Площадь трапеции: задания с ответами

Используем формулу площади трапеции:

S = (a + b) · h / 2,

где a и b — основания трапеции, h — высота, S — площадь.

В задаче даны: S = 54, h = 6, одно основание равно 9 см. Обозначим второе основание через x.

Подставим данные в формулу:

54 = (9 + x) · 6 / 2.

Сначала упростим дробь 6 / 2 = 3:

54 = 3(9 + x).

Теперь разделим обе части на 3:

18 = 9 + x.

Вычтем 9:

x = 9.

Ответ: 9.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не забывайте, что в формуле площади трапеции есть деление на 2;
• высота — это перпендикуляр между основаниями, а не боковая сторона;
• если известна площадь, одно основание и высота, то сначала удобно подставить числа в формулу, а потом уже выражать неизвестное основание;
• проверяйте ответ: подставим 9 и 9 в формулу — получаем S = (9 + 9) · 6 / 2 = 54, значит, решение верное.

Такие задачи в ОГЭ решаются быстро, если аккуратно записать формулу и не перепутать действия с дробью.

Решим задачу по шагам. В равнобедренной трапеции, если опустить высоты из концов меньшего основания на большее, то трапеция разобьётся на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Это ключевая идея таких задач.

1) Найдём разность оснований:

18 - 10 = 8.

Так как трапеция равнобедренная, эта разность делится поровну между двумя боковыми треугольниками. Значит, на каждый треугольник приходится

8 : 2 = 4.

2) Теперь рассмотрим один из прямоугольных треугольников. В нём:

— гипотенуза равна боковой стороне трапеции, то есть 5;
— один катет равен 4;
— второй катет — это высота трапеции h.

Применим теорему Пифагора:

h² + 4² = 5².

h² + 16 = 25, значит

h² = 9, откуда h = 3.

3) Теперь используем формулу площади трапеции:

S = (a + b) / 2 · h, где a и b — основания.

Подставляем:

S = (18 + 10) / 2 · 3 = 28 / 2 · 3 = 14 · 3 = 42.

Ответ: 42.

Важно не допустить типичную ошибку: нельзя брать всю разность оснований 8 как катет треугольника. Катет равен только половине разности, то есть 4. Ещё одна частая ошибка — подставить в формулу площади боковую сторону вместо высоты. Сначала обязательно находят высоту по теореме Пифагора, и только потом считают площадь.

Используем формулу площади трапеции:

S = (a + b) · h / 2,

где a и b — основания трапеции, h — высота.

По условию нам известны:

• одно основание: 8 см,
• высота: 6 см,
• площадь: 66 см².

Нужно найти второе основание. Обозначим его x.

Подставим данные в формулу:

66 = (8 + x) · 6 / 2.

Сначала упростим дробь 6 / 2 = 3:

66 = 3(8 + x).

Теперь разделим обе части на 3:

22 = 8 + x.

Вычтем 8:

x = 14.

Ответ: 14 см.

Почему это важно для ОГЭ: в задачах на площадь трапеции часто нужно не просто подставить числа, а аккуратно выразить неизвестную величину. Главное — не перепутать высоту с боковой стороной. В прямоугольной трапеции высота совпадает с перпендикулярной боковой стороной, но в условии её всё равно нужно брать именно как расстояние между основаниями.

Частые ошибки:

• забывают делить на 2 в формуле площади;
• подставляют вместо высоты наклонную боковую сторону;
• не раскрывают скобки или неправильно переносят числа при решении уравнения.

Полезный алгоритм на экзамене: 1) записать формулу, 2) подставить известные данные, 3) выразить неизвестное основание, 4) проверить, что ответ положительный и разумный по условию.

Сначала найдём высоту трапеции. Для площади трапеции используется формула

S = (a + b) / 2 · h,

где a и b — основания, а h — высота.

Подставим данные задачи:

40 = (6 + 14) / 2 · h = 20 / 2 · h = 10h.

Отсюда h = 4 см.

Теперь используем свойство прямоугольной трапеции. Одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, значит она равна высоте, то есть 4 см. Вторая боковая сторона — наклонная, и именно она является большей. Чтобы найти её, рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого катеты равны:

• высота трапеции 4 см;
• разность оснований 14 - 6 = 8 см.

Тогда по теореме Пифагора:

c² = 4² + 8² = 16 + 64 = 80.

c = √80 = 4√5 см.

Это и есть большая боковая сторона.

Ответ: 4√5.

Как не ошибиться на ОГЭ:

1) Не забудьте делить сумму оснований на 2 в формуле площади.
2) Не путайте высоту и боковую сторону: в прямоугольной трапеции одна боковая сторона — это именно высота.
3) Для наклонной боковой стороны берите не основания, а разность оснований.
4) Если в ответе получается корень, проверьте, правильно ли применена теорема Пифагора.

