Формулы приведения и преобразования аргумента: задания с ответами

Здесь ключевая идея — правильно учесть чётность и нечётность тригонометрических функций, а затем подставить табличные значения.

Напомним:

• косинус — чётная функция, то есть cos(−x)=cos x;
• синус — нечётная функция, то есть sin(−x)=−sin x.

Преобразуем выражение:

4cos(−π/3)·sin(−π/6)=4cos(π/3)·(−sin(π/6)).

Теперь используем табличные значения:

• cos(π/3)=1/2,
• sin(π/6)=1/2.

Тогда

4·(1/2)·(−1/2)=4·(−1/4)=−1.

Ответ: −1.

Полезно помнить типичную ловушку: знак у cos(−x) не меняется, а у sin(−x) меняется. В задачах ЕГЭ на формулы приведения это одна из самых частых причин ошибки. Ещё одна ошибка — сначала неверно ставить знак, а потом «компенсировать» его при вычислениях. Надёжная стратегия такая: сначала привести все отрицательные аргументы к положительным, затем подставить стандартные значения и только после этого выполнять арифметику.

Используем формулу приведения для тангенса:

$\mathrm{tg}(90°+x)=-\mathrm{ctg}\left(x\right).$

В нашей задаче $125°=90°+35°$, значит

$\mathrm{tg}(125°)=\mathrm{tg}(90°+35°)=-\mathrm{ctg}(35°).$

Тогда выражение преобразуется так:

$4·\mathrm{tg}(35°)·\mathrm{tg}(125°)=4·\mathrm{tg}(35°)·(-\mathrm{ctg}(35°\left)\right).$

Далее используем тождество $\mathrm{tg}\left(x\right)·\mathrm{ctg}\left(x\right)=1$ (при тех значениях $x$, где обе функции определены). Получаем:

$4·(-1)=-4.$

Ответ: -4.

Типичная ошибка здесь — забыть знак «минус» в формуле приведения для $\mathrm{tg}(90°+x)$. Ещё одна частая ошибка — перепутать $\mathrm{tg}$ и $\mathrm{ctg}$ и получить неверный знак или значение. Удобная стратегия на экзамене: сначала привести угол к виду $90°+x$, затем заменить тангенс через котангенс, а уже после этого сокращать произведение до числа.

Решаем по шагам, используя свойства косинуса и формулы приведения.

1. Учитываем чётность косинуса. Косинус — чётная функция, поэтому

\(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\).

Значит,

\(\cos(-150^\circ)=\cos(150^\circ)\).

2. Приводим угол к табличному. Угол \(150^\circ\) находится во II четверти и выражается как

\(150^\circ=180^\circ-30^\circ\).

Для косинуса угла вида \(180^\circ-\alpha\) верна формула приведения:

\(\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\).

Следовательно,

\(\cos(150^\circ)=\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.\)

3. Умножаем на коэффициент.

\(-2\cos(-150^\circ)=-2\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\sqrt3.\)

Ответ: \(\sqrt3\).

На что часто ошибаются на ЕГЭ:

• забывают, что косинус чётный, и пишут \(\cos(-150^\circ)=-\cos150^\circ\), хотя это неверно;
• путают знак при приведении \(180^\circ-\alpha\): для косинуса в II четверти знак минус;
• ошибаются в табличном значении \(\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), после чего теряют знак или коэффициент;
• неаккуратно умножают на внешний множитель \(-2\), из-за чего получают \(-\sqrt3\) вместо \(\sqrt3\).

Стратегия самопроверки: после приведения угла быстро определите четверть. Во II четверти косинус отрицателен, значит \(\cos150^\circ<0\). Тогда выражение \(-2\cos(-150^\circ)\) должно стать положительным, что и согласуется с ответом \(\sqrt3\).

Используем свойства тригонометрических функций и формулы приведения по шагам.

1. Учитываем чётность косинуса. Косинус — чётная функция, поэтому

\cos(-135^\circ)=\cos(135^\circ).

Это очень важный момент: при отрицательном аргументе у косинуса знак не меняется. Частая ошибка на ЕГЭ — по привычке писать минус, как у синуса.

2. Приводим угол к табличному. Угол 135^\circ лежит во II четверти, и

135^\circ=180^\circ-45^\circ.

По формуле приведения

\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha.

Значит,

\cos(135^\circ)=-\cos(45^\circ)=-\dfrac{\sqrt2}{2}.

3. Домножаем на коэффициент.

3\sqrt2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=3\cdot\left(-\dfrac{2}{2}\right)=-3.

Ответ: -3.

Как себя проверять на экзамене. Если угол отрицательный, сначала выясните, чётная функция или нечётная. Затем обязательно определите четверть или используйте формулу приведения: знак зависит не только от функции, но и от того, к какому углу вы привели выражение. После этого отдельно выполните умножение на коэффициент — в таких задачах именно этот последний шаг часто теряют.

