Координаты и длина вектора: задания с ответами

Для вектора с координатами (x; y) квадрат длины находится по формуле

|u|² = x² + y².

Это одна из самых важных формул темы «Координаты и длина вектора»: если требуется именно квадрат длины, то корень извлекать не нужно. Это удобно на ЕГЭ, потому что ответ получается сразу, без лишних вычислений и риска ошибиться с округлением.

В нашем случае координаты вектора: x = −3, y = 4. Подставляем в формулу:

|u|² = (−3)² + 4² = 9 + 16 = 25.

Ответ: 25.

Частые ошибки, которых стоит избегать:

• путать длину и квадрат длины — тогда вместо 25 могут попытаться написать 5;
• не возводить отрицательное число в квадрат правильно: (−3)² = 9, а не −9;
• складывать координаты как −3 + 4 — это неверно, потому что длина вектора не находится сложением координат;
• брать модули и складывать их: |−3| + |4| = 7 — это тоже не формула длины.

Полезная самопроверка: если координаты целые, то квадрат длины всегда получается неотрицательным целым числом. Здесь действительно вышло 25, что согласуется с формулой.

Сначала найдем координаты разности векторов. Если a = (4, -1), а b = (-2, 3), то

a - b = (4 - (-2), -1 - 3) = (6, -4).

Далее используем формулу квадрата длины вектора: если вектор имеет координаты (x, y), то |v|² = x² + y². Это очень важно именно для задач такого типа: в ЕГЭ Профиль часто просят не саму длину, а именно её квадрат, чтобы не появлялись корни и лишние вычисления.

Тогда

|a - b|² = 6² + (-4)² = 36 + 16 = 52.

Ответ: 52.

Типичные ошибки, которых стоит избегать:

• перепутать порядок вычитания и посчитать b - a вместо a - b;
• забыть, что при вычитании вторая координата тоже вычитается: -1 - 3, а не -1 + 3;
• найти длину вместо квадрата длины и попытаться извлечь корень без необходимости;
• ошибиться со знаком отрицательного числа в квадрате: (-4)² = 16, а не -16.

Полезная самопроверка: после нахождения координат разности ответ должен быть неотрицательным числом, потому что квадрат длины всегда неотрицателен. Если у вас получилось отрицательное число, значит, где-то допущена ошибка.

Используем основную формулу координат вектора через координаты его начала и конца:

AB = (x_B − x_A, y_B − y_A).

Здесь известны координаты точки A(−2; 5) и вектор AB = (4; −3). Это значит, что при переходе из точки A в точку B:

• координата x увеличилась на 4;
• координата y уменьшилась на 3.

Тогда

x_B = x_A + 4 = −2 + 4 = 2,

y_B = y_A − 3 = 5 − 3 = 2.

Следовательно, B(2; 2).

Почему важно не ошибиться со знаком? Частая ошибка на ЕГЭ — перепутать, что вектор AB равен конец минус начало, а не наоборот. Если случайно написать A − B, можно получить неверные координаты. Ещё одна типичная ошибка — сделать одинаковую операцию с обеими координатами, не учитывая, что у вектора компоненты могут быть разными: одна может увеличивать, другая уменьшать.

Как быстро себя проверить? Подставьте найденную точку обратно: (2 − (−2), 2 − 5) = (4, −3). Совпало — значит, ответ верный.

Ответ: (2; 2).

Если вектор задан как \(\overrightarrow{AA}\), то его начало и конец совпадают: обе точки — это одна и та же точка A. По общей формуле координаты вектора находятся как разность координат конца и начала:

\(\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M;\, y_N - y_M)\).

Здесь M = N = A(4; -7), поэтому

\(\overrightarrow{AA} = (4 - 4;\, -7 - (-7)) = (0; 0)\).

Это и есть нулевой вектор. Важно понимать не только ответ, но и смысл: если точка не смещается, то перемещение равно нулю, значит обе координаты вектора должны быть нулями. Частая ошибка на ЕГЭ — подставить в ответ сами координаты точки (4; -7) или перепутать знак при вычислении разности. Но координаты вектора — это не координаты точки, а именно приращения по осям.

Итак, правильный ответ: (0; 0).

Сначала важно не перепутать две разные операции: длину вектора и квадрат длины. В задачах ЕГЭ по координатам почти всегда удобнее сначала найти координаты результирующего вектора, а уже потом применить формулу \(|\vec v|^2=x^2+y^2\). Это не только быстрее, но и уменьшает риск вычислительных ошибок, потому что не нужно извлекать корень.

1) Найдём сумму векторов по координатам:

\(\vec a+\vec b=(2+(-3),\,-1+4)=(-1,\,3)\).

