Умножение вектора на число (геометрический подход): задания с ответами

Ключевая идея здесь очень простая, но именно на ней часто делают ошибки на ЕГЭ: знак числового множителя при умножении вектора на число определяет направление нового вектора относительно исходного.

Если \(\vec b = k\vec a\) и \(\vec a \neq \vec 0\), то возможны два случая:

• при \(k>0\) векторы сонаправлены;
• при \(k<0\) векторы противоположно направлены.

В нашей задаче \(k=-\dfrac{3}{2}\), то есть число отрицательное. Значит, вектор \(\vec b\) лежит на той же прямой, что и \(\vec a\), но направлен в противоположную сторону.

Почему нельзя выбрать вариант «перпендикулярны»? Потому что умножение вектора на число не меняет его направление произвольно — оно только растягивает/сжимает его и, если множитель отрицательный, переворачивает на 180°. Угол между векторами в этом случае равен 180°, а не 90°.

Почему неверно «невозможно определить без чертежа»? Для этой темы чертёж не обязателен: достаточно знать правило о знаке множителя. Геометрический смысл умножения на число и есть стандартный инструмент для таких задач.

Как быстро решать такие задания на экзамене:

1. Сразу выделите множитель перед вектором.
2. Проверьте его знак.
3. Если знак минус — ответ «противоположно направлены».
4. Если плюс — «сонаправлены».

Типичная ловушка: школьники видят дробь \(\dfrac{3}{2}\) и машинально выбирают «сонаправлены», забывая про минус. В задачах на векторы именно знак важнее модуля: число \(\dfrac{3}{2}\) говорит о растяжении, а минус — о смене направления.

Ответ: противоположно направлены.

Сначала разберём смысл умножения вектора на отрицательное дробное число.

Если \(\vec{v}\) умножить на число \(k\), то:

• длина вектора изменится в \(|k|\) раза;
• при \(k<0\) направление изменится на противоположное.

Здесь нужно найти вектор \(-\dfrac{1}{2}\vec{AB}\). Это означает: взять вектор, равный половине \(\vec{AB}\) по длине, но направленный противоположно \(\vec{AB}\).

Так как \(\vec{AB}\) направлен вправо и по условию точки на каждой прямой расположены на равных расстояниях, то вектор той же длины, но влево, — это вектор от точки F к точке E, то есть \(\vec{FE}\). Он направлен влево и имеет длину, равную одному промежутку между соседними точками, то есть ровно половине от \(\vec{EH}\), если \(\vec{EH}=-\dfrac{3}{2}\vec{AB}\) рассматривать как вектор длины 1,5 отрезка \(AB\).

Проверим варианты:

• \(\vec{BA}\) — направлен противоположно \(\vec{AB}\), но его длина равна \(\vec{AB}\), а не половине;
• \(\vec{DC}\) — тоже противоположно направлен, но длина опять равна целому промежутку, не половине;
• \(\vec{FE}\) — направлен противоположно \(\vec{AB}\) и по длине соответствует одному промежутку; в данной конфигурации это и есть \(-\dfrac{1}{2}\vec{AB}\);
• \(\vec{FG}\) — направлен так же, как \(\vec{AB}\), а знак должен быть отрицательным, значит этот вариант не подходит.

Ответ: \(\vec{FE}\).

Типичная ошибка на ЕГЭ — увидеть только знак «минус» и выбрать любой вектор влево. Но важно одновременно учитывать и направление, и коэффициент. При отрицательном дробном коэффициенте нужно не просто развернуть вектор, но ещё и точно изменить длину в соответствии с модулем числа.

Сначала важно не подставлять «длину» вместо вектора: здесь решает не только количество равных отрезков, но и направление.

Точки лежат на одной прямой и идут в порядке A–B–C–D–E, а соседние отрезки равны. Значит, можно считать, что каждый промежуток между соседними точками — это один и тот же «шаг».

Рассмотрим вектор \(\overrightarrow{CE}\). Он направлен от C к E, то есть вправо, и проходит через два равных промежутка: CD и DE. Поэтому его длина равна 2 таким шагам.

Теперь рассмотрим \(\overrightarrow{BA}\). Он направлен от B к A, то есть влево, и по длине равен одному промежутку AB. Значит, \(\overrightarrow{BA}\) имеет длину в 1 шаг, но противоположное направление по сравнению с вправо направленным вектором.

Чтобы записать \(\overrightarrow{CE} = k\,\overrightarrow{BA}\), сравниваем направленные длины. Если выбрать направление вправо за положительное, то:

• \(\overrightarrow{CE}\) — это +2 шага;
• \(\overrightarrow{BA}\) — это -1 шаг.

Тогда число k должно удовлетворять равенству 2 = k\cdot(-1), откуда k = -2.

Ответ: -2.

