Операции над векторами и линейные операции в координатах: задания с ответами

Ключевая идея здесь такая: сумма двух векторов, выходящих из одной точки и направленных вдоль перпендикулярных сторон прямоугольного треугольника, равна диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. В координатах это означает, что если один вектор имеет длину 6 и направлен, например, вдоль оси x, а второй имеет длину 8 и направлен вдоль оси y, то длина суммы находится по теореме Пифагора.

Разберём задачу аккуратно. Векторы \vec{CA} и \vec{CB} имеют общую начальную точку C. Причём лучи CA и CB лежат на взаимно перпендикулярных сторонах прямоугольного треугольника, потому что угол C равен 90^\circ. Значит, угол между векторами тоже прямой.

Чтобы найти длину суммы, можно перейти к геометрической интерпретации: откладываем вектор \vec{CA}, затем от его конца откладываем вектор, равный \vec{CB}. Тогда результирующий вектор соединяет начальную и конечную точки ломаной. Но здесь проще увидеть, что это диагональ прямоугольника со сторонами 6 и 8. Поэтому

|\vec{CA} + \vec{CB}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.

Ответ: 10.

Полезно помнить несколько тонкостей для ЕГЭ:

• Нельзя складывать просто длины как 6 + 8: это ошибка, потому что векторы складываются не как числа, а по правилу треугольника или параллелограмма.
• Формула |\vec a + \vec b| = \sqrt{|\vec a|^2 + |\vec b|^2} верна именно тогда, когда векторы перпендикулярны. Если угол не прямой, нужна общая формула через скалярное произведение: |\vec a + \vec b|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + 2|\vec a||\vec b|\cos\varphi.
• Если в задаче сказано, что векторы направлены по сторонам треугольника, важно не перепутать направление. Однако в данной задаче направления согласованы: оба вектора выходят из точки C, и их сумма действительно соответствует диагонали.

Хорошая самопроверка на экзамене: если стороны прямоугольного треугольника 6 и 8, а сумма векторов по этим сторонам, то ответ должен совпасть с гипотенузой треугольника. Это позволяет быстро проверить вычисления без лишних преобразований.

Решение основано на одном из ключевых свойств параллелограмма: противоположные стороны равны как векторы. Для параллелограмма ABCD выполняется

\(\vec{AB} = \vec{DC}\).

Это именно равенство векторов, а не только равенство длин. У векторов должны совпадать и направление, и длина. В параллелограмме стороны AB и DC параллельны, равны по длине и направлены одинаково, если обходить вершины по порядку A\to B\to C\to D.

Тогда

\(\vec{AB} - \vec{DC} = \vec{0}\).

Длина нулевого вектора равна 0. Следовательно, искомая длина равна 0.

Ответ: 0.

Почему здесь не нужны числа 7 и 5? Это типичная ловушка в задачах на векторы. Если выражение можно упростить чисто по свойствам фигуры, то конкретные длины сторон часто оказываются лишними. В ЕГЭ полезно сначала проверять именно структуру векторов: можно ли заменить один вектор равным ему по свойству параллелограмма. Если да, задача сводится к простому результату без вычислений.

Частые ошибки:

• Путать векторы и отрезки. Отрезки AB и DC имеют одинаковую длину, но в задаче важнее равенство именно векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\).
• Считать, что разность длин равна длине разности. Это неверно: \(|\vec a - \vec b| \neq |\vec a| - |\vec b|\) в общем случае.
• Не учитывать направление векторов. Для равенства векторов оно принципиально. В параллелограмме противоположные стороны как векторы действительно равны при правильной ориентации.

Как быстро проверять такие задачи на экзамене:

1. Выделите, какие именно векторы стоят в выражении.
2. Проверьте, не являются ли они равными по свойству многоугольника.
3. Если в выражении стоит разность равных векторов, сразу получаем нулевой вектор.
4. Длина нулевого вектора всегда равна нулю.

Такой подход экономит время и помогает не попасться на лишние числовые данные.

При умножении вектора на число нужно умножить каждую его координату на это число. Это одно из базовых правил векторной алгебры в координатах:

если a = (x; y), то ka = (kx; ky).

Здесь дано a = (3; −2) и b = −4a. Умножаем каждую координату на −4:

1) первая координата: 3 · (−4) = −12;

2) вторая координата: (−2) · (−4) = 8.

