Тригонометрические значения и элементарные соотношения: задания с ответами

Сначала определим, что можно узнать из условия. Дано sin x = -3/5, а угол x лежит в IV четверти, то есть между 3π/2 и 2π. Это очень важный момент: в IV четверти sin x < 0, cos x > 0. Если не учесть четверть, можно легко ошибиться со знаком ответа.

Далее используем основное тригонометрическое тождество:

sin²x + cos²x = 1.

Подставляем известное значение:

cos²x = 1 - sin²x = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25.

Значит, |cos x| = 4/5. Теперь определяем знак. Так как x в IV четверти, косинус положителен, следовательно:

cos x = 4/5.

Осталось учесть коэффициент 4 в выражении:

4cos x = 4 · 4/5 = 16/5.

Ответ: 16/5.

Почему здесь часто ошибаются? Во-первых, берут из тождества только модуль и забывают про четверть, получая -4/5 вместо 4/5. Во-вторых, находят cos x правильно, но не умножают на 4. В задачах такого типа важно делать проверку по схеме: знак по четверти → модуль через тождество → применение коэффициента. Это универсальный алгоритм для ЕГЭ Профиль.

Используем сразу две идеи: основное тригонометрическое тождество и знак функции в заданной четверти.

1) По условию известно, что sin x = -\dfrac{4}{5}. Значит, можно найти cos x из тождества

\[\sin^2 x + \cos^2 x = 1.\]

Подставляем:

\[\left(-\dfrac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1,\]

\[\dfrac{16}{25} + \cos^2 x = 1,\]

\[\cos^2 x = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}.\]

Отсюда

\[\cos x = \pm \dfrac{3}{5}.\]

2) Теперь определяем знак. Угол x лежит в четверти \dfrac{3\pi}{2} < x < 2\pi, то есть в IV четверти. В IV четверти sin x<0, а cos x>0. Значит, выбираем положительное значение:

\[\cos x = \dfrac{3}{5}.\]

3) Теперь умножаем на коэффициент 5:

\[5\cos x = 5\cdot \dfrac{3}{5} = 3.\]

Ответ: 3.

Как не ошибиться на ЕГЭ: очень частая ошибка — после тождества записать только модуль значения и забыть про четверть. Если бы знак не был учтён, можно было бы получить неверный ответ -3. Всегда делайте два шага: сначала находите значение по модулю, затем ставите правильный знак по четверти. И отдельно проверяйте, что в ответе учтён коэффициент перед тригонометрической функцией.

Решаем выражение по шагам, подставляя табличные значения тригонометрических функций для стандартных углов.

1) Вспоминаем значения:

• \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\),
• \(\cot 45^\circ = 1\),
• \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).

2) Подставляем их в выражение:

\(4\sin 30^\circ\cdot\cot 45^\circ\div\cos 60^\circ = 4\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 \div \frac{1}{2}.\)

3) Сначала выполняем умножение в числителе:

\(4\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = 2\).

Теперь делим на \(\frac{1}{2}\):

\(2 \div \frac{1}{2} = 2\cdot 2 = 4\).

Ответ: \(4\).

Полезная идея для ЕГЭ: в таких заданиях важно не торопиться и не путать \(\tan\) и \(\cot\). Для котангенса \(45^\circ\) значение действительно равно 1, а деление на дробь надо заменять умножением на обратную дробь. Частая ошибка — сначала неправильно вычислить табличные значения или забыть, что \(\div \frac{1}{2}\) увеличивает результат в 2 раза.

Проверка ответа тоже простая: если в выражении есть множитель \(\cot 45^\circ = 1\), то он не меняет значение; остаётся оценить, что \(4\cdot\frac{1}{2}=2\), а деление на \(\frac{1}{2}\) даёт \(4\). Это согласуется с вычислением.

Сначала определим, какие знаки имеют тригонометрические функции в указанной четверти. Интервал (\pi,\tfrac{3\pi}{2}) — это третья четверть. В третьей четверти sin α<0 и cos α<0, а значит при вычислении корня нужно обязательно выбрать отрицательный знак для косинуса.

