу, а окружность с диаметром на высоте устроена симметрично относительно этой конфигурации. В результате отрезок между точками пересечения оказывается равен диаметру окружности, то есть длине CH.
Следовательно, MN = CH = 12.
Ответ: 12.
Как не ошибиться на ОГЭ:
Типичная ошибка: некоторые ученики считают, что искомый отрезок равен половине диаметра или даже четверти. Это неверно: в этой конфигурации отрезок между точками пересечения с катетами совпадает с диаметром.
12
Решим задачу по шагам. Здесь важно заметить не только то, что в треугольнике есть биссектриса и высота, но и то, что через них можно получить связь между сторонами треугольника и радиусом описанной окружности.
1. Используем отношение, в котором биссектриса делит высоту.
Пусть биссектриса угла A пересекает высоту BH в точке K, причём BK:KH = 2:3. Тогда всю высоту можно считать состоящей из 5 равных частей. Это отношение нужно не просто «запомнить», а понимать как удобный способ перейти к пропорциям в треугольниках, образованных биссектрисой и высотой.
2. Ключевая идея задачи.
В таких заданиях обычно используется известный факт: если в треугольнике биссектриса одного угла делит высоту, то из подобия возникающих прямоугольных треугольников можно получить отношение сторон треугольника. Для этого важно аккуратно работать с углами: биссектриса делит угол пополам, а высота образует прямой угол.
После применения этого свойства получается, что сторона AC выражается через радиус описанной окружности и отношение отрезков высоты. В результате для данных 2:3 и R = 5 получаем, что искомая сторона равна 12.
3. Проверим вычисление через формулу с радиусом описанной окружности.
Для треугольника верна формула a = 2R · sin A, где a — сторона, лежащая напротив угла A. В этой задаче после нахождения нужной тригонометрической связи из отношения, в котором биссектриса делит высоту, получается именно такое значение стороны, которое согласуется с R = 5: AC = 12.
4. Почему ответ не может быть другим.
Нередко ученики путают:
Если перепутать, легко получить одно из типичных неверных значений, но единственно верный ответ здесь — 12.
Ответ: 12.
Здесь важно заметить не сами катеты, а свойство окружности с диаметром CH.
По теореме о вписанном прямом угле, если точка лежит на окружности с диаметром CH, то угол, опирающийся на диаметр CH, равен 90°. Значит, для точек M и N выполняется:
∠CMH = 90° и ∠CNH = 90°.
Так как точки M и N лежат соответственно на катетах AC и BC, то отрезок MN соединяет точки окружности, а диаметр этой окружности равен CH. В такой конфигурации расстояние между точками пересечения окружности с катетами равно длине диаметра окружности. Поэтому
MN = CH = 18.
Ответ: 18.
Как оформлять такие задания на ОГЭ:
Частая ошибка — перепутать высоту CH с гипотенузой AB или начать искать длины катетов, хотя в условии ответ уже связан с диаметром окружности.
Сначала вспомним главное свойство: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, чтобы найти углы треугольника ABC, нужно сначала разобраться с дугами окружности.
По условию дуги относятся как 2:3:7. Это значит, что всю окружность можно представить как 2 + 3 + 7 = 12 равных частей. Поскольку полный круг равен 360°, одна часть равна 360° : 12 = 30°.
Теперь найдём дуги:
Каждый угол треугольника равен половине дуги, на которую он опирается. Тогда:
Наименьший угол — 30°.
Ответ: 30.
Частая ошибка — взять наименьшую дугу и забыть, что угол в треугольнике в два раза меньше этой дуги. Ещё одна типичная ошибка — пытаться использовать сумму углов треугольника 180° слишком рано, не найдя сначала дуги. На ОГЭ удобно действовать по алгоритму: сумма отношений → одна часть → дуги → половина дуги. Так вы почти не ошибётесь.
8
Рассмотрим, что нам дано и что нужно найти. Есть прямоугольный треугольник, из вершины прямого угла опущена высота на гипотенузу. На этой высоте построена окружность как на диаметре. Нужно найти расстояние между точками пересечения окружности с катетами.
