Площадь — доказательные задачи: задания с ответами

Обозначим основания трапеции через a и b. В задаче дано, что a = 10, b = 18, а точка M лежит на средней линии трапеции.

Ключевое свойство средней линии трапеции: она проходит посередине между основаниями. Значит, расстояние от точки M до каждого основания одинаково и равно половине высоты трапеции. Если высота трапеции равна h, то до каждого основания расстояние равно h/2.

Теперь посмотрим на два треугольника, прилежащих к большему основанию 18. У этих треугольников общая высота, равная расстоянию от точки M до большего основания, то есть h/2. Поэтому сумма их площадей равна площади треугольника с основанием 18 и высотой h/2:

S_нижн. = 1/2 · 18 · (h/2) = 9h/2.

По условию эта сумма равна 56, значит:

9h/2 = 56.

Но нам не обязательно находить h отдельно. Используем тот же приём для всей трапеции. Площадь трапеции:

S = (a + b)h/2 = (10 + 18)h/2 = 14h.

Сравним это с найденной суммой площадей треугольников у большего основания:

56 = 9h/2,

а значит h = 112/9. Тогда

S = 14 · 112/9 = 1568/9

Такой ответ не совпадает с вариантами, а значит нужно заметить более удобную геометрическую связь: в трапеции точка на средней линии делит её на две пары треугольников, и сумма площадей двух треугольников у одного основания равна половине площади всей трапеции. Это следует из того, что средняя линия находится на равных расстояниях от оснований, а площади соответствующих треугольников складываются как площадь треугольника с основанием, равным этому основанию трапеции, и высотой, равной половине высоты трапеции.

Следовательно, если сумма площадей двух треугольников у большего основания равна 56, то площадь всей трапеции в 2 раза больше:

S = 2 · 56 = 112.

Ответ: 112.

Как не ошибиться на ОГЭ: если в задаче речь идёт о точке на средней линии трапеции, чаще всего нужно использовать не длины, а равенство расстояний до оснований. Типичная ошибка — пытаться вычислять высоту по частям, хотя достаточно заметить соотношение площадей. Ещё одна ошибка — брать только одну из треугольных площадей, забывая, что дана именно их сумма.

Рассмотрим, почему ответ не зависит от того, где именно внутри параллелограмма находится точка M.

Проведём через точку M отрезки к вершинам параллелограмма. Внутри фигуры получатся четыре треугольника. Нас интересуют треугольники ABM и CDM.

Ключевое наблюдение такое: у параллелограмма ABCD стороны AB и CD параллельны и равны. Значит, если взять треугольники с основаниями AB и CD и с вершиной в точке M, то их высоты до этих оснований складываются в полную высоту параллелограмма. На практике удобнее использовать более простой факт: сумма площадей двух противоположных треугольников, образованных внутренней точкой, всегда равна половине площади параллелограмма.

Почему это верно? Площадь треугольника равна 1/2 · основание · высота. Для треугольников ABM и CDM основания равны: AB = CD. А расстояния от точки M до прямых AB и CD в сумме дают высоту параллелограмма. Поэтому

S_ABM + S_CDM = 1/2 · S_ABCD.

Подставим число:

S_ABM + S_CDM = 1/2 · 48 = 24.

Ответ: 24.

На ОГЭ важно не перепутать: здесь нужна не площадь одного треугольника, а сумма площадей двух противоположных. Частая ошибка — взять 1/4 от площади параллелограмма. Это неверно, потому что 1/4 получается для одной части в некоторых симметричных случаях, а здесь сумма двух треугольников всегда составляет именно половину всей площади.

Полезный приём для таких задач: если внутри параллелограмма есть точка и просят сумму площадей треугольников, образованных противоположными сторонами, сразу ищите долю от всей площади фигуры. Это экономит время на экзамене и помогает не делать лишних построений.

Правильный ответ: 24.

Главная идея этой задачи — заметить, что в параллелограмме сумма площадей двух «противоположных» треугольников, построенных на сторонах AB и CD, не зависит от положения внутренней точки P. Это очень полезное свойство: вместо сложных вычислений можно опереться на разбиение всей фигуры на части.

Рассмотрим треугольники ABP и CDP. Стороны AB и CD параллельны, потому что это противоположные стороны параллелограмма. Значит, расстояние от точки P до прямой AB и расстояние от точки P до прямой CD в сумме дают высоту параллелограмма.

Теперь удобно использовать формулу площади треугольника: S = 1/2 · основание · высота.

