Средняя скорость: задания с ответами

Здесь важно помнить: средняя скорость находится не как обычное среднее арифметическое скоростей, а по формуле

средняя скорость = весь путь / всё время.

В задаче турист шёл туда и обратно по одинаковому расстоянию. Значит, общий путь равен:

12 + 12 = 24 км.

Теперь найдём время каждого этапа.

1) На пути до озера:

t₁ = 12 / 4 = 3 ч.

2) На пути обратно:

t₂ = 12 / 6 = 2 ч.

Тогда всё время движения:

3 + 2 = 5 ч.

Теперь находим среднюю скорость:

v_ср = 24 / 5 = 4,8 км/ч.

Ответ: 4,8 км/ч.

Почему нельзя просто взять (4 + 6) / 2? Потому что турист ехал/шёл на этих скоростях не одинаковое время, а одинаковые расстояния. При разных расстояниях или временах простое среднее может дать неверный ответ. В задачах на движение всегда сначала выясняйте, что именно одинаково: путь или время.

Как избежать ошибки на ОГЭ:

• сначала найдите весь путь;
• потом найдите всё время;
• только после этого делите путь на время;
• не путайте среднюю скорость с арифметическим средним скоростей.

Средняя скорость на всём пути находится по формуле:

средняя скорость = весь путь / всё время.

Здесь нельзя просто сложить скорости и разделить на 3, потому что на разных участках автомобиль ехал разное время. Сначала нужно найти время движения на каждом участке.

1) Первый участок: 120 км со скоростью 60 км/ч.
Время: 120 / 60 = 2 ч.

2) Второй участок: 90 км со скоростью 45 км/ч.
Время: 90 / 45 = 2 ч.

3) Третий участок: 150 км со скоростью 75 км/ч.
Время: 150 / 75 = 2 ч.

Теперь найдём весь путь и всё время:

Общий путь: 120 + 90 + 150 = 360 км.

Общее время: 2 + 2 + 2 = 6 ч.

Тогда средняя скорость:

360 / 6 = 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

Как не ошибиться на ОГЭ: если в задаче даны несколько участков пути, всегда сначала находите время на каждом участке, а потом суммируете. Частая ошибка — брать простое среднее скоростей: (60 + 45 + 75) / 3 = 60. Здесь случайно получилось то же число, но так бывает не всегда, и такой способ вообще неверный. Правильный метод — только через общий путь и общее время.

Средняя скорость на всём пути находится не как среднее арифметическое скоростей, а по формуле

v_ср = S_общ / T_общ.

Это очень важное правило для ОГЭ: если движение происходит по нескольким участкам с разными скоростями, нужно сначала найти время на каждом участке, потом сложить все расстояния и все времена.

1) Найдём время на каждом участке.

Вспоминаем формулу t = s / v.

• Первый участок: 12 / 4 = 3 ч.
• Второй участок: 15 / 5 = 3 ч.
• Третий участок: 18 / 6 = 3 ч.

2) Найдём общий путь и общее время.

• Общий путь: 12 + 15 + 18 = 45 км.
• Общее время: 3 + 3 + 3 = 9 ч.

3) Найдём среднюю скорость.

v_ср = 45 / 9 = 5 км/ч.

Значит, правильный ответ: 5 км/ч.

Почему нельзя просто усреднить скорости? Если бы взять (4 + 5 + 6) / 3, тоже получилось бы 5, но это совпадение. В задачах на среднюю скорость так делать опасно: участки могут быть разной длины, и тогда простое среднее арифметическое даст неверный ответ. Всегда ориентируйтесь на путь и время.

Как решать такие задачи на экзамене:

1. Запишите для каждого участка формулу t = s / v.
2. Сложите все времена.
3. Сложите все расстояния.
4. Поделите общий путь на общее время.

Частые ошибки:

• путают среднюю скорость со средним арифметическим скоростей;
• складывают скорости вместо времен;
• забывают перевести участок в время через формулу t = s / v;
• делят путь только одного участка на суммарное время.

Если помнить формулу v_ср = S_общ / T_общ, такие задания решаются быстро и без ошибок.

Так как все участки пути равны, нельзя находить среднюю скорость как обычное среднее арифметическое скоростей. Это одна из самых частых ошибок в задачах ОГЭ.

Средняя скорость находится по формуле:

средняя скорость = весь путь / всё время.

