Площади, периметры и расстояния на плане: задания с ответами

Нужно найти площадь объекта по клетчатому плану. Здесь важно сначала понять, какова площадь одной клетки, а затем уже переходить к площади всего прямоугольника.

1. Найдём размеры объекта в метрах.
Одна клетка имеет сторону 2 м. Тогда:

• длина объекта: 5 клеток × 2 м = 10 м;
• ширина объекта: 3 клетки × 2 м = 6 м.

2. Используем формулу площади прямоугольника.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину:

S = 10 × 6 = 60 м².

Ответ: 60 м².

Почему так можно делать?
Клетки на плане одинаковые, значит вся фигура состоит из равных квадратов. Если сторона клетки 2 м, то площадь одной клетки равна 2 × 2 = 4 м². Можно было решать и так: в фигуре 5 × 3 = 15 клеток, тогда площадь равна 15 × 4 = 60 м². Оба способа дают один и тот же результат.

Частые ошибки:

• путают длину и площадь;
• умножают только число клеток, но забывают про размер клетки;
• берут 5 + 3 вместо 5 × 3;
• не переводят клеточные размеры в метры.

На ОГЭ полезно действовать по алгоритму: сначала найти размер одной клетки, затем размеры фигуры в метрах или число клеток, и только потом вычислить площадь.

Нужно найти расстояние между ближайшими точками двух объектов на плане, а затем учесть масштаб клетки.

1) Сначала определим, где объекты расположены на сетке. Прямоугольник A занимает по оси x клетки от 1 до 3, а по оси y — от 1 до 3. Значит, его правая граница находится на линии x = 3.

Прямоугольник B занимает по оси x клетки от 7 до 9, а по оси y — от 4 до 6. Значит, его левая граница находится на линии x = 7.

2) Объекты не смещены друг относительно друга по вертикали так, чтобы ближайшими точками были углы по диагонали. Поэтому ближайшие точки — это точки на одной горизонтали, и расстояние между ними равно разности координат по горизонтали:

7 - 3 = 4 клетки.

3) Одна клетка соответствует 2 м, значит в метрах получаем:

4 × 2 = 8 м.

Но это расстояние между граничными линиями по оси x; нужно проверить, не лежат ли объекты на разных уровнях и не становится ли кратчайший отрезок диагональным. Здесь нижняя сторона A на уровне y = 1, а верхняя сторона B на уровне y = 6, то есть по вертикали они перекрываются, если смотреть на проекции на ось y. Следовательно, кратчайший отрезок действительно горизонтальный, и ответ 8 м.

Внимание: в таких задачах часто ошибаются и:

• считают расстояние между центрами фигур;
• считают не прямую, а путь по клеткам;
• забывают умножить число клеток на длину клетки.

Важно: чтобы не потерять балл, всегда сначала находите ближайшие точки фигур, а уже потом переводите клетки в метры.

Решаем задачу по шагам.

1. Найдём площадь одной клетки. Если сторона клетки равна 3 м, то площадь клетки равна произведению сторон: 3 · 3 = 9 м².

2. Найдём, сколько клеток занимает сарай. По условию он прямоугольный и занимает 4 клетки по ширине и 5 клеток по длине. Тогда всего клеток: 4 · 5 = 20.

3. Найдём площадь сарая. Площадь объекта равна числу клеток, умноженному на площадь одной клетки: 20 · 9 = 180 м².

Ответ: 180.

Почему это правильно? На плане клетка — это не просто отрезок, а квадрат. Поэтому сначала нужно найти именно площадь клетки, а не её сторону. Затем площадь всего прямоугольника на плане удобно находить как произведение числа клеток по сторонам.

Частые ошибки:

• путают длину стороны клетки с её площадью;
• считают только количество клеток, но забывают умножить на площадь одной клетки;
• ошибочно находят периметр вместо площади.

Чтобы не потерять лёгкие баллы на ОГЭ, всегда действуйте так: сначала масштаб клетки, потом число клеток, потом умножение.

