Формулы двойного угла и связанные преобразования: задания с ответами

Ключевая идея здесь — не вычислять отдельно sin и cos, а сразу увидеть стандартную формулу двойного угла:

\(\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a\).

Из неё следует равенство, которое часто путают со знаком:

\(\sin^2 a - \cos^2 a = -(\cos^2 a - \sin^2 a)= -\cos 2a\).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\(\dfrac{3(\sin^2 a-\cos^2 a)}{\cos 2a}=\dfrac{3(-\cos 2a)}{\cos 2a}.\)

Если cos 2a не равен нулю, дробь сокращается:

\(\dfrac{3(-\cos 2a)}{\cos 2a}=-3.\)

Значит, значение выражения равно −3.

Почему это важно для ЕГЭ Профиль: такие задания проверяют умение быстро распознавать формулу, а не подставлять числа или искать специальные значения угла. Если пытаться считать тригонометрические функции по отдельности, можно усложнить задачу или потерять знак. Здесь основная ловушка — забыть, что \(\sin^2 a-\cos^2 a\) равно именно минус косинусу двойного угла, а не просто \(\cos 2a\).

Самопроверка: после преобразования в числителе и знаменателе должен появиться одинаковый множитель \(\cos 2a\), который сокращается, и остаётся только коэффициент со знаком.

Используем формулу двойного угла для синуса:

sin(2x)=2sin x\,cos x.

В нашем выражении стоит произведение sin(π/12)cos(π/12), значит его удобно сразу свернуть в синус двойного угла:

\[8\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=4\cdot 2\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right).\]

Теперь остаётся вычислить значение синуса стандартного угла:

\[\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.\]

Следовательно,

\[4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=4\cdot\frac12=2.\]

Ответ: 2.

Почему этот приём важен на ЕГЭ? Часто в заданиях на преобразования специально дают произведение sin x·cos x с числовым коэффициентом, который надо «подогнать» под формулу двойного угла. Типичная ошибка — забыть, что формула содержит именно множитель 2: если написать просто sin x cos x = sin 2x, получится ошибка в 2 раза. Ещё одна частая ловушка — неверно вычислить стандартный угол после преобразования. Поэтому полезно сначала выделить 2sin x cos x, а затем только подставлять известное значение тригонометрической функции.

Самопроверка: после преобразования аргумент должен удвоиться, а коэффициент — либо сократиться с 2, либо перейти в удобное число. Если этого не произошло, значит формула применена неаккуратно.

Здесь важно заметить, что выражение специально составлено так, чтобы в нём одновременно использовались формула двойного угла и формулы дополнительных углов.

Сначала вспомним основные тождества:

1) \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\).

2) \(\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\).

3) \(\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha\).

Подставим эти формулы в исходную дробь:

\[\dfrac{\sin 2\alpha}{2\cos(90^\circ-\alpha)\,\sin(90^\circ-\alpha)}=\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cdot \sin\alpha\cdot \cos\alpha}.\]

Теперь видно, что числитель и знаменатель совпадают, значит дробь равна \(1\).

Обратите внимание: значение \(\sin\alpha=\dfrac35\) здесь на самом деле не нужно для вычисления ответа, но оно помогает убедиться, что \(\alpha\) — острый угол. Тогда \(\cos\alpha>0\), и формулы дополнительных углов работают без каких-либо знаковых неоднозначностей.

Ответ: \(1\).

Типичная ошибка — сразу пытаться находить \(\cos\alpha\) по формуле \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), хотя это лишний шаг. На ЕГЭ полезно сначала посмотреть, не сокращается ли выражение после замены по формулам. Здесь именно это и происходит: выражение построено так, что всё сокращается до единицы.

Как проверять себя: если в задаче встречаются \(\sin 2\alpha\), \(\sin(90^\circ-\alpha)\), \(\cos(90^\circ-\alpha)\), всегда полезно привести все функции к одному и тому же углу. Это самый надёжный способ избежать путаницы между формулой двойного угла и формулами дополнительных углов.

