Арифметическая прогрессия: общие понятия: задания с ответами

В арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Это значит, что если известны два подряд идущих члена, то следующий находится очень просто: нужно прибавить ту же самую разность.

1) Найдём разность между данными числами:

9 - 4 = 5.

2) Так как 4 и 9 — соседние члены арифметической прогрессии, следующий член тоже должен отличаться от 9 на 5:

9 + 5 = 14.

Ответ: 14.

Почему это работает? В арифметической прогрессии каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа — разности прогрессии. Поэтому достаточно один раз найти эту разность и затем использовать её ещё раз.

Частая ошибка: некоторые ученики по привычке ищут среднее арифметическое или прибавляют разность не к тому числу. Но здесь важно помнить порядок: сначала смотрим на два соседних члена, потом к большему из них прибавляем ту же разность, если прогрессия возрастает.

Полезный алгоритм для ОГЭ:

• найдите разность между известными соседними членами;

• убедитесь, что члены действительно идут подряд;

• прибавьте эту разность к последнему известному члену;

• проверьте, что получилось снова число с той же разностью.

Такой способ помогает быстро решать типовые задания без лишних действий и не терять лёгкие баллы.

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используют формулу:

a_n = a₁ + (n - 1) · d.

Здесь a₁ = 7 — первый член прогрессии, d = 4 — разность, а нужно найти a₉. Подставляем номер члена в формулу:

a₉ = 7 + (9 - 1) · 4.

Сначала вычисляем, сколько шагов от первого члена до девятого: 9 - 1 = 8. Тогда

a₉ = 7 + 8 · 4 = 7 + 32 = 39.

Ответ: 39.

Полезно помнить, что в формуле всегда стоит именно (n - 1), а не просто n. Это частая ошибка на ОГЭ: если подставить 9 вместо 8, получится неверный ответ. Ещё одна типичная ошибка — перепутать первый член и разность. Чтобы не потерять лёгкий балл, всегда делайте три шага: 1) выпишите формулу, 2) аккуратно подставьте числа, 3) проверьте арифметику.

Для решения таких задач нужно вспомнить формулу n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + (n - 1)·d

Здесь:

• a₁ — первый член прогрессии;
• d — разность прогрессии;
• n — номер искомого члена.

По условию:

• a₁ = 7
• d = -3
• n = 8

Подставим данные в формулу:

a₈ = 7 + (8 - 1)·(-3)

Сначала вычислим, что находится в скобках:

8 - 1 = 7

Тогда:

a₈ = 7 + 7·(-3)

a₈ = 7 - 21 = -14

Ответ: -14.

Полезно помнить: главная типичная ошибка — забыть про (n - 1) и вместо этого умножить разность на n. Ещё одна частая ошибка — неверно обработать отрицательную разность. Если d отрицательная, каждый следующий член уменьшается. Для ОГЭ важно действовать по одному и тому же алгоритму: сначала подставить в формулу, затем аккуратно вычислить, не пропуская знаки.

Обозначим члены арифметической прогрессии как a₁, a₂, a₃, .... В арифметической прогрессии очень важное свойство: если взять два члена, равноудалённые от одного и того же центра, то их сумма одинакова.

Здесь известно, что a₆ + a₇ = 31. Это два соседних члена, а их средний индекс равен (6 + 7) / 2 = 6,5. Теперь посмотрим на искомые члены: a₃ и a₁₀. Их средний индекс тоже равен (3 + 10) / 2 = 6,5. Значит, это такая же симметричная пара относительно одного и того же центра, поэтому их сумма равна сумме членов a₆ и a₇.

Следовательно, a₃ + a₁₀ = a₆ + a₇ = 31.

Ответ: 31.

Полезно запомнить для ОГЭ: если в арифметической прогрессии две пары членов имеют одинаковую «середину» по номерам, то суммы этих пар равны. Это помогает решать задачи быстро, не находя ни первый член, ни разность прогрессии. Частая ошибка — пытаться сразу составлять формулу a_n = a₁ + (n-1)d, хотя здесь достаточно свойства симметрии.

В арифметической прогрессии каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число — разность прогрессии d. Поэтому, если известны два члена с разными номерами, сначала удобно найти именно d, а потом уже нужный член.

1) Найдём разность прогрессии по формуле:

d = (a₉ − a₄) / (9 − 4) = (31 − 11) / 5 = 20 / 5 = 4.