Дано sin α = -¾. Используем основное тригонометрическое тождество:

sin² α + cos² α = 1.

Подставим значение синуса:

cos² α = 1 - sin² α = 1 - \left(-\frac34\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}.

Тогда

cos α = -\sqrt{\frac{7}{16}} = -\frac{\sqrt7}{4},

поскольку угол лежит в третьей четверти, где косинус отрицателен. Теперь умножаем на 5:

5\cos α = 5\cdot\left(-\frac{\sqrt7}{4}\right) = -\frac{5\sqrt7}{4}.

Итак, ответ: -\frac{5\sqrt7}{4}.

Типичная ошибка на ЕГЭ — взять \frac{\sqrt7}{4} без минуса. Это происходит, если забыть про четверть угла. Ещё одна распространённая ошибка — неверно возвести в квадрат дробь: важно помнить, что \left(\frac34\right)^2 = \frac{9}{16}, а не \frac{3}{16}. Если вы решаете такие задачи быстро, полезно каждый раз проверять два пункта: знак функции по четверти и точность вычисления по тождеству sin²+cos²=1.

Сначала нужно вспомнить табличные значения тригонометрических функций для стандартных углов. Это базовый навык ЕГЭ: почти всегда задача такого типа сводится к точной подстановке и аккуратным действиям с дробями и корнями.

Имеем:

• \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\),
• \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\).

Подставим их в выражение:

\[\dfrac{2\sqrt{3}\cdot \sin\frac{\pi}{6}}{\cos\frac{\pi}{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}\cdot \frac12}{\frac12}.\]

Теперь важно не ошибиться с делением на дробь. Деление на \(\frac12\) равносильно умножению на 2:

\[\dfrac{2\sqrt{3}\cdot \frac12}{\frac12}=2\sqrt{3}\cdot \frac12 \cdot 2=2\sqrt{3}.\]

Можно и короче: числитель после умножения даёт \(\sqrt{3}\), а затем \(\sqrt{3} : \frac12 = 2\sqrt{3}\). В любом случае ответ один и тот же.

Ответ: \(2\sqrt{3}\).

Типичные ошибки:

• путают значения \(\sin\frac{\pi}{6}\) и \(\cos\frac{\pi}{3}\), хотя оба равны \(\frac12\);
• забывают, что при делении на дробь нужно умножать на обратную;
• теряют множитель \(2\sqrt{3}\) при сокращении;
• делают неверный вывод о знаке, хотя здесь все величины положительны.

Как себя проверять на экзамене: если в выражении стоят углы \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{\pi}{3}\), полезно быстро вспомнить, что их синус и косинус часто дают одинаковые значения \(\frac12\). Тогда можно прикинуть порядок ответа: он должен быть пропорционален \(\sqrt{3}\), а не содержать лишних дробей или отрицательных знаков.

Используем табличные значения тригонометрических функций для стандартных углов:

• \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\),

• \(\cot 45^\circ = 1\), потому что при \(45^\circ\) катеты равны, значит \(\tan 45^\circ = 1\), а котангенс — обратная величина, тоже равна 1.

Теперь подставим значения в выражение:

\(2\cdot\sin 30^\circ\cdot\cot 45^\circ = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot 1\).

Сначала удобно перемножить коэффициент и дробь: \(2\cdot\frac{1}{2}=1\). Тогда получаем \(1\cdot 1=1\).

Ответ: \(1\).

Почему это задание типично для ЕГЭ Профиль: здесь проверяется не сложное преобразование, а уверенное знание табличных значений и аккуратность при работе с произведением. Частая ошибка — перепутать \(\sin 30^\circ\) и \(\cos 30^\circ\), а также забыть, что \(\cot 45^\circ = 1\), а не \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) и не \(\sqrt{3}\). Ещё одна ловушка — неверно сокращать дроби: нужно видеть, что множитель \(2\) полностью компенсирует \(\frac12\).