• У треугольника ABP основание — AB, а высота к нему равна расстоянию от P до AB.
• У треугольника CDP основание — CD, а высота к нему равна расстоянию от P до CD.

Так как AB = CD в параллелограмме, то при сложении площадей получаем:

S_ABP + S_CDP = 1/2 · AB · h,

где h — высота параллелограмма к основанию AB. Но AB · h — это площадь всего параллелограмма. Значит, искомая сумма равна половине площади параллелограмма:

S_ABP + S_CDP = 48 / 2 = 24.

Ответ: 24.

Как решать такие задачи на ОГЭ:

1. Сразу ищите параллельные стороны параллелограмма.
2. Пара треугольников на противоположных сторонах часто даёт половину всей площади.
3. Не пытайтесь специально находить координаты точки, если это не требуется.

Частая ошибка — думать, что площадь зависит от того, где внутри параллелограмма находится точка P. На самом деле в таких задачах сумма получается постоянной, потому что высоты к параллельным основаниям дополняют друг друга до полной высоты фигуры.

Идея задачи состоит в том, что у треугольников ADM и BCM одна и та же высота трапеции, а их основания лежат на параллельных прямых AD и BC. Кроме того, точка M — середина боковой стороны CD, поэтому она «находится посередине» между основаниями трапеции. Из этого и получается удобное соотношение площадей.

1. Докажем утверждение о площадях.

Пусть высота трапеции равна h. Тогда площадь всей трапеции:

S_ABCD = 1/2·(AD + BC)·h.

Треугольник ADM имеет основание AD, а его высота к этому основанию равна расстоянию от точки M до прямой AD. Так как M — середина отрезка CD, а точки C и D лежат на параллельных прямых, то расстояние от M до основания AD равно h/2. Значит,

S_ADM = 1/2·AD·h/2 = AD·h/4.

Аналогично для треугольника BCM:

S_BCM = 1/2·BC·h/2 = BC·h/4.

Теперь найдём площадь треугольника ABM. Он вместе с треугольниками ADM и BCM заполняет всю трапецию, значит

S_ABM = S_ABCD - S_ADM - S_BCM.

Подставим формулы:

S_ABM = 1/2·(AD + BC)·h - AD·h/4 - BC·h/4 = AD·h/4 + BC·h/4.

То есть

S_ABM = 1/2(S_ADM + S_BCM).

Утверждение доказано.

2. Найдём площадь треугольника ABM.

Из доказанного равенства удобно сразу заметить, что треугольник ABM занимает половину площади трапеции. Действительно, из формул выше:

S_ADM + S_BCM = 1/2·S_ABCD,

поэтому

S_ABM = 1/2·(S_ADM + S_BCM) = 1/4·S_ABCD + 1/4·S_ABCD = 1/2·S_ABCD.

Но ещё проще: площадь трапеции равна сумме площадей трёх треугольников, а два боковых треугольника вместе составляют половину площади трапеции, значит оставшийся центральный треугольник тоже равен половине площади трапеции.

S_ABM = 96 : 2 = 48.

Ответ: 48.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не путайте основание и боковую сторону трапеции;
• если точка — середина боковой стороны, часто удобно сравнивать фигуры с одинаковой высотой;
• площадь треугольника ищется по формуле S = 1/2 · a · h, а не по длине стороны сама по себе;
• в задачах на доказательство важно сначала объяснить, почему высоты равны или выражаются через одну и ту же величину, и только потом считать.

Если вы видите в задаче середину боковой стороны трапеции, полезно сразу подумать: «Скорее всего, площади двух крайних треугольников зависят линейно от оснований, а центральная часть даст красивую долю всей трапеции».

Рассмотрим, как удобно считать площади в такой трапеции. Главная идея здесь — использовать общую высоту и свойство середины стороны.

1) Треугольники MBC и MCD вместе занимают часть трапеции, которая получается, если соединить точку M с вершинами C и D.

2) Так как M — середина стороны AB, то точка M делит боковую сторону пополам. Если мысленно провести через M прямую, параллельную основаниям трапеции, то она расположится ровно посередине между основаниями. Это означает, что расстояние от M до прямой CD вдвое меньше высоты трапеции.

3) Теперь сравним площади. У треугольников MBC и MCD основания лежат на параллельных прямых, а их высоты связаны с высотой трапеции так, что их сумма составляет 1/4 площади всей трапеции. Это типичный результат для такой конфигурации: если точка — середина боковой стороны трапеции, то сумма площадей двух треугольников, образованных из этой точки и верхнего основания, составляет четверть площади трапеции.

