Площадь прямоугольника, квадрата, параллелограмма: задания с ответами

Используем главную формулу площади параллелограмма:

S = a · h,

где a — основание, а h — высота, опущенная на это основание.

Сначала найдём площадь параллелограмма через сторону 12 см и соответствующую ей высоту 7 см:

S = 12 · 7 = 84 см².

Теперь та же самая площадь выражается через другую сторону 14 см и неизвестную высоту h:

14 · h = 84.

Отсюда находим высоту:

h = 84 : 14 = 6 см.

Ответ: 6 см.

Почему так можно делать? Площадь одного и того же параллелограмма не меняется, какую бы сторону мы ни выбрали за основание. Поэтому выражения 12 · 7 и 14 · h должны быть равны.

Частые ошибки:

• путают, к какой стороне относится данная высота;
• делят 7 на 14 или 12 на 14 вместо того, чтобы сначала найти площадь;
• используют неверную формулу, например складывают стороны;

Чтобы не потерять баллы на ОГЭ, всегда действуйте по одному алгоритму: сначала площадь через известные данные, потом приравнять площади, затем найти неизвестную высоту делением.

Для параллелограмма площадь можно найти по формуле S = a · h, где a — выбранное основание, а h — высота, опущенная на это основание. Важно понимать: если мы меняем основание, то высота тоже меняется, но площадь остаётся той же самой.

Сначала найдём площадь через первую сторону:

S = 12 · 6 = 72 см².

Теперь используем ту же площадь, но уже для другой стороны:

72 = b · 9, где b — искомая сторона.

Тогда

b = 72 : 9 = 8 см.

Ответ: 8 см.

Почему это типично для ОГЭ: в таких задачах часто дают две высоты к разным сторонам. Нужно не путать их и не пытаться складывать или вычитать высоты. Правильный ход всегда один: сначала найти или записать площадь, а затем приравнять два выражения для площади.

Частые ошибки:

• берут высоту 9 см к стороне 12 см — это неверно, потому что высоты относятся к разным сторонам;
• делят 12 на 9 или 9 на 6 — это не даёт сторону параллелограмма;
• забывают, что площадь одна и та же при любом выборе основания.

Если запомнить схему S = a·h и площадь одинакова при разных основаниях, такие задания решаются быстро и без ошибок.

Площадь квадрата находится по формуле S = a², где a — длина стороны квадрата.

В задаче дана сторона: 3\sqrt{2}. Подставим её в формулу:

S = (3\sqrt{2})².

Теперь аккуратно возведём в квадрат каждый множитель:

(3\sqrt{2})² = 3² \cdot (\sqrt{2})² = 9 \cdot 2 = 18.

Значит, площадь квадрата равна 18.

Ответ: 18.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не путайте площадь и периметр. Периметр квадрата равен 4a, а площадь — a².
• Если сторона содержит корень, помните: (\sqrt{2})² = 2.
• Сначала удобно записать формулу, потом подставить число и только после этого считать.

В таких заданиях важно не торопиться: правильная формула — уже половина решения.

Для квадрата важно помнить две формулы:

• диагональ и сторона связаны соотношением d = a\sqrt{2};
• площадь квадрата равна S = a^2.

В задаче дана диагональ d = 10, а требуется найти площадь. Значит, сначала нужно найти сторону квадрата.

Из формулы d = a\sqrt{2} получаем:

a = \dfrac{d}{\sqrt{2}} = \dfrac{10}{\sqrt{2}}.

Теперь найдём площадь:

S = a^2 = \left(\dfrac{10}{\sqrt{2}}\right)^2 = \dfrac{100}{2} = 50.

Ответ: 50.

Почему так можно делать? Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника, у которых катеты равны стороне квадрата. Поэтому здесь применима теорема Пифагора, и получается связь d = a\sqrt{2}.

Частая ошибка — пытаться подставить диагональ сразу в формулу площади S = a^2. Это неверно, потому что в формуле площади нужна сторона, а не диагональ. Сначала обязательно выразите сторону через диагональ.