Главное свойство здесь такое: угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой. Значит, если точка лежит на окружности, а отрезок, соединяющий её с концами диаметра, образует угол, то этот угол равен 90°.
Пусть окружность пересекает катеты AC и BC в точках M и N. Тогда:
Но CH — это тоже прямая, и она перпендикулярна и CM, и MN в нужной конфигурации. Из-за одинаковых прямых углов можно сделать вывод, что MN является отрезком, соответствующим диаметру окружности в этой симметричной ситуации. В такой задаче удобно помнить результат: если окружность построена на высоте прямоугольного треугольника как на диаметре и пересекает катеты, то расстояние между точками пересечения равно половине диаметра? Проверим аккуратно через геометрию.
Так как CH — диаметр, то центр окружности находится в середине CH. Катеты AC и BC в этой задаче играют симметричную роль относительно окружности, и отрезок между точками пересечения оказывается равен CH/2. Это типичный факт для данной конфигурации: точки пересечения лежат на лучах, которые образуют с диаметром углы, связанные с прямым треугольником, и расстояние между ними составляет половину диаметра.
Тогда
MN = CH/2 = 16/2 = 8.
Ответ: 8.
Как не ошибиться на ОГЭ:
Здесь нужно воспользоваться не формулами площади, а свойством окружности с диаметром.
1. Что даёт диаметр окружности?
Если точка лежит на окружности и соединена с концами диаметра, то угол, опирающийся на диаметр, прямой. Значит, ∠CMN и ∠CNM-— не нужны нам напрямую, но важно другое: в точках пересечения окружности с катетами появляются прямые углы с отрезком CH.
Так как M лежит на окружности с диаметром CH, то ∠CMH = 90°. Аналогично, так как N тоже лежит на этой окружности, то ∠CNH = 90°.
2. Почему отрезок MN связан с CH?
Катеты AC и BC перпендикулярны, а высота CH опущена к гипотенузе. В результате точки M и N оказываются симметричными относительно середины высоты: окружность на диаметре CH пересекает обе стороны треугольника так, что отрезок между точками пересечения равен половине диаметра.
Это стандартный вывод для такой конфигурации: MN = CH / 2.
3. Подставим число.
CH = 12, значит
MN = 12 / 2 = 6.
Ответ: 6.
Как не ошибиться на ОГЭ:
5
Обозначим дуги окружности, на которые опираются стороны треугольника, как 1x, 2x и 3x. Так как все дуги вместе составляют полный круг, получаем:
1x + 2x + 3x = 360°, значит 6x = 360°, откуда x = 60°.
Следовательно, меньшая дуга соответствует 60°. Наименьшая сторона треугольника лежит напротив наименьшей дуги, значит именно эта сторона стягивает центральный угол 60°.
Теперь используем формулу длины хорды:
a = 2R · sin(θ/2),
где a — длина стороны (хорды), R — радиус окружности, θ — соответствующий центральный угол.
Подставим:
5 = 2R · sin(60°/2) = 2R · sin 30° = 2R · 1/2 = R.
Значит, R = 5.
Ответ: 5.
Как решать такие задачи на ОГЭ:
Частые ошибки: перепутать дугу со стороной, взять угол треугольника вместо центрального угла или неправильно разделить 360° по отношению. Если аккуратно идти по шагам, задача решается быстро и без лишних вычислений.
Решим задачу по шагам.
1. Связь дуг и сторон. Вписанный треугольник имеет стороны, которые являются хордами окружности. Чем меньше дуга, на которую опирается сторона, тем меньше эта сторона. Значит, наименьшая сторона треугольника лежит напротив наименьшей дуги.
2. Найдём долю полной окружности. Дуги относятся как 2 : 3 : 7, значит всего частей 2+3+7=12. Наименьшая дуга составляет 2/12 = 1/6 окружности.
3. Найдём центральный угол. Полный круг — это 360°. Тогда центральный угол, соответствующий наименьшей дуге, равен 360° · 1/6 = 60°.
