Прикладные задачи с тригонометрическими функциями: задания с ответами

Сначала внимательно переводим условие задачи на язык неравенства. По формуле дальности

L = 200·sin(2α),

требуется, чтобы дальность была не меньше 100 м. Значит, нужно решить неравенство

200·sin(2α) ≥ 100.

Делим обе части на 200 (это положительное число, поэтому знак неравенства не меняется):

sin(2α) ≥ 1/2.

Теперь используем важный факт: α — острый угол, то есть 0° < α < 90°. Тогда 2α лежит в промежутке (0°, 180°). На этом промежутке неравенство sin x ≥ 1/2 выполняется при

30° ≤ x ≤ 150°.

Здесь x = 2α, значит

30° ≤ 2α ≤ 150°.

Делим на 2:

15° ≤ α ≤ 75°.

Нужно найти наименьший острый угол, при котором условие выполняется. Это

α = 15°.

Ответ: 15.

Полезно помнить экзаменационную логику: при задачах на дальность вида L = K·sin(2α) сначала всегда выделяют отношение требуемой дальности к максимальной. Максимум синуса равен 1, поэтому если правая часть после деления больше 1, решений нет; если находится в пределах от 0 до 1, нужно аккуратно выписать промежуток, где синус не меньше заданного числа. Частая ошибка — взять только одно значение, например 2α = 30°, и забыть, что синус принимает такое же значение и на втором симметричном угле 150°. Но в данной задаче просят именно наименьший острый угол, поэтому выбираем левую границу промежутка.

Используем физическую формулу работы силы, направленной под углом к перемещению:

A = F s \cos\alpha.

Здесь важно понять смысл формулы: в работу идёт не вся сила, а только её проекция на направление движения. Именно поэтому появляется косинус угла. Если угол острый, то \cos\alpha > 0, и работа положительна.

1. Выразим косинус угла.

150 = 50 \cdot 6 \cdot \cos\alpha.

Сначала вычислим произведение 50 \cdot 6 = 300, тогда:

150 = 300 \cos\alpha.

Делим обе части на 300:

\cos\alpha = \dfrac{150}{300} = \dfrac12.

2. Определим угол по значению косинуса.

Нужно найти острый угол, косинус которого равен \dfrac12. Из таблицы значений или по известным углам:

\cos 60^\circ = \dfrac12.

Так как по условию угол острый, подходит именно 60^\circ.

Ответ: 60^\circ.

Что здесь часто путают на ЕГЭ:

1) Путают синус и косинус. В формуле работы силы под углом к движению нужен именно \cos\alpha, потому что важна составляющая силы вдоль перемещения.

2) Забывают про условие об остром угле. Например, при \cos\alpha = \dfrac12 можно вспомнить и про угол 300^\circ или -60^\circ, но в этой задаче они не подходят, потому что требуется острый угол. На экзамене всегда проверяйте ограничения задачи.

3) Ошибаются в вычислениях с формулой. Надо не «угадать» угол, а сначала аккуратно выделить тригонометрическую функцию: \cos\alpha = A/(Fs). Это универсальный алгоритм для таких задач.

Стратегия самопроверки: после нахождения угла подставьте его обратно в формулу. Для 60^\circ получаем \cos 60^\circ = 1/2, значит A = 50 \cdot 6 \cdot 1/2 = 150 Дж — всё сходится.

Правильный вариант: тот, где указан угол 60^\circ.

Сначала переводим прикладное условие в тригонометрическое неравенство:

12·sin(α) ≥ 9.

Делим обе части на положительное число 12. Это важно: при делении на положительное знак неравенства не меняется.

sin(α) ≥ 9/12 = 3/4.

Теперь нужно найти наименьший угол на промежутке от 0° до 180°, при котором синус не меньше 3/4. На этом промежутке функция sin(α) сначала возрастает от 0° до 90°, а затем убывает от 90° до 180°. Поэтому минимальное значение угла, удовлетворяющего неравенству, находится на возрастающей ветви и равно

α = arcsin(3/4).

Но среди предложенных вариантов есть «красивое» значение, соответствующее стандартному порогу, если заметить, что

sin 45° = √2/2 ≈ 0,707,

а это уже больше 3/4? Нет, здесь нужно быть внимательным: 3/4 = 0,75, значит 45° не подходит. Проверим другие варианты:

sin 30° = 1/2 — мало;

sin 45° ≈ 0,707 — мало;

sin 60° = √3/2 ≈ 0,866 — подходит;

sin 120° = sin 60° — тоже подходит, но это не наименьший угол.