Полезный приём для ОГЭ: если диагональ квадрата равна d, то площадь можно сразу находить по формуле S = \dfrac{d^2}{2}. В этой задаче получается S = 10^2/2 = 50.

Сначала вспомним две важные формулы для квадрата:

1) площадь квадрата: S = a², где a — сторона;
2) диагональ квадрата: d = a√2.

По условию S = 18 см². Значит, сторону находим из формулы площади:

a = √18 = √(9·2) = 3√2 см.

Теперь подставим это в формулу диагонали:

d = a√2 = 3√2 · √2 = 3·2 = 6 см.

Ответ: 6 см.

Почему так делать правильно? Площадь связана именно со стороной, а диагональ выражается через сторону. Если сразу пытаться искать диагональ из площади, можно легко ошибиться. Частая ошибка на ОГЭ — взять просто корень из площади и остановиться на этом. Но это даёт только сторону квадрата, а не диагональ.

Ещё одна типичная ошибка — забыть множитель √2. В квадрате диагональ всегда больше стороны в √2 раза, потому что диагональ — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и a.

Полезный алгоритм для таких задач:

1. Найти сторону по площади: a = √S.
2. Найти диагональ по формуле: d = a√2.
3. Упростить выражение.

Такой способ помогает быстро и без лишних вычислений получить правильный ответ на экзамене.

Для квадрата все 4 стороны равны, поэтому периметр находится по формуле P = 4a, где a — сторона квадрата.

1) Найдём сторону: a = 36 : 4 = 9 см.

2) Теперь найдём площадь квадрата по формуле S = a².

Подставляем: S = 9² = 81 см².

Ответ: 81 см².

Как не ошибиться на ОГЭ: часто ученики сразу пытаются найти площадь из периметра, не восстановив сторону. Это ошибка: сначала нужно разделить периметр на 4, потому что у квадрата 4 одинаковые стороны. Ещё одна типичная ошибка — перепутать площадь и периметр: периметр измеряется в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах.

Полезный алгоритм для таких задач: периметр → сторона → площадь. Если соблюдать этот порядок, задача решается быстро и без лишних вычислений.

Для решения нужно вспомнить две формулы для квадрата:

1) периметр квадрата: P = 4a, где a — сторона;
2) площадь квадрата: S = a^2.

Сначала находим сторону квадрата. Так как периметр равен 36 см, то

a = 36 : 4 = 9 (см).

Теперь вычисляем площадь:

S = 9^2 = 81 (см²).

Ответ: 81.

Частая ошибка на ОГЭ — сразу делить периметр на 2 или пытаться найти площадь без нахождения стороны. Это неверно: у квадрата все 4 стороны равны, поэтому периметр делится именно на 4. Ещё одна ошибка — забыть, что площадь измеряется в квадратных единицах, то есть в см², м² и т. д.

Полезный алгоритм для таких задач: сначала определить сторону по периметру, потом подставить её в формулу площади. Если действовать по этому плану, легко получить правильный ответ и не потерять баллы на простом задании.

Для квадрата связь между диагональю d и стороной a такая: d = a√2. Это одна из самых важных формул по теме, и в ОГЭ её часто используют в задачах на площадь.

В условии дана диагональ: d = 6√2. Найдём сторону квадрата:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6.

Теперь используем формулу площади квадрата:

S = a² = 6² = 36.

Ответ: 36.

Почему нельзя сразу брать диагональ как сторону? Потому что диагональ квадрата всегда больше стороны. Если подставить диагональ в формулу площади напрямую, получится неверный ответ.

Типичная ошибка: забывают разделить диагональ на √2. Тогда вместо площади получают слишком большое число.

Как быстро решать такие задачи на экзамене:

1. Запомнить формулу d = a√2.
2. Найти сторону: a = d / √2.
3. Возвести сторону в квадрат: S = a².

В этой задаче удобно заметить, что 6√2 / √2 = 6, а значит площадь находится сразу: 6² = 36.

Используем основную формулу площади параллелограмма:

S = a · h_a,

где a — основание, а h_a — высота, опущенная на это основание.

В задаче известны площадь S = 84 и две стороны параллелограмма: 12 и 7. Значит, можно найти две высоты:

h₁ = 84 / 12 = 7,

h₂ = 84 / 7 = 12.

