Длина дуги и площадь сектора: задания с ответами

Для решения таких задач нужно помнить две основные идеи:

• длина дуги пропорциональна величине центрального угла;
• сумма длин меньшей и большей дуг равна длине всей окружности.

По условию меньшая дуга AB соответствует центральному углу 72° и имеет длину 12 см. Значит, можно найти, какая длина приходится на 1°:

12 : 72 = 1/6 см на один градус.

Тогда длина всей окружности равна:

360 · 1/6 = 60 см.

Теперь найдём большую дугу. Она вместе с меньшей дугой составляет всю окружность:

60 - 12 = 48 см.

Ответ: 48.

Полезно запомнить алгоритм для ОГЭ:

1. определить, какая дуга дана — меньшая или большая;
2. через пропорцию найти длину всей окружности;
3. вычесть известную дугу из полной длины окружности.

Частые ошибки:

• путают градусы и длины дуг и пытаются просто вычесть угол из длины;
• забывают, что полный угол окружности равен 360°;
• находят не ту дугу: если дана меньшая, то большая находится вычитанием из всей окружности.

Если тренироваться по такому плану, можно быстро и без ошибок решать типовые задания на дуги окружности.

Длина дуги и длина всей окружности связаны так же, как центральный угол и полный угол круга. Полный угол равен 360°, а значит, дуга с углом 60° составляет 60/360 = 1/6 всей окружности.

Если 1/6 окружности равна 7,5 см, то вся окружность в 6 раз больше:

7,5 × 6 = 45 см.

Значит, правильный ответ — 45 см.

Как можно решать такие задачи на ОГЭ:

1) Запомнить формулу связи: L = C · α / 360, где L — длина дуги, C — длина окружности, α — центральный угол.

2) Если нужно найти C, то удобно сразу выразить её: C = 360 · L / α.

3) Подставить числа и аккуратно вычислить.

Частые ошибки:

— делят 7,5 на 6 вместо того, чтобы умножить;

— путают угол дуги с дополнительным углом;

— забывают, что полный круг — это именно 360°, а не 180°;

— берут длину дуги как ответ, не пересчитывая её в целую окружность.

В этой задаче полезно заметить, что 60° — это одна шестая часть круга. Такие соотношения часто позволяют решать задачу быстрее, чем через длинные вычисления.

Площадь сектора связана с площадью всего круга через центральный угол. Полный круг соответствует углу 360°, а значит, сектор с углом 72° составляет от круга долю

72/360 = 1/5.

Это очень важная идея для задач ОГЭ: если известна площадь всего круга, то площадь сектора нужно найти как соответствующую часть от всей площади.

Используем формулу:

S_сект = S · α / 360°,

где S — площадь круга, α — центральный угол сектора.

Подставим данные:

S_сект = 180 · 72 / 360.

Сначала удобно сократить дробь:

72/360 = 1/5,

поэтому

S_сект = 180 · 1/5 = 36.

Ответ: 36.

Как не потерять баллы в таких задачах:

• не забывайте, что полный угол круга — это 360°, а не 100° и не 180°;
• не путайте площадь сектора с длиной дуги: формулы похожи по виду, но это разные величины;
• всегда сначала находите долю круга по углу, а потом умножайте на площадь круга;
• если дробь можно сократить, сделайте это — так меньше шанс ошибиться в вычислениях.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) найти отношение угла к 360°, 2) умножить площадь круга на это отношение, 3) проверить, что получилась меньшая площадь, чем у всего круга.

Длина дуги окружности и величина центрального угла связаны прямой пропорциональностью: чем больше угол, тем больше дуга. Вся окружность соответствует полному углу 360°.

Обозначим длину всей окружности через C. Тогда дуга с углом 45° составляет часть окружности:

7,5 = C · 45 / 360.

Теперь найдём C. Удобно сначала заметить, что 45/360 = 1/8, то есть данная дуга составляет одну восьмую окружности. Значит, вся окружность в 8 раз больше дуги:

C = 7,5 · 8 = 60.

Ответ: 60.

Почему это работает? Если угол в 8 раз меньше полного угла, то и дуга в 8 раз меньше всей окружности. Это основной принцип таких задач на ОГЭ.

Частые ошибки:

• путают формулу и делят не на 360, а на 45;
• забывают, что нужно сравнивать именно с полным углом 360°;
• ошибочно считают, что 7,5 — это уже вся окружность;
• пишут ответ с единицами измерения, хотя в таких заданиях обычно нужен только числовой ответ.

Короткий алгоритм для экзамена: 1) запиши полный угол 360°; 2) найди, какую часть окружности составляет данная дуга; 3) умножь длину дуги на обратное число. В этой задаче это 360 / 45 = 8, значит, ответ 7,5 · 8 = 60.