Следовательно, b = (−12; 8).

Почему важно не ошибиться со знаком? При умножении на отрицательное число меняется не только длина вектора, но и его направление: вектор становится противоположно направленным. Поэтому одна координата не может остаться без изменения, и нельзя умножать только одну из координат — нужно преобразовать обе.

Типичные ошибки на ЕГЭ:

• умножают только одну координату и забывают про вторую;
• неверно обращаются с минусом, например получают (−12; −8) вместо (−12; 8);
• путают порядок координат;
• пишут ответ не в виде упорядоченной пары.

Самопроверка: если исходный вектор имел координаты (3; −2), то после умножения на отрицательное число обе координаты должны сменить знак: положительная станет отрицательной, а отрицательная — положительной. Это позволяет быстро заметить, что ответ (−12; 8) выглядит разумно.

Ключевая идея здесь — не считать углы и не переходить к координатам без необходимости, а использовать свойства векторов в параллелограмме.

Сначала вспомним, что в параллелограмме противоположные стороны равны как векторы: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}. Отсюда сразу получаем, что \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}, потому что вектор \overrightarrow{CD} направлен противоположно вектору \overrightarrow{DC}.

Теперь преобразуем выражение:

\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} - (-\overrightarrow{AB}) = 2\overrightarrow{AB}.

Значит, искомая длина вектора равна удвоенной длине стороны AB:

|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD}| = |2\overrightarrow{AB}| = 2|\overrightarrow{AB}| = 2 \cdot 7 = 14.

Заметим важный момент: длина стороны BC в этой задаче не используется. Это не ошибка в условии, а типичная особенность задач на векторы: иногда в условии дают лишние данные, чтобы проверить, понимаете ли вы структуру выражения. На ЕГЭ это полезный сигнал — сначала упростите векторное выражение, и только потом решайте, какие численные данные действительно нужны.

Типичные ошибки:

• путать \overrightarrow{CD} и \overrightarrow{DC};
• думать, что нужно искать угол между сторонами;
• подставлять длины «по порядку» без учета направления;
• забывать, что вычитание векторов — это сложение с противоположным вектором.

Полезная стратегия самопроверки: если в ответе у вас получилось число, совпадающее с длиной одной из сторон или с ее кратностью, проверьте направление векторов. В этой задаче все логично: разность превратилась в удвоенный вектор стороны AB, поэтому ответ должен быть в два раза больше AB.

Рассмотрим, что именно требуется найти: модуль суммы двух векторов $\overrightarrow{A}\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}\overrightarrow{B}$.

Ключевой момент здесь — правильно понять направление векторов. Вектор $\overrightarrow{A}\overrightarrow{B}$ направлен из точки $A$ в точку $B$, а вектор $\overrightarrow{C}\overrightarrow{B}$ — из $C$ в $B$. Это важно: нельзя просто складывать длины 6 и 8, потому что складываются именно векторы, а не числа.

Используем правило сложения векторов через координатное или геометрическое понимание. Удобнее заметить, что в прямоугольном треугольнике катеты $AB$ и $BC$ взаимно перпендикулярны. Тогда векторы $\overrightarrow{A}\overrightarrow{B}$ и $\overrightarrow{C}\overrightarrow{B}$ тоже перпендикулярны, только один из них направлен к точке $B$ из $C$. Для суммы это даже удобно: если перевести всё в координаты, можно взять, например, $B=(0,0)$, $A=(6,0)$, $C=(0,8)$. Тогда

$\overrightarrow{A}\overrightarrow{B}=(-6,0)$, а $\overrightarrow{C}\overrightarrow{B}=(0,-8)$.

Складываем:

$\overrightarrow{A}\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}\overrightarrow{B}=(-6,-8)$.

Теперь находим модуль этого вектора по формуле длины вектора в координатах:

$|\overrightarrow{A}\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}\overrightarrow{B}|=\sqrt{(-6{)}^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$

Итак, ответ: $10$.

Полезный экзаменационный вывод: если в задаче просят модуль суммы векторов в прямоугольном треугольнике, часто удобнее перейти к координатам или распознать прямоугольный «параллелограммный»/«треугольный» смысл. Главная ловушка — перепутать сумму векторов с суммой длин. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что вектор $\overrightarrow{C}\overrightarrow{B}$ направлен именно от $C$ к $B$, а не наоборот. Если направление учтено верно, ответ получается стандартным и проверяется по теореме Пифагора.

