Типы треугольников и соотношения углов: задания с ответами

Обозначим \(\angle ACB = \gamma\). В равнобедренном треугольнике с основанием AB высота CD\), проведённая из вершины C к основанию, одновременно является и биссектрисой вершины. Это очень важное свойство: оно позволяет перейти от всего угла при вершине к его половине.

Значит, \(\angle ACD = \dfrac{\gamma}{2}\). По условию \(\sin \gamma = \dfrac{5}{13}\), а угол острый, значит можно найти \(\cos \gamma\) по основному тригонометрическому тождеству:

\[\cos \gamma = \sqrt{1-\sin^2\gamma}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.\]

Теперь нужно найти тангенс половины угла. Для этого удобно использовать формулу

\[\tan \frac{\gamma}{2}=\frac{\sin \gamma}{1+\cos \gamma}\]

или равносильную формулу \(\tan\frac{\gamma}{2}=\frac{1-\cos\gamma}{\sin\gamma}\). Подставим найденные значения:

\[\tan \angle ACD = \tan \frac{\gamma}{2}=\frac{\frac{5}{13}}{1+\frac{12}{13}}=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{25}{13}}=\frac{1}{5}.\]

Ответ: \(\frac{1}{5}\).

Почему здесь именно так нужно думать на ЕГЭ: если в равнобедренном треугольнике дана высота из вершины, почти всегда надо сразу вспоминать, что она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника и биссектрису угла при вершине. Тогда искомый угол часто оказывается половиной известного. Главная ловушка — попытаться напрямую связать \(\sin \gamma\) и \(\tan \frac{\gamma}{2}\) без нахождения \(\cos \gamma\). Вторая частая ошибка — забыть, что при остром угле \(\cos \gamma>0\), поэтому берём положительный корень. В задачах этого типа важно не только знать формулу, но и правильно выбрать половинный угол: если высота проведена из вершины равнобедренного треугольника, то она делит вершину пополам, а значит искомый тангенс — это тангенс половины угла.

Обозначим острые углы прямоугольного треугольника ABC так: ∠A = α, ∠B = β. Тогда, поскольку ∠C = 90°, имеем

α + β = 90°.

Теперь разберём, как устроены две данные линии из вершины прямого угла.

1. Биссектриса угла C

Так как ∠C = 90°, биссектриса CL делит его пополам. Значит, она образует с каждой из сторон CA и CB угол 45°.

2. Медиана к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

Пусть M — середина гипотенузы AB. Тогда точка M равноудалена от вершин A, B, C, то есть MC = MA = MB. Это означает, что точка M лежит на окружности с центром в середине гипотенузы, а луч CM направлен так, что угол между CM и одной из сторон прямого угла выражается через острые углы треугольника. Удобнее всего использовать известный факт: в прямоугольном треугольнике угол между медианой к гипотенузе и катетом равен половине другого острого угла, а значит угол между медианой CM и биссектрисой CL равен |β - 45°| (или, что то же самое, |α - 45°|, в зависимости от того, с какой стороны расположен луч CM).

По условию этот угол равен 15°. Следовательно, возможны два случая:

β - 45° = 15°, тогда β = 60°;

или

45° - β = 15°, тогда β = 30°.

Но требуется больший острый угол. Если один острый угол равен 30°, то другой равен 60°; если один равен 60°, то другой равен 30°. В обоих случаях больший острый угол равен 60°.

Ответ: 60.

Как не ошибиться на экзамене: часто путают угол между линиями и угол между лучами. Здесь речь идёт именно о меньшем угле между прямыми, поэтому он равен 15°, а не 165°. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90°, и сразу подставлять только одно соотношение. Если задача на медиану к гипотенузе кажется непривычной, полезно помнить опорный факт: середина гипотенузы — это центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, а значит медиана к гипотенузе связана с геометрией окружности и симметрией фигуры.

Используем определение тангенса в прямоугольном треугольнике: для острого угла A имеем

tg A = отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Если прямой угол в точке C, то катеты — это AC и BC, а гипотенуза — AB. Для угла A противолежащим катетом является BC, а прилежащим — AC. Значит,

tg A = BC / AC.