Здесь используется одна из самых важных формул приведения для тангенса при сдвиге на π/2. Для тангенса верно:

tg(x + π/2) = -ctg x, а так как ctg x = 1 / tg x (если tg x определён и не равен 0), то можно переписать:

tg(x + π/2) = -1 / tg x.

Это ключевой момент: при сдвиге на π/2 тангенс не просто сохраняет знак или период, как при сдвиге на π, а переходит в обратную величину с минусом. Именно здесь многие ошибаются, подставляя либо tg x вместо -1/tg x, либо забывая знак.

Подставим известное значение:

tg(α + π/2) = -1 / tg α = -1 / (-2) = 1/2.

Ответ: 1/2.

Почему этот способ надёжный на экзамене? Для тангенса удобно помнить три связанные идеи:

• tg(x + π) = tg x — период равен π;
• tg(x + π/2) = -ctg x — при сдвиге на четверть периода тангенс “переворачивается”;
• ctg x = 1/tg x, поэтому можно выразить всё через известный tg x.

Типичные ошибки:

• путать период тангенса π с периодом тригонометрических функций вообще;
• писать tg(x + π/2) = 1/tg x без минуса;
• забывать, что формула приведения работает только тогда, когда исходное значение не приводит к неопределённости;
• не замечать, что задача просит именно значение тангенса после сдвига, а не после полного периода π.

Самопроверка: если tg α = -2, то после сдвига на π/2 ответ должен быть дробью с обратным числом 1/2 и с правильным знаком. Мы получили +, значит результат согласуется с формулой.

Сначала важно заметить, что углы 37° и 53° связаны формулой приведения как дополнительные: \(53^\circ = 90^\circ - 37^\circ\). Для синуса это особенно удобно, потому что

\[\sin(90^\circ - x)=\cos x.\]

Значит,

\[\sin 53^\circ = \sin(90^\circ-37^\circ)=\cos 37^\circ.\]

Тогда знаменатель дроби можно переписать так:

\[\sin^2 37^\circ + \sin^2 53^\circ = \sin^2 37^\circ + \cos^2 37^\circ.\]

Теперь используем основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 x + \cos^2 x = 1.\]

Следовательно, знаменатель равен 1, а вся дробь принимает значение

\[\frac{18}{1}=18.\]

Ответ: 18.

Почему это типичная задача ЕГЭ Профиль. В таких заданиях часто специально подбирают углы, связанные формулой приведения, чтобы знаменатель сводился к константе. Не нужно вычислять значения синуса или косинуса численно — это лишний путь и он повышает риск ошибки. Главная идея: увидеть пару вида \(x\) и \(90^\circ-x\), заменить одну функцию на другую через формулу приведения и затем применить тождество \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).

Частые ошибки:

• путают формулы приведения и пишут \(\sin(90^\circ-x)=\sin x\), хотя верно \(\cos x\);
• ошибаются в том, что при возведении в квадрат знак исчезает, поэтому здесь важно не значение знака, а именно переход к \(\cos^2 x\);
• пытаются подставлять приближённые значения, хотя задача решается точно и намного быстрее через тождества.

Стратегия самопроверки: если в знаменателе получилось \(\sin^2 x + \cos^2 x\), значит он равен 1. После этого дробь должна стать просто числителем. Если ответ не совпадает с числителем, где-то допущена ошибка в формуле приведения.

Используем свойства тригонометрических функций и формулы приведения последовательно, как это удобно делать на экзамене.

1) Угол -150^\circ отрицательный, а синус — нечётная функция. Это значит, что

\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha).

Поэтому

\sin(-150^\circ)=-\sin(150^\circ).

2) Теперь приводим угол 150^\circ к табличному. Заметим, что

150^\circ=180^\circ-30^\circ.

Для синуса выполняется формула приведения:

\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.

Следовательно,

\sin(150^\circ)=\sin(30^\circ)=\frac12.

Тогда

\sin(-150^\circ)=-\frac12.

3) Осталось умножить на коэффициент 6:

6\sin(-150^\circ)=6\cdot\left(-\frac12\right)=-3.

Ответ: -3.

Полезная проверка для ЕГЭ: сначала определите знак функции, потом сведите угол к табличному. Частая ошибка — забыть, что у синуса при отрицательном аргументе меняется знак, или неверно выбрать знак после приведения к углу вида 180^\circ-\alpha. Ещё одна типичная ошибка — сначала вычислить табличное значение, а потом забыть умножить на коэффициент.

Сначала нужно узнать, чему равен синус угла \(\frac{7\pi}{6}\). Это угол больше \(\pi\), но меньше \(\frac{3\pi}{2}\), значит он лежит в III четверти. В III четверти синус отрицателен.

Дальше используем формулу приведения или сразу узнаём опорный угол:

\(\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}\).

Тогда

\(\sin\left(\pi+\alpha\right)=-\sin\alpha\),

поэтому

\(\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}\).

Теперь учитываем множитель 3 перед функцией:

\(3\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2}\).

