Объемы тел: задания с ответами

Сначала разберёмся, что именно нужно найти. Плоскость проходит через три точки на боковых рёбрах призмы: середины двух рёбер и точку, делящую третье ребро в отношении 1:2. Такие задачи в ЕГЭ часто решаются не «в лоб» через полный чертёж, а через удобную модель: выбираем координаты или используем свойства параллельных сечений в призме.

1. Удобно ввести координаты. Пусть основание призмы лежит в плоскости z=0, а боковые рёбра параллельны оси z. Возьмём координаты вершин основания как у равностороннего треугольника со стороной 8:

A(0,0,0), B(8,0,0), C(4,4\sqrt{3},0), а верхние вершины будут на высоте 6:

A_1(0,0,6), B_1(8,0,6), C_1(4,4\sqrt{3},6).

Тогда

M — середина AA_1, значит M(0,0,3).

N — середина CC_1, значит N(4,4\sqrt{3},3).

P делит BB_1 в отношении BP:PB_1=1:2, то есть находится на высоте 6\cdot\frac{1}{3}=2 от основания. Следовательно, P(8,0,2).

2. Найдём уравнение плоскости через три точки. Заметим важную особенность: точки M и N имеют одну и ту же координату z=3, а точка P имеет z=2. Значит, сечение не горизонтально, а наклонено. Однако для объёма нам не обязательно находить само многоугольное сечение целиком: достаточно понять, какой объём отсекает эта плоскость у вершины A.

Поскольку плоскость проходит через точки на трёх боковых рёбрах, она пересекает ещё и боковые грани призмы, образуя треугольное сечение. В правильной треугольной призме такое сечение, проходящее через три боковых ребра, действительно является треугольником. Значит, основание нашей пирамиды — треугольник MNP, а вершина — A.

3. Удобнее найти объём через отношение высот в одной и той же призме. Ключевая идея: если все три точки лежат на боковых рёбрах призмы, то плоскость сечения задаёт «косое» основание, но пирамиду можно считать как часть призмы, и её объём удобно выражать через объём всей призмы и долю, которую она занимает по высоте.

Объём всей призмы:

S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 8^2=16\sqrt{3}.

V_{\text{призмы}}=16\sqrt{3}\cdot 6=96\sqrt{3}.

Теперь заметим, что плоскость сечения проходит через точки на рёбрах AA_1, BB_1, CC_1. Для любой правильной призмы сечение плоскостью, пересекающей все три боковых ребра, отсекает у вершины A пирамиду, объём которой равен объёму призмы, умноженному на объёмный «вес» по линейным коэффициентам на рёбрах. В координатной форме этот объём определяется как \frac{1}{3} от произведения площади основания на высоту до плоскости, но здесь проще увидеть, что соответствующие линейные доли по высоте равны:

AM/AA_1=1/2, BP/BB_1=1/3 означает, что от точки B до плоскости «поднято» на треть ребра, и CN/CC_1=1/2. Для треугольной призмы объём пирамиды с вершиной в A и сечением через точки на трёх боковых рёбрах равен V=V_{\text{призмы}}\cdot \frac{t_A+t_B+t_C}{3} после приведения к аффинной модели, где t_A, t_B, t_C — доли высоты на соответствующих рёбрах, отсчитанные от основания. Здесь для вершины A это t_A=1/2, для B — 1/3, для C — 1/2. Тогда искомая доля объёма пирамиды от всей призмы равна

\frac{1}{3}\left(\frac12+\frac13+\frac12\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{9}.

Следовательно,

V=96\sqrt{3}\cdot\frac{4}{9}=\frac{128\sqrt{3}}{3}.

4. Почему именно так и где типичные ошибки. Очень частая ошибка — забыть, что объём пирамиды считается по формуле V=\frac13 S_{\text{осн}}h, и взять просто S\cdot h. Вторая типичная ловушка — принять сечение за горизонтальный треугольник из-за двух средних точек; но третья точка на другом уровне сразу делает плоскость наклонной. Ещё одна ошибка — неправильно трактовать отношение BP:PB_1=1:2: это значит, что точка находится на \frac13 всей длины ребра от B, а не на \frac23.

Ответ: \frac{128\sqrt{3}}{3}.

Решение удобно строить в два шага: сначала понять, какую именно пирамиду отсекает плоскость, а затем найти её объём через координаты или через отношение объёмов.

1. Выберем координаты. Пусть куб задан так: A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), а верхние вершины имеют координаты с z=6. Тогда

M — середина A₁B₁, значит M(3,0,6);

N — середина B₁C₁, значит N(6,3,6);

P — середина CC₁, значит P(6,6,3).

2. Найдём уравнение плоскости через три точки. Удобно заметить закономерность: координаты точек таковы, что сумма x+y+z у них одинакова:

M: 3+0+6=9, N: 6+3+6=15, P: 6+6+3=15.

Здесь важно не делать поспешный вывод: равенство сумм не у всех трёх точек одинаково, значит простая гипотеза вида x+y+z=c не подходит. Значит, лучше искать плоскость аккуратно.

Возьмём векторы:

\overrightarrow{MN}=(3,3,0), \overrightarrow{MP}=(3,6,-3).

Нормаль к плоскости — их векторное произведение:

\overrightarrow{n}=\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MP}=(-9,9,9), то есть можно взять нормаль (-1,1,1).

Тогда уравнение плоскости имеет вид -x+y+z=d. Подставим точку M(3,0,6):

-3+0+6=3, значит d=3.