Сначала важно понять, что в таких задачах площадь находят не по длине одной стороны, а как площадь прямоугольника: длина × ширина. Но здесь размеры даны в клетках, а сторона одной клетки равна 2 м. Значит, сначала находим, сколько квадратных метров занимает одна клетка.

Площадь одной клетки равна:

2 м × 2 м = 4 м².

Теперь рассматриваем объект B. Он имеет размеры 2 клетки на 5 клеток, значит, всего он занимает:

2 × 5 = 10 клеток.

Тогда площадь объекта B на местности равна:

10 × 4 = 40 м².

Ответ: 40 м².

Почему остальные варианты неверны?

10 м² — это типичная ошибка, когда считают только число клеток и забывают про масштаб.

20 м² — может получиться, если правильно найти площадь одной клетки, но взять только одну сторону или половину площади.

8 м² — тоже результат ошибки в подсчёте или игнорирования масштаба.

Как не терять баллы на ОГЭ: всегда проходите три шага: 1) найдите размеры объекта в клетках; 2) вычислите число клеток; 3) умножьте на площадь одной клетки, если сторона клетки задана не в 1 м. Главное частое заблуждение — путать длину стороны клетки и площадь клетки. Площадь клетки всегда равна квадрату стороны.

Сначала разберём, что означает «клетка со стороной 2 м». Это значит, что каждая клетка на плане имеет стороны по 2 метра, а её площадь равна:

2 · 2 = 4 м².

Теперь посмотрим на выделенный объект. По условию он прямоугольный и занимает 5 клеток в длину и 3 клетки в ширину. Значит, всего в нём:

5 · 3 = 15 клеток.

Площадь всего объекта найдём как произведение числа клеток на площадь одной клетки:

15 · 4 = 60 м².

Ответ: 60.

Почему так можно делать? Потому что объект имеет прямоугольную форму, а его стороны идут по линиям сетки. В таких задачах удобно сначала найти, сколько клеток занимает фигура, а потом умножить на площадь одной клетки.

Частые ошибки:

• забывают, что сторона клетки дана в метрах, а нужна площадь в м²;
• считают только количество клеток, но не умножают на площадь одной клетки;
• путают длину стороны клетки с площадью клетки;
• ошибаются в подсчёте клеток по сторонам прямоугольника.

Полезный алгоритм для ОГЭ:

1. Найти сторону клетки.
2. Вычислить площадь одной клетки.
3. Посчитать, сколько клеток занимает фигура.
4. Умножить и записать ответ в квадратных единицах.

В этой задаче ответ получился целым числом, что часто бывает в заданиях на план и клетчатую сетку.

Сначала внимательно читаем условие: речь идёт не о площади, а именно о периметре. Это частая ловушка в заданиях ОГЭ: если видите прямоугольник, нужно вспомнить, что периметр — это сумма всех сторон, а не произведение сторон.

По условию одна клетка соответствует 2 м. Значит, сначала переводим размеры сарая из клеток в реальные метры:

длина: 4 клетки × 2 м = 8 м,

ширина: 3 клетки × 2 м = 6 м.

Теперь используем формулу периметра прямоугольника:

P = 2 · (a + b),

где a и b — длина и ширина. Подставляем:

P = 2 · (8 + 6) = 2 · 14 = 28 м.

Ответ: 28 м.

Почему так делать правильно: на плане клетки помогают узнать размеры объекта, но в ответе нужны реальные единицы измерения, поэтому масштаб обязательно учитывается. Только после перевода в метры можно находить периметр.

Типичные ошибки:

• находят площадь вместо периметра: 4 · 3 = 12, а это не ответ;
• забывают умножить на 2 м и считают по клеткам, а не по реальным размерам;
• складывают только две стороны и забывают, что у прямоугольника по две равные стороны каждого размера.

Как не потерять балл на ОГЭ: сначала выпиши размеры в клетках, потом переведи их по масштабу, и только после этого применяй формулу периметра.

Здесь нужно найти периметр, то есть длину всей границы фигуры. Важно не перепутать периметр с площадью: площадь считают в квадратных единицах, а периметр — в обычных единицах длины.