Если в трапеции диагонали перпендикулярны, то для её площади можно использовать специальную формулу:

S = (d₁ · d₂) / 2,

где d₁ и d₂ — длины диагоналей.

Это очень удобное свойство: не нужно искать основания и высоту, достаточно знать диагонали и то, что они пересекаются под прямым углом.

Подставим данные:

S = (8 · 12) / 2 = 96 / 2 = 48.

Ответ: 48 см².

Почему именно так? Когда диагонали перпендикулярны, фигура разбивается на четыре прямоугольных треугольника, и их площади в сумме дают половину произведения диагоналей. На ОГЭ это стандартный факт, который часто проверяют в задачах на площадь.

Частые ошибки:

1) Забывают делить на 2 и получают 96 вместо 48.

2) Путают с формулой площади трапеции через основания и высоту. Здесь она не нужна.

3) Складывают диагонали вместо того, чтобы перемножить. Нужно именно произведение.

Чтобы не потерять балл, всегда сначала проверьте условие: если сказано, что диагонали перпендикулярны, сразу вспоминайте формулу S = d₁d₂/2.

Для нахождения площади трапеции по диагоналям и углу между ними используется формула:

S = 1/2 · d₁ · d₂ · sin(φ),

где d₁ и d₂ — диагонали трапеции, а φ — угол между ними.

В задаче даны диагонали 8 см и 10 см, угол между ними 30°. Подставим значения в формулу:

S = 1/2 · 8 · 10 · sin 30°.

Знаем, что sin 30° = 1/2. Тогда

S = 1/2 · 8 · 10 · 1/2 = 20.

Ответ: 20.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не путайте эту формулу с обычной формулой площади трапеции через основания и высоту.
• Обязательно берите синус угла между диагоналями, а не косинус.
• Не забудьте множитель 1/2 в начале формулы.
• Если угол специальный, например 30°, 45° или 60°, сначала вспомните значения синуса — так считать быстрее и проще.

Такие задачи обычно решаются в 2–3 действия: вспомнить формулу, подставить числа и аккуратно вычислить результат. Это хороший способ быстро получить баллы на экзамене.

Сначала используем формулу площади трапеции:

S = (a + b) / 2 · h,

где a и b — основания, h — высота.

Подставим данные задачи:

44 = (14 + 8) / 2 · h = 22 / 2 · h = 11h.

Значит, h = 4 см.

Теперь посмотрим на прямоугольную трапецию. Разность оснований равна

14 − 8 = 6 см.

Если опустить высоту из вершины меньшего основания, получится прямоугольный треугольник, в котором:

• один катет — высота трапеции, то есть 4 см;
• другой катет — разность оснований, то есть 6 см.

Острый угол трапеции находится в этом прямоугольном треугольнике. Для него удобно использовать тангенс:

tan α = противолежащий катет / прилежащий катет = 4 / 6 = 2 / 3.

По таблице или калькулятору получаем:

α ≈ 34°.

Так как нужен острый угол, выбираем именно его. Ответ: 34°.

Почему так решают на ОГЭ: сначала находят высоту через площадь, а потом связывают её с разностью оснований в прямоугольном треугольнике. Это самый типичный путь для таких задач.

Частые ошибки:

• путают формулу площади трапеции и пишут S = (a + b)h без деления на 2;
• берут не разность оснований, а их сумму;
• находят не острый, а прямой или тупой угол;
• забывают, что ответ нужен в градусах.

Совет: если в задаче про трапецию даны основания и площадь, почти всегда первым шагом нужно найти высоту. После этого появляется прямоугольный треугольник, и задача сводится к тригонометрии.

Используем формулу площади трапеции:

S = (a + b) / 2 · h,

где a и b — основания трапеции, h — высота.

По условию:

S = 48, h = 6, одно основание 10 см. Обозначим второе основание через x.

Подставим данные в формулу:

48 = (10 + x) / 2 · 6.

Сначала упростим правую часть: 6 / 2 = 3, значит

48 = 3(10 + x).

Делим обе части на 3:

16 = 10 + x.

Теперь находим x:

x = 16 - 10 = 6.

Ответ: 6 см.

Почему это важно для ОГЭ: в таких задачах чаще всего ошибаются из-за того, что забывают делить сумму оснований на 2. Ещё одна типичная ошибка — перепутать высоту с боковой стороной. Высота всегда перпендикулярна основаниям, именно её и нужно подставлять в формулу.

Как быстро проверять себя: если подставить найденное основание, сумма оснований будет 10 + 6 = 16, половина от неё — 8, и тогда 8 · 6 = 48. Площадь сходится, значит ответ верный.

Используем формулу площади трапеции:

S = (a + b) · h / 2,

где a и b — основания трапеции, h — высота.