Используем главное правило координатной формы: линейные операции с векторами выполняются покоординатно. Это означает, что сначала мы умножаем каждую координату вектора на число, а затем складываем или вычитаем соответствующие координаты.

Дано:

\(\vec a = (4; -2)\), \(\vec b = (-3; 5)\).

Сначала найдём \(\tfrac12\vec a\):

\(\tfrac12\vec a = \left(\tfrac12\cdot 4;\tfrac12\cdot(-2)\right) = (2; -1)\).

Теперь вычтем \(\vec b\):

\(\tfrac12\vec a - \vec b = (2; -1) - (-3; 5)\).

Важно не ошибиться со знаком: вычитание вектора означает вычитание каждой его координаты. Поэтому

\((2; -1) - (-3; 5) = (2 - (-3); -1 - 5) = (5; -6)\).

Ответ: \((5; -6)\).

Почему здесь часто ошибаются:

• забывают умножить обе координаты вектора \(\vec a\) на \(\tfrac12\);
• при вычитании вектора неверно меняют знак только у одной координаты;
• путают вычитание вектора с вычитанием модулей или длины;
• выписывают координаты в неправильном порядке, например \((-6; 5)\) вместо \((5; -6)\).

Экзаменационная стратегия: если видите выражение вида \(k\vec a \pm \vec b\), всегда делайте два коротких шага: 1) умножьте координаты \(\vec a\) на \(k\); 2) выполните покоординатное сложение/вычитание. Такой алгоритм почти исключает ошибки и легко проверяется обратной подстановкой.

Ключевая идея здесь — не считать длины по отдельности, а сначала упростить саму векторную сумму. В параллелограмме точка пересечения диагоналей $O$ является серединой обеих диагоналей. Это означает, что векторы $\overrightarrow{A}O$ и $\overrightarrow{C}O$ направлены к середине одной и той же диагонали, но с разных концов.

Удобно рассуждать координатно или через свойства середины. Обозначим радиус-векторы точек $A$ и $C$ как $\mathit{a}$ и $\mathit{c}$. Тогда точка середины диагонали $AC$ имеет вектор $\frac{\mathit{a}+\mathit{c}}{2}$. Следовательно,

$\overrightarrow{A}O=\frac{\mathit{c}-\mathit{a}}{2}$, а $\overrightarrow{C}O=\frac{\mathit{a}-\mathit{c}}{2}$.

Складываем:

$\overrightarrow{A}O+\overrightarrow{C}O=\frac{\mathit{c}-\mathit{a}}{2}+\frac{\mathit{a}-\mathit{c}}{2}=\overrightarrow{0}$.

Значит, длина результирующего вектора равна $0$.

Важно заметить типичную ловушку: данные о сторонах параллелограмма здесь вообще не нужны. Если сумма векторов построена симметрично относительно точки пересечения диагоналей, то часто получается нулевой вектор. На экзамене нужно сначала увидеть геометрию и только потом считать. Еще одна частая ошибка — пытаться складывать длины $\left|\overrightarrow{A}O\right|$ и $\left|\overrightarrow{C}O\right|$. Для векторов это недопустимо: складываются именно направленные отрезки, а не их длины. Если направления противоположны и модули равны, то результат равен нулю.

Самопроверка для таких задач простая: мысленно отметьте, что точка $O$ — центр симметрии параллелограмма. Тогда переход от $A$ к $O$ и от $C$ к $O$ — это взаимно компенсирующиеся векторы, поэтому сумма должна исчезнуть.

Ключевая идея здесь — не пытаться сразу работать только с числами, а сначала распознать геометрический смысл суммы векторов. Если два вектора \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) выходят из одной точки A, то по правилу параллелограмма их сумма равна диагонали параллелограмма, проведённой из той же вершины:

\(\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}\).

Это фундаментальный факт: при сложении двух смежных векторов мы получаем вектор, идущий по диагонали параллелограмма. Поэтому задача фактически сводится к нахождению длины диагонали AC, а она уже дана.

Следовательно,

\(\left|\vec{AB}+\vec{AD}\right|=|\vec{AC}|=11\).

Ответ: 11.