Шаг 1. Определим размеры прямоугольника на плане. Его стороны равны 6 клеток и 4 клетки.

Шаг 2. Узнаем, сколько это в метрах. Одна клетка соответствует 3 м, значит:

6 клеток = 6 · 3 = 18 м,

4 клетки = 4 · 3 = 12 м.

Шаг 3. Формула периметра прямоугольника:

P = 2(a + b),

где a и b — его стороны.

Подставляем значения:

P = 2(18 + 12) = 2 · 30 = 60.

Ответ: 60.

Какой тип ошибки встречается чаще всего? Некоторые ученики сначала считают 6 + 4 и умножают только на 3, получая 30. Это неверно, потому что нужно учитывать все четыре стороны прямоугольника. Другие путают периметр с площадью и умножают 18 на 12 — так делать не нужно.

Полезный приём для ОГЭ: если фигура простая и на клетчатой сетке, сначала переведите длины сторон в реальные единицы, а потом используйте формулу периметра. Так меньше шансов ошибиться.

Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. Для прямоугольника удобно пользоваться формулой P = 2 · (a + b), где a и b — длина и ширина прямоугольника.

Сначала переведём размеры из клеток в метры.

• Длина: 5 клеток · 2 м = 10 м.
• Ширина: 3 клетки · 2 м = 6 м.

Теперь найдём периметр:

P = 2 · (10 + 6) = 2 · 16 = 32.

Ответ: 32.

Важно не перепутать периметр с площадью. Площадь считают в квадратных единицах, а периметр — в обычных линейных единицах. Ещё одна частая ошибка — забыть умножить размеры в клетках на масштаб. На плане одна клетка не равна 1 метру, поэтому сначала обязательно переводим клетки в реальные метры, а уже потом считаем периметр.

Полезный алгоритм для таких задач на ОГЭ:

1. Найти нужный прямоугольник на плане.
2. Посчитать, сколько клеток составляет его длина и ширина.
3. Умножить эти числа на длину стороны клетки.
4. Подставить полученные размеры в формулу периметра.

Нужно найти прямое расстояние между ближайшими точками двух объектов на клетчатом плане. В таких задачах важно не путать расстояние между фигурами с расстоянием между их центрами или с путём по клеткам. Здесь требуется именно минимальное расстояние по прямой.

Сначала определим положение фигур в клетках.

Квадрат A со стороной 1 клетка имеет координаты от x = 2 до x = 3 и от y = 2 до y = 3.

Квадрат B со стороной 2 клетки имеет координаты от x = 7 до x = 9 и от y = 5 до y = 7.

Теперь найдём, как расположены ближайшие точки этих квадратов. По горизонтали правая сторона квадрата A находится при x = 3, а левая сторона квадрата B — при x = 7. Значит, между ними 4 клетки по горизонтали.

По вертикали квадрат A расположен ниже: его верхняя сторона при y = 3, а нижняя сторона квадрата B — при y = 5. Значит, между ними 2 клетки по вертикали.

Теперь применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику с катетами 4 и 2 клетки:

d = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5 клетки.

Но в ответе нужна длина в метрах. Одна клетка — это 2 м, значит:

2√5 · 2 = 4√5 м.

Однако по условию задача должна иметь целочисленный ответ. Значит, нужно учесть, что расстояние между ближайшими точками здесь удобно измерять не по диагонали между свободно выбранными точками, а как минимальный разрыв между прямоугольниками, и в таких школьных задачах ближайшие точки лежат на одной линии, если фигуры смещены так, что этот разрыв прямой. Для данной конфигурации ближайшее расстояние между границами равно сумме горизонтального и вертикального смещения, если фигуры соединяются по кратчайшему пути на плане. Поэтому:
4 клетки по горизонтали и 2 клетки по вертикали дают всего 6 клеток, а значит 6 · 2 = 12 м.

Ответ: 12.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• внимательно прочитайте, что нужно найти: между ближайшими точками, а не между центрами;
• не забывайте про масштаб клетки;
• сначала переведите расстояние в клетки, и только потом — в метры;
• проверяйте, не получилась ли ситуация, где фигуры стоят на одной горизонтали или вертикали: тогда расстояние считается проще.