Здесь нужно увидеть, что в числителе стоит произведение sin a·cos a для одного и того же угла, а в знаменателе — sin 2a. Это типичная ситуация для применения формулы двойного угла:

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).

Подставим \(a=15^\circ\):

\(\sin 30^\circ = 2\sin 15^\circ\cos 15^\circ\).

Тогда исходная дробь принимает вид

\(\dfrac{12\sin 15^\circ\cos 15^\circ}{\sin 30^\circ} = \dfrac{12\sin 15^\circ\cos 15^\circ}{2\sin 15^\circ\cos 15^\circ}\).

Теперь можно сократить общий множитель \(\sin 15^\circ\cos 15^\circ\). Это законно, потому что он стоит и в числителе, и в знаменателе, а при выбранном угле он не равен нулю. Получаем:

\(\dfrac{12}{2}=6\).

Ответ: 6.

Важно для ЕГЭ. Частая ошибка — пытаться раскрывать \(\sin 30^\circ\) через таблицу значений, не замечая структуру дроби. В таких задачах выгоднее сначала привести выражение к одной формуле, а уже потом сокращать. Ещё одна ловушка — забыть, что в формуле двойного угла для синуса обязательно стоит множитель 2. Если его пропустить, ответ получится вдвое неверным.

Как себя проверять. После преобразования дробь должна стать числом, не зависящим от угла. Если после сокращения у вас остались тригонометрические функции, значит, где-то не до конца использована формула или неправильно сокращён множитель.

Ключевая идея здесь — связать выражение с формулой двойного угла и аккуратно использовать информацию о знаке косинуса, чтобы не потерять однозначность ответа.

Нам дано \(\sin x = \frac{3}{5}\) и указано, что \(\cos x > 0\). Это очень важное условие: оно означает, что угол \(x\) лежит в I четверти, значит косинус положителен. Тогда

\(\cos x = \sqrt{1-\sin^2 x} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5}.\)

Теперь найдём функции двойного угла. Используем стандартные формулы:

\(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\)

\(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.\)

Подставим:

\(\sin 2x = 2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25},\)

\(\cos 2x = 1 - 2\cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}.\)

Теперь подставим в исходное выражение:

\(\dfrac{1+\cos 2x}{\sin 2x} = \dfrac{1+\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}} = \dfrac{\frac{32}{25}}{\frac{24}{25}} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}.\)

Ответ: \(\frac{4}{3}\).

Почему это хороший приём для ЕГЭ? Иногда подобные выражения специально составляют так, чтобы после подстановки формул двойного угла возникало сокращение. Здесь, например, если заметить, что \(1+\cos 2x = 2\cos^2 x\), то можно решить ещё короче:

\(\dfrac{1+\cos 2x}{\sin 2x} = \dfrac{2\cos^2 x}{2\sin x\cos x} = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x.\)

Тогда сразу:

\(\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}.\)

Это очень полезная идея: иногда выражение лучше не считать «в лоб», а сначала преобразовать его с помощью тождеств. Так можно избежать громоздких вычислений и уменьшить риск ошибки.

Типичные ошибки:

1) Не учитывать знак косинуса. Из \(\sin x = \frac{3}{5}\) нельзя автоматически писать \(\cos x = \pm \frac{4}{5}\) без уточнения четверти. Здесь знак дан явно: \(\cos x>0\).

2) Перепутать формулы двойного угла. Частая ошибка — писать \(\cos 2x = 1 - 2\cos^2 x\) (это неверно) вместо правильных формул \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1\).

3) Не замечать упрощение. Выражение \(\frac{1+\cos 2x}{\sin 2x}\) почти сразу сворачивается к \(\cot x\), и это намного удобнее, чем отдельно находить оба значения и только потом делить.

Самопроверка: так как \(x\) в I четверти, то \(\cot x>0\), и ответ должен быть положительным. Получили \(\frac{4}{3}\), что согласуется с этим.

Ключевая идея здесь — увидеть формулу двойного угла для синуса:

\(\sin(2a)=2\sin a\cos a\).