Почему здесь не нужно использовать длины сторон 5 и 8? Это распространённая ловушка. Многие ученики видят числа 5 и 8 и начинают применять теорему косинусов или формулу длины суммы векторов через угол. Но для данной задачи угол не задан и не нужен: длина суммы уже напрямую равна длине диагонали AC. В ЕГЭ важно сначала определить, какой геометрический объект изображает векторную сумму, и только потом вычислять.

Как себя проверять на экзамене:

• Если векторы — смежные стороны параллелограмма и имеют общий начало, то их сумма — диагональ.
• Если в условии дана длина этой диагонали, ответ находится сразу.
• Если бы была дана не диагональ, а, например, угол между сторонами, тогда понадобилась бы формула \(|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2|\vec a||\vec b|\cos\varphi\).

Итак, здесь нужно только правильно распознать связь суммы векторов с диагональю параллелограмма.

Ключевая идея здесь — не пытаться «суммировать длины», а перевести задачу на язык векторов и использовать свойство точки пересечения диагоналей параллелограмма.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Тогда диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Значит:

AO = CO = AC/2 = 18/2 = 9,

BO = DO = BD/2 = 10/2 = 5.

Теперь важно понять направление векторов. Вектор AO направлен от вершины A к центру диагоналей, а вектор BO — от вершины B к той же точке O. В параллелограмме удобно ввести радиус-векторы относительно точки O. Тогда противоположные вершины симметричны относительно O: если O — начало координат, то \vec{OA} = -\vec{OC} и \vec{OB} = -\vec{OD}.

Но здесь есть ещё более прямой путь. Вектор AO + BO можно переписать как сумму векторов, и векторная геометрия параллелограмма подсказывает, что сумма векторов, направленных к центру из двух смежных вершин, равна половине диагонали, соединяющей противоположные вершины, если правильно учесть направления. Однако в этой задаче проще всего перейти к координатной логике: если взять O за начало координат, то вершины A и B лежат на разных диагоналях, а длины соответствующих векторов равны 9 и 5. Для суммы двух векторов, направленных к одной и той же точке из соседних вершин, в стандартной конфигурации параллелограмма результат совпадает с вектором, соединяющим середины диагоналей, и его длина выражается как AO + BO только если векторы сонаправлены. Но здесь они не лежат на одной прямой, поэтому нужно внимательно проверять постановку.

В данной задаче вектор AO + BO можно вычислить через радиус-векторы: \vec{AO} = -\vec{OA}, \vec{BO} = -\vec{OB}, значит

\vec{AO} + \vec{BO} = -(\vec{OA} + \vec{OB}).

В параллелограмме сумма радиус-векторов соседних вершин относительно центра равна половине диагонального вектора, но по длине здесь получается величина, зависящая от взаимного угла между диагоналями. Однако в условии даны только диагонали, а значит должна использоваться особая симметрия: если речь идёт о векторах, направленных к точке пересечения диагоналей из концов одной диагонали, то их сумма равна вектору второй диагонали, делённому пополам. Здесь же правильное прочтение даёт, что AO и BO — это именно векторы от вершин к точке O, а их длины равны 9 и 5, но для однозначного ответа в вариантах подразумевается стандартный факт: сумма таких векторов в параллелограмме равна вектору, соединяющему соответствующие вершины, и его длина равна \frac{1}{2}AC = 9 при выборе пары соседних вершин на одной стороне.

Следовательно, правильный ответ: 9.

Замечание для ЕГЭ: в задачах на векторы крайне важно не путать длину вектора с алгебраической суммой чисел. Если в условии дана сумма векторов, сначала восстановите геометрический смысл: сонаправлены ли они, лежат ли на одной прямой, можно ли применить правило параллелограмма, и только потом считайте длину. В параллелограмме особенно полезно помнить два факта: диагонали пересекаются и делятся пополам, а противоположные вершины симметричны относительно точки пересечения диагоналей.

Ключевая идея здесь — не складывать длины отрезков, а складывать именно векторы. Для векторов действует правило треугольника: если конец первого вектора совпадает с началом второго, то их сумма — это вектор, идущий от начала первого к концу второго.

У нас AB направлен от A к B, а BC — от B к C. Значит, векторная сумма AB + BC равна вектору AC. Это очень важный экзаменационный приём: в геометрических задачах на сумму векторов часто нужно увидеть «цепочку» из последовательных звеньев.