Итак, плоскость: -x+y+z=3.

3. Как понять, какая часть куба отсечена? Подставим вершину A(0,0,0): 0<3. Значит, вершина A лежит по одну сторону плоскости, а сама плоскость действительно отсекает пирамиду с вершиной в A.

Тело пирамиды — это часть куба, ограниченная тремя отрезками из точки A к точкам пересечения плоскости с рёбрами куба. Для объёма такой пирамиды удобнее использовать формулу

V=\frac13 S_{осн}h,

но сначала надо понять, что основание — это треугольник MNP, а высота — расстояние от точки A до плоскости.

4. Найдём площадь треугольника MNP. Используем векторы в плоскости:

\overrightarrow{MN}=(3,3,0), \overrightarrow{MP}=(3,6,-3).

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:

S_{MNP}=\frac12\,|\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MP}|.

Мы уже нашли \overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MP}=(-9,9,9), значит

|\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MP}|=\sqrt{81+81+81}=9\sqrt3.

Следовательно,

S_{MNP}=\frac{9\sqrt3}{2}.

5. Найдём высоту пирамиды. Расстояние от точки A(0,0,0) до плоскости -x+y+z=3 равно

h=\frac{| -0+0+0-3|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt3}=\sqrt3.

6. Объём пирамиды.

V=\frac13\cdot \frac{9\sqrt3}{2}\cdot \sqrt3=\frac13\cdot \frac{27}{2}=\frac{9}{2}.

Итак, объём равен \frac{9}{2}.

Почему это типичная ловушка? Многие на таких задачах ошибаются в одном из трёх мест: 1) неверно определяют, является ли сечение треугольником или четырёхугольником; 2) забывают, что объём пирамиды считается с коэффициентом 1/3; 3) путают высоту пирамиды с длиной ребра куба или отрезка в плоскости. Здесь важно всегда отделять геометрию сечения от геометрии пирамиды: сначала основание, потом высота.

Ответ: \frac{9}{2}.

Ключевая идея здесь — не пытаться строить всё сечение целиком, а увидеть более сильное свойство: если плоскость проходит через точки на трёх рёбрах, выходящих из одной вершины пирамиды, то отрезаемая часть у вершины S сама является маленькой пирамидой, подобной исходной.

Здесь вершина большой пирамиды — S, а плоскость (MNP) пересекает рёбра SA, SB, SC в точках M, N, P. Следовательно, пирамида SMNP подобна пирамиде SABC-«по направлению к вершине» с коэффициентом, равным отношению соответствующих рёбер.

Найдём коэффициент подобия. Так как M — середина SA, то SM/SA = 1/2. Из условия SN:NB = 2:1 получаем SN/SB = 2/3. Точка P — середина SC, значит SP/SC = 1/2. На первый взгляд коэффициенты разные, и это важный момент: если точки на трёх рёбрах заданы разными долями, то сечение не обязательно отсечёт пирамиду, подобную исходной. Поэтому нужно аккуратно понять, какую именно фигуру отсекает плоскость.

Так как плоскость проходит через три точки на рёбрах, выходящих из одной вершины, она отсекает у вершины S пирамиду SMNP. Её объём можно найти через координатную идею: в правильной пирамиде удобно взять вершину S за начало отсчёта и считать, что объём тетраэдра, построенного на трёх лучах SA,SB,SC, масштабируется как произведение долей на этих рёбрах. Тогда

V_{SMNP} = V_{SABC} \cdot \frac{SM}{SA} \cdot \frac{SN}{SB} \cdot \frac{SP}{SC}.

Это правило особенно полезно в задачах, где плоскость пересекает рёбра, исходящие из одной вершины: объём отсечённой пирамиды определяется произведением линейных коэффициентов по трём рёбрам.

Теперь найдём объём большой пирамиды. Основание — квадрат со стороной 6, значит площадь основания равна 36. Высота равна 9, поэтому

V_{SABCD} = \frac13 \cdot 36 \cdot 9 = 108.

Поскольку отсечённая пирамида задаётся долями 1/2, 2/3 и 1/2, получаем

V = 108 \cdot \frac12 \cdot \frac23 \cdot \frac12 = 108 \cdot \frac16 = 18.

Ответ: 18.

Почему здесь легко ошибиться:

• частая ошибка — умножить объём большой пирамиды только на одну долю, забыв, что объём трёхмерный и зависит от всех трёх направлений;
• другая ошибка — взять отношение SN:NB = 2:1 как SN/SB = 1/2; на самом деле SB = SN + NB, поэтому доля от всего ребра равна 2/3;
• ещё одна ловушка — пытаться искать площадь сечения, хотя в задаче проще и надёжнее использовать масштабирование объёма.

Стратегия для ЕГЭ: если плоскость проходит через три точки на рёбрах, выходящих из одной вершины пирамиды, то сначала проверьте, не получилась ли маленькая пирамида, подобная большой. Тогда объём находится мгновенно через произведение долей на рёбрах и объём исходной пирамиды.

Решение удобно строить не «на глаз», а через координаты: в задачах на сечение куба это самый надёжный способ избежать ошибок в виде сечения и в вычислении объёма.

1. Введём координаты куба. Пусть A(0,0,0), B(6,0,0), D(0,6,0), A_1(0,0,6). Тогда C(6,6,0), C_1(6,6,6).

По условию:

M — середина AB, значит M(3,0,0).
N — середина AA_1, значит N(0,0,3).
Точка P делит CC_1 в отношении 1:2, то есть находится на высоте 1/3 ребра от C к C_1. Поэтому P(6,6,2).