Как проверять себя на экзамене: если в выражении есть произведение табличных значений, сначала мысленно замените каждую функцию числом, затем упростите обычную арифметику. Если после подстановки получилось число, которое легко проверить устно, значит вычисление, скорее всего, выполнено верно. Для подобных заданий важнее не скорость «вслепую», а чёткая последовательность: формула → табличное значение → подстановка → упрощение.

Используем основное тригонометрическое тождество:

sin²x + cos²x = 1.

Так как sin x = \frac{3}{5}, получаем

cos²x = 1 - sin²x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.

Значит,

|cos x| = \frac{4}{5}.

Теперь обязательно учитываем четверть. Угол x лежит в третьей четверти, а в третьей четверти синус и косинус оба отрицательны. Следовательно,

cos x = -\frac{4}{5}.

Тогда

4\cos x = 4 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{16}{5}.

Это типичная ловушка ЕГЭ: сначала находят модуль косинуса по тождеству, а потом забывают про знак в нужной четверти. Если бы знак четверти не был указан, ответ был бы неоднозначным: могли бы получиться два значения, \pm \frac{16}{5}. Здесь же четверть задана, поэтому ответ единственный.

Используем стандартную связь между тангенсом, синусом и косинусом:

tg α = sin α / cos α. Если тангенс известен как положительная дробь 3/4, удобно представить угол через прямоугольный треугольник: противолежащий катет равен 3, прилежащий — 4. Тогда гипотенуза по теореме Пифагора равна 5.

Из этого сразу получаем модуль косинуса:

|cos α| = 4/5.

Но здесь важно учесть четверть. Угол α лежит в (π, 3π/2), то есть в III четверти. В III четверти и синус, и косинус отрицательны, а тангенс положителен. Значит,

cos α = -4/5.

Теперь умножаем на 5:

5cos α = 5 · (-4/5) = -4.

Итак, правильный ответ: -4.

Типичная ошибка на ЕГЭ — найти только модуль косинуса и забыть про знак. Если бы не учитывать четверть, можно было бы ошибочно ответить 4. Ещё одна частая ошибка — перепутать стороны треугольника: при tg α = 3/4 именно отношение катетов равно 3:4, а не наоборот. После этого гипотенуза обязательно находится через 3^2 + 4^2 = 5^2, и это даёт классическую тройку 3–4–5.

Как себя проверять: если тангенс положителен и угол в III четверти, то косинус должен быть отрицательным. Поэтому ответ тоже должен быть отрицательным. Это хороший быстрый контроль на экзамене.

Сначала вспомним табличные значения тригонометрических функций для стандартных углов:

\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Теперь подставим их в выражение:

2\sqrt{2}\cdot \sin 45^\circ\cdot \cos 30^\circ = 2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.

Дальше удобно сначала перемножить множители, где есть корни и двойки:

2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\cdot \sqrt{2} = 2.

Тогда всё выражение становится:

2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.

Ответ: \sqrt{3}.

Полезно помнить типичную ошибку: многие вместо точных значений подставляют приближённые числа или путают \sin 45^\circ и \cos 45^\circ. На ЕГЭ Профиль в таких заданиях важно сразу узнавать табличные значения и аккуратно сокращать множители. Если в выражении есть корни и дроби, удобно сначала упростить «крупные» множители, а уже потом домножать оставшиеся числа — так меньше шанс ошибиться.

Используем основную связь между тангенсом, синусом и косинусом. Если tg α = 3/4 и угол α лежит в первой четверти, то и синус, и косинус положительны. Это важно: в задачах на четверть знак ответа определяется не только формулой, но и положением угла.

По определению тангенса можно представить отношение катетов прямоугольного треугольника: противолежащий катет равен 3, прилежащий — 4. Тогда гипотенуза находится по теореме Пифагора:

c = √(3² + 4²) = √25 = 5.

Теперь находим косинус:

cos α = 4/5, потому что косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тогда

5cos α = 5 · 4/5 = 4.

