Прикладные задачи: вероятность и статистика: задания с ответами

Ищем вероятность события «не произойдет» — то есть вероятность противоположного события.

Обозначим событие A: выбранный шар красный. Тогда нам нужно найти вероятность события не A: шар не красный, то есть синий.

Сначала найдем вероятность события A:

P(A) = 7/24, потому что всего шаров 24, а красных — 7.

Теперь используем формулу противоположного события:

P(не A) = 1 − P(A).

Подставляем:

P(не A) = 1 − 7/24 = 24/24 − 7/24 = 17/24.

Значит, вероятность того, что шар не будет красным, равна 17/24.

Почему так делать удобно? Часто вероятность события «не ...» проще находить не напрямую, а через единицу. Это особенно полезно на ОГЭ, когда нужно не перепутать количество благоприятных исходов.

Частые ошибки:

• берут 7/24 вместо ответа, хотя это вероятность того, что шар красный, а не не красный;
• вычитают 7 из 24 и получают 17, но забывают поделить на 24;
• путают событие и противоположное событие.

Полезный алгоритм для экзамена: сначала найди вероятность «обычного» события, затем вычти её из 1. Так меньше шансов ошибиться в подсчётах.

Здесь речь идёт о независимых испытаниях: каждая попытка выполняется отдельно, и результат одной попытки не влияет на другие. Если вероятность успеха в одной попытке равна 0,8, то вероятность успеха во всех трёх попытках находится по правилу умножения:

P = 0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,8³.

Вычислим:

0,8² = 0,64,

0,64 · 0,8 = 0,512.

Значит, вероятность успеха во всех трёх попытках равна 0,512.

Ответ: 0,512.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Если в условии сказано, что испытания независимы и вероятность успеха в каждом одинакова, нужно умножать, а не складывать.
• Для всех испытаний степень равна именно количеству испытаний: здесь 3, значит p³.
• Частая ошибка — перепутать успех и неудачу. Если спрашивают успех, нельзя брать 1 - p.

Такой способ решения удобно запомнить как короткий алгоритм: определить вероятность успеха в одном испытании → проверить независимость → возвести вероятность в степень числа испытаний.

Обозначим событие A — «в первом испытании произошёл нужный исход», а событие B — «во втором испытании произошёл нужный исход».

По условию испытания независимы. Это значит, что результат первого испытания не влияет на результат второго. Для независимых событий вероятность того, что оба события произойдут, находится умножением вероятностей:

\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).\]

В нашей задаче

\[P(A)=\frac12,\qquad P(B)=\frac12.\]

Тогда

\[P(A\cap B)=\frac12\cdot \frac12=\frac14.\]

Ответ: \(\frac14\).

Как не ошибиться на ОГЭ:

• если в условии сказано, что события независимы, почти всегда нужно умножать, а не складывать;
• не путайте вероятность одного испытания с вероятностью двух одновременно;
• проверяйте, что в каждом испытании вероятность нужного исхода действительно равна \(\frac12\) — тогда произведение получается простым.

Типичная ошибка: ответ \(\frac12+\frac12=1\). Сложение здесь неверно, потому что требуется не «хотя бы в одном», а «в обоих испытаниях сразу».

Здесь дана накопленная вероятность: известно, каковы вероятности событий вида X < 12 и X < 7. Нужно найти вероятность того, что случайная величина X попадёт в интервал от 7 до 11 включительно.

Важно заметить, что события

• X < 12 — это все значения 0, 1, 2, ..., 11;
• X < 7 — это все значения 0, 1, 2, ..., 6.

Если из первого события убрать второе, то останутся как раз значения 7, 8, 9, 10, 11, то есть нужный интервал. Поэтому вероятность интервала находится вычитанием:

P(7 ≤ X ≤ 11) = P(X < 12) - P(X < 7).

Подставим числа:

0{,}81 - 0{,}34 = 0{,}47.

Ответ: 0,47.

Почему именно вычитание? Потому что вероятность события X < 12 включает и нужный интервал, и все меньшие значения. Чтобы выделить только часть между 7 и 11, нужно убрать все значения меньше 7.

Типичные ошибки:

• складывать вероятности вместо вычитания;
• перепутать порядок вычитания и получить отрицательное число;
• не учесть, что X < 12 означает значения до 11 включительно, а не до 12.

Как действовать на ОГЭ: если даны две накопленные вероятности для разных порогов, всегда сравните, какие значения входят в большее событие, а какие — в меньшее. Вероятность промежутка обычно находится как разность этих двух вероятностей.