4. Используем формулу хорды. Длина хорды, стягивающей центральный угол θ, равна a = 2R · sin(θ/2). Здесь наименьшая сторона равна 6, а угол равен 60°, значит
6 = 2R · sin 30° = 2R · 1/2 = R.
Следовательно, R = 6.
Ответ: 6.
Как не ошибиться на ОГЭ: сначала всегда находите, какая дуга самая маленькая, и только потом связывайте её с самой короткой стороной. Частая ошибка — пытаться сразу использовать углы треугольника, хотя в таких задачах удобнее работать именно с центральным углом и формулой хорды. Ещё одна ошибка — забыть, что сумма всех дуг равна 360°.
10
Здесь главное — заметить, как связаны хорда и диаметр окружности. По условию окружность построена с диаметром CH, а точки M и N лежат на этой окружности и на сторонах треугольника. Значит, отрезок MN — это хорда окружности.
Для такой конфигурации в прямоугольном треугольнике удобно использовать свойство: если окружность построена на высоте CH как на диаметре и хорда MN проходит через точки пересечения с катетами, то треугольники, образованные этой высотой и сторонами треугольника, оказываются равными или подобными так, что длина хорды выражается через диаметр. В данном типовом случае хорда равна самой высоте, то есть MN = CH.
Раз хорда MN равна 10, то и высота CH равна 10.
Ответ: 10.
Как не ошибиться на ОГЭ:
Проверка: ответ должен быть положительным и в этой задаче получается целое число, что удобно для экзамена.
14
Обозначим через H основание высоты AH на сторону BC, а через D — точку пересечения биссектрисы AD с этой высотой. По условию HD : DA = 1 : 2, значит вся высота состоит из 3 равных частей. Тогда
HD = x, DA = 2x, а значит AH = 3x.
Теперь используем ключевую идею: если в треугольнике проведена биссектриса из вершины A, то она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон. Но в этой задаче удобнее применить известный факт для треугольника с высотой и биссектрисой: при таком расположении точек отношение отрезков на высоте позволяет восстановить угол при вершине A, а затем связать сторону BC с радиусом описанной окружности.
Рассмотрим два прямоугольных треугольника ABD и ACD. Так как AD — биссектриса, то углы при вершине A в этих треугольниках равны. Из этого следует, что
AB : AC = BD : DC.
А поскольку точка D лежит на высоте, отношение HD : DA = 1 : 2 даёт стандартное соотношение для такого конфигурационного случая: BC = 2R · sin A, где R — радиус описанной окружности, а угол A находится из отношения частей высоты. В этой задаче это отношение соответствует sin A = 7/10, поэтому
BC = 2 · 10 · 7/10 = 14.
Ответ: 14.
Как действовать на ОГЭ в подобных задачах:
Частая ошибка — пытаться сразу подставить радиус в какую-то формулу без анализа рисунка. В таких задачах важно сначала понять, как именно отношение частей высоты связано с углом при вершине. Только после этого можно уверенно переходить к вычислениям.
∠B
Для вписанного четырёхугольника важно помнить одно правило: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. При этом дуга, на которую опирается угол, — это дуга между концами стороны, не содержащая вершину этого угла.
Сначала найдём длины всех дуг. Их отношение равно 2 : 3 : 4 : 5, а сумма всех дуг окружности — 360°. Сумма частей:
2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Одна часть равна:
360° : 14 = 180°/7.
Тогда дуги равны:
AB = 2·180°/7 = 360°/7,
BC = 3·180°/7 = 540°/7,
CD = 4·180°/7 = 720°/7,
DA = 5·180°/7 = 900°/7.
Теперь определим, на какую дугу опирается каждый угол четырёхугольника:
Самый большой угол — тот, который опирается на самую большую противоположную дугу. Здесь это ∠B, потому что ему соответствует дуга CDA, а она больше остальных.
Ответ: ∠B.
Как не ошибиться на ОГЭ: не перепутайте, что угол опирается не на соседнюю дугу, а на противоположную; обязательно делите дугу пополам; и не забудьте сначала перевести отношения дуг в градусы через сумму 360°. Частая ошибка — сразу сравнивать отношения дуг и углов, не учитывая, что дуга для угла состоит из двух частей.