Площадь сектора круга находится как часть площади всего круга. Если центральный угол сектора равен α градусов, то сектор составляет α/360 от всего круга, потому что полный угол вокруг центра равен 360°.

В этой задаче:

S_круга = 144π см², α = 45°.

Используем формулу:

S_{сектора} = S_круга · α / 360.

Подставим числа:

S_{сектора} = 144π · 45 / 360.

Сократим дробь: 45/360 = 1/8. Тогда

S_{сектора} = 144π · 1/8 = 18π см².

Ответ: 18π см².

Почему так делать правильно на ОГЭ: площадь сектора всегда пропорциональна центральному углу. Это важно не путать с длиной дуги: там тоже используется отношение к 360°, но в задаче про площадь нужно именно умножать площадь круга на долю угла.

Частые ошибки:

• делят на 180 вместо 360;
• находят не площадь, а длину дуги;
• забывают, что ответ может содержать π;
• путают сектор с сегментом.

Проверка здравым смыслом: угол 45° — это 1/8 круга, значит и площадь сектора должна быть 1/8 от 144π, то есть 18π. Это совпадает с вычислением.

Площадь сектора находится как часть площади всего круга. Если центральный угол сектора равен 72°, то сектор составляет такую долю круга:

72° / 360° = 1/5.

Значит, площадь сектора равна 1/5 от площади круга:

180 · 1/5 = 36 см².

Ответ: 36 см².

Как удобно решать такие задачи на ОГЭ:

1. Сначала найдите, какую долю от полного круга составляет данный угол.
2. Полный круг — это 360°, поэтому всегда делим угол на 360.
3. Потом умножаем площадь круга на найденную долю.

Частые ошибки:

• делить на 180 вместо 360;
• путать площадь сектора с длиной дуги;
• забывать, что угол нужно сравнивать именно с полным углом круга.

Полезная проверка: если угол меньше 360°, то площадь сектора должна быть меньше площади всего круга. Здесь 36 меньше 180, значит ответ выглядит разумно.

Идея задачи основана на том, что длина дуги прямо пропорциональна центральному углу. Если вся окружность соответствует углу 360°, то заданная дуга соответствует углу 72°. Значит, можно составить пропорцию:

15 см / C = 72° / 360°,

где C — длина всей окружности.

Теперь выразим C:

C = 15 · 360 / 72.

Сначала сократим дробь: 360 / 72 = 5. Тогда

C = 15 · 5 = 75 см.

Ответ: 75 см.

Полезно помнить короткое правило: если известны длина дуги и центральный угол, то длина окружности находится по формуле C = 360 · L / α, где L — длина дуги, а α — центральный угол в градусах.

Частые ошибки:

• делят длину дуги на 360 вместо того, чтобы умножить на 360 и разделить на угол;
• берут не тот угол, например дополнительный, хотя в условии дана именно меньшая дуга;
• забывают, что угол должен быть в градусах, а не в радианах.

Чтобы не потерять балл, всегда проверяйте: дуга — это часть окружности, значит нужно сравнить её угол с полным углом 360°.

Площадь сектора связана с площадью всего круга пропорционально центральному углу. Это одна из самых важных идей в теме: если угол сектора составляет какую-то часть от полного угла, то и площадь сектора составляет ту же часть от площади круга.

Полный угол круга равен 360°. Значит, сектор с углом 120° составляет

120° / 360° = 1/3 круга.

Теперь найдём площадь сектора:

72 · 1/3 = 24.

Ответ: 24 см².

Можно также использовать формулу:

S_сект = S · α / 360°,

где S — площадь круга, α — центральный угол сектора. Подставляем:

S_сект = 72 · 120 / 360 = 24.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• не забывайте, что полный круг — это именно 360°, а не 180°;
• сначала находите долю круга, а уже потом площадь;
• не перепутайте площадь сектора с длиной дуги: здесь спрашивают именно площадь;
• если угол удобный, лучше сократить дробь до вычислений — так меньше шансов ошибиться.

Правильный ответ: 24 см².

Используем главное свойство: длина дуги пропорциональна величине центрального угла. Если вся окружность соответствует 360°, то дуга с углом 72° составляет такую долю окружности:

72° / 360° = 1/5.

Значит, данная дуга — это 1/5 всей окружности. Если длина этой дуги равна 6, то длина всей окружности в 5 раз больше:

6 · 5 = 30.

Ответ: 30.

Как решать такие задачи на ОГЭ:

1. Сначала найдите, какую часть полного круга составляет данный центральный угол.
2. Запишите отношение: длина дуги / длина окружности = угол / 360°.
3. Выразите длину окружности или просто найдите, во сколько раз нужно увеличить длину дуги.