Здесь частая ошибка — складывать не координаты, а «как получится» или забывать про знак у отрицательного числа. Особенно внимательно нужно относиться к записи \(2+(-3)\): это действительно \(-1\), а не \(5\).

2) Теперь используем формулу квадрата длины вектора с координатами \((x,y)\):

\(|\vec a+\vec b|^2=(-1)^2+3^2=1+9=10\).

Почему именно квадрат длины? Потому что в условии спрашивают не саму длину, а её квадрат. Если бы попросили длину, пришлось бы писать \(\sqrt{10}\), но здесь ответ — целое число \(10\).

Как себя проверять на экзамене: сначала кратко выпишите координаты суммы, затем убедитесь, что результат соответствует формуле \(x^2+y^2\). Если ответ должен быть квадратом длины, он всегда неотрицателен; это полезная самопроверка. Ещё одна хорошая привычка — мысленно оценить: если сумма координат небольшая, то и квадрат длины обычно получается не слишком большим. В нашей задаче вектор \((-1,3)\) явно даёт \(1+9=10\), что выглядит разумно.

Ответ: \(10\).

Если вектор OA задан координатами конца A(x, y), а его начало — в начале координат O(0,0), то длина вектора находится по формуле

|OA| = √(x² + y²).

Это по сути теорема Пифагора: координаты вектора образуют катеты прямоугольного треугольника, а длина вектора — его гипотенуза. Поэтому важно не путать координаты точки и длину: длина всегда неотрицательна и вычисляется через сумму квадратов, а не через сумму модулей.

Подставим координаты точки A(-6, 8):

|OA| = &radic>((-6)² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Здесь частая ошибка — забыть возвести отрицательное число в квадрат. Но квадрат любого числа, положительного или отрицательного, неотрицателен: (-6)² = 36, а не -36. Ещё одна типичная ошибка — остановиться на выражении √100 и не вычислить его до конца, хотя в тестах ЕГЭ обычно требуется окончательный числовой ответ.

Итак, длина вектора OA равна 10.

Сначала важно помнить главный принцип: при линейной комбинации векторов нужно работать по координатам, а не складывать их длины. Это одна из самых частых ошибок в заданиях ЕГЭ: если написано 2a - b + c, это не означает «взять длины и сложить/вычесть». Нужно отдельно найти координаты результирующего вектора.

Вычислим по шагам:

1) Умножим векторы на числа:

2a = 2·(2, -1) = (4, -2).

-b = -(-3, 4) = (3, -4).

Здесь особенно важно не забыть, что минус перед вектором меняет знак обеих координат.

2) Теперь сложим полученные векторы и c:

v = (4, -2) + (3, -4) + (1, 2) = (8, -4).

3) Найдём длину вектора по формуле:

|v| = √(8² + (-4)²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5.

Значит, правильный ответ: 4√5.

Почему это типичная задача на ловушку? Часто учащиеся либо:

• ошибаются в знаке при переходе от -b к координатам (например, пишут (-3, -4) вместо (3, -4));
• считают длины исходных векторов и пытаются линейно их комбинировать;
• находят координаты правильно, но ошибаются в формуле длины, забывая квадратный корень или один из квадратов.

Как себя проверять на экзамене: если результат получился координатами с «разумной» величиной, можно прикинуть длину: у нас вектор (8, -4), его длина должна быть больше 8? Нет, потому что это не модуль одной координаты, а корень из суммы квадратов, то есть около 8,9. Ответ 4√5 ≈ 8,94 выглядит правдоподобно. Такой быстрый контроль помогает ловить арифметические ошибки.

Координаты вектора находятся по правилу: из координат конца вычитают координаты начала. Для вектора AB начальная точка — это A, а конечная — B. Поэтому

\(\vec{AB} = (x_B - x_A;\ y_B - y_A)\).

Подставим координаты точек: \(x_A = -3\), y_A = 4\), \(x_B = 5\), \(y_B = -2\).

Тогда

\(x_B - x_A = 5 - (-3) = 8\),

\(y_B - y_A = -2 - 4 = -6\).

Следовательно, \(\vec{AB} = (8; -6)\).

Почему важно именно так: многие ошибки в этой теме связаны не с вычислениями, а с направлением вектора. Если перепутать начало и конец, получится вектор \(\vec{BA}\), а он равен \((-8; 6)\), то есть противоположен по направлению. Это типичная ловушка в ЕГЭ: ответ может выглядеть “почти правильным”, но отличаться знаками.

Как себя проверить: если из точки A(-3;4) перейти в точку B(5;-2), нужно сдвинуться вправо на 8 единиц и вниз на 6 единиц. Значит, координаты вектора действительно должны быть (8; -6). Вектор и его координаты согласуются с геометрическим смыслом движения по осям.