Обозначим длину каждого участка за одинаковую величину, например за s. Тогда весь путь равен 3s.

Найдём время на каждом участке:

• на первом: s / 60;
• на втором: s / 90;
• на третьем: s / 30.

Общее время:

s/60 + s/90 + s/30.

Приведём к общему знаменателю 180:

s/60 = 3s/180, s/90 = 2s/180, s/30 = 6s/180.

Тогда

3s/180 + 2s/180 + 6s/180 = 11s/180.

Теперь найдём среднюю скорость:

v = 3s / (11s/180) = 3s · 180 / 11s = 540/11 км/ч.

540/11 = 49 1/11 км/ч, то есть примерно 49,1 км/ч.

Ответ: 49,1 км/ч.

Как проверить себя на экзамене: если участки равные, то нужно складывать времена, а не скорости. Если бы вы просто взяли среднее арифметическое (60+90+30)/3 = 60, это был бы неверный ответ, потому что скорости действовали не одинаковое время: на медленном участке автомобиль ехал дольше, и это сильнее влияет на среднюю скорость.

В задачах на среднюю скорость важно помнить главное правило: средняя скорость = весь путь / всё время, а не простое среднее арифметическое скоростей.

Здесь маршрут разбит на равные по длине участки. Это удобно: можно взять длину каждого участка за 1 км. Тогда весь путь равен 3 км.

Найдём время на каждом участке:

• 1-й участок: 1 км / 4 км/ч = 1/4 ч;
• 2-й участок: 1 км / 6 км/ч = 1/6 ч;
• 3-й участок: 1 км / 12 км/ч = 1/12 ч.

Сложим времена:

1/4 + 1/6 + 1/12 = 3/12 + 2/12 + 1/12 = 6/12 = 1/2 ч.

Теперь найдём среднюю скорость:

v_ср = 3 км / (1/2 ч) = 6 км/ч.

Ответ: 6 км/ч.

Почему нельзя просто взять среднее арифметическое? Если сложить скорости и разделить на 3, получится (4 + 6 + 12) / 3 = 22/3 км/ч, но это неверно. Так делать можно только в особых случаях, когда времена или условия одинаковые, а здесь равны именно расстояния, поэтому нужно считать через время.

Как не потерять балл на ОГЭ: сначала определите, что именно одинаково: путь или время. Если равны участки пути, то ищите время на каждом участке, складывайте его и только потом делите общий путь на общее время.

Средняя скорость на всём пути находится не как простое среднее чисел 60, 75 и 45, а по формуле:

средняя скорость = весь путь / всё время.

Это главное правило для таких задач. Если участки разные по длине, то скорости нельзя просто сложить и разделить на 3, потому что на каждом участке автомобиль тратит разное время.

1. Найдём время движения на каждом участке.

Время = расстояние / скорость.

• 1-й участок: 120 / 60 = 2 ч
• 2-й участок: 150 / 75 = 2 ч
• 3-й участок: 90 / 45 = 2 ч

2. Найдём весь путь.

120 + 150 + 90 = 360 км.

3. Найдём всё время.

2 + 2 + 2 = 6 ч.

4. Найдём среднюю скорость.

360 / 6 = 60 км/ч.

Ответ: 60.

Как проверять себя на ОГЭ: если на каждом участке получились одинаковые времена, то средняя скорость часто оказывается удобной для проверки. Здесь все три участка заняли по 2 часа, значит средняя скорость равна общему пути, делённому на 6 часов.

Частые ошибки:

• берут среднее арифметическое скоростей: (60 + 75 + 45) / 3 = 60 — здесь случайно получилось то же число, но так делать нельзя;
• складывают скорости, а не времена;
• забывают сначала найти время на каждом участке;
• ошибаются в единицах измерения. Здесь всё дано в км и км/ч, значит ответ будет в км/ч.

Алгоритм для подобных задач: 1) найти время каждого участка; 2) сложить все расстояния; 3) сложить все времена; 4) разделить общий путь на общее время.

Для задач на среднюю скорость очень важно помнить: если путь разбит на равные по длине части, то нельзя просто находить среднее арифметическое скоростей. Средняя скорость определяется по формуле:

v_ср = весь путь / всё время.

Здесь участки одинаковые по длине, значит удобно взять длину каждого участка за L.

1. Найдём время на каждом участке.
Время = расстояние / скорость.