Частые ошибки:

• делят на 180° вместо 360° — это неверно, потому что полный круг равен именно 360°;
• путают длину дуги с длиной окружности и пишут ответ 6;
• находят не долю круга, а сразу пытаются применять формулу через радиус, хотя радиус здесь не дан и он не нужен.

Если в задаче дана дуга и центральный угол, самый удобный способ — работать через пропорцию. Это быстрее и безопаснее на экзамене.

Ключевая идея такая: длины дуг одной и той же окружности относятся так же, как и соответствующие им центральные углы. Если весь круг — это 360°, то меньшая дуга соответствует углу 80°, а большая дуга соответствует углу 360° − 80° = 280°.

Но в этой задаче удобнее сначала найти длину всей окружности. Раз меньшая дуга 16 см соответствует 80°, то вся окружность соответствует в 360° / 80° = 4,5 раза большему углу. Значит, длина всей окружности равна 16 · 4,5 = 72 см.

Теперь находим большую дугу: это вся окружность без меньшей дуги. Получаем 72 − 16 = 56 см.

Ответ: 56 см.

Почему так можно делать? Потому что у одной окружности длина дуги прямо пропорциональна центральному углу: чем больше угол, тем длиннее дуга. Поэтому сначала можно найти всю окружность, а затем вычесть известную дугу.

Частые ошибки:

1) Путают меньшую и большую дугу и сразу записывают 16 см. Но 16 см — это уже данная меньшая дуга, а нужно найти дополнительную, то есть большую.

2) Вычитают углы, а не длины. Угол 280° действительно относится к большой дуге, но ответ в задаче требуется в сантиметрах, поэтому нужно перевести углы в длины.

3) Забывают про 360°. Полная окружность всегда соответствует 360°, и это главный ориентир в таких задачах.

Как решать похожие задачи на ОГЭ: если дана одна дуга и центральный угол, удобно находить сначала всю окружность по пропорции, а потом вторую дугу как разность. Это помогает не терять баллы на простых вычислениях.

Используем основное свойство: длина дуги составляет ту же долю от длины всей окружности, что и центральный угол от 360°.

В задаче дано, что дуга соответствует углу 72°, а её длина равна 6,4 см. Значит, эта дуга — это

72/360 = 1/5 всей окружности.

Тогда вся окружность в 5 раз больше данной дуги:

6,4 · 5 = 32 см.

Ответ: 32.

Почему именно так? Длина дуги и величина угла связаны пропорционально: если угол в 2 раза больше, то и соответствующая дуга в 2 раза длиннее. Поэтому удобно сначала найти, какую часть от полного угла составляет данный центральный угол, а потом увеличить длину дуги до целой окружности.

Частая ошибка на ОГЭ — делить на 180° вместо 360°. Помните: полный угол вокруг центра равен именно 360°. Ещё одна ошибка — пытаться сразу подставлять радиус, хотя он здесь не нужен. В таких задачах быстрее всего работать через пропорцию между дугой и окружностью.

Алгоритм на экзамене такой:

1. Записать отношение: дуга / окружность = угол / 360°.
2. Найти, какую часть окружности составляет дуга.
3. Умножить длину дуги на обратное число.

Это короткий и надёжный способ не потерять лёгкие баллы.

Площадь сектора круга находится как часть площади всего круга, соответствующая данному центральному углу. Здесь важно помнить главное правило: весь круг — это 360°, а площадь сектора пропорциональна углу сектора.

Используем формулу:

S_сект = S · α / 360°,

где S — площадь круга, α — центральный угол сектора.

Подставим данные:

S_сект = 72 · 150 / 360.

Сначала упростим дробь:

150/360 = 5/12, значит

S_сект = 72 · 5/12 = 6 · 5 = 30.

Ответ: 30 см².

Почему так можно делать? Потому что сектор — это часть круга, и если угол занимает, например, половину полного угла, то и площадь сектора составляет половину площади круга. Здесь угол 150° составляет 150/360 = 5/12 от полного круга, значит и площадь сектора — 5/12 от всей площади.

Частые ошибки:

• делят площадь круга на 150 или 360 вместо того, чтобы умножить на долю;
• берут не весь круг как 360°, а 180°;
• путают площадь сектора с длиной дуги — это разные величины;
• не сокращают дробь и теряют время на вычисления.

Полезный алгоритм для ОГЭ: 1) найти долю угла от 360°, 2) умножить площадь круга на эту долю, 3) аккуратно вычислить ответ. Так вы быстро решаете типовые задачи без лишних ошибок.