Ответ: (8; -6).

Координаты вектора находятся по правилу: координаты конца минус координаты начала. Это одна из базовых идей векторной геометрии на координатной плоскости.

Для вектора AB начало — точка A(-4; 1), конец — точка B(2; -3). Тогда

AB = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (2 - (-4); -3 - 1) = (6; -4).

Значит, правильный ответ: (6; -4).

Почему важно именно так? Вектор показывает перемещение из одной точки в другую, а перемещение по каждой координате — это разность соответствующих координат конца и начала. Если перепутать порядок вычитания, получится противоположный вектор. Например, (-4 - 2; 1 - (-3)) = (-6; 4) — это уже вектор BA, а не AB.

Типичные ошибки на ЕГЭ:

• путают начало и конец вектора;
• не учитывают знак отрицательных координат;
• складывают координаты вместо вычитания;
• берут только модуль изменения, забывая про знак.

Полезная самопроверка: если вектор направлен вправо, его первая координата обычно положительна; если вниз — вторая отрицательна. Здесь от точки A к точке B мы идём вправо на 6 клеток и вниз на 4 клетки, значит координаты действительно (6; -4).

Координаты вектора находятся по формуле: если вектор задан началом A(x_1; y_1) и концом B(x_2; y_2), то

\(\overrightarrow{AB} = (x_2-x_1;\ y_2-y_1)\).

Здесь начало и конец совпадают: речь идёт о векторе \(\overrightarrow{AA}\). Значит, и по оси x, и по оси y перемещение равно нулю:

\(x_2-x_1 = 4-4 = 0\),

\(y_2-y_1 = -7-(-7) = 0\).

Следовательно, вектор \(\overrightarrow{AA}\) — это нулевой вектор, его координаты равны \((0; 0)\).

Почему это важно для ЕГЭ: многие ошибочно подставляют в ответ координаты точки A, то есть (4; -7), но это координаты точки, а не вектора. Вектор с совпадающими началом и концом всегда нулевой, независимо от того, какие числа стоят у точки. Это один из самых частых «ловушечных» случаев.

Самопроверка: если от точки не происходит никакого смещения, то длина вектора должна быть 0. Координаты (0; 0) как раз дают длину \(\sqrt{0^2+0^2}=0\), значит ответ согласован.

Для параллелограмма ключевое свойство — противоположные стороны равны и параллельны. Если вершины идут по порядку A, B, C, D, то векторы →AB и →DC равны, а также →BC и →AD равны. Это даёт удобную формулу для поиска четвертой вершины.

Сначала найдём вектор →BC:

→BC = (4 - 7; 10 - 3) = (-3; 7).

Так как в параллелограмме →AD = →BC, то от точки A(2; -1) нужно перенести этот же вектор:

D = A + →BC = (2 + (-3); -1 + 7) = (-1; 6).

Можно проверить и по другой формуле: для параллелограмма с последовательными вершинами A, B, C, D выполняется D = A + C - B. Подставим координаты:

D = (2 + 4 - 7; -1 + 10 - 3) = (-1; 6).

Итак, координаты вершины D — (-1; 6).

На что важно обратить внимание на экзамене: часто ошибаются, если путают порядок вершин. Формула D = A + C - B верна именно для последовательного обхода вершин A-B-C-D. Если порядок другой, ответ будет другим. Ещё одна типичная ошибка — складывать координаты всех трёх точек без учёта того, что нужно вычесть координаты средней вершины B. Полезно после нахождения ответа мысленно проверить: вектор →AD должен совпадать с →BC по координатам.

Координаты вектора находятся по правилу: если A(x_1; y_1) — начало вектора, а B(x_2; y_2) — его конец, то

AB = (x_2 - x_1;\; y_2 - y_1).

Это одна из базовых формул координатной геометрии, и в ней важно не перепутать порядок вычитания: всегда координаты конца минус координаты начала. Если поменять порядок, получится вектор, противоположный по направлению.

В нашей задаче:

x_2 - x_1 = 5 - (-3) = 8,

y_2 - y_1 = -1 - 4 = -5.

Значит,

AB = (8; -5).

Ответ: (8; -5).

Полезная проверка для ЕГЭ: если точка B находится правее A, то первая координата вектора должна быть положительной; если ниже — вторая координата должна быть отрицательной. Здесь это выполняется, значит ответ выглядит разумно.

Типичные ошибки: 1) писать (-3 - 5; 4 - (-1)), то есть вычитать в неправильном порядке; 2) записывать координаты одной из точек вместо координат вектора; 3) забывать про скобки и знаки при вычитании отрицательного числа. Чтобы не ошибиться, удобно мысленно говорить: «из конца вычитаю начало».