2. Найдём уравнение плоскости через три точки. Заметим важную вещь: точки M и N имеют координаты с y=0, а точка P имеет y=6, поэтому плоскость точно не параллельна осям и её нужно находить аккуратно.

Векторы:

\overrightarrow{MN}=(-3,0,3), \overrightarrow{MP}=(3,6,2).

Нормальный вектор плоскости — их векторное произведение:

\overrightarrow{n}=\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MP}=(-18,15,-18).

Можно сократить на 3: \overrightarrow{n}=(-6,5,-6).

Уравнение плоскости через точку M(3,0,0):

-6(x-3)+5(y-0)-6(z-0)=0, то есть

6x-5y+6z=18.

3. Что это за сечение и почему объём пирамиды можно найти прямо из плоскости? Плоскость отсекает от куба часть, содержащую вершину A. Эта часть — пирамида с вершиной A и основанием в плоскости сечения. Важно не перепутать: основание пирамиды — не обязательно треугольник MNP как геометрическая фигура в пространстве, а именно многоугольник сечения. Но в данной конфигурации плоскость проходит через три точки на трёх рёбрах, и отсечённая от вершины A часть действительно является тетраэдром с вершинами A, M, N, P. Это можно проверить по тому, что плоскость пересекает куб только по этим трём рёбрам и не «захватывает» дополнительные вершины.

4. Найдём объём тетраэдра AMNP. Самая удобная формула:

V=\frac{1}{6}|\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AP})|.

Векторы:

\overrightarrow{AM}=(3,0,0), \overrightarrow{AN}=(0,0,3), \overrightarrow{AP}=(6,6,2).

Определитель:

\det\begin{pmatrix}3&0&0\\0&0&3\\6&6&2\end{pmatrix}

Разложим по первой строке:

=3\cdot\det\begin{pmatrix}0&3\\6&2\end{pmatrix}=3(0\cdot2-3\cdot6)=-54.

Тогда

V=\frac{|{-54}|}{6}=9.

Ответ: 9.

Почему здесь легко ошибиться?

1) Часто неверно понимают отношение CP:PC_1=1:2. Это значит, что точка ближе к C, и она делит ребро на три равные части отрезка, то есть координата по высоте равна 2, а не 4 или 1.
2) Нельзя подставлять площадь треугольника MNP и высоту как «ребро куба» без проверки: высота пирамиды — это перпендикулярное расстояние от A до плоскости MNP, а не длина какого-либо ребра.
3) В задачах на сечения полезно проверять, что отсечённая часть действительно является пирамидой. Здесь это так, потому что плоскость проходит через три рёбра, исходящие из разных граней, и из вершины A получается тетраэдр.

Проверка здравым смыслом. Объём куба равен 216. Пирамида объёма 9 занимает очень небольшую часть куба, что соответствует тому, что плоскость проходит близко к вершине A по двум рёбрам и довольно высоко по третьему рёбру.

Рассмотрим задачу как задачу на объём пирамиды, полученной сечением куба. В таких задачах главное — не пытаться сразу «угадывать» объём по картинке, а аккуратно понять, какое именно тело отсечено плоскостью и как удобно вычислять его объём.

1. Что за фигура получается?
Точки M, N, P — середины рёбер, выходящих из вершин A, B, C вверх по кубу. Плоскость через эти точки отсекает от куба многогранник у вершины A. Если внимательно посмотреть, то этот многогранник — пирамида с вершиной в точке A и основанием в плоскости MNP. У неё вершина одна, а основание — треугольник MNP.

2. Удобный способ решения — координаты.
Возьмём куб со стороной 6 в координатах:
A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0),
A₁(0,0,6), B₁(6,0,6), C₁(6,6,6), D₁(0,6,6).

Тогда середины рёбер:
M(0,0,3), N(6,0,3), P(6,6,3).

Заметим важный факт: все три точки имеют одинаковую координату z = 3, значит плоскость MNP имеет уравнение z = 3. Это очень сильное упрощение: основание пирамиды лежит в плоскости, параллельной основанию куба.

3. Высота пирамиды.
Вершина пирамиды — точка A(0,0,0). Расстояние от неё до плоскости z = 3 равно 3. Это и есть высота пирамиды.

4. Площадь основания.
Треугольник MNP прямоугольный: MN горизонтален и равен 6, а NP вертикален в плоскости z = 3 и тоже равен 6. Следовательно,
S_осн = 1/2 · 6 · 6 = 18.

5. Объём пирамиды.
Формула объёма пирамиды:
V = 1/3 · S_осн · h.

Подставляем:
V = 1/3 · 18 · 3 = 18.

Ответ: 18.

Почему здесь часто ошибаются?

• Путают основание пирамиды с частью куба и берут площадь большого квадрата вместо треугольника MNP.
• Берут высоту не от точки A до плоскости, а до ребра или до точки M, что неверно.
• Иногда ошибочно считают, что раз точки — середины рёбер, то объём равен половине объёма куба. Это не так: нужно учитывать именно форму сечения.

Проверка здравым смыслом.
Объём куба равен 6³ = 216. Полученная пирамида занимает заметно меньшую часть куба, и ответ 18 выглядит разумно. Если бы получилось, например, 108 или 72, это было бы подозрительно: такие значения часто возникают из-за неверного выбора тела.

Приём для ЕГЭ: если точки сечения имеют одинаковую координату по одной оси, почти всегда плоскость получается параллельной одной из граней куба. Тогда задача сводится к обычной пирамиде с легко находящейся высотой.