Как не ошибиться на ЕГЭ: не считайте точки вместо промежутков; всегда отдельно фиксируйте направление векторов; если вектор умножается на отрицательное число, его направление меняется на противоположное. В задачах на коллинеарные векторы на прямой самый надёжный приём — представить все векторы через один общий «единичный шаг» и сравнить коэффициенты.

Рассмотрим задачу как работу с направленными отрезками на одной прямой. Здесь важно не только сравнить длины, но и правильно учесть направление векторов. Это типичная ловушка в заданиях на умножение вектора на число: если забыть про направление, можно получить верный модуль, но неверный знак.

По условию точки расположены так: A, B, C, D, E идут подряд на одной прямой, а все соседние отрезки равны:

AB = BC = CD = DE.

Значит, если взять за единицу длины один такой промежуток, то:

• вектор \(\vec{BD}\) идёт от B к D и проходит через точку C, то есть содержит 2 равных отрезка;
• вектор \(\vec{CE}\) идёт от C к E и тоже содержит 2 равных отрезка.

Теперь посмотрим на направления. И \(\vec{BD}\), и \(\vec{CE} направлены в одну и ту же сторону вдоль прямой — от левых точек к правым. Значит, один вектор является положительным скалярным множителем другого.

Сравниваем длины:

|\vec{CE}| = 2 единицы и |\vec{BD}| = 2 единицы, поэтому

\(\vec{CE} = 1\cdot \vec{BD}\).

Следовательно, k = 1.

Почему это важно на ЕГЭ: в задачах на векторный коэффициент на прямой обычно достаточно представить каждый вектор как “количество одинаковых шагов” по линии. Тогда коэффициент равен отношению длин с учётом знака. Если направления совпадают, знак плюс; если противоположны — минус. Например, если бы спрашивали \(\vec{CE} = k\vec{DB}\), то ответ был бы -1, потому что \(\vec{DB}\) направлен в противоположную сторону по сравнению с \(\vec{CE}\).

Проверка: можно мысленно поставить на прямой точки через равные промежутки: тогда от B до D — два шага вправо, и от C до E — тоже два шага вправо. Значит, векторы совпадают, а коэффициент равен 1.

Смысл умножения вектора на −1 очень важен для ЕГЭ: вектор не «исчезает» и не меняет длину, а только переворачивается в противоположную сторону. Это одна из самых частых ловушек: ученики видят минус и начинают искать «другой» вектор по длине, забывая, что длина остаётся той же самой.

Рассмотрим вектор \vec{CD}. Он направлен слева направо, потому что точка D стоит правее точки C. Тогда вектор −\vec{CD} должен иметь ту же длину, но быть направлен справа налево. Значит, это вектор, идущий от точки D к точке C, то есть \vec{DC}.

Почему это корректно именно здесь? Потому что все соседние отрезки равны: AB = BC = CD = DE. Следовательно, отрезок DC имеет ту же длину, что и CD, а направление у него противоположное. Поэтому

−\vec{CD} = \vec{DC}.

Как быстро проверять такие задачи на экзамене:

• сначала определите направление исходного вектора;
• потом мысленно замените его на противоположное направление;
• сохраните ту же длину;
• сравните с вариантами ответа.

Типичная ошибка — перепутать начало и конец вектора. Например, принять \vec{CD} и \vec{DC} за один и тот же вектор. Это неверно: у векторов должны совпадать и длина, и направление. Здесь длина совпадает, но направление противоположное, поэтому векторы различны, хотя их модули равны.

Следовательно, правильный ответ: \vec{DC}.

Ключевая идея здесь очень простая, но в ЕГЭ именно на ней часто «сгорают»: для коллинеарных векторов число k в равенстве \vec{u}=k\vec{v} определяется не только длиной, но и направлением.

Рассмотрим векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD}. Так как точки A, B, C, D, E лежат на одной прямой в указанном порядке и соседние отрезки равны, то:

• длина \overrightarrow{AB} равна длине одного «шага»;
• длина \overrightarrow{CD} тоже равна длине одного «шага;
• оба вектора направлены вправо, потому что B правее A, а D правее C.

Значит, векторы \overrightarrow{CD} и \overrightarrow{AB} сонаправлены и равны по длине. Следовательно, один выражается через другой с коэффициентом 1:

\(\overrightarrow{CD} = 1\cdot \overrightarrow{AB}\).

Итак, k = 1.

Почему нельзя выбрать отрицательное число? Отрицательный коэффициент означает противоположное направление векторов. Здесь направления одинаковые, поэтому знак «минус» невозможен.

Типичная ошибка на таких заданиях — считать только расстояния и забывать про направление. Ещё одна ловушка — перепутать равенство векторов с равенством отрезков: отрезки действительно равны, но в ответе нужен именно коэффициент в векторном равенстве. Для самопроверки полезно мысленно заменить каждый отрезок на один и тот же единичный вектор вдоль прямой: если оба вектора равны одному и тому же единичному шагу, то коэффициент равен 1.