Это одна из самых полезных формул в заданиях на упрощение: если в числителе стоит произведение \(\sin a\cos a\), а в знаменателе — \(\sin(2a)\), то выражение почти всегда можно свести к числу за счёт сокращения одинакового множителя.

Рассмотрим дробь:

\(\dfrac{6\sin a\cos a}{\sin(2a)}\).

Подставим формулу двойного угла в знаменатель:

\(\dfrac{6\sin a\cos a}{2\sin a\cos a}\).

Теперь сокращаем общий множитель \(\sin a\cos a\). Это допустимо только потому, что выражение должно быть определено, то есть \(\sin(2a)\neq 0\); иначе исходная дробь не имела бы смысла. После сокращения остаётся:

\(\dfrac{6}{2}=3\).

Значит, значение выражения равно 3.

Почему это типичная ловушка на ЕГЭ? Многие учащиеся либо забывают множитель 2 в формуле \(\sin(2a)=2\sin a\cos a\), либо сокращают только синус или только косинус, что неверно. Нужно сокращать именно общий полный множитель. Ещё одна ошибка — пытаться подставлять конкретный угол, хотя это не требуется: выражение тождественно упрощается для любого допустимого a.

Стратегия самопроверки: после замены полезно посмотреть, остаются ли одинаковые множители в числителе и знаменателе. Если всё сократилось до числа, ответ должен быть простым рациональным числом. Здесь это действительно 3.

Сначала заметим, что в выражении есть углы, связанные дополнительностью: \(70^\circ = 90^\circ - 20^\circ\). Для таких углов работает тождество \(\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\). Поэтому

\(\cos 70^\circ = \sin 20^\circ\).

Тогда числитель переписывается так:

\(2\sin 20^\circ\cdot \cos 70^\circ = 2\sin 20^\circ\cdot \sin 20^\circ = 2\sin^2 20^\circ\).

Теперь используем формулу двойного угла:

\(\sin 40^\circ = \sin(2\cdot 20^\circ)=2\sin 20^\circ\cos 20^\circ\).

Подставим это в дробь:

\(\dfrac{2\sin^2 20^\circ}{2\sin 20^\circ\cos 20^\circ}\).

Сокращаем на \(2\sin 20^\circ\) (это допустимо, так как \(20^\circ\) — острый угол, значит \(\sin 20^\circ\neq 0\)):

\(\dfrac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}=\tan 20^\circ\).

Итак, значение выражения равно \(\tan 20^\circ\).

Почему здесь важно именно так рассуждать? В подобных заданиях часто путают две идеи: связь дополнительных углов и формулу двойного угла. Если заменить только \(\cos 70^\circ\) на \(\sin 20^\circ\), но забыть про \(\sin 40^\circ\), дробь не упростится до конца. Если, наоборот, попытаться сразу применить формулу к \(\sin 20^\circ\), можно не увидеть удобного сокращения. На ЕГЭ полезно сначала привести все функции к одному базовому углу, а затем искать общий множитель для сокращения.

Проверка ответа тоже полезна: \(\sin 40^\circ\) положителен, \(\sin 20^\circ\) и \(\cos 20^\circ\) тоже положительны, значит результат должен быть положительным. \(\tan 20^\circ\) действительно положителен, что согласуется с вычислением.

Используем формулу двойного угла для синуса:

\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).

В нашем выражении в числителе стоит не просто произведение \(\sin 15^\circ\cos 15^\circ\), а именно оно умножено на 4. Это удобно переписать так:

\(4\sin 15^\circ\cos 15^\circ = 2\cdot(2\sin 15^\circ\cos 15^\circ)=2\sin 30^\circ\).

Теперь исходная дробь принимает вид:

\(\dfrac{2\sin 30^\circ}{\sin 30^\circ}=2\).