Ответ 4.

Полезно помнить общий приём для ЕГЭ: если дан tg α = a/b, то удобно мысленно брать катеты a и b, затем находить гипотенузу как √(a²+b²). После этого cos α = b/√(a²+b²), а sin α = a/√(a²+b²). Частая ошибка — перепутать, какой катет соответствует косинусу, или забыть учесть четверть. В первой четверти знак положительный, поэтому здесь ответ не требует модуля и не меняет знак.

Здесь важно не вычислять всё «в лоб», а увидеть формулу приведения. Выражение cos(α + π/2) связано с синусом угла α по формуле:

cos(α + π/2) = -sin α.

Это одна из самых полезных формул приведения: сдвиг аргумента на π/2 превращает косинус в синус, но знак зависит от конкретной формы сдвига. Именно здесь многие ошибаются: путают cos(α + π/2) и cos(α - π/2), у которых знаки разные.

Подставим известное значение:

cos(α + π/2) = -sin α = -(-3/5) = 3/5.

Теперь учтём коэффициент 2:

2cos(α + π/2) = 2 · 3/5 = 6/5.

Почему условие о промежутке π < α < 3π/2 вообще дано? Оно указывает, что угол лежит в III четверти. Для синуса в III четверти знак отрицательный, и это согласуется с тем, что sin α = -3/5. В подобных задачах промежуток нужен не для вычисления самой формулы приведения, а чтобы правильно определить недостающее значение и убедиться, что данные не противоречат друг другу.

Если бы надо было находить, например, cos α, тогда использовали бы основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1,

то есть cos²α = 1 - 9/25 = 16/25, а затем по III четверти выбрали бы отрицательный корень: cos α = -4/5. Но в этой задаче это не требуется: достаточно формулы приведения.

Ответ: 6/5.

Как самопроверка в ЕГЭ: если выражение содержит α + π/2, почти всегда нужно помнить связь cos(α + π/2) = -sin α и внимательно следить за знаком. Самая частая ошибка — правильно найти модуль, но потерять знак при переходе к формуле приведения.

В этом задании проверяется умение подставлять табличные значения тригонометрических функций и аккуратно выполнять преобразования с корнями и дробями. Это типичная задача ЕГЭ профильного уровня: выражение короткое, но в нём легко допустить ошибку из-за невнимательности к значениям функций или к сокращению.

Шаг 1. Вспоминаем табличные значения. Для стандартных углов \(\dfrac{\pi}{6}\) и \(\dfrac{\pi}{3}\) имеем:

\[\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Это важный момент: именно здесь чаще всего делают ошибку, путая синус и косинус для углов \(\pi/6\) и \(\pi/3\). Полезно помнить симметрию: значения \(\sin\frac{\pi}{6}\) и \(\cos\frac{\pi}{3}\) равны \(\frac12\), а \(\cos\frac{\pi}{6}\) и \(\sin\frac{\pi}{3}\) равны \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Шаг 2. Подставляем значения в выражение:

\[\frac{\sqrt{3}\cdot \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.\]

Шаг 3. Упрощаем. В числителе получаем:

\[\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}.\]

Тогда всё выражение равно:

\[\frac{3/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.\]

Можно также заметить более короткий путь: поскольку \(\cos\frac{\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{3}\), дробь \(\frac{\cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{3}}\) равна 1, и тогда остаётся только \(\sqrt{3}\). Это хороший способ самопроверки: если в числителе и знаменателе стоят одинаковые табличные значения, они сокращаются.

Ответ: \(\sqrt{3}\).

Типичные ошибки:

• подставить вместо \(\cos\frac{\pi}{6}\) значение \(\frac12\), перепутав его с \(\sin\frac{\pi}{6}\);
• не сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе;
• ошибочно считать, что \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}\), хотя на самом деле \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\).

На экзамене полезно сначала выписать табличные значения отдельно, а уже потом подставлять их в выражение. Это снижает риск ошибки и помогает быстро заметить сокращение.