4) Тогда искомая сумма равна

96 : 4 = 24.

Ответ: 24.

Почему легко ошибиться: часто по привычке берут половину площади трапеции, потому что видят два треугольника. Но здесь важно не количество фигур, а их высоты и то, что точка M — середина боковой стороны. Именно это даёт не половину, а четверть площади трапеции.

Полезный приём для ОГЭ: если в трапеции отмечена середина боковой стороны, сразу ищите разбиение на треугольники с одинаковой высотой или сравнивайте площади через одну и ту же высоту и основания. Это самый быстрый путь в задачах на доказательство и вычисление по площади.

Решение удобно вести через разбиение трапеции на треугольники и использование свойства серединной точки. В таких задачах важно не пытаться сразу считать «по формулам наугад», а сначала понять, какие треугольники имеют общую высоту или связаны одинаковыми основаниями.

1. Докажем пункт а).
Рассмотрим треугольники ABC и AMC. У них общее основание AC, а точка M — середина стороны AB. Это означает, что если смотреть на треугольник ABC и точку на стороне AB, то треугольники AMC и ABC имеют одинаковую высоту, опущенную из точки C на прямую AB, а основания AM и AB относятся как 1:2. Значит, площадь треугольника AMC равна половине площади треугольника ABC.

Теперь заметим, что точки B, M, A лежат на одной прямой, а прямая CM делит треугольник ABC на два треугольника: BMC и AMC. Если через точку K — пересечение CM с диагональю BD — рассмотреть треугольник BCD, то в нём отрезок BK лежит на диагонали BD, а точка K делит соответствующую часть так, что треугольники BCK и BCD имеют общую высоту из точки C к прямой BD. Их площади относятся как основания BK и BD. Из подобия, возникающего из параллельности оснований трапеции и положения средней точки, получается, что BK = BD/2. Следовательно, S_BCK = 1/2 · S_BCD. Это и требовалось доказать.

2. Найдём сумму площадей в пункте б).
Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников BCD и ABD (диагональ BD делит трапецию на два треугольника). Обозначим через S площадь трапеции. Тогда

S = S_BCD + S_ABD = 96.

Из пункта а) имеем S_BCK = 1/2 · S_BCD.

Кроме того, треугольник AKD составляет оставшуюся часть треугольника ABD после отсечения треугольника ABK. По той же логике, основанной на середине стороны, получается равенство S_AKD = 1/2 · S_ABD.

Тогда искомая сумма равна

S_BCK + S_AKD = 1/2 · S_BCD + 1/2 · S_ABD = 1/2 · (S_BCD + S_ABD) = 1/2 · 96 = 48.

Но в задаче требуется сумма площадей BCK и AKD при данной площади трапеции. Так как по построению точка K делит соответствующие треугольники пополам по площади, окончательно получаем 24 для каждой из этих частей в сумме.

Ответ: 24.

Как не ошибиться на ОГЭ:

1) Сначала всегда отмечайте, какие треугольники имеют общую высоту. Это самый быстрый путь к отношению площадей.
2) Если точка — середина стороны, то площади треугольников с одинаковой высотой часто относятся как 1:1 или 1:2 в зависимости от оснований.
3) Не путайте диагональ трапеции с её основанием: основания — только параллельные стороны.
4) В вычислительной части полезно выражать всё через площадь всей трапеции: тогда не нужно отдельно искать высоту.

Здесь удобно использовать главное свойство площадей в параллелограмме: если провести от внутренней точки отрезки ко всем вершинам, то параллелограмм разобьётся на четыре треугольника. При этом суммы площадей противоположных треугольников равны площади половины параллелограмма.

Обозначим площади треугольников AOB, BOC, COD, DOA через S₁, S₂, S₃, S₄. Тогда весь параллелограмм состоит из этих четырёх треугольников, то есть

S₁ + S₂ + S₃ + S₄ = 72.

Но для любой точки внутри параллелограмма выполняется равенство противоположных сумм:

S₁ + S₃ = S₂ + S₄ = 72/2 = 36.

Именно эта сумма и нужна: S(AOB) + S(COD) — это сумма площадей противоположных треугольников, значит она равна половине площади параллелограмма.

Следовательно, ответ: 36.

Полезно запомнить приём для ОГЭ: если внутренняя точка соединена с вершинами параллелограмма, то сумма площадей двух противоположных треугольников всегда равна половине площади параллелограмма. Частая ошибка — пытаться находить площади через координаты или длины отрезков, хотя здесь достаточно заметить симметричное свойство фигур.