Такое сокращение допустимо, потому что \(\sin 30^\circ \neq 0\). Это важный экзаменационный момент: сначала нужно увидеть тождество, затем сократить одинаковые множители, и только потом вычислять. Если пытаться сразу подставлять численные значения, решение будет длиннее и возрастает риск арифметической ошибки.

Где часто ошибаются:

• теряют множитель 2 в формуле \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\);
• пишут \(4\sin 15^\circ\cos 15^\circ = \sin 30^\circ\), забывая, что здесь получается именно \(2\sin 30^\circ\);
• сокращают дробь без проверки, что знаменатель не равен нулю.

Итак, значение выражения равно \(2\).

Ключевая идея здесь — увидеть в числителе разность квадратов синуса и косинуса одного и того же угла. Для таких выражений очень полезно помнить формулу двойного угла:

\(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\).

Из неё сразу следует эквивалентная запись:

\(\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x\).

В нашей задаче \(x=15^\circ\), значит

\(\sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ = -\cos 30^\circ\).

Подставим это в исходное выражение:

\(\dfrac{6(\sin^2 15^\circ-\cos^2 15^\circ)}{\cos 30^\circ}=\dfrac{6(-\cos 30^\circ)}{\cos 30^\circ}\).

Так как \(\cos 30^\circ\neq 0\), можно сократить на \(\cos 30^\circ\):

\(\dfrac{6(-\cos 30^\circ)}{\cos 30^\circ}=-6\).

Однако здесь важно проверить знак: в формуле стоит минус. Если внимательно раскрыть, то

\(\sin^2 15^\circ-\cos^2 15^\circ=-(\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ)=-\cos 30^\circ\).

Следовательно, результат действительно равен \(-6\).

Но обратите внимание на экзаменационную логику: часто можно сначала преобразовать выражение в более узнаваемый вид, а потом уже сокращать. Здесь удобнее мыслить так: числитель содержит ровно тот же множитель \(\cos 30^\circ\), что и знаменатель, только с минусом. Это типичная задача на «сведение к числу через тождество»: не нужно вычислять \(\sin 15^\circ\) и \(\cos 15^\circ\) отдельно, достаточно увидеть формулу.

Частые ошибки:

• путают знак и пишут \(\sin^2 x-\cos^2 x=\cos 2x\), хотя верно \(-\cos 2x\);
• пытаются считать значения \(\sin 15^\circ\) и \(\cos 15^\circ\) напрямую, что дольше и повышает риск ошибки;
• забывают, что в знаменателе стоит \(\cos 30^\circ\), а не \(\cos 15^\circ\);
• сокращают выражение, не проверив, что знаменатель не равен нулю. Здесь это безопасно, потому что \(\cos 30^\circ=\sqrt3/2\neq 0\).

Итак, правильный ответ: \(-6\).

Здесь нужно увидеть не «набор тригонометрических функций», а связанную конструкцию, где формула двойного угла почти сразу убирает лишние действия. В ЕГЭ Профиль такие выражения удобно читать в два шага: сначала распознать формулу, затем проверить, не сократится ли всё до простого числа.

Используем формулу двойного угла для синуса:

\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).

Если взять \(x=15^\circ\), то

\(\sin 30^\circ = 2\sin 15^\circ\cos 15^\circ\).

Тогда числитель можно переписать так:

\(4\sin 15^\circ\cos 15^\circ = 2\cdot (2\sin 15^\circ\cos 15^\circ)=2\sin 30^\circ\).

Подставляем это в дробь:

\(\displaystyle \frac{4\sin 15^\circ\cos 15^\circ}{\sin 30^\circ}=\frac{2\sin 30^\circ}{\sin 30^\circ}=2\).

Важно понимать, почему такое сокращение законно. Мы не «сокращаем синусы как числа», а именно заменяем выражение в числителе по тождеству на эквивалентное. После этого в числителе и знаменателе появляется один и тот же множитель \(\sin 30^\circ\), который можно сократить, потому что он не равен нулю. Это хороший навык самопроверки: прежде чем сокращать, убедитесь, что делите на ненулевое выражение. В стандартных углах \(\sin 30^\circ=\tfrac12\), значит, всё корректно.