На первом участке: L / 60.
На втором участке: L / 40.
На третьем участке: L / 30.

2. Сложим времена.
Общее время равно:

L/60 + L/40 + L/30.

Приведём к общему знаменателю 120:

L/60 = 2L/120, L/40 = 3L/120, L/30 = 4L/120.

Тогда

2L/120 + 3L/120 + 4L/120 = 9L/120 = 3L/40.

3. Найдём среднюю скорость.
Весь путь состоит из трёх равных участков, значит весь путь равен 3L. Тогда

v_ср = 3L / (3L/40) = 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

Почему нельзя брать просто среднее арифметическое?
Среднее арифметическое скоростей было бы (60 + 40 + 30) / 3 = 43,3... км/ч, но это не средняя скорость на маршруте. Такая ошибка часто встречается в ОГЭ. Средняя скорость зависит не только от самих скоростей, но и от того, сколько времени автомобиль двигался с каждой из них. При равных участках медленный участок занимает больше времени, поэтому он сильнее влияет на результат.

Как быстро решать такие задачи на экзамене:

1) Обозначьте длину одного участка как удобную букву, например L.
2) Найдите время на каждом участке: L/v.
3) Сложите времена.
4) Разделите весь путь на общее время.

Такой алгоритм помогает не ошибиться и получить лёгкие баллы.

Здесь важно помнить главное правило: средняя скорость не равна простому среднему арифметическому скоростей, если на участках пути время разное. Но в нашей задаче сказано, что участки равны по длине. Тогда удобно считать так:

Пусть длина каждого участка равна 1 км. Тогда весь путь — 2 км.

Найдём время на каждом участке:

• первый участок: t₁ = 1 / 30 часа;
• второй участок: t₂ = 1 / 60 часа.

Сложим времена:

t = 1/30 + 1/60 = 2/60 + 1/60 = 3/60 = 1/20 часа.

Теперь найдём среднюю скорость по формуле v_ср = S / t:

v_ср = 2 / (1/20) = 40 км/ч.

Но это противоречит полученному ранее результату? Нет — здесь мы выбрали длину каждого участка за 1 км, а общий путь 2 км. Проверим аккуратно: если путь 1 км на каждом участке, то действительно

t = 1/30 + 1/60 = 1/20 часа, а

v_ср = 2 / (1/20) = 40 км/ч.

Однако это означает, что в вариантах ответа правильным должен быть 40 км/ч. Важный вывод для ОГЭ: при равных участках пути средняя скорость считается через времена, а не через простое среднее скоростей. Здесь число 45 км/ч получилось бы только при ошибочном усреднении (30 + 60) / 2, что неверно для этой задачи.

Ответ: 40 км/ч.

Как не ошибиться на экзамене: если участки равны по длине, всегда берите удобную длину участка, находите время на каждом и только потом считайте общую скорость. Это самый надёжный способ не потерять лёгкие баллы.

Такую задачу нельзя решать через обычное среднее арифметическое скоростей, потому что скорость на разных участках была разной, а важнее всего здесь — время. Средняя скорость по формуле всегда равна отношению всего пути ко всему времени:

v_ср = S / t.

Пусть длина каждого участка равна одинаковому расстоянию, например 1 км. Это удобно, потому что участки равны по длине, а значит можно считать не реальные километры, а просто одинаковые доли пути.

Тогда время на каждом участке равно:

• на первом: 1 / 6 часа;
• на втором: 1 / 9 часа;
• на третьем: 1 / 18 часа.

Складываем времена:

1/6 + 1/9 + 1/18 = 3/18 + 2/18 + 1/18 = 6/18 = 1/3 часа.

Общий путь состоит из трёх таких участков, значит весь путь равен 3 км. Теперь находим среднюю скорость:

v_ср = 3 / (1/3) = 9 км/ч.

Ответ: 9 км/ч.

Полезно запомнить ещё и короткое правило для равных участков пути: если расстояния одинаковые, то средняя скорость находится не как обычное среднее чисел, а через времена. Частая ошибка на ОГЭ — просто сложить скорости и разделить на число участков: (6 + 9 + 18) / 3 = 11 км/ч. Это неправильно, потому что на быстрой части пути времени тратится меньше, чем на медленной.

Алгоритм для таких задач очень надёжный:

1. Заметьте, что участки пути равны.
2. Возьмите для каждого участка одинаковое расстояние, например 1 км.
3. Найдите время на каждом участке: t = S / v.
4. Сложите времена.
5. Разделите весь путь на общее время.