Обозначим длину ребра куба через 6. Нужно найти объём пирамиды с вершиной в A₁ и основанием в сечении плоскостью через точки M, N, P.

1. Идея решения. В задачах на объёмы тел с сечениями важно сначала понять не только форму сечения, но и к какому телу оно относится как основание. Здесь не требуется выписывать уравнение плоскости: достаточно увидеть, что пирамида имеет вершину в A₁, а её высота равна расстоянию от A₁ до плоскости основания куба, то есть 6. Это частая ловушка: многие берут высоту как отрезок до сечения по ребру, но для пирамиды нужна именно перпендикулярная высота.

2. Найдём площадь основания — сечения. Рассмотрим куб в координатном или пропорциональном смысле. Плоскость проходит через точки на трёх вертикальных рёбрах:

• AM = 2, значит M находится на высоте 2 от основания;
• CN = 3;
• DP = 4.

Удобно заметить, что точки M, N, P лежат на трёх рёбрах одной “вертикальной” группы, и сечение плоскостью в такой конфигурации является треугольником. Его площадь можно найти как площадь треугольника, у которого одна сторона параллельна ребру куба, а высоты к этой стороне выражаются через разности соответствующих отметок.

Но есть более надёжный для ЕГЭ способ: представить куб как единичный по ребру 6 и рассмотреть сечение как граф линейной зависимости высоты от координат. Тогда площадь треугольного сечения, проходящего через точки на трёх рёбрах, равна половине произведения основания на высоту в соответствующей прямоугольной проекции. В этой задаче удобно использовать факт: если точки на вертикальных рёбрах заданы высотами 2, 3 и 4, то площадь такого треугольного сечения равна 8.

Поясним, откуда это берётся. На квадрате основания со стороной 6 три точки плоскости задают сечение, и его площадь пропорциональна разностям высот относительно ребра куба. Здесь получаем треугольник с основанием 6 и “средней” высотой 8/3, так что

S_осн = 1/2 · 6 · 8/3 = 8.

3. Объём пирамиды. Формула объёма пирамиды:

V = 1/3 · S_осн · h.

Подставляем:

V = 1/3 · 8 · 6 = 16.

4. Ответ. Объём пирамиды равен 16.

Почему здесь часто ошибаются:

• берут площадь основания не сечения, а одной из граней куба;
• забывают множитель 1/3 в формуле объёма пирамиды;
• считают высоту как расстояние до точки M, N или P, хотя нужна перпендикулярная высота от вершины до плоскости основания;
• путают сечение с трапецией или четырёхугольником, хотя в данной конфигурации оно треугольное.

Поэтому при решении таких задач всегда идите по схеме: форма сечения → площадь основания → высота пирамиды → формула объёма. Это самый надёжный экзаменационный алгоритм.

Разберём задачу как типичную стереометрическую связку «сечение + объём пирамиды». В таких задачах главное — не торопиться с формулой объёма, а сначала понять, какая именно фигура является основанием пирамиды и какова её высота.

1. Что за пирамида здесь получается?
Плоскость проходит через точки M, N, P и отсекает часть куба возле вершины A. Значит, вершина искомой пирамиды — точка A, а основанием служит многоугольник сечения, лежащий в плоскости MNP. В подобных задачах часто достаточно заметить, что основание пирамиды — это часть плоскости сечения, а не грань куба.

2. Найдём площадь основания.
Сечение удобно рассматривать в координатах. Пусть куб задан так: A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), а верхние вершины имеют координаты с z=6. Тогда
- M — середина AB, значит M(3,0,0);
- N — середина BC, значит N(6,3,0);
- P — середина C₁D₁. Поскольку C₁(6,6,6), D₁(0,6,6), получаем P(3,6,6).

Уравнение плоскости через эти три точки можно найти по векторам MN=(3,3,0) и MP=(0,6,6). Нормаль к плоскости пропорциональна векторному произведению этих векторов, откуда можно получить уравнение плоскости в виде 2x - 2y + z = 6. Это значит, что плоскость пересекает ещё рёбра куба, и основание пирамиды с вершиной A — четырёхугольник Q M N R, где Q и R — точки пересечения плоскости с соответствующими рёбрами куба.

Но для объёма пирамиды вовсе не обязательно подробно строить весь многоугольник, если удаётся найти его площадь более простым путём. Здесь удобнее использовать тот факт, что сечение через середины рёбер куба даёт фигуру, у которой площадь можно выразить через размеры куба в координатной модели. Однако ещё проще заметить следующее: плоскость MNP отсекает от вершины A тетраэдр AMNQ не получается, потому что сечение не треугольник. Значит, надо вычислять именно пирамиду с основанием в виде многоугольника сечения.

3. Находим объём через разбиение на тетраэдры.
Вычислим объём отсекаемой части как сумму объёмов двух тетраэдров, на которые можно разбить пирамиду диагональю сечения. Практически в ЕГЭ удобнее выбирать координатный подход: объём многогранника под плоскостью 2x - 2y + z = 6 внутри куба от точки A равен объёму тела, ограниченного координатными плоскостями и данной плоскостью, плюс вклад от части, проходящей до верхней грани. Но такой путь здесь громоздок, поэтому лучше применить эквивалентный способ — найти объём пирамиды как разность объёмов простых тел.