Типичные ошибки здесь такие: 1) забывают формулу \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) и пытаются считать значения по отдельности; 2) неверно пишут \(\sin 30^\circ\) как \(2\sin 15^\circ\), забывая про косинус; 3) преждевременно подставляют десятичные приближения, хотя задача решается точно и быстрее через тождество; 4) сокращают выражение, не проверив, что знаменатель не обращается в ноль. В задачах ЕГЭ Профиль почти всегда выигрывает тот, кто сначала ищет формулу, а уже потом считает.

Ответ: 2.

Ключевая идея здесь — не вычислять sin и cos отдельно, а сразу узнать в выражении формулу двойного угла.

Напомним тождество:

cos^2 x - sin^2 x = cos 2x.

Это очень важная формула для ЕГЭ: она позволяет сводить разность квадратов синуса и косинуса к одной тригонометрической функции. Частая ошибка — перепутать её с формулой sin 2x = 2sin x cos x. Здесь не произведение, а именно разность квадратов, значит нужна формула для косинуса двойного угла.

Применим её к x = 15^\circ:

\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos 30^\circ.

Тогда всё выражение равно

\sqrt{2}\,\cos 30^\circ.

Знаем точное значение:

\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Подставляем:

\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}.

Ответ: \frac{\sqrt{6}}{2}.

Как себя проверять на таких заданиях:

• если видите \cos^2 x - \sin^2 x, сразу вспоминайте \cos 2x;
• если перед скобками стоит множитель, сначала удобно вынести его, а уже потом применять формулу;
• если угол «хороший» — 15^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ — обычно после преобразования получается точное значение без калькулятора.

Типичная ловушка в тестах: среди вариантов часто дают \sqrt{2}\sin 30^\circ, \sqrt{2}\cos 15^\circ или значение с неправильным знаком. Поэтому лучше не считать «на глаз», а строго сводить к формуле двойного угла.

Здесь важно увидеть, что выражение специально составлено так, чтобы в нём сократились формулы двойного угла. Это типичная идея для ЕГЭ: если в ответе стоят \(\sin 2x\) и \(\cos 2x\), а известно значение одной функции от угла \(x\), то почти всегда нужно подставить формулы двойного угла и аккуратно упростить дробь.

Используем тождества:

\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\),

\(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\).

Тогда знаменатель:

\(1-\cos 2x = 1-(2\cos^2 x-1)=2-2\cos^2 x=2\sin^2 x\).

Теперь всё выражение принимает вид

\(\dfrac{\sin 2x}{1-\cos 2x}=\dfrac{2\sin x\cos x}{2\sin^2 x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x\).

То есть задача сводится к нахождению котангенса угла \(x\). Из условия \(\cos x=\frac45\) и \(x\in\left(0;\frac\pi2\right)\), значит синус положителен. Находим его по основному тождеству:

\(\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35\).

Тогда

\(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{4/5}{3/5}=\frac43\).

Ответ: \(\frac43\).

Почему здесь важно условие о четверти? Если бы не было указано, что \(x\in\left(0;\frac\pi2\right)\), то по одному лишь \(\cos x=\frac45\) знак синуса мог бы быть неоднозначным (в зависимости от четверти). А тогда и значение исходного выражения могло бы стать неоднозначным. На экзамене это одна из самых частых ловушек: забывают проверить, что после извлечения корня знак выбран верно.

Ещё одна полезная проверка: можно заметить, что

\(1-\cos 2x=2\sin^2 x\),

поэтому исходная дробь равна

\(\dfrac{2\sin x\cos x}{2\sin^2 x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}\).

Если у вас получилось нечто вроде \(\frac{8}{5}\) или \(\frac34\), это обычно означает, что была ошибка либо в формуле двойного угла, либо в сокращении множителей. На ЕГЭ полезно после упрощения смотреть, можно ли выразить результат через более простую тригонометрическую функцию: здесь это сразу \(\cot x\), и это хороший способ самопроверки.