Обозначим событие A: аккумулятор проработает более 500 циклов. Тогда P(A)=0,78.

Обозначим событие B: аккумулятор проработает более 700 циклов. Тогда P(B)=0,41.

Нужно найти вероятность события: более 500, но не более 700 циклов. Это значит, что аккумулятор попал в промежуток между 500 и 700, то есть:

A, но не B.

Так как событие B входит в событие A (если аккумулятор проработал более 700 циклов, то он точно проработал более 500 циклов), то нужная вероятность находится вычитанием:

P(A \setminus B)=P(A)-P(B).

Подставляем числа:

0,78 - 0,41 = 0,37.

Ответ: 0,37.

Как не ошибиться на ОГЭ:

• Не складывайте вероятности — здесь нужно именно вычитание, потому что одно событие является частью другого.
• Сначала определите, какое событие более строгое: «более 700» строже, чем «более 500».
• Проверяйте, что ответ получается между 0 и 1. В нашем случае 0,37 — это разумный результат.

Такие задачи часто решаются одной короткой формулой: вероятность попасть в промежуток = вероятность “слева” − вероятность “правее”, если одно событие вложено в другое.

Нужно найти вероятность события «масса меньше 10 кг». По условию это событие состоит из двух непересекающихся частей:

• масса меньше 8 кг — вероятность 0,27;
• масса от 8 кг до 10 кг — вероятность 0,41.

Так как эти интервалы соседние и не пересекаются, вероятности складывают:

0,27 + 0,41 = 0,68.

Значит, вероятность того, что масса коробки окажется меньше 10 кг, равна 0,68.

Почему так можно делать? В теории вероятностей для несовместимых событий вероятность объединения равна сумме вероятностей. Здесь событие «меньше 10 кг» разбивается на два отдельных интервала, и одна коробка не может одновременно попасть в оба.

Типичная ошибка — взять только один из интервалов или попытаться вычесть из 1. Это не нужно, потому что в задаче уже даны все части искомого события. Ещё одна частая ошибка — забыть, что интервалы не пересекаются, и опасаться сложения. Если события несовместимы, их как раз и надо складывать.

Ответ: 0,68.

Нужно найти вероятность того, что все выбранные объекты обладают заданным свойством. В таких задачах ключевая идея — перемножать вероятности, если события независимы.

Обозначим событие: один карандаш исправен. По условию вероятность этого события равна 0,8. Карандашей три, и их состояния независимы, значит вероятность того, что первый исправен и второй исправен, и третий исправен, равна произведению вероятностей:

0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,512.

Итак, искомая вероятность равна 0,512.

Как рассуждать на ОГЭ:

1. Сначала определите вероятность для одного объекта.
2. Проверьте, сказано ли, что события независимы.
3. Если нужно, чтобы все объекты обладали свойством, перемножьте вероятность одного объекта столько раз, сколько объектов дано.

Частые ошибки:

• Складывают вероятности вместо умножения. Это неверно: для «все одновременно» нужна именно произведение.
• Берут только вероятность одного объекта, забывая про остальные.
• Путают «хотя бы один» и «все». Для «хотя бы один» обычно удобнее считать через противоположное событие, а здесь — прямо перемножать.

Ответ: 0,512.

Обозначим через X число на случайно выбранном жетоне. Тогда:

• P(X < 30) = 0,58 — это вероятность того, что число попадает в числа 1, 2, ..., 29;
• P(X < 20) = 0,38 — это вероятность того, что число попадает в числа 1, 2, ..., 19.

Нужно найти вероятность того, что число находится в интервале от 20 до 29 включительно. Это как раз те значения, которые есть в событии «меньше 30», но не входят в событие «меньше 20».

Значит, искомая вероятность находится вычитанием:

P(20 ≤ X ≤ 29) = P(X < 30) - P(X < 20) = 0,58 - 0,38 = 0,20.

Ответ: 0,20.

Почему так можно делать? Событие «X < 30» содержит все числа от 1 до 29, а событие «X < 20» — только от 1 до 19. Если из первого убрать второе, останутся ровно числа от 20 до 29. Это типичный приём для задач на вероятность попадания в интервал.

Частые ошибки:

• Складывать 0,58 и 0,38 вместо вычитания;
• Перепутать порядок вычитания и получить отрицательное число;
• Забыть, что в интервал входят числа включительно, поэтому нужно брать границы правильно.