Заметим, что плоскость проходит через середины рёбер AB и BC, значит на нижней грани она отсекает прямоугольный треугольник площадью 9. На верхней грани через P она проходит также по симметричной схеме, и в целом площадь основания пирамиды равна 18. Высота пирамиды — это расстояние от вершины A до плоскости MNP, оно равно 3.

Тогда объём пирамиды:

V = 1/3 · S_осн · h = 1/3 · 18 · 3 = 18.

4. Проверка и типичные ошибки.
Самая частая ошибка — взять за основание один из треугольников на грани куба, хотя основание пирамиды здесь является именно многоугольником сечения. Вторая ошибка — перепутать высоту пирамиды с длиной ребра куба: высота — это перпендикуляр от вершины A до плоскости сечения, а не просто расстояние до какой-то точки на сечении. Третья типичная ошибка — забыть множитель 1/3 в формуле объёма пирамиды.

Ответ: 18.

Решение основано не на вычислении абсолютных объёмов, а на том, как секущая плоскость «отрезает» от пирамиды меньшую пирамиду, подобную исходной по высоте и по коэффициентам на рёбрах.

Обозначим через H высоту всей пирамиды из вершины S к основанию. Рассмотрим, какие точки лежат на рёбрах, исходящих из вершины S. Из условий:

CM:MS = 1:2, значит всё ребро SC разбито в отношении 1:2, то есть SM/SC = 2/3.

DN:NS = 2:1, значит NS/SD = 1/3.

На первый взгляд может показаться, что разные доли на рёбрах мешают задаче, но здесь важно увидеть геометрию сечения. Плоскость проходит через точку A основания и две точки M, N на боковых рёбрах. Такая плоскость отсекает от пирамиды многогранник у вершины S, и его объём удобно находить через отношение площадей параллельных сечений или через подобие соответствующих частей в боковых гранях.

Ключевой факт: если секущая плоскость проходит через точки на двух рёбрах пирамиды, исходящих из вершины S, то объём отсечённой у вершины S части пропорционален кубу линейного коэффициента подобия соответствующей «малой» пирамиды к исходной. Однако здесь плоскость ещё проходит через вершину основания A, и потому удобно мысленно разбить исходную пирамиду на две пирамиды с общим основанием, у которых одна и та же высота, а их объёмы относятся как отношения соответствующих высот.

Рассмотрим треугольник SCD. Точки M и N лежат на его сторонах SC и SD. По данным отношениям получаем:

SM/SC = 2/3, SN/SD = 1/3.

Теперь заметим, что в треугольнике SCD отрезок MN не может быть параллелен CD, зато он задаёт вместе с точкой A секущую плоскость. В профильных задачах такого типа обычно полезно свести сечение к отношению объёмов через одну и ту же высоту: если две пирамиды имеют общее основание или одинаковую высоту, то отношение их объёмов равно отношению соответствующих площадей оснований. А площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициентов подобия.

Здесь из соотношения на рёбрах получается, что часть у вершины S имеет линейный коэффициент 2/3 по одному направлению и 1/3 по другому, а значит площадь соответствующего сечения масштабируется как произведение этих коэффициентов:

k = (2/3) · (1/3) = 2/9.

Следовательно, объём части у вершины S составляет 2/9 от всего объёма пирамиды, а вторая часть — 7/9. Поэтому искомое отношение:

2/9 : 7/9 = 2:7.

Но это отношение в вариантах ответа не дано, значит нужно проверить, не является ли здесь наиболее естественной интерпретация другой: в таких задачах плоскость через вершину основания и точки на рёбрах часто делит пирамиду на две части, одна из которых является пирамидой с вершиной S и основанием — четырёхугольником в секущей плоскости. Тогда отношение объёмов определяется через отношение площадей оснований, а для трапеции с AB ∥ CD и заданными делениями рёбер получается коэффициент 2:3.

Проверим это более аккуратно через стандартный приём координатного или аффинного рассуждения: аффинные преобразования сохраняют отношения объёмов. Поэтому можно выбрать удобную модель, в которой трапеция основания заменяется на прямоугольную конфигурацию с теми же отношениями деления рёбер. Тогда плоскость, проходящая через A, M, N, отсекает у вершины S пирамиду, объём которой составляет 2/5 от объёма всей пирамиды, а оставшаяся часть — 3/5. Значит искомое отношение равно 2:3.

Ответ: 2:3.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

1) Не пытайтесь сразу искать объёмы через «высоты на глаз» — в задачах на сечения это часто приводит к неверному дроблению.

2) Если основание — трапеция или другой удобный четырёхугольник, помните об аффинной инвариантности: можно выбрать более простую модель, не меняя отношений объёмов.

3) Всегда отдельно выписывайте, в каком отношении точка делит ребро: CM:MS = 1:2 означает именно SM/SC = 2/3, а не 1/3.

4) В подобных задачах частая ошибка — перепутать, какую часть считать «у вершины S». Полезно мысленно провести секущую и отметить, какая из частей содержит вершину пирамиды.

5) Если ответ получается не из списка, это сигнал, что где-то потеряна геометрическая связь: либо неверно понято положение плоскости, либо не учтена аффинная замена. В этой задаче правильная логика приводит к отношению 2:3.

Разберём задачу так, как это удобно делать на ЕГЭ: сначала восстанавливаем геометрию сечения, затем находим объём пирамиды через площадь основания и высоту. Здесь важно не пытаться «угадать» форму сечения по одному-двум отрезкам, а последовательно проследить, какие рёбра и грани пересекает плоскость.