Следовательно, наименьший угол среди вариантов, при котором условие выполняется, — 60°.

Ответ: 60°.

Как решать такие задачи на ЕГЭ Профиль без ошибок: всегда сначала выделяйте тригонометрическую функцию и приводите неравенство к виду sin(α) ≥ k. Затем обязательно смотрите на промежуток изменения угла. На отрезке 0°…180° синус имеет две точки с одинаковым значением: α и 180°−α. Если спрашивают наименьший угол, выбирают меньшую из подходящих точек, то есть значение на левой, возрастающей ветви. Частая ошибка — выбрать дополнительный угол 180°−α вместо меньшего решения или забыть, что нужно именно наименьшее значение, а не любое подходящее.

Подобные задачи в ЕГЭ проверяют не знание сложной физики, а умение аккуратно работать с формулой и тригонометрической функцией. Здесь ключевая идея очень простая: по известному времени полёта нужно выразить синус угла, а затем восстановить сам угол, учитывая, что он острый.

1. Записываем формулу и подставляем данные. По условию

t = \dfrac{2v\sin\alpha}{g}.

Подставим t = 2, v = 20, g = 10:

2 = \dfrac{2\cdot 20 \cdot \sin\alpha}{10}.

Сократим числовые множители:

2 = 4\sin\alpha.

2. Выражаем синус угла.

\sin\alpha = \dfrac{2}{4} = \dfrac12.

Теперь важно не спешить: в ответ нужен угол, а не значение синуса. Значение sin α = 1/2 соответствует углу 30°, но только потому, что по условию α — острый угол. Это очень важное ограничение: если бы угол не был ограничен, уравнение sin α = 1/2 имело бы и другие решения, например 150° в диапазоне от 0° до 180°.

3. Находим угол. Для острого угла

\alpha = 30^\circ.

Ответ: 30°.

Типичные ошибки, которых стоит избегать:

• перепутать синус с косинусом из-за невнимательности к формуле;
• не сократить дробь и ошибиться в арифметике;
• забыть, что искомый угол острый, и писать лишние решения;
• подставить в формулу не те единицы или перепутать время с расстоянием.

Как себя проверить на экзамене: после вычисления обязательно оцените результат здраво. При v = 20 м/с и g = 10 м/с² формула даёт t = 4 sin α. Если t = 2, то sin α = 1/2, а это действительно удобный стандартный угол. Если получилось бы значение синуса больше 1, значит, в вычислениях ошибка или данные несовместимы физически.

Сначала переведём текст задачи на язык неравенства. По условию

M = 12\sin α, а нужно, чтобы M \ge 7. Значит, надо решить

12\sin α \ge 7.

Делим обе части на 12 (это можно делать, потому что 12 > 0, знак неравенства не меняется):

\sin α \ge \frac{7}{12}.

Теперь важный момент, который часто вызывает ошибки на ЕГЭ: угол α считается острым. Это значит, что мы ищем решение только на промежутке 0° < α < 90°. На этом промежутке функция синуса возрастает, поэтому минимальный подходящий угол получается ровно в тот момент, когда синус достигает порога 7/12.

Итак,

α = \arcsin\left(\frac{7}{12}\right).

Оценим значение: \frac{7}{12} \approx 0{,}5833. Для острых углов это соответствует примерно 35{,}7°. Значит, наименьший угол, при котором условие выполнено, — 35° среди предложенных вариантов, если требуется выбрать целый градус, а именно этот вариант является ближайшим снизу/пороговым в тестовой постановке.

Почему не 25°? Потому что \sin 25° \approx 0{,}423, и тогда 12\sin 25° \approx 5{,}08, что меньше 7. Почему не 40° и не 55°? Они тоже удовлетворяют неравенству, но вопрос просит именно наименьшее значение угла. Это ключевая ловушка: нужно не просто найти любой подходящий угол, а самый маленький из допустимых.

Ответ: 35°.

Стратегия для самопроверки на экзамене: всегда сначала выделяйте коэффициент перед синусом, затем делите на него порог, после чего проверяйте, что искомый угол острый. Если угол острый, то для синуса удобно помнить монотонность на (0°, 90°): чем больше синус, тем больше угол. Это позволяет быстро находить минимальное решение без лишних построений.

Подобные задачи в ЕГЭ на первый взгляд выглядят физическими, но по сути сводятся к неравенству с тригонометрической функцией. Главное здесь — правильно выразить условие «достигнет высоты не менее 8 м» через формулу максимальной высоты и не потерять ограничения на угол.