По условию нам известны:

• a = 9 см — одно основание,
• h = 6 см — высота,
• S = 60 см² — площадь.

Нужно найти второе основание, обозначим его b.

Подставим данные в формулу:

60 = (9 + b) · 6 / 2.

Сначала упростим дробь 6 / 2 = 3:

60 = 3(9 + b).

Теперь раскроем скобки или сразу разделим обе части на 3:

20 = 9 + b.

Тогда

b = 20 - 9 = 11.

Ответ: 11.

Почему это важно на ОГЭ: в таких задачах часто нужно не просто подставить числа, а аккуратно выразить неизвестное. Если забыть, что площадь трапеции делится на 2, получится неверный ответ. Ещё одна типичная ошибка — перепутать высоту с боковой стороной. В прямоугольной трапеции высота — это перпендикулярная сторона, то есть та, которая образует прямой угол с основаниями.

Как быстро решать такие задачи:

1. Запомнить формулу S = (a + b)h/2.
2. Подставить известные числа.
3. Выразить неизвестное основание.
4. Проверить, что ответ получился положительным и разумным.

В этой задаче второе основание действительно получилось положительным числом, значит вычисления верны.

Используем формулу площади трапеции:

S = (a + b) / 2 · h,

где a и b — основания трапеции, а h — высота.

По условию a = 18, b = 10, S = 84. Подставим в формулу:

84 = (18 + 10) / 2 · h.

Сначала сложим основания:

18 + 10 = 28.

Тогда

84 = 28 / 2 · h = 14h.

Отсюда

h = 84 / 14 = 6.

Теперь важно вспомнить свойство прямоугольной трапеции: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, значит она и есть высота. Другая боковая сторона — наклонная, и именно она обычно является большей.

Найдём разность оснований:

18 - 10 = 8.

Значит, наклонная боковая сторона — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8. Тогда по теореме Пифагора:

c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Но здесь нужно быть внимательным: в прямоугольной трапеции большее боковое ребро — это наклонная сторона, а она не всегда совпадает с гипотенузой треугольника, если вы неверно выбрали стороны при построении. Проверим логику задачи: при основаниях 18 и 10 и высоте 6 горизонтальный сдвиг между верхним и нижним основаниями равен 8, поэтому наклонная боковая сторона действительно образует прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, то есть её длина равна 10.

Ответ: 10.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте формулу площади трапеции: здесь используется сумма оснований, а не разность;
• в прямоугольной трапеции одна боковая сторона — это высота;
• если просят большую боковую сторону, обычно нужно найти наклонную сторону, а не высоту;
• после нахождения высоты полезно проверить, можно ли собрать прямоугольный треугольник и применить теорему Пифагора.

Для нахождения площади трапеции по диагоналям и углу между ними используется формула

S = 1/2 · d₁ · d₂ · sin φ,

где d₁ и d₂ — диагонали, а φ — угол между ними.

Это важная формула ОГЭ: она подходит не только для трапеции, но и для любого выпуклого четырёхугольника. В задачах такого типа не нужно искать высоту или основания — достаточно подставить диагонали и синус угла.

Подставим данные из условия:

S = 1/2 · 8 · 12 · sin 30°.

Из таблицы значений известно, что sin 30° = 1/2. Тогда

S = 1/2 · 8 · 12 · 1/2 = 24.

Ответ: 24 см².

Как не ошибиться на экзамене:

• не перепутайте синус и косинус: в этой формуле нужен именно sin угла между диагоналями;
• не забудьте множитель 1/2;
• угол должен быть именно между диагоналями, а не между сторонами;
• если угол стандартный, сразу вспоминайте значение синуса.

Если в задаче даны удобные числа, сначала найдите значение синуса угла, а потом аккуратно выполните умножение. Так легче избежать арифметических ошибок и быстро получить балл.

Для нахождения угла между диагоналями удобно использовать формулу площади четырёхугольника через диагонали:

S = 1/2 · d₁ · d₂ · sin φ,

где φ — угол между диагоналями.

Подставим данные из условия:

30 = 1/2 · 12 · 10 · sin φ.

Сначала перемножим диагонали: 12 · 10 = 120, затем учтём половину:

30 = 60 · sin φ.

Теперь выразим синус:

sin φ = 30 / 60 = 1/2.

Мы ищем острый угол между диагоналями. Если sin φ = 1/2, то острый угол равен 30°.

Ответ: 30°.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте эту формулу с формулой площади трапеции через основания и высоту;
• не забывайте про множитель 1/2 в формуле;
• после нахождения синуса выбирайте именно острый угол, если это сказано в условии;
• проверяйте, что значение синуса не больше 1 — иначе где-то допущена ошибка в вычислениях.