Это значит, что каждый следующий член увеличивается на 4.

2) Теперь идём от a₉ к a₁₅. Между ними 6 шагов:

a₁₅ = a₉ + 6·d = 31 + 6·4 = 31 + 24 = 55.

Ответ: 55.

Почему это правильно? В арифметической прогрессии формула a_n = a_k + (n − k)d работает для любых двух членов. Мы использовали сначала два известных члена, чтобы найти разность, а затем подставили нужный номер.

Частые ошибки:

• делить разность значений на разность номеров неправильно по знаку;
• путать количество шагов: от 9-го до 15-го члена не 15 − 4, а 15 − 9 = 6;
• забывать, что нужно прибавлять разность столько раз, сколько промежутков между членами.

На ОГЭ такие задачи важно решать спокойно и по шагам: сначала разность, потом нужный член. Это помогает не потерять лёгкие баллы из-за вычислительной ошибки.

Это задача на нахождение n-го члена арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа — разности d.

Здесь дано:

• первый член: a₁ = 7;
• разность: d = 4;
• нужно найти: a₁₁.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + (n - 1) · d

Подставим значения:

a₁₁ = 7 + (11 - 1) · 4

a₁₁ = 7 + 10 · 4 = 7 + 40 = 47

Ответ: 47.

Почему именно так? Когда мы ищем 11-й член, между первым и одиннадцатым членами есть 10 шагов, а не 11. Это частая ошибка: многие по невнимательности пишут 7 + 11·4, но это уже было бы значение, как будто мы сделали 11 прибавлений, а на самом деле от первого члена до 11-го — только 10 прибавлений.

Типичные ошибки в ОГЭ:

• забывают вычесть 1 в формуле и берут n · d вместо (n - 1) · d;
• путают первый член и разность;
• считают не от первого члена, а просто умножают номер на разность;
• пропускают скобки и неверно выполняют порядок действий.

Как быстро проверять себя: если разность положительная, члены прогрессии должны увеличиваться. Здесь ряд будет начинаться так: 7, 11, 15, 19, ... Значит 11-й член действительно должен быть заметно больше первого. Число 47 этому соответствует.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a_k + (n - k)d.

Здесь известен второй член: a₂ = 7, разность d = -3, нужно найти a₅. От второго до пятого члена — 5 - 2 = 3 шага, значит надо 3 раза прибавить разность:

a₅ = a₂ + 3d = 7 + 3·(-3) = 7 - 9 = -2.

Ответ: -2.

Как можно ошибиться в таких заданиях:

• забыть, что разность отрицательная, и вместо вычитания начать прибавлять;
• взять не количество шагов между членами, а сам номер члена;
• посчитать только один шаг, хотя между a₂ и a₅ их три.

Проверка рассуждения помогает не потерять лёгкие баллы на ОГЭ: сначала найдите, на сколько позиций нужно сдвинуться по прогрессии, потом умножьте разность на это число и только затем выполните вычисления.

Здесь описано равномерное изменение: каждые одинаковые промежутки времени количество коробок увеличивается на одно и то же число. Это и есть ситуация, которую удобно решать как арифметическую прогрессию.

Шаг 1. Определим, сколько раз произойдёт изменение.
За 12 часов проходит по 3 часа за один шаг. Значит, количество шагов равно:

12 : 3 = 4.

То есть увеличение на 5 коробок произойдёт 4 раза.

Шаг 2. Найдём общий прирост.
За один шаг прибавляется 5 коробок, значит за 4 шага прибавится:

5 × 4 = 20.

Шаг 3. Прибавим к начальному значению.
В начале было 48 коробок, поэтому через 12 часов будет:

48 + 20 = 68.

Ответ: 68.

Как это связано с арифметической прогрессией?
Если записывать число коробок после каждого шага, то получаем последовательность, где каждый следующий член больше предыдущего на 5. Это и есть арифметическая прогрессия. Для таких задач можно использовать формулу:

a_n = a₀ + n·d,

где a₀ — начальное значение, d — изменение за один шаг, n — число шагов.

Здесь a₀ = 48, d = 5, n = 4, поэтому:

48 + 4·5 = 68.

Частая ошибка — взять число 12 за количество шагов. Но 12 — это количество часов, а шаги здесь по 3 часа. Сначала нужно найти именно число изменений: 12 : 3 = 4.