По условию

H = \frac{v^2\sin^2\alpha}{2g},

где v = 20, g = 10. Подставим:

H = \frac{20^2\sin^2\alpha}{2\cdot 10} = \frac{400\sin^2\alpha}{20} = 20\sin^2\alpha.

Требуется, чтобы высота была не меньше 8 м, то есть

20\sin^2\alpha \ge 8.

Делим на 20:

\sin^2\alpha \ge 0{,}4.

Теперь важно корректно перейти к углу. Так как α — острый угол, то sin α > 0, значит можно извлечь корень:

\sin\alpha \ge \sqrt{0{,}4} = \sqrt{\frac{2}{5}}.

Нужно найти наименьший острый угол, при котором это верно. Функция синуса на промежутке от 0° до 90° возрастает, поэтому минимальный угол получается из равенства

\sin\alpha = \sqrt{0{,}4}.

Оценим значение: sin 45° = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}707, а \sqrt{0{,}4} \approx 0{,}632. Значит 45° подходит, но нужно проверить, нет ли меньшего из предложенных вариантов. Для 30° имеем sin 30° = 0{,}5, значит высота будет

H = 20\cdot 0{,}25 = 5 \text{ м},

что меньше 8 м. Следовательно, 30° не подходит. Угол 45° даёт

H = 20\cdot \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 = 20\cdot \frac12 = 10 \text{ м},

то есть условие выполняется. Это и есть наименьший правильный вариант среди ответов.

Ответ: 45°.

Типичные ошибки:

1) Возводят в квадрат и затем забывают, что α острый, хотя именно это позволяет перейти от sin²α к sin α без двусмысленности.

2) Путают максимальную высоту с дальностью полёта или с высотой в произвольный момент времени. В этой формуле речь именно о наибольшей высоте траектории.

3) После нахождения неравенства выбирают «первый подходящий» вариант, не проверяя минимальность. В задачах ЕГЭ это особенно важно: если функция возрастает на рассматриваемом промежутке, то меньшему углу соответствует меньшая высота, и выбор должен быть обоснован.

Полезная стратегия самопроверки: подставьте крайние значения. При α = 0° высота равна нулю, а при α = 90° — максимальна. Значит решение должно лежать между ними и быть ближе к середине, если требуемая высота составляет заметную часть от максимальной возможной. Здесь при α = 90° получаем 20 м, а нужно 8 м, то есть примерно 40% от максимума, что действительно даёт угол около 40–50°.

Используем физический смысл работы силы: если сила F действует под углом α к направлению перемещения S, то работа равна

A = F · S · cosα.

Здесь важно не перепутать косинус с синусом: в формуле работы входит именно проекция силы на направление движения, а не перпендикулярная составляющая. Поэтому чем больше угол α (при остром угле), тем меньше cosα и тем меньше работа.

Подставим данные задачи:

150 · 20 · cosα ≥ 2400.

Сначала вычислим произведение силы и пути:

3000 · cosα ≥ 2400.

Делим обе части неравенства на 3000 (число положительное, знак неравенства не меняется):

cosα ≥ 0.8.

Теперь нужно найти наибольший острый угол, при котором косинус не меньше 0.8. Так как на промежутке 0° < α < 90° функция cosα убывает, наибольшему углу соответствует равенство:

cosα = 0.8.

Тогда

α = arccos 0.8 ≈ 36.87°.

Так как в ответе требуется значение в градусах, получаем примерно 37°.

Ответ: 37°.

Почему остальные варианты неверны:

• 30° даёт слишком большой запас по работе: cos30° ≈ 0.866, а значит работа была бы больше минимально необходимой, но это не наибольший допустимый угол.
• 45° уже слишком велик: cos45° = √2/2 ≈ 0.707, и работа стала бы меньше 2400 Дж.
• 60° тем более не подходит, потому что cos60° = 0.5, то есть работа уменьшится ещё сильнее.

Полезная стратегия для ЕГЭ: если в задаче спрашивают наибольший угол при условии вида A ≥ A_min, почти всегда нужно:

1. записать формулу через cosα;
2. получить неравенство для cosα;
3. взять границу неравенства, потому что наибольший угол соответствует минимально допустимому cosα;
4. проверить, что найденный угол острый и физически корректен.

Типичная ошибка — сразу искать угол по неравенству, не понимая, что для ответа нужен именно предельный случай. Ещё одна частая ловушка — забыть, что на промежутке 0° < α < 90° функция cosα убывает, поэтому знак при переходе к углу «мысленно переворачивается»: чем меньше cos, тем больше угол.

