Радиусы и хорды: свойства и взаимное расположение: задания с ответами

Используем связь между длиной хорды, радиусом и центральным углом. Если хорда стягивает центральный угол α, то её длина выражается формулой:

AB = 2R · sin(α/2),

где R — радиус окружности.

В нашей задаче α = 60°, а AB = 10. Подставим эти значения:

10 = 2R · sin 30°.

Мы знаем, что sin 30° = 1/2. Тогда:

10 = 2R · 1/2 = R.

Значит, R = 10.

Ответ: 10.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте центральный угол с вписанным;
• в формуле всегда берётся половина центрального угла: именно α/2;
• для угла 60° удобно помнить, что sin 30° = 1/2, поэтому вычисления получаются очень простыми.

Если хорда и угол подобраны удачно, радиус часто находится буквально в один шаг после подстановки в формулу. Это типичный и быстрый балл на экзамене.

Используем связь между хордой, радиусом и центральным углом. Если центральный угол равен φ, то длина хорды выражается формулой

c = 2R·sin(φ/2).

Здесь c = 6 см, а φ = 60°. Подставим в формулу:

6 = 2R·sin(60°/2) = 2R·sin 30°.

Знаем, что sin 30° = 1/2. Тогда

6 = 2R·1/2 = R.

Значит, радиус окружности равен 6 см.

Почему так получается: хорда “видна” из центра под углом, и чем больше этот угол, тем длиннее хорда при том же радиусе. Формула с синусом половины угла — стандартный способ решать такие задачи на ОГЭ.

Частые ошибки:

• подставляют в синус весь угол 60°, а не половину угла;
• пишут c = 2R·cos(φ/2) вместо синуса;
• забывают, что 60° — это центральный угол, а не просто “угол дуги” в отдельной формуле.

Правильный ответ: 6 см.

Пусть радиус окружности равен R. Для хорды и центрального угла используется формула

l = 2R\sin(\alpha/2),

где l — длина хорды, а \alpha — величина центрального угла. Здесь важно не забыть, что в формуле стоит половина угла, а не весь угол целиком.

По условию l = 6 см, \alpha = 120°. Тогда

6 = 2R\sin 60°.

Знаем, что \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}. Подставим:

6 = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}.

Теперь выразим R:

R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}.

Итак, радиус окружности равен 2√3 см.

Ответ: 2\sqrt{3}.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• сначала всегда делите центральный угол пополам;
• используйте именно sin, а не cos;
• после подстановки проверьте, что получается удобное уравнение относительно радиуса.

Ищем длину хорды, а не длину дуги. Это частая ошибка на ОГЭ: в условии дан центральный угол, но ответ нужен именно для отрезка, соединяющего две точки окружности.

Используем формулу длины хорды через радиус и центральный угол:

l = 2R · sin(α / 2),

где R — радиус окружности, α — центральный угол, соответствующий меньшей дуге.

Подставим данные из задачи:

R = 6, α = 60°.

Тогда

l = 2 · 6 · sin(60° / 2) = 12 · sin 30°.

А так как sin 30° = 1/2, получаем:

l = 12 · 1/2 = 6.

Ответ: 6 см.

Почему именно так? Если соединить центр окружности с концами хорды, получится равнобедренный треугольник. Центральный угол делится пополам, и в половине треугольника появляется синус половины угла. Поэтому в формуле обязательно стоит α/2, а не весь угол целиком.

Типичные ошибки:

• находят длину дуги вместо хорды;
• подставляют 60° вместо 30° в синус;
• используют косинус без необходимости;
• забывают, что нужно брать меньшую дугу, если она указана в условии.

Чтобы не потерять балл, запомните короткий алгоритм: радиус + центральный угол → хорда → формула 2R·sin(α/2).

Используем связь между хордой, радиусом и вписанным углом. Если хорда AB стягивает вписанный угол ∠ACB = α, то длина хорды выражается формулой

AB = 2R·sin α,

где R — радиус окружности. Это очень важная формула для задач ОГЭ: она позволяет находить радиус, если известны хорда и вписанный угол.

В нашей задаче:

• AB = 8 см,
• α = 30°.

Подставим данные в формулу:

8 = 2R·sin 30°.

Знаем, что sin 30° = 1/2. Тогда получаем:

8 = 2R·1/2 = R.

Значит, R = 8 см.

Ответ: 8.

Почему именно так? Вписанный угол опирается на ту же хорду, и в стандартной геометрической связи длина хорды зависит от синуса вписанного угла. Частая ошибка — брать половину угла или использовать cos вместо sin. Ещё одна ошибка — забыть, что 30° уже дан как вписанный угол, его не нужно делить пополам.