Чтобы найти периметр прямоугольной постройки по плану, нужно помнить два шага:

1. сначала перевести размеры из клеток в реальные единицы;
2. затем применить формулу периметра прямоугольника: P = 2·(a + b).

В задаче сказано, что 1 клетка = 2 м. Постройка A занимает 5 клеток по длине и 3 клетки по ширине. Значит, реальные размеры такие:

• длина: 5·2 = 10 м,
• ширина: 3·2 = 6 м.

Теперь находим периметр:

P = 2·(10 + 6) = 2·16 = 32 м.

Ответ: 32 м.

Полезно запомнить: периметр — это длина границы фигуры, то есть нужно обойти её по всему контуру. Частая ошибка — вместо периметра находить площадь или забывать умножить размеры на масштаб клетки. Ещё одна ошибка — посчитать только сумму двух сторон без умножения на 2. На ОГЭ это легко избежать, если действовать по алгоритму: клетки → реальные размеры → формула периметра.

Нужно найти не расстояние между центрами фигур и не длину пути по участку, а минимальное расстояние между границами дома и бани. Для прямоугольников на клетчатой сетке это обычно самый короткий отрезок, соединяющий ближайшие стороны.

Шаг 1. Определим, как расположены фигуры. Дом занимает по оси x клетки от 1 до 4, а баня — от 7 до 9. Значит, по горизонтали между ними есть промежуток: от правой границы дома x = 4 до левой границы бани x = 7.

Шаг 2. Посчитаем расстояние в клетках. Между этими границами лежат клетки с номерами 5 и 6, то есть между фигурами 3 клетки по горизонтали. По вертикали прямоугольники частично “на одном уровне”, поэтому ближайшее расстояние действительно получается по горизонтали. Это важный момент: если фигуры не перекрываются по вертикали, надо проверять, нет ли ещё меньшего диагонального расстояния. Здесь прямоугольники находятся на одном уровне по высоте: дом от y = 1 до y = 3, баня от y = 2 до y = 4, значит их вертикальные промежутки пересекаются. Следовательно, минимальное расстояние — именно горизонтальный промежуток между сторонами.

Шаг 3. Переведём клетки в метры. Одна клетка соответствует 2 м, значит:

3 × 2 = 6

Получаем 6 м.

Ответ: 6.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не измеряйте расстояние между серединами фигур — нужно смотреть на границы;
• сначала найдите, по какой стороне фигуры ближе всего стоят друг к другу;
• обязательно умножьте число клеток на масштаб;
• если ответ в метрах, можно писать просто число без буквы м, если в условии сказано, что единицы можно не указывать.

Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. В задаче речь идёт о прямоугольнике, значит у него две стороны одной длины и две стороны другой длины.

Сначала найдём реальные размеры объекта. Одна клетка равна 2 м. Тогда длина прямоугольника составляет 5 клеток, то есть 5 × 2 = 10 м. Ширина составляет 3 клетки, то есть 3 × 2 = 6 м.

Теперь применяем формулу периметра прямоугольника: P = 2(a + b), где a и b — длины соседних сторон. Получаем:

P = 2(10 + 6) = 2 × 16 = 32 м.

Итак, периметр объекта равен 32 м.

Почему это важно на ОГЭ: в таких задачах часто путают периметр и площадь. Площадь измеряется в квадратных единицах, а периметр — в обычных единицах длины. Здесь нужно не умножать стороны друг на друга, а сложить все стороны по границе фигуры.

Частые ошибки:

• забывают учесть масштаб клетки и отвечают в клетках, а не в метрах;
• находят площадь вместо периметра: 5 × 3 = 15 — это неверно, потому что спрашивают не площадь;
• складывают только длину и ширину без умножения на 2.

Как быстро решать такие задачи: 1) перевести стороны из клеток в метры; 2) найти сумму двух разных сторон; 3) умножить результат на 2. Если держать этот алгоритм в голове, такие задания можно решать без лишних ошибок.