Почему здесь легко ошибиться: часто школьники находят правильное значение синуса, но забывают умножить на 3; либо путают знак в III четверти и пишут \(\frac{3}{2}\). Ещё одна типичная ошибка — взять неверный опорный угол, например спутать \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{\pi}{3}\).

Проверка себя на ЕГЭ: всегда делайте три шага: 1) определите четверть, 2) выделите табличный угол, 3) не забудьте про коэффициент перед функцией. Если все три шага выполнены, ответ получается быстро и без калькулятора.

Сначала нужно привести угол к такому, для которого значение тригонометрической функции известно по таблице. Здесь удобно использовать периодичность синуса: sin(α + 360°k) = sin α.

Имеем: 510° = 360° + 150°, значит sin 510° = sin 150°.

Теперь используем формулу приведения или опираемся на табличное значение:

sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2.

Тогда всё выражение равно:

−2sin 510° = −2 · 1/2 = −1.

Почему здесь важно не ошибиться:

• Сначала приводим угол, а не коэффициент.
• Знак у синуса в II четверти положительный: это частая ловушка, потому что некоторые автоматически ставят минус из-за угла больше 180°.
• Коэффициент −2 умножается уже на найденное значение функции, поэтому отрицательный знак сохраняется до конца.

Самопроверка: синус 150° положителен и равен 1/2, значит после умножения на −2 ответ должен быть отрицательным и по модулю равным 1. Это согласуется с вычислением.

Сначала приведём каждый аргумент к стандартному углу и аккуратно учтём свойства тригонометрических функций.

1. Синус угла \(\frac{13\pi}{6}\)

Заметим, что

\(\frac{13\pi}{6}=2\pi+\frac{\pi}{6}.\)

У синуса период \(2\pi\), значит

\(\sin\left(\frac{13\pi}{6}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.\)

Здесь важно не ошибиться: при добавлении полного периода значение функции не меняется.

2. Косинус угла \(-\frac{7\pi}{4}\)

Косинус — чётная функция, поэтому

\(\cos\left(-\frac{7\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right).\)

Теперь \(\frac{7\pi}{4}\) — это стандартный угол, и

\(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.\)

Типичная ошибка на этом шаге — забыть, что у косинуса знак не меняется при смене аргумента на противоположный.

3. Подставляем значения в выражение

\(\dfrac{3}{\sin\left(\frac{13\pi}{6}\right)\cdot \cos\left(-\frac{7\pi}{4}\right)}=\dfrac{3}{\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}.\)

В знаменателе:

\(\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}.\)

Тогда

\(\dfrac{3}{\sqrt{2}/4}=3\cdot\dfrac{4}{\sqrt{2}}=\dfrac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}.\)

Ответ: \(6\sqrt{2}\).

Как быстро самопровериться на ЕГЭ: если в знаменателе стоит произведение двух положительных значений \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), результат должен быть положительным и достаточно большим по модулю. Это помогает заметить ошибку в знаке ещё до окончательного ответа.

Используем два базовых факта: чётность/нечётность тригонометрических функций и табличное значение синуса.

1) Сначала работаем с отрицательным аргументом. Синус — нечётная функция, то есть sin(-x) = -sin(x). Поэтому

sin(-30^\circ) = -sin(30^\circ).

2) Из таблицы значений знаем, что sin(30^\circ) = 1/2. Тогда

sin(-30^\circ) = -1/2.

3) Подставляем в исходное выражение:

-2 · sin(-30^\circ) = -2 · (-1/2) = 1.

Итак, ответ: 1.

Как рассуждать на экзамене: не подставляйте сразу таблицу в отрицательный угол, если не уверены в знаке. Сначала вспомните свойство нечётности функции. Для синуса знак меняется при смене знака аргумента, а затем уже используйте табличное значение. Очень частая ошибка — написать sin(-30°)=1/2 и получить неверный знак в ответе.

Самопроверка: синус отрицательного угла отрицателен, значит sin(-30^\circ) должно быть отрицательным числом. В выражении стоит ещё и общий минус перед 2, поэтому итоговый ответ действительно получается положительным.

Используем формулы приведения и базовые значения тригонометрических функций.

Угол 210° лежит в третьей четверти: это 180° + 30°. Для синуса действует формула

sin(180° + α) = −sin α.

Значит,

sin(210°) = sin(180° + 30°) = −sin 30° = −1/2.

Теперь учитываем коэффициент перед функцией:

−2·sin(210°) = −2·(−1/2) = 1.

Итак, значение выражения равно 1.

Почему здесь легко ошибиться: часто путают знак после приведения угла. В третьей четверти синус отрицателен, поэтому минус на минус даёт плюс. Ещё одна типичная ошибка — сначала умножить коэффициент на модуль значения функции и потерять знак. В задачах ЕГЭ полезно всегда отдельно делать два шага: 1) привести угол и определить знак; 2) подставить табличное значение и только потом умножать на коэффициент.

Проверка: sin 30° = 1/2, а синус в третьей четверти отрицателен, значит результат должен быть отрицательным до умножения на −2. После умножения на отрицательное число итог становится положительным, что согласуется с ответом 1.