Как проверять себя на экзамене: если угол маленький, хорда должна быть короче диаметра; здесь получилось R = 8, а значит диаметр 16, и хорда 8 выглядит вполне разумно.

Используем связь между хордой, радиусом и вписанным углом. Если хорда длиной AB стягивает вписанный угол ∠ACB, то длина хорды выражается формулой:

AB = 2R \sin(∠ACB),

где R — радиус окружности. Это одна из основных формул по теме: она связывает хорду с углом, опирающимся на эту хорду.

Подставим известные значения:

6 = 2R \sin 30°.

Знаем, что sin 30° = 1/2. Тогда получаем:

6 = 2R · 1/2 = R.

Значит, R = 6 см.

Ответ: 6 см.

Почему так можно делать? Вписанный угол опирается на ту же хорду, что и соответствующий центральный угол, но в формуле для хорды удобнее сразу использовать именно вписанный угол: AB = 2R\sin α, где α — вписанный угол, опирающийся на хорду AB.

Частые ошибки:

• путают вписанный угол с центральным и пытаются использовать неправильную формулу;
• забывают множитель 2 перед радиусом;
• вместо sin по привычке подставляют cos;
• не знают точное значение sin 30°.

Как не потерять балл на ОГЭ: сначала определите, что именно дано: хорда и вписанный угол. Затем запишите формулу, аккуратно подставьте значения и только после этого считайте. Если угол «красивый» (30°, 45°, 60°), полезно помнить значения тригонометрических функций — это экономит время.

Используем связь между вписанным углом и хордой, на которую он опирается.

1. Найдём центральный угол. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в 2 раза больше вписанного. Значит, если вписанный угол равен 30°, то центральный угол ∠AOB = 60°.

2. Свяжем хорду с радиусом и центральным углом. Если хорда стягивает центральный угол α, то её длина находится по формуле:

AB = 2R·sin(α/2).

Здесь R = 8, α = 60°. Тогда

AB = 2·8·sin(60°/2) = 16·sin 30° = 16·1/2 = 8.

3. Ответ. Длина хорды AB равна 8.

Почему так удобно решать задачи ОГЭ: сначала всегда переводите вписанный угол в центральный, если дальше нужна хорда. Это помогает не путаться в формулах. Частая ошибка — подставить в формулу сам вписанный угол вместо половины центрального. Ещё одна ошибка — забыть, что sin 30° = 1/2.

Короткий алгоритм для таких задач: 1) удвойте вписанный угол; 2) подставьте его в формулу длины хорды; 3) аккуратно вычислите синус половины центрального угла.

Используем связь между хордой, радиусом и вписанным углом.

Если хорда AB стягивает вписанный угол ∠ACB = α, то длина хорды выражается формулой:

AB = 2R · sin α,

где R — радиус окружности. Это именно та формула, которая нужна в таких задачах ОГЭ.

Подставим данные:

10 = 2R · sin 30°.

Знаем, что sin 30° = 1/2. Тогда

10 = 2R · 1/2 = R.

Значит, R = 10 см.

Ответ: 10.

Как не ошибиться:

• Не путайте вписанный угол с центральным. В этой формуле используется именно угол, который дан у точки на окружности.
• Не нужно брать половину угла: в формуле стоит sin α, а не sin(α/2).
• Если угол «удобный» (30°, 45°, 60°), сначала вспомните значения тригонометрических функций — это часто позволяет быстро получить ответ без лишних вычислений.

Используем связь между хордой, радиусом и центральным углом:

l = 2R·sin(α/2),

где l — длина хорды, R — радиус, α — центральный угол.

По условию l = 6 см, α = 120°. Тогда половина угла равна 60°.

Подставим в формулу:

6 = 2R·sin 60°.

Знаем, что sin 60° = √3/2, поэтому:

6 = 2R·(√3/2) = R√3.

Отсюда

R = 6/√3 = 2√3.

Итак, радиус окружности равен 2√3 см.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не забудьте, что в формуле нужен половинный угол, а не весь центральный угол;
• для угла 120° удобно сразу видеть, что половина — 60°;
• если получили дробь с корнем в знаменателе, можно упростить ответ: 6/√3 = 2√3.

Такие задачи обычно решаются в 2–3 шага: вспомнить формулу, подставить значения и аккуратно вычислить тригонометрическую функцию.

Рассмотрим, что известно и что нужно найти. Дана окружность радиуса R = 10 см и центральный угол 60°, который соответствует меньшей дуге AB. Нужно найти длину хорды AB.