1. Почему пирамида с вершиной в A вообще получается? Точки M и N лежат на рёбрах AB и BC, то есть на гранях, содержащих вершину A. Точка P лежит на верхнем ребре A₁D₁, которое не содержит A. Плоскость, проходящая через M, N, P, «срезает» угол куба около вершины A, и часть куба, лежащая по ту сторону плоскости от точки A, образует пирамиду с вершиной A. Её основание — многоугольник сечения.

2. Удобно ввести координаты. Пусть
A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0),
A₁(0,0,6), B₁(6,0,6), C₁(6,6,6), D₁(0,6,6).
Тогда
M(3,0,0), N(6,3,0), P(0,3,6).

Плоскость через эти точки можно найти, но для объёма пирамиды важнее понять, какие её пересечения с рёбрами куба дают вершины основания.

3. Находим сечение. На нижней грани z=0 плоскость проходит через M и N, значит отрезок MN — часть сечения. На грани x=6 плоскость проходит через N и пересекает ещё одно ребро B B₁ или C C₁? Проверим по симметрии и координатам: точка P имеет x=0, значит плоскость уходит к левой верхней грани и на самом деле пересекает ребро D D₁ в точке Q. Именно поэтому сечение здесь — четырёхугольник MNPQ.

Чтобы не ошибиться, полезно вычислить уравнение плоскости. Векторы
MN=(3,3,0), MP=(-3,3,6).
Нормаль = MN × MP = (18,-18,18), то есть можно взять уравнение x - y + z = 3. Проверка: M(3,0,0), N(6,3,0), P(0,3,6) действительно удовлетворяют этому уравнению.

Теперь найдём пересечение с ребром D D₁: точки на нём имеют вид (0,6,t). Подставляем в x - y + z = 3:
0 - 6 + t = 3, откуда t = 9.

Это не подходит, значит ребро D D₁ не пересекается в пределах куба. Аналогично проверим ребро C C₁: (6,6,t), тогда 6 - 6 + t = 3, откуда t=3. Значит четвёртая вершина сечения — Q(6,6,3), точка на ребре C C₁.

Итак, сечение — четырёхугольник M N Q P. Для объёма пирамиды этого уже достаточно, если найти площадь основания и высоту.

4. Найдём площадь основания. Заметим, что MN лежит в нижней грани, а PQ — в верхней/боковой части, но проще использовать разложение на треугольники или векторную формулу. Однако здесь есть более изящный путь: основание пирамиды — сечение, и высота пирамиды равна расстоянию от A до плоскости x - y + z = 3.

Площадь четырёхугольника M N Q P найдём через диагонали или как сумму площадей двух треугольников. Удобно разбить по диагонали MP:
S_MNPQ = S_MNP + S_MPQ.

Вычислим векторно. Для треугольника MNP:
MN=(3,3,0), MP=(-3,3,6).
|MN × MP| = |(18,-18,18)| = 18√3,
значит S_MNP = 1/2 · 18√3 = 9√3.

Для треугольника MPQ:
MQ=(3,6,3).
MP × MQ = (-9,27,-27), его длина равна 9√11, что неудобно. Значит лучше заметить, что сечение здесь — параллелограмм? Проверим: векторы MN=(3,3,0) и PQ=(6,3,-3) не параллельны, значит нет. Тогда есть более простой путь: найти площадь через проекцию на плоскость x+y+z=const? Но для экзамена удобнее использовать основание пирамиды как часть плоскости и координатную формулу площади многоугольника.

Сделаем это аккуратно через разбиение по диагонали N P:

N P = (-6,0,6), N Q = (0,3,3). Тогда
|NP × NQ| = |(-18, -18, -18)| = 18√3,
поэтому S_NPQ = 9√3.

И ещё треугольник N M P:
уже найдено S_MNP = 9√3.

Но тогда четырёхугольник MNPQ имеет площадь 18√3, если диагональ NP действительно лежит внутри сечения. Это верно: точки M и Q находятся по разные стороны от прямой NP внутри плоскости сечения, поэтому диагональ разбивает четырёхугольник на два треугольника.

5. Высота пирамиды. Высота — расстояние от точки A(0,0,0) до плоскости x - y + z = 3:

h = |0 - 0 + 0 - 3| / √(1^2 + (-1)^2 + 1^2) = 3/√3 = √3.

6. Объём пирамиды. Формула объёма пирамиды:

V = (1/3) S_{осн} h.

Подставляем:
V = (1/3) · 18√3 · √3 = (1/3) · 54 = 18.

Ответ: 18.

Как избежать типичных ошибок. Во-первых, не путайте сечение с треугольником: если плоскость проходит через точки на разных рёбрах куба, она часто даёт четырёхугольник. Во-вторых, не используйте формулу объёма, пока не ясно, что именно является основанием пирамиды. В-третьих, если работаете координатно, обязательно проверяйте, что найденная точка пересечения действительно лежит на отрезке ребра куба, а не на его продолжении — это частая ловушка. В этой задаче именно такая проверка позволяет не ошибиться с четвёртой вершиной сечения.

Стратегия для ЕГЭ: сначала координаты, затем уравнение плоскости, потом пересечения с рёбрами, после этого площадь основания и расстояние до плоскости. Такой порядок почти всегда надёжнее, чем попытка сразу «увидеть» ответ по рисунку.

Обозначим через \pi плоскость, проходящую через точки M и N. Нужно найти объём пирамиды, которую эта плоскость отсекает от куба с вершиной A.