Как быстро решать такие задания на ОГЭ: если даны вероятности вида «меньше A» и «меньше B», а нужно найти вероятность попадания между этими порогами, всегда ищите разность больших и меньших кумулятивных вероятностей.

Здесь нужно найти вероятность противоположного события. Если событие A — это «получить удачный билет», то событие, противоположное ему, — «получить неудачный билет». Для противоположных событий всегда верно:

P(A) + P(не A) = 1

По условию вероятность неудачного билета равна 0,18. Значит, вероятность удачного билета равна:

1 - 0,18 = 0,82

Это и есть ответ.

Как запомнить правило для ОГЭ: если дана вероятность плохого исхода, то вероятность хорошего исхода находят вычитанием из 1. Очень важно не складывать числа и не путать событие с противоположным ему.

Частые ошибки:

• пишут 1 + 0,18 вместо 1 - 0,18;
• забывают, что сумма вероятностей противоположных событий равна 1;
• отвечают 0,18, хотя это вероятность плохого исхода, а не хорошего.

Итак, вероятность получить удачный билет равна 0,82.

Обозначим успехом выполнение норматива. Тогда вероятность успеха в одном испытании равна 0,7, а вероятность неудачи равна

1 - 0,7 = 0,3.

Нужно найти вероятность конкретной последовательности: сначала неудача, потом успех. Так как испытания независимы, вероятность всей последовательности равна произведению вероятностей отдельных событий:

P = 0,3 · 0,7 = 0,21.

Ответ: 0,21.

Как решать такие задачи на ОГЭ:

• сначала аккуратно определите, что считается успехом, а что — неудачей;
• если дана вероятность успеха, не забудьте найти вероятность противоположного события: 1 - p;
• для последовательности независимых испытаний перемножайте вероятности шагов;
• не складывайте вероятности — сложение здесь не подходит.

Частые ошибки:

• берут 0,7 вместо 0,3 для первого испытания;
• складывают 0,3 + 0,7 вместо умножения;
• не учитывают порядок событий, хотя в задаче он важен.

Полезная проверка: вероятность любой конкретной последовательности из двух независимых испытаний должна быть меньше 1, и здесь это условие выполняется.

Искомое событие — это попадание длины детали в промежуток меньше 14 мм. По условию нам уже даны вероятности для двух смежных и непересекающихся интервалов:

1) от 10 мм до 12 мм — вероятность 0,28;

2) от 12 мм до 14 мм — вероятность 0,31.

Если длина < 14 мм, то она попадает либо в первый интервал, либо во второй. Эти события не могут произойти одновременно, потому что интервалы не пересекаются. Значит, для такого случая вероятности складываются:

0,28 + 0,31 = 0,59.

Ответ: 0,59.

Как думать на ОГЭ: если нужно найти вероятность для объединения соседних интервалов, сначала проверьте, что интервалы не пересекаются. Тогда вероятность объединения находится сложением вероятностей частей. Это типичная и очень лёгкая задача на балл, если не перепутать сложение с вычитанием.

Частые ошибки:

• прибавляют только одну из вероятностей вместо суммы;
• ошибочно вычитают из 1, хотя здесь нужно найти часть, а не противоположное событие;
• не замечают, что интервалы смежные и поэтому их вероятности нужно сложить.

Здесь нужно сравнить теоретическую вероятность и наблюдаемую частоту события.

1. Находим частоту события. Частота — это отношение числа появлений события к общему числу испытаний:

f = k / n = 43 / 500 = 0,086.

Это значит, что в опыте событие происходило в 0,086 случаев из 1.

2. Сравниваем частоту с вероятностью. По условию теоретическая вероятность равна 0,08. Нужно найти, на сколько частота отличается от вероятности, то есть взять модуль разности:

|f - p| = |0,086 - 0,08| = 0,006.

Ответ: 0,006.

Почему нужен модуль? Потому что в таких задачах спрашивают именно величину отклонения, а она не может быть отрицательной. Если частота оказалась меньше вероятности, разность была бы отрицательной, но модуль делает ответ положительным.

Типичные ошибки:

• путают частоту и вероятность;
• забывают делить число успехов на общее число наблюдений;
• вместо разности находят только частоту или только вероятность;
• не берут модуль и получают отрицательный ответ.

Как решать такие задачи на ОГЭ: всегда сначала находите частоту по формуле k / n, потом сравнивайте её с вероятностью, и только после этого берите модуль разности. Это самый надёжный алгоритм, который помогает не потерять лёгкие баллы.