Если действовать так, вы почти не ошибётесь в заданиях на среднюю скорость.

Средняя скорость на всём пути находится не как простое среднее из трёх скоростей, а по формуле:

средняя скорость = весь путь / всё время.

Это очень важно для задач на несколько участков, потому что на каждом участке автомобиль двигался разное время.

1) Найдём время на каждом участке.

Для первого участка:

t₁ = 120 / 60 = 2 ч.

Для второго участка:

t₂ = 180 / 90 = 2 ч.

Для третьего участка:

t₃ = 150 / 75 = 2 ч.

2) Найдём весь путь и всё время.

Весь путь: 120 + 180 + 150 = 450 км.

Всё время: 2 + 2 + 2 = 6 ч.

3) Найдём среднюю скорость:

v_ср = 450 / 6 = 75 км/ч.

Ответ: 75 км/ч.

Почему нельзя просто усреднить скорости? Если взять (60 + 90 + 75) / 3, получится тоже 75, но это совпадение случайное. В общем случае так делать нельзя, потому что участки могут быть разной длины, а значит, и время движения на них разное. На ОГЭ нужно всегда идти через формулу путь / время.

Как не ошибиться:

• сначала отдельно найти время на каждом участке;
• затем сложить все расстояния и все времена;
• только потом делить общий путь на общее время.

Такой алгоритм помогает решать все типовые задачи на среднюю скорость без потери баллов.

Средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей, а отношение всего пути ко всему времени движения:

v_ср = S / T.

Поэтому сначала нужно найти, какой путь автомобиль проехал на каждом участке.

1) Первый участок:
время 1,5 ч, скорость 60 км/ч.
Путь: 60 · 1,5 = 90 км.

2) Второй участок:
время 2 ч, скорость 75 км/ч.
Путь: 75 · 2 = 150 км.

3) Общий путь:
90 + 150 = 240 км.

4) Общее время:
1,5 + 2 = 3,5 ч.

5) Средняя скорость:
240 / 3,5 = 480 / 7 = 68 4/7 км/ч.

Значит, правильный ответ: 68 4/7 км/ч (примерно 68,6 км/ч).

Почему нельзя просто усреднить скорости? Если взять (60 + 75) / 2 = 67,5, получится неверно, потому что на каждом участке автомобиль ехал разное время. При средней скорости важно учитывать именно весь путь и всё время.

Как не потерять балл на ОГЭ:

• сначала отдельно найдите путь на каждом участке: S = v · t;
• потом сложите все пути;
• потом сложите все времена;
• только затем делите общий путь на общее время.

Это самый надёжный алгоритм для задач на среднюю скорость.

Если путь разбит на равные по длине участки, то среднюю скорость нельзя находить как обычное арифметическое среднее скоростей. Ошибка многих учеников как раз в том, что они складывают 30, 60 и 90 и делят на 3. Это даёт 60 км/ч, но такой ответ неверен, потому что на каждом участке нужно учитывать время: при меньшей скорости на тот же путь уходит больше времени.

Решим правильно. Удобно считать, что каждый участок имеет длину 1 км. Тогда весь путь равен 3 км.

Время на первом участке: 1 / 30 часа.
Время на втором участке: 1 / 60 часа.
Время на третьем участке: 1 / 90 часа.

Сложим времена:

t = 1/30 + 1/60 + 1/90.

Приведём к общему знаменателю 180:

1/30 = 6/180, 1/60 = 3/180, 1/90 = 2/180.

Тогда

t = 6/180 + 3/180 + 2/180 = 11/180 часа.

Теперь найдём среднюю скорость по формуле:

v_ср = S_общ / t_общ.

Общий путь равен 3 км, значит

v_ср = 3 / (11/180) = 3 · 180 / 11 = 540/11 км/ч.

Ответ: 540/11 км/ч, это примерно 49,1 км/ч.

Как не потерять балл на ОГЭ:

• если участки равные, сначала думайте о времени, а не о скоростях;
• не находите простое среднее арифметическое скоростей;
• в таких задачах удобно брать длину каждого участка за 1;
• проверяйте, что итоговая скорость лежит между наименьшей и наибольшей скоростью.

Здесь ответ должен быть меньше 60 км/ч, потому что больше всего времени ушло на самый медленный участок.