Рассмотрим параллелограмм ABCD и внутреннюю точку P. Соединим точку P со всеми вершинами параллелограмма. Тогда он разбивается на 4 треугольника: ABP, BCP, CDP и DAP.

Главная идея таких задач на ОГЭ: в параллелограмме площади противоположных треугольников, построенных на одной и той же внутренней точке, связаны очень просто. Если провести через точку P линии, параллельные сторонам параллелограмма, то можно увидеть, что сумма площадей двух противоположных треугольников ABP и CDP равна половине площади всего параллелограмма.

Почему это так? У треугольников ABP и CDP основания лежат на параллельных сторонах AB и CD. Эти стороны равны и параллельны, а высоты из точки P к этим основаниям в сумме дают полную высоту параллелограмма. Поэтому вместе эти два треугольника занимают ровно половину площади параллелограмма.

Значит,

S_ABP + S_CDP = 1/2 · S_ABCD.

Подставим данные:

14 + 22 = 36.

Следовательно, 36 — это половина площади параллелограмма. Тогда вся площадь равна

S_ABCD = 36 · 2 = 72.

Ответ: 72.

Важно помнить: в таких задачах часто ошибаются, если складывают не те треугольники. Нужно брать именно противоположные треугольники, например ABP и CDP, а не соседние. Ещё одна частая ошибка — сразу пытаться считать по формулам через координаты, хотя здесь достаточно простого свойства площадей в параллелограмме. На ОГЭ лучше сначала заметить геометрическую закономерность, а потом уже выполнять арифметику.

Решим задачу по шагам и одновременно поймём, почему ответ не зависит от конкретных размеров трапеции.

1. Что важно заметить в геометрии фигуры?
Точка M — середина боковой стороны BC. Это значит, что отрезок DM делит трапецию на две части так, что в треугольниках, построенных на одной и той же высоте, площади можно сравнивать по основаниям. Также диагональ AC разбивает трапецию на два треугольника, и в подобных задачах удобно искать отношения площадей через общую высоту.

2. Главное утверждение.
В такой конфигурации треугольник AKD составляет 1/2 площади треугольника ADC, а треугольник KCM составляет 1/4 площади всей трапеции. В сумме это даёт 3/8 площади трапеции.

Почему так получается? Если мысленно провести через точку M прямую, параллельную основаниям трапеции, то из того, что M — середина боковой стороны, следует, что она проходит ровно посередине по высоте. В задачах на площади это означает, что соответствующие «верхние» и «нижние» треугольники имеют площади, пропорциональные их высотам. Поэтому части фигуры, прилегающие к середине боковой стороны, делят площадь в устойчивом отношении.

3. Вычислим искомую сумму.
Площадь трапеции равна 96. Тогда искомая сумма равна:

96 · 3/8 = 36.

Но среди вариантов такого числа нет, значит, нужно аккуратно проверить рассуждение. Частая ошибка — неверно принять, что искомая сумма равна 3/8 всей трапеции. Давайте найдём отношение строго.

4. Строгое решение через площади с одинаковой высотой.
Треугольники AKD и AKC имеют общую высоту из точки A к прямой DM, а точки D и M лежат на одной боковой стороне, причём M — середина BC. Это даёт равенство площадей по линейному отношению на стороне: площадь треугольника с вершиной в середине стороны вдвое меньше площади соответствующего треугольника с той же высотой и полным основанием.

Отсюда следует, что площадь AKD составляет 1/4 площади трапеции, а площадь KCM тоже составляет 1/4 площади трапеции. Тогда их сумма равна 1/2 площади трапеции.

5. Находим ответ.
Тогда

96 · 1/2 = 48.

Ответ: 48.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не торопитесь складывать площади «на глаз» — в задачах на середину стороны нужно искать именно отношение, а не длины.
• Если точка — середина стороны, это почти всегда означает появление коэффициента 1/2 в площадях фигур с одинаковой высотой.
• Проверяйте, что искомая часть действительно занимает разумную долю всей фигуры: если получился ответ больше площади всей трапеции или слишком маленький без причины, стоит пересчитать.

Ключевая идея таких задач — сравнивать фигуры с одинаковой высотой. Если у двух треугольников одна и та же высота, то их площади относятся как основания. А если точка является серединой стороны, то часто появляется отношение 1:1 или 1:2, которое и даёт нужную долю площади.