Сначала важно внимательно прочитать, что именно обозначает угол в формуле. Здесь α — это полный угол между направлениями движения, а в синусе стоит его половина: sin²(α/2). Это типичная ловушка в прикладных задачах: если забыть про половину угла, ответ получится в 2 раза меньше.

Подставим данные в формулу:

Q = 2 · 10² · sin²(α/2) = 200 sin²(α/2).

По условию нужно, чтобы Q ≥ 50. Тогда

200 sin²(α/2) ≥ 50.

Делим обе части на 200:

sin²(α/2) ≥ 1/4.

Теперь переходим к корню. Так как α — угол между направлениями, то обычно рассматриваем 0° ≤ α ≤ 180°, значит 0° ≤ α/2 ≤ 90°, и синус на этом промежутке неотрицателен. Поэтому можно написать:

sin(α/2) ≥ 1/2.

Нам нужен минимальный угол, при котором выполняется неравенство. На промежутке от 0° до 90° синус возрастает, значит минимальное значение α/2 находится из равенства

sin(α/2) = 1/2.

Основное значение arcsin для числа 1/2 равно 30°. Следовательно,

α/2 = 30°, значит α = 60°.

Ответ: 60.

Полезно запомнить стратегию для таких задач:

1. сначала аккуратно подставить числа в формулу;
2. выделить тригонометрическую часть;
3. учесть, на каком промежутке лежит половинный угол;
4. при поиске минимума брать не «все решения», а именно первое подходящее значение;
5. если в формуле стоит квадрат синуса, не забыть, что после извлечения корня появляется модуль, но здесь он не мешает из-за ограничения на угол.

Именно из-за пункта про промежуток часто делают ошибки: если рассуждать без учёта, что α/2 лежит между 0° и 90°, можно неверно выбрать ветвь решения. В экзамене всегда полезно проверять, согласуется ли найденный угол с геометрическим смыслом задачи и не превышает ли он допустимые пределы.

Используем физическую формулу времени полёта тела, брошенного под углом к горизонту:

t = (2v₀sinα)/g.

Здесь искомая величина — угол α. В задачах этого типа важно не подставлять числа “на глаз”, а сначала выразить синус угла. Это стандартный приём ЕГЭ: если неизвестный аргумент находится внутри тригонометрической функции, то сначала изолируем именно функцию, а потом переходим к углу.

1. Выразим sinα.

Из формулы получаем:

sinα = tg?

Аккуратно преобразуем:

sinα = tg

Нет, здесь так делать нельзя: в формуле стоит именно синус, а не тангенс. Правильное преобразование такое:

sinα = tg?

Покажем правильно по шагам:

2 = (2 · 20 · sinα)/10.

Сократим числовой множитель:

2 = 4sinα.

Тогда

sinα = 1/2.

2. Найдём угол по значению синуса.

Нам нужен острый угол, потому что по условию 0 < α < 90°. Значение sinα = 1/2 соответствует углу 30°.

3. Ответ.

α = 30°.

Почему этот ответ однозначен? На промежутке от 0° до 90° функция синуса возрастает, поэтому каждому значению синуса из интервала (0;1) соответствует ровно один острый угол. Это важно: если бы в задаче не было условия на острый угол, пришлось бы отдельно обсуждать все решения тригонометрического уравнения, а здесь нужен только физически допустимый угол запуска.

Типичные ошибки:

• забывают множитель 2 в формуле и получают неверное значение синуса;
• перепутывают, что нужно найти sinα, а не α сразу;
• отвечают в радианах вместо градусов;
• не проверяют, что значение синуса лежит в диапазоне от 0 до 1.

Полезная самопроверка для ЕГЭ: после вычислений синус должен быть допустимым, а найденный угол — острым и соответствовать стандартным значениям тригонометрической таблицы или простому обратному переводу.

Сначала переведём текст задачи на язык неравенства. По условию интенсивность равна I = 80\cos\alpha, и требуется, чтобы она не превышала 50. Значит, нужно решить неравенство

80\cos\alpha \le 50.

Делим обе части на 80 (это положительное число, поэтому знак неравенства не меняется):

\cos\alpha \le \frac{50}{80} = \frac{5}{8}.

Теперь важно учесть область допустимых значений угла: по условию \alpha — острый угол, то есть 0<\alpha<90^\circ. На этом промежутке функция \cos\alpha убывает: чем больше угол, тем меньше косинус. Это ключевой момент для задач на «минимальный угол при ограничении сверху».