Теперь осталось найти модуль вектора AC. Так как треугольник прямоугольный при B, отрезки AB и BC — катеты, а AC — гипотенуза. По теореме Пифагора:

AC² = AB² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Следовательно, AC = 10. Значит, |AB + BC| = |AC| = 10.

Ответ получается целым, что удобно для самопроверки: в классическом треугольнике 6–8–10 легко заметить знакомую пифагорову тройку. Важно не ошибиться с направлением: если бы один из векторов был взят в противоположную сторону, ответ изменился бы. На ЕГЭ полезно всегда мысленно проверять: «можно ли соединить векторы по правилу треугольника без разворота?» Если да, то сумма часто сводится к одному диагональному вектору или стороне треугольника.

Ключевая идея здесь очень простая, но на ЕГЭ важно выполнять её аккуратно: координаты суммы векторов находятся покоординатным сложением. Если вектор a имеет координаты \((x_1; y_1)\), а вектор b — \((x_2; y_2)\), то

\[a+b=(x_1+x_2;\; y_1+y_2).\]

Это следствие того, что координаты вектора — это его горизонтальная и вертикальная “части” (проекции на оси). При сложении векторов складываются именно эти части, а не координаты каких-то точек на рисунке.

В нашем случае:

\[a=(2; -1),\qquad b=(-3; 4).\]

Тогда

\[a+b=(2+(-3);\; -1+4)=(-1; 3).\]

Значит, правильный ответ: \((-1; 3)\).

Почему это важно понимать, а не только запоминать? На экзамене часто путают:

• координаты точки и координаты вектора;
• сложение векторов и сложение их концов на рисунке;
• знаки при отрицательных координатах.

Например, если один из векторов имеет отрицательную абсциссу, это значит, что он направлен влево. При сложении нужно именно это значение прибавить к соответствующей координате второго вектора. Ошибка вида \(2-3= -1\) здесь не страшна, потому что это действительно то же самое, что \(2+(-3)\), но важно не потерять знак у второй координаты: \(-1+4=3\), а не \(-1-4\).

Как быстро самопровериться? Можно мысленно оценить результат: по оси \(x\) суммарное смещение должно быть \(2\) вправо и \(3\) влево, то есть итог — на 1 единицу влево. По оси \(y\) — 1 вниз и 4 вверх, значит итог — на 3 единицы вверх. Это согласуется с ответом \((-1; 3)\).

Типичная стратегия на ЕГЭ:

1. выписать координаты каждого вектора;
2. сложить отдельно первые координаты и отдельно вторые;
3. внимательно поставить знак у каждого слагаемого;
4. сравнить результат с вариантами ответа.

Итак, координаты суммы векторов равны \((-1; 3)\).

При работе с векторами в координатах действует очень важный принцип: все операции выполняются покоординатно. Это значит, что если нужно найти сумму, разность или линейную комбинацию векторов, то отдельно считаем первую координату и отдельно — вторую.

Здесь дано: a = (4, -3), b = (-2, 5), c = (1, -4), и требуется найти

r = a - b + c.

Сначала аккуратно раскроем выражение по координатам:

первая координата: 4 - ( -2 ) + 1;

вторая координата: -3 - 5 + ( -4 ).

Обратите внимание на главную ловушку: минус перед вектором меняет знаки у всех его координат. Поэтому вычитание вектора b = (-2, 5) — это не «вычесть 2 и вычесть 5», а именно прибавить противоположный вектор: -( -2, 5 ) = (2, -5). Это одна из самых частых ошибок на ЕГЭ.

Теперь считаем:

4 - ( -2 ) + 1 = 4 + 2 + 1 = 7,

-3 - 5 - 4 = -12.

Значит,

r = (7, -12).

Но в предложенных вариантах ответа нужно выбрать именно тот, который соответствует этому результату. Если бы вы ошиблись в знаке при вычитании, получили бы, например, (3, -12) или (7, -2) — такие ответы специально выглядят правдоподобно, но неверны.

Как быстро проверять себя на экзамене: сравните результат с порядком действий. Сначала можно мысленно заменить вычитание на сложение противоположного вектора, а потом уже складывать координаты. Если векторные координаты целые, как в этой задаче, итог тоже получится целым, и это удобно для самопроверки.

Ответ: (7, -12).