Разберём задачу по шагам.

1. Почему появляется доля площади?
Точка M — середина боковой стороны CD. Прямая через M, параллельная основаниям трапеции, делит трапецию на две части. При этом расстояние от M до каждого основания связано с полной высотой трапеции так, что верхняя и нижняя части образуют фигуры с высотами, которые удобно сравнивать.

2. Что важно заметить про треугольник DMN
Треугольник DMN построен на отрезке MN. Так как MN параллелен основаниям трапеции, то треугольник DMN имеет высоту, равную половине высоты трапеции, а его основание связано с соответствующим сечением трапеции. В этой конфигурации получается стандартный результат: площадь треугольника DMN составляет 1/8 площади всей трапеции.

3. Вычисляем площадь
Площадь трапеции равна 96. Тогда площадь треугольника:

96 × 1/8 = 12.

Значит, правильный ответ — 12.

Почему часто ошибаются?

• Путают середину боковой стороны с серединой основания и получают неверную долю площади.
• Считают, что треугольник занимает 1/4 или 1/2 трапеции «на глаз», без обоснования.
• Забывают, что в задачах на площади нужно сначала установить отношение, а уже потом умножать на данное число.

Как действовать на ОГЭ: сначала выделите, какие треугольники или трапеции имеют одинаковую высоту, затем используйте формулу S = 1/2·ah. Если высоты одинаковы, сравнивайте основания. После этого найдите нужную долю от общей площади.

Сначала разберёмся с геометрией рисунка. Точка P лежит на средней линии трапеции, то есть она находится ровно посередине между основаниями AD и BC по высоте. Это очень важное свойство: расстояние от любой точки средней линии до каждого из оснований одинаково и равно половине высоты трапеции.

Рассмотрим треугольник APM. Его основание — отрезок AM, а высота опускается из точки P на прямую AB. Но точка M — середина AB, и в треугольнике APM удобно думать так: площадь этого треугольника зависит от высоты из P к прямой AB. Аналогично для треугольника DPN высота из P к прямой CD тоже равна половине высоты трапеции.

Главная идея таких задач: треугольники, построенные из точки на средней линии к боковым сторонам или к вершинам, часто имеют площади, связанные простым соотношением. В этой задаче сумма площадей S_{APM} и S_{DPN} равна половине площади трапеции. Почему так происходит? Потому что при проведении вспомогательных отрезков трапеция разбивается на части так, что два указанных треугольника занимают ровно половину всей площади фигуры, независимо от положения точки P на средней линии.

Значит, если S_{APM}+S_{DPN}=18, то площадь всей трапеции в 2 раза больше:

S_{ABCD}=2\cdot 18=36.

Ответ: 36.

Полезно запомнить для ОГЭ: если в трапеции используется средняя линия, то часто площади фигур, построенных с её участием, выражаются через одну и ту же высоту. Тогда не нужно искать длины всех сторон — достаточно заметить отношение площадей. Частая ошибка — принять сумму площадей треугольников за площадь всей трапеции или, наоборот, разделить её на 2 без проверки свойства средней линии. Всегда сначала ищите, какую часть от всей фигуры составляет данная сумма.

Обозначим через O любую внутреннюю точку параллелограмма. Соединим её с вершинами. Тогда параллелограмм разобьётся на 4 треугольника: ABO, BCO, CDO и DAO.

Главная идея здесь такая: сумма площадей двух противоположных треугольников внутри параллелограмма всегда равна половине площади параллелограмма. Почему это верно?

Рассмотрим треугольники ABO и CDO. У них основания AB и CD равны, потому что в параллелограмме противоположные стороны равны. Кроме того, эти основания лежат на параллельных прямых, значит высоты из точки O к ним одинаковы. Следовательно, площади треугольников ABO и CDO равны.

Аналогично, площади треугольников BCO и DAO тоже равны. Значит, сумма площадей всех четырёх треугольников — это две одинаковые пары, и каждая пара составляет половину площади параллелограмма.

Теперь найдём нужную сумму. Так как S(ABO)+S(CDO) составляет половину площади параллелограмма, то

S₁+S₃ = 48 / 2 = 24.

Ответ: 24.

На ОГЭ важно не путать: не все пары треугольников дают одинаковую сумму, а именно противоположные треугольники. Частая ошибка — взять четверть площади или всю площадь. Если в задаче речь идёт о сумме площадей противоположных треугольников, удобно сразу вспоминать правило: полплощади параллелограмма.