Ещё одна типичная ошибка — забыть прибавить начальное значение и посчитать только добавку. Всегда помните: сначала было 48, потом к этому прибавлялись изменения.

В ОГЭ такие задачи решаются быстро, если действовать по алгоритму: найти число шагов → умножить на изменение за шаг → прибавить к начальному значению.

Здесь не нужно находить разность прогрессии. Важно вспомнить основное свойство арифметической прогрессии: если два члена расположены на одинаковом расстоянии от одного и того же члена, то их сумма равна удвоенному среднему члену.

В задаче члены a₅ и a₉ симметричны относительно a₇: индекс 7 находится ровно посередине между 5 и 9. Значит, можно сразу записать:

a₅ + a₉ = 2a₇.

Подставляем известное значение:

a₅ + a₉ = 2 · 18 = 36.

Ответ: 36.

Типичная ошибка на ОГЭ — пытаться сначала находить все члены прогрессии через разность. Это дольше и повышает риск вычислительной ошибки. Если в условии даны симметричные номера, сразу используйте формулу a_k-d + a_k+d = 2a_k. Это быстрый и надёжный способ получить балл.

Здесь не нужно находить разность прогрессии. Достаточно вспомнить главное свойство арифметической прогрессии: если два члена расположены симметрично относительно одного и того же номера, то их сумма равна удвоенному среднему члену.

Рассмотрим пары:

• a₁₀ и a₁₄ — они находятся на одинаковом расстоянии от номера 12;
• a₁₁ и a₁₃ — тоже симметричная пара;
• средний член a₁₂ стоит отдельно.

Тогда:

a₁₀ + a₁₄ = 2a₁₂ = 14,

a₁₁ + a₁₃ = 2a₁₂ = 14.

Теперь складываем всё выражение:

a₁₀ + a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ = 14 + 14 + 7 = 35.

Итак, правильный ответ: 35.

Как удобно решать такие задания на ОГЭ:

1. сначала найди номер, относительно которого дана симметрия;
2. разбей члены на пары, равноудалённые от этого номера;
3. каждую пару замени суммой, равной удвоенному среднему члену;
4. не забывай про центральный член, если он есть.

Частая ошибка — пытаться вычислять разность прогрессии, хотя это не требуется. Ещё одна ошибка — забыть, что симметричные пары дают одинаковую сумму, а не просто одинаковые члены.

Здесь используется одно из самых важных свойств арифметической прогрессии: центральный член равен среднему арифметическому двух соседних симметричных членов.

Если известны члены с номерами k−1 и k+1, то искомый член a_k находится по формуле:

a_k = (a_k−1 + a_k+1) / 2.

По условию сумма этих двух членов равна 26, значит:

a_k = 26 / 2 = 13.

Ответ: 13.

Почему это верно? В арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Поэтому члены, стоящие на одинаковом расстоянии слева и справа от одного и того же элемента, «симметричны» относительно него, а сам средний элемент получается как половина их суммы.

Частая ошибка — пытаться искать разность прогрессии или подставлять какие-то лишние формулы. В таких задачах это не нужно: если даны два симметричных члена, достаточно просто разделить их сумму на 2.

На ОГЭ такие задания удобны тем, что решаются быстро, если сразу узнать свойство среднего члена арифметической прогрессии.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + (n - 1)d,

где a₁ — первый член, d — разность прогрессии.

В задаче дано: a₁ = 7, a₆ = 22. Подставим эти значения в формулу:

22 = 7 + (6 - 1)d.

Сначала вычисляем 6 - 1 = 5, получаем:

22 = 7 + 5d.

Теперь перенесём 7 в левую часть:

22 - 7 = 5d,

15 = 5d.

Делим обе части на 5:

d = 3.

Ответ: 3.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте формулу a_n = a₁ + (n - 1)d с другими формулами;
• всегда внимательно считайте именно n - 1, а не n;
• проверяйте знак разности: если члены прогрессии растут, то d положительная, если убывают — отрицательная;
• после нахождения d полезно мысленно проверить: от 7 до 22 за 5 шагов разность действительно равна 3, потому что 7 + 5·3 = 22.

Такие задания относятся к базовым, и их важно решать быстро и без лишних вычислений: достаточно правильно подставить числа в формулу и аккуратно решить простое уравнение.