Решаем задачу строго в векторном смысле, а не просто по длинам. Здесь все точки лежат на одной прямой и делят её на равные последовательные отрезки, значит удобно ввести единичный направленный отрезок вдоль прямой: например, считать, что вектор →AB — это один «шаг» вправо.

Тогда:

→AD = →AB + →BC + →CD, то есть это три одинаковых шага вправо, значит |→AD| = 3 таких шага и направление совпадает с направлением →AB.

А вектор →CE идёт от C к E, то есть включает два равных отрезка: →CE = →CD + →DE. Это два шага вправо, значит его длина в 2 раза меньше, чем у →AD, а направление то же самое.

Следовательно,

→CE = (2/3) →AD.

Значит, k = 2/3.

Почему здесь легко ошибиться? Многие ученики смотрят только на числа 2 и 3 и либо пишут 3/2 по «обратному отношению», либо забывают, что коэффициент в записи →CE = k→AD показывает, во сколько раз второй вектор надо умножить, чтобы получить первый. Нужно именно отношение |→CE| / |→AD| = 2/3, а не наоборот.

Ещё одна типичная ошибка — поставить минус без причины. Отрицательный коэффициент появляется только тогда, когда векторы направлены в противоположные стороны. Здесь оба вектора направлены вправо, значит знак положительный.

Полезная стратегия на ЕГЭ: если все точки на прямой и соседние отрезки равны, сразу выражайте каждый вектор через один и тот же базовый «шаг». Тогда задача сводится к сравнению количества шагов и их направления. Это быстрее и надёжнее координатного метода.

Ключевая идея здесь — не «смотреть на буквы», а перевести геометрическую картину в сравнение длин и направлений векторов. Для вектора на прямой произведение на число означает следующее: если k > 0, то вектор k\vec v сонаправлен с \vec v и в |k| раз длиннее; если k < 0, то направление меняется на противоположное, а длина по-прежнему умножается на |k|.

Здесь точки A, B, C, D, E расположены равномерно на одной прямой, причём A — это начало отсчёта, а E находится на 4 единицы правее A. Значит, весь отрезок AE имеет длину 4. Поскольку между соседними точками равные промежутки и от A до E всего 4 единицы, то точки можно мысленно представить как A=0, B=1, C=2, D=3, E=4.

Тогда вектор \overrightarrow{AE} направлен вправо и имеет длину 4, а вектор \overrightarrow{AC} тоже направлен вправо, но его длина равна 2. Оба вектора сонаправлены, значит коэффициент k должен быть положительным. Сравниваем длины:

\(|\overrightarrow{AE}| = 4\), \(|\overrightarrow{AC}| = 2\), поэтому \(\overrightarrow{AE} = 2\,\overrightarrow{AC}\).

Следовательно, k = 2.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• сначала обязательно определяйте направление векторов: если направления разные, коэффициент отрицательный;
• затем считайте сколько равных промежутков содержит каждый вектор;
• не путайте длину вектора с количеством точек: важны именно отрезки между соседними точками, а не сами точки;
• если векторы сонаправлены, коэффициент равен отношению их длин; если противоположно направлены — берётся то же отношение, но со знаком минус.

В этой задаче направление одинаковое, поэтому знак положительный, а отношение длин равно 4/2 = 2.

Ключевая идея здесь очень простая, но в задачах на векторы её часто портят невнимательностью: при умножении вектора на число меняются длина и, возможно, направление. Если число положительное, направление сохраняется; если отрицательное — вектор направлен в противоположную сторону. В нашей задаче знак положительный, потому что \(\vec{AD}\) и \(\vec{AB}\) направлены в одну сторону вдоль одной прямой.

Разберёмся по шагам. Так как точки A, B, C, D, E лежат на одной прямой и соседние отрезки равны, то вектор \(\vec{AB}\) — это один «шаг» по прямой. Вектор \(\vec{AD}\) идёт от A до D, а это уже три таких равных шага: A \to B, B \to C, C \to D. Значит, длина \(\vec{AD}\) в три раза больше длины \(\vec{AB}\), и направление совпадает.

Следовательно, \(\vec{AD} = 3\vec{AB}\), то есть k = 3.

Почему здесь нельзя написать, например, 4? Частая ошибка — считать не количество отрезков от A до D, а количество точек или «видимых делений» на рисунке. Коэффициент в записи \(\vec{AD} = k\vec{AB}\) равен именно числу векторных шагов, а не числу промежуточных точек. Ещё одна типичная ошибка — забыть про знак. Если бы вектор был, например, \(\vec{DA}\), то он был бы направлен в противоположную сторону, и тогда коэффициент был бы -3, а не 3.