Нам нужно найти наименьший острый угол, при котором выполняется \cos\alpha \le \frac{5}{8}. Так как косинус на промежутке острых углов убывает, минимальный подходящий угол — это тот, при котором достигается равенство:

\cos\alpha = \frac{5}{8}.

Тогда

\alpha = \arccos\left(\frac{5}{8}\right) \approx 51.3^\circ.

В вариантах ответа выбираем ближайшее корректное значение: 51° (если в тесте ответы целые). Именно этот угол является минимальным, потому что при меньших острых углах косинус был бы больше 5/8, а значит, интенсивность превышала бы допустимый уровень.

Почему здесь нельзя просто написать «50/80» и взять это как ответ? Потому что 50/80 — это не угол, а значение косинуса. В прикладных задачах ЕГЭ часто путают «найти значение функции» и «найти аргумент». Нужно не только получить число, но и перейти от косинуса к самому углу через обратную тригонометрическую функцию.

Типичная ловушка: некоторые учащиеся забывают, что косинус на острых углах убывает, и начинают искать «максимальный» угол или неверно обращают неравенство. Здесь знак не меняется при делении на положительное число, а при переходе к углу нужно помнить о монотонности на заданном промежутке.

Ответ: 51°.

Сначала аккуратно используем данную в условии формулу. Здесь физический смысл не важен для вычислений: задача сводится к неравенству с тригонометрической функцией.

1. Подставляем числа в формулу.

По условию

\[P=48\sin^2\frac{\varphi}{2}.\]

Требуется, чтобы

\[48\sin^2\frac{\varphi}{2}\ge 12.\]

2. Упрощаем неравенство.

Делим обе части на 48:

\[\sin^2\frac{\varphi}{2}\ge \frac14.\]

Так как квадрат синуса неотрицателен, можно перейти к модулю:

\[\left|\sin\frac{\varphi}{2}\right|\ge \frac12.\]

Но в геометрической модели угол между направлениями движения обычно берут в диапазоне от \(0^\circ\) до \(180^\circ\), значит \(\frac{\varphi}{2}\in[0^\circ,90^\circ]\), и синус там неотрицателен. Поэтому можно писать просто

\[\sin\frac{\varphi}{2}\ge \frac12.\]

3. Находим наименьший угол.

Синус равен \(\frac12\) при угле \(30^\circ\). Поскольку нам нужен наименьший угол, при котором неравенство начинает выполняться, берём именно это значение:

\[\frac{\varphi}{2}=30^\circ.\]

Тогда

\[\varphi=60^\circ.\]

4. Почему именно так, а не иначе?

Для профильного ЕГЭ здесь важны две типичные ловушки.

Во-первых, часто забывают, что в формуле стоит не сам угол, а его половина. Если найти \(30^\circ\) и остановиться, получится ответ для \(\frac{\varphi}{2}\), а не для \(\varphi\).

Во-вторых, при неравенстве \(\sin^2 x\ge \frac14\) можно по ошибке сразу написать \(\sin x\ge \frac14\). Это неверно: сначала нужно убрать квадрат корректно. На промежутке \([0^\circ,90^\circ]\) это приводит к \(\sin x\ge \frac12\), а не к \(\frac14\).

Ответ: \(60^\circ\).

Используем две формулы: сначала находим скорость в заданный момент, затем подставляем её в формулу кинетической энергии.

1. Находим скорость при t = 3.

По условию

v(t)=4\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right).

Подставим t=3:

v(3)=4\cos\!\left(\dfrac{\pi\cdot 3}{6}\right)=4\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right).

Значение косинуса в точке \(\dfrac{\pi}{2}\) равно 0, значит

v(3)=4\cdot 0=0.

2. Находим кинетическую энергию.

Формула кинетической энергии:

E_k=\dfrac{mv^2}{2}.

Подставляем массу m=0,5 кг и скорость v=0:

E_k=\dfrac{0{,}5\cdot 0^2}{2}=0.

Ответ: 0 Дж.

Почему здесь легко ошибиться? Частая ошибка — подставить в формулу энергии саму скорость, не возводя её в квадрат, или неверно вычислить аргумент косинуса. Ещё одна типичная ловушка — перепутать период колебаний с коэффициентом при t в аргументе. Важно сначала аккуратно вычислить \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\), а уже потом переходить к энергии.

Как проверять себя на ЕГЭ: если в заданный момент скорость равна нулю, то и кинетическая энергия обязательно равна нулю. Это хороший способ быстро проверить разумность ответа.