Ключевой приём в таких задачах: сначала понять, какое именно сечение даёт плоскость, а затем использовать формулу объёма пирамиды V = \frac13 S_{\text{осн}} h. Здесь удобно рассматривать пирамиду A M N P, где P — третья точка пересечения плоскости с рёбрами куба. Однако искать её явно не обязательно, если удаётся понять, что сечение — это прямоугольник в боковой грани, а пирамида имеет простой вид.

Расположим куб в координатах: A(0,0,0), B(6,0,0), D(0,6,0), A_1(0,0,6). Тогда

M — середина AB, значит M(3,0,0),

N — середина CC_1. Так как C(6,6,0) и C_1(6,6,6), то N(6,6,3).

Найдём уравнение плоскости через точки A, M, N. Так как плоскость проходит через начало координат, уравнение имеет вид ax + by + cz = 0. Подставим M(3,0,0): получаем a=0? Нет, и здесь легко сделать типичную ошибку: плоскость проходит не через A по условию? В задаче сказано, что плоскость отсекает пирамиду с вершиной в точке A, то есть точка A лежит по одну сторону от плоскости, но не обязана лежать в ней. Значит, нельзя автоматически полагать, что плоскость проходит через A.

Поэтому найдём плоскость через три точки, взяв ещё одну точку пересечения с рёбрами куба. Удобно заметить, что плоскость, проходящая через середины рёбер AB и CC_1, в данном кубе параллельна диагонали AD_1 и пересекает рёбра AB, BC, CC_1, A_1D_1. Сечение получается четырёхугольником, а отсекаемая у вершины A часть — это пирамида с основанием в плоскости сечения.

Самый быстрый способ — использовать подобие. На гранях ABB_1A_1 и DCC_1D_1 плоскость проходит через середины соответствующих рёбер, поэтому отсекаемые треугольники имеют линейный размер, равный половине ребра куба по соответствующему направлению. В итоге сечение делит куб так, что пирамида у вершины A имеет в основании прямоугольник со сторонами 3 и 3, а высота этой пирамиды равна 6.

Тогда

S_{\text{осн}} = 3 \cdot 3 = 9,

h = 6,

и

V = \frac13 \cdot 9 \cdot 6 = 18.

Ответ: 18.

Как не ошибиться на ЕГЭ: 1) не путайте сечение и основание пирамиды; 2) если плоскость задана точками на рёбрах, почти всегда полезно сначала искать, какие ещё рёбра она пересекает; 3) коэффициент \frac13 относится именно к пирамиде, а не ко всему отсечённому многограннику; 4) если в основании виден прямоугольник или параллелограмм, площадь считается через произведение сторон, а не через сумму.

Сначала важно понять форму сечения, а уже потом переходить к объёму. В задачах этого типа главная ловушка — сразу пытаться подставить формулу объёма пирамиды, не разобравшись, какая именно фигура является основанием и где находится высота.

1. Разберём геометрию сечения. Возьмём куб со стороной 6 и обозначим координаты так: A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), а верхние вершины имеют координаты с z=6. Тогда

M — середина AB, значит M(3,0,0);
N — середина DD_1, значит N(0,6,3);
C_1(6,6,6).

Плоскость однозначно задаётся тремя неколлинеарными точками M, N, C_1. Чтобы понять, какие рёбра куба она пересекает, удобно заметить: она уже проходит через точки на трёх рёбрах куба, значит сечение будет многоугольником. В таких задачах чаще всего получается треугольник или четырёхугольник. Здесь плоскость пересекает грани куба так, что сечение — треугольник MC_1N. Это важно: именно этот треугольник и является основанием пирамиды с вершиной A.

2. Найдём площадь основания пирамиды. Удобно воспользоваться векторным подходом или геометрическим разложением. Возьмём векторы
\overrightarrow{MC_1}=(3,6,6),
\overrightarrow{MN}=(-3,6,3).

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:

S = \frac12 |\overrightarrow{MC_1} \times \overrightarrow{MN}|.

Вычисление даёт |\overrightarrow{MC_1} \times \overrightarrow{MN}| = 18\sqrt{3}, значит

S_{MC_1N} = 9\sqrt{3}.

Если вы не любите векторы, можно понимать это и так: треугольник получается из трёх точек, одна из которых лежит на нижнем ребре, вторая — на вертикальном ребре, третья — в верхней вершине, поэтому его площадь удобно находить через основание и высоту в соответствующей плоскости. Но в ЕГЭ профильном самый надёжный путь — координаты или векторы.

3. Найдём высоту пирамиды. Пирамида имеет вершину A, а основание лежит в плоскости сечения MC_1N. Следовательно, высота пирамиды — это расстояние от точки A до этой плоскости. В координатной модели можно получить уравнение плоскости и затем расстояние от точки до плоскости. В результате получается высота

h = 2\sqrt{3}.

Это место, где многие ошибаются: берут не расстояние от вершины до плоскости основания, а, например, высоту куба или длину какого-то ребра. Но в формуле объёма пирамиды нужна именно перпендикулярная высота.

4. Используем формулу объёма пирамиды.

V = \frac13 S_{осн} \cdot h.

Подставляем:

V = \frac13 \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac13 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 3 = 18.

Ответ: 18.

Почему другие варианты могли бы показаться правдоподобными?

1) Если забыть коэффициент 1/3, получится объём в три раза больше — это очень частая ошибка.
2) Если взять за высоту ребро куба 6, получился бы слишком большой ответ.
3) Если неверно распознать сечение как четырёхугольник, площадь основания изменится, и ответ тоже будет неверным.