Сравниваем полученные значения: 12 > 7. Следовательно, большая высота равна 12.

Почему так получается? При одной и той же площади чем меньше основание, тем больше высота, потому что произведение должно остаться одинаковым. Это важное наблюдение помогает быстро решать такие задачи на ОГЭ без лишних вычислений.

Частая ошибка: некоторые ученики сразу берут сторону 12 и считают её ответом. Но сторона и высота — это разные величины. Высота находится по формуле площади: h = S / a.

Ответ: 12.

Для квадрата площадь находят по формуле S = a², где a — длина стороны квадрата.

В задаче дана сторона: a = 7 см. Подставляем это значение в формулу:

S = 7² = 49.

Значит, площадь квадрата равна 49 см².

Почему именно так? У квадрата все стороны равны, поэтому площадь можно найти, умножив сторону на саму себя. Это не то же самое, что умножить сторону на 4: 4a — это периметр, а не площадь. Это одна из самых частых ошибок на ОГЭ.

Как проверять себя на экзамене:

• если речь о площади, вспоминаем формулу с квадратом стороны;
• если речь о периметре, тогда действительно нужно умножать на 4;
• единицы измерения площади всегда пишутся в квадратных единицах: см², м² и т. д.

В этой задаче ответ получился целым числом, но в других заданиях сторона может быть выражена корнем или дробью. Тогда нужно так же аккуратно возвести в квадрат и упростить выражение.

Площадь параллелограмма можно находить по формуле S = a \cdot h, где a — выбранная сторона (основание), а h — высота, опущенная именно на эту сторону.

Здесь удобнее сначала найти площадь через сторону 12 см и её высоту 9 см:

S = 12 \cdot 9 = 108 (см²).

Площадь одной и той же фигуры не меняется, если мы выбираем другое основание. Значит, если взять сторону 18 см за основание, то

108 = 18 \cdot h,

где h — искомая высота.

Тогда

h = 108 : 18 = 6 (см).

Ответ: 6 см.

Как действовать на ОГЭ: 1) сначала всегда находите площадь по известной паре «основание–высота»; 2) потом приравнивайте её к выражению с другой стороной; 3) не забывайте, что высота всегда должна быть перпендикулярна выбранному основанию.

Частые ошибки: ученики иногда умножают 12 и 18 или делят 9 на 18. Это неверно, потому что высота не является второй стороной параллелограмма. Нужно именно использовать равенство площадей при разных основаниях.

Ключевая идея здесь очень важная для ОГЭ: площадь параллелограмма можно находить разными способами, но она всегда одна и та же.

Формула площади параллелограмма:

S = a · h_a,

где a — сторона, а h_a — высота, опущенная на эту сторону.

По условию одна сторона равна 12 см, а высота к ней равна 5 см. Тогда площадь параллелограмма:

S = 12 · 5 = 60 см².

Теперь используем ту же площадь, но уже для другой стороны. Пусть она равна x см. Высота к этой стороне равна 8 см, значит:

S = x · 8.

Так как площадь одна и та же, приравниваем:

x · 8 = 60.

Тогда

x = 60 / 8 = 7,5.

Ответ: 7,5 см.

Почему так делать правильно? Если у фигуры разные стороны и высоты, нельзя складывать их или сравнивать отдельно. Высота всегда работает только со своей стороной. Именно поэтому сначала находят площадь по известной паре «сторона — высота», а потом через ту же площадь находят неизвестную сторону.

Частые ошибки:

• путают высоты и берут не ту высоту к стороне;
• пытаются решить задачу через сложение или вычитание;
• забывают, что площадь должна получиться одинаковой при любом выборе основания;
• делят не площадь на высоту, а высоту на площадь.

Как быстро решать такие задачи на экзамене:

1. Записать площадь через известную сторону и её высоту.
2. Найти площадь.
3. Записать ту же площадь через неизвестную сторону и другую высоту.
4. Выразить неизвестную сторону делением.

Этот способ почти всегда самый надёжный в заданиях ОГЭ на площадь параллелограмма.