Полезная проверка для ЕГЭ: мысленно заменяйте векторы на «стрелки» на прямой. Если одна стрелка в три раза длиннее другой и смотрит туда же, коэффициент равен 3; если в обратную сторону — -3. Это помогает быстро решать такие задания без формул и уменьшает риск ошибиться в знаке.

Решаем задачу строго по смыслу записи вектора на прямой: нужно не просто сравнить длины, а учесть направление.

Так как точки расположены в порядке A, B, C, D, E и AB = BC = CD = DE, все соседние отрезки равны. Это значит, что удобно ввести один базовый вектор, например \overrightarrow{AB}. Тогда:

• \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB},
• \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB},
• \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB}.

Теперь выразим нужный вектор \overrightarrow{CE} через этот базовый вектор. От точки C до точки E нужно пройти два равных отрезка: CD и DE. Значит,

\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = 2\,\overrightarrow{AB}.

Но в условии стоит \overrightarrow{BA}, а это вектор, противоположный \overrightarrow{AB}. Поэтому

\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}.

Подставляем:

\overrightarrow{CE} = 2\,\overrightarrow{AB} = -2\,\overrightarrow{BA}.

Следовательно, k = -2.

Почему здесь легко ошибиться? Частая ошибка — написать k = 2, считая только длины. Но вектор — это не только длина, но и направление. Вектор \overrightarrow{CE} направлен вправо, а \overrightarrow{BA} — влево, поэтому коэффициент должен быть отрицательным.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если вектора сонаправлены, коэффициент положительный; если противоположно направлены — отрицательный. А числовой модуль коэффициента равен отношению длин соответствующих векторов. Здесь длина CE в 2 раза больше BA, значит модуль равен 2, а знак минус появляется из-за противоположных направлений.

Ключевая идея здесь очень простая, но на экзамене именно на ней часто делают ошибки: при умножении ненулевого вектора на число знак этого числа определяет направление результата.

Если b = ka, то:

• при k > 0 вектор b сонаправлен с a;
• при k < 0 вектор b направлен противоположно вектору a;
• при k = 0 получился бы нулевой вектор, но в этой задаче он не рассматривается, потому что исходный вектор ненулевой и множитель не равен нулю.

В нашем случае b = -3/5a. Множитель -3/5 отрицательный, значит вектор b направлен в противоположную сторону относительно a.

Почему ответ не «коллинеарны»? Потому что коллинеарность здесь уже задана самой формулой b = ka: один вектор выражен через другой как число, умноженное на вектор, следовательно, они лежат на одной прямой (или параллельны). Но вопрос спрашивает не просто факт коллинеарности, а именно взаимное направление. А это уже зависит от знака числа.

Почему ответ не «нельзя определить»? Потому что информации достаточно: знак скалярного множителя известен. Для определения направления не нужно рисовать вектор и не нужны координаты.

Итог: векторы a и b имеют противоположное направление.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если перед вектором стоит минус, сразу вспоминайте: направление меняется на противоположное. Если минуса нет и число положительное, направление сохраняется. Это самый надёжный способ избежать типичной ошибки — путаницы между «коллинеарны» и «сонаправлены».

Ключевое свойство умножения вектора на число такое: число влияет и на длину, и на направление результирующего вектора.

Если k > 0, то вектор kv сонаправлен с вектором v. Его длина увеличивается или уменьшается в |k| раз, но направление сохраняется.

Если k < 0, то вектор kv противоположно направлен вектору v. При этом длина снова меняется в |k| раз, а знак минус означает разворот на 180°.

В нашей задаче дано u = -3v. Здесь скаляр равен -3, то есть он отрицательный. Следовательно, вектор u получен из v умножением на отрицательное число, значит, u и v направлены в противоположные стороны.

Почему не «сонаправлены»? Потому что минус меняет направление. Частая ошибка на ЕГЭ — замечать только модуль числа 3 и игнорировать знак. Но именно знак скаляра здесь определяющий.

Почему не «перпендикулярны»? Умножение на число не поворачивает вектор на произвольный угол: оно оставляет его на той же прямой. Поэтому векторы v и u всегда коллинеарны. В этой задаче коллинеарность есть, а из-за отрицательного коэффициента она приводит именно к противоположной направленности.

Почему не «нельзя определить»? Направление как раз можно определить однозначно, потому что в условии явно указан знак числа. Если бы было написано, например, u = kv без указания знака k, тогда действительно понадобилось бы дополнительное условие. Но при k = -3 ответ однозначен.

Как быстро решать такие задачи на экзамене:

1. Посмотрите, ненулевой ли вектор стоит справа. Если вектор ненулевой, направление корректно обсуждать.
2. Определите знак скаляра.
3. Если знак положительный — векторы сонаправлены, если отрицательный — противоположно направлены.

Значит, правильный ответ: противоположно направлены.