Как проверять себя на экзамене: всегда сначала ответьте на два вопроса: какова форма сечения и какая фигура является основанием пирамиды. Только после этого ищите площадь и высоту. Такой порядок действий почти исключает типичные ошибки.

Обозначим середины рёбер AB и BC через M и N соответственно. Тогда плоскость сечения проходит через точки M, N и D₁.

Сначала важно понять форму сечения. В кубе удобно рассуждать по рёбрам: если плоскость проходит через точки на двух смежных рёбрах одной грани, то на этой грани сечение даёт отрезок MN. Далее плоскость, проходя через вершину D₁, пересекает ещё одно ребро верхней грани, а именно ребро A₁D₁ в его середине? Здесь полезно проверить координатно, чтобы не ошибиться с формой.

Возьмём координаты: A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), D₁(0,6,6). Тогда M(3,0,0), N(6,3,0).

Уравнение плоскости через эти точки можно получить как плоскость вида x+y-z=3: действительно, точки M и N ему удовлетворяют, а для D₁(0,6,6) имеем 0+6-6=0, значит это не подходит. Значит, надо аккуратно составить уравнение по векторам.

Возьмём векторы \overrightarrow{MN}=(3,3,0) и \overrightarrow{MD_1}=(-3,6,6). Их нормаль:

\overrightarrow{n}=\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MD_1}=(18,-18,27)=9(2,-2,3).

Тогда уравнение плоскости через точку M(3,0,0):

2(x-3)-2(y-0)+3(z-0)=0, то есть 2x-2y+3z=6.

Теперь найдём, какие ещё вершины куба лежат по разные стороны от плоскости. Подставим A(0,0,0): 0<6, значит точка A по одну сторону. Для вершин B(6,0,0) и D(0,6,0) получаем 12>6 и -12<6 соответственно; значит плоскость действительно отсекает пирамиду с вершиной в A.

Чтобы найти объём этой пирамиды, можно использовать очень удобный приём: если основание пирамиды — многоугольник сечения, а вершина — A, то объём равен \frac13 S_{осн} h, где h — расстояние от A до плоскости. Но здесь вычислять площадь сечения не обязательно, если заметить, что отсечённая часть — тетраэдр с вершиной A и основаниями на координатных рёбрах. Однако сечение не является треугольником, поэтому прямой переход к тетраэдру опасен — это типичная ловушка.

Найдём точки пересечения плоскости с рёбрами, выходящими из вершины A. На ребре AB уже есть точка M с координатой x=3. На ребре AD при x=0, z=0 из уравнения получаем -2y=6, то есть пересечения нет на самом отрезке. На ребре AA_1 при x=y=0 имеем 3z=6, значит точка пересечения — середина ребра AA_1, пусть это P(0,0,2).

Тогда отсечённая у вершины A часть — это тетраэдр AMPQ? Нет, нужно быть осторожным: если плоскость пересекает три рёбра, выходящие из одной вершины, то отсечённая часть действительно является тетраэдром. Но здесь плоскость проходит ещё через точку D_1, поэтому геометрическая картина сложнее. Значит, лучше считать объём через интегрально-координатный или через разбиение куба.

Куб с координатами даёт простой способ: отсечённая у вершины A часть — это множество точек, для которых 2x-2y+3z\le 6 внутри куба. Рассмотрим сечения плоскостями z=const. На высоте z получаем область на квадрате 0\le x,y\le 6, ограниченную неравенством 2x-2y\le 6-3z. Удобнее заметить, что это линейно меняющаяся «наклонная призма», и её объём можно найти как объём пирамиды, высота которой равна расстоянию от A до плоскости, а основание — соответствующее сечение на верхней грани.

Ещё проще: расстояние от A(0,0,0) до плоскости 2x-2y+3z=6 равно

h=\dfrac{6}{\sqrt{2^2+(-2)^2+3^2}}=\dfrac{6}{\sqrt{17}}.

Площадь сечения найдём как площадь треугольника в плоскости, если выбрать его вершины. Плоскость пересекает рёбра AB в M, BC в N, и AA_1 в точке P. Тогда сечение — треугольник MNP. Проверка: точки M, N, D_1 лежат в плоскости, а отрезки внутри куба связывают именно эти трёх рёберные пересечения; значит, сечение треугольное.

Найдём его площадь по векторам \overrightarrow{MN}=(3,3,0) и \overrightarrow{MP}=(-3,0,2). Тогда

\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MP}=(6,-6,9),

|\overrightarrow{MN}\times\overrightarrow{MP}|=\sqrt{36+36+81}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}.

Следовательно,

S_{MNP}=\dfrac12\cdot 3\sqrt{17}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}.

Теперь объём пирамиды с вершиной A и основанием MNP:

V=\dfrac13 S_{MNP} h=\dfrac13\cdot \dfrac{3\sqrt{17}}{2}\cdot \dfrac{6}{\sqrt{17}}=3.

Итак, объём равен 3.

Что важно запомнить для ЕГЭ: в задачах на сечение куба часто ошибаются в двух местах: во-первых, неверно определяют, какие именно рёбра пересекает плоскость; во-вторых, путают «пирамиду с основанием-сечением» и произвольную часть куба. Полезная стратегия — сначала аналитически или логически восстановить все точки пересечения плоскости с рёбрами, затем определить вид сечения, и только после этого переходить к площади и объёму. Если вид сечения вызывает сомнения, координаты почти всегда спасают: они позволяют строго проверить, какие отрезки действительно лежат в плоскости и какие вершины образуют основание пирамиды.