Для таких задач удобно использовать формулу длины хорды через радиус и центральный угол:

AB = 2R·sin(α/2),

где α — центральный угол, соответствующий хорде.

Почему здесь именно половина угла? Если провести радиусы OA и OB, получится равнобедренный треугольник AOB. Если опустить из центра перпендикуляр к хорде AB, он разделит хорду пополам и одновременно разделит центральный угол пополам. Поэтому в формуле появляется sin(α/2).

Подставим данные:

AB = 2·10·sin(60°/2) = 20·sin 30°.

Известно, что sin 30° = 1/2. Тогда

AB = 20·1/2 = 10.

Ответ: 10 см.

Типичная ошибка — подставить в синус весь угол 60° вместо половины. Ещё одна ошибка — перепутать хорду с дугой: здесь требуется именно прямая линия между точками A и B, а не длина дуги.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) найдите радиус и центральный угол; 2) вспомните формулу хорды; 3) не забудьте разделить угол пополам; 4) подставьте табличное значение синуса, если угол удобный.

Решим задачу по шагам. Здесь важно помнить две основные связи между хордой, центральным и вписанным углами.

1. Сначала найдём центральный угол, опирающийся на хорду AB.

Пусть ∠AOB = α. Тогда в треугольнике AOB стороны OA и OB равны радиусу окружности, то есть по 10, а сторона AB равна 10√2.

Для хорды длиной c и радиуса R верно: c = 2R sin(α/2), где α — центральный угол, опирающийся на эту хорду.

Подставим числа:

10√2 = 2 · 10 · sin(α/2)

10√2 = 20 sin(α/2)

sin(α/2) = √2/2.

Такое значение синуса бывает при угле 45° или 135°, но для половины центрального угла берём острый вариант, то есть α/2 = 45°. Значит, α = 90°.

2. Теперь используем свойство вписанного угла.

Вписанный угол, опирающийся на ту же хорду, равен половине соответствующего центрального угла. Поэтому один из вписанных углов равен

90° / 2 = 45°.

Но в задаче просят тупой вписанный угол, опирающийся на хорду AB. Для одной и той же хорды существует два вписанных угла: один меньший, другой больший. Сумма этих углов равна 180°, поэтому второй угол равен

180° - 45° = 135°.

Именно он и является тупым.

Ответ: 135.

Как не потерять баллы на ОГЭ:

1) Не путайте центральный и вписанный углы: вписанный всегда в 2 раза меньше центрального, опирающегося на ту же хорду.

2) Если спрашивают тупой угол, не останавливайтесь на меньшем значении — у одной хорды действительно есть два вписанных угла.

3) Удобно сначала находить центральный угол по формуле для хорды, а потом делить его пополам.

4) Если получили острый угол, проверьте, не требуется ли найти дополнительный тупой: 180° - острый угол.

Обозначим через \(\angle ACB\) вписанный угол, опирающийся на хорду \(AB\). Нужно найти именно тупой вписанный угол.

1) Сначала найдём центральный угол, опирающийся на ту же хорду. Для хорды длины \(AB\) в окружности радиуса \(R\) верна формула:

\(AB = 2R\sin\dfrac{\varphi}{2}\),

где \(\varphi\) — центральный угол, соответствующий этой хорде.

Подставим данные: \(R=5\), \(AB=5\sqrt{2}\).

\(5\sqrt{2} = 2\cdot 5\cdot \sin\dfrac{\varphi}{2}\),

\(\sqrt{2} = 2\sin\dfrac{\varphi}{2}\),

\(\sin\dfrac{\varphi}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Значит, \(\dfrac{\varphi}{2}=45^\circ\) или \(135^\circ\), но для центрального угла, соответствующего меньшей дуге, берём \(\varphi=90^\circ\). Это стандартный и самый удобный вариант для таких задач.

2) Теперь используем свойство: вписанный угол, опирающийся на ту же хорду, равен половине соответствующего центрального угла.

\(\angle ACB = \dfrac{\varphi}{2} = \dfrac{90^\circ}{2}=45^\circ\).

Но это острый вписанный угол. А по условию нужен тупой вписанный угол, опирающийся на ту же хорду. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, могут быть дополнительными: один острый, другой тупой. Их сумма равна \(180^\circ\).

Тогда тупой угол равен:

\(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).

Ответ: \(135^\circ\).

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не путайте центральный и вписанный углы: центральный в 2 раза больше вписанного.
• Если в задаче просят тупой вписанный угол, а вы сначала нашли острый, не забывайте взять дополнительный до \(180^\circ\).
• Проверяйте здравый смысл: при хорде меньше диаметра обычно можно получить и острый, и тупой вписанные углы, опирающиеся на одну хорду.