Подставим данные из условия:

3/4 = 12 / AC.

Теперь выразим AC. Удобнее сделать это через пропорцию: если 12 / AC = 3 / 4, то

12 · 4 = 3 · AC.

Получаем

48 = 3AC, откуда AC = 16.

Ответ: 16.

Полезно помнить типичную экзаменационную ловушку: часто путают, какая сторона является противолежащей, а какая — прилежащей. Чтобы не ошибиться, всегда сначала отмечайте угол, для которого ищете тангенс, а затем смотрите, какая сторона лежит напротив этого угла. Если бы в задаче был дан tg B, роли катетов поменялись бы местами. Ещё одна проверка здравого смысла: раз tg A = 3/4, то катет напротив угла A меньше прилежащего, и действительно BC = 12, а AC = 16.

Обозначим точку пересечения биссектрис через I. Это центр вписанной окружности треугольника, и для него есть очень важная формула:

∠AIB = 90° + ∠C/2, где C — третий угол треугольника.

Сначала найдём ∠C по сумме углов треугольника:

∠C = 180° - 36° - 78° = 66°.

Теперь подставим в формулу:

∠AIB = 90° + 66°/2 = 90° + 33° = 123°.

Почему эта формула верна? Биссектрисы делят углы пополам, поэтому в треугольнике AIB углы при вершинах A и B равны соответственно ∠A/2 и ∠B/2. Тогда можно найти угол ∠AIB как внешний для треугольника, используя сумму углов или через известное свойство центра вписанной окружности. Если аккуратно вывести через сумму углов треугольника AIB, получится та же формула 90° + C/2.

Частая ошибка — пытаться сложить половины двух известных углов и забыть, что нужен именно угол между биссектрисами в точке их пересечения. Ещё одна типичная ошибка — использовать формулу 90° - C/2; она относится не к углу между лучами IA и IB, а к смежному с ним углу.

Самопроверка: если третий угол треугольника острый, то угол ∠AIB должен быть тупым, потому что он равен 90° + C/2. Здесь C = 66°, значит ответ действительно больше 90°, что логично.

Обозначим острые углы прямоугольного треугольника: ∠A = 28°, тогда второй острый угол

∠B = 90° − 28° = 62°.

Дальше нужно понять, под какими углами к сторонам прямого угла расположены медиана и биссектриса.

1. Ключевое свойство медианы к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы и является радиусом описанной окружности. Отсюда следует важный геометрический факт: точка M — середина гипотенузы, а в прямоугольном треугольнике это центр окружности, описанной около треугольника. Поэтому CM — радиус к точке середины гипотенузы, и угол между CM и катетами удобно находить через углы при основании.

Но есть более простой и экзаменационно надёжный путь: в прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе образует с катетом CA угол, равный ∠B, а с катетом CB — угол, равный ∠A. Это можно увидеть из равнобедренных треугольников, которые возникают после проведения медианы к гипотенузе.

Значит, угол между CM и стороной CA равен 62°.

2. Свойство биссектрисы. Биссектриса CL делит прямой угол пополам, значит

∠ACL = 45°.

3. Находим угол между отрезками. И медиана CM, и биссектриса CL выходят из одной вершины C, поэтому искомый угол равен разности их наклонов к одной и той же стороне, например к CA:

∠MCL = 62° − 45° = 17°.

Ответ: 17.

Почему здесь легко ошибиться? Частая ошибка — считать, что медиана к гипотенузе всегда делит прямой угол пополам. Это неверно: пополам угол делит только биссектриса. Ещё одна типичная ошибка — пытаться сразу применять формулы для угла между прямыми без фиксации общей стороны отсчёта. В таких задачах удобно выразить оба отрезка через один и тот же катет и потом взять разность углов.

Как себя проверять на ЕГЭ: если острый угол треугольника меньше 45°, то медиана к гипотенузе должна быть наклонена к катету сильнее, чем биссектриса, и искомый угол должен получиться острым и небольшим. Здесь 17° выглядит разумно.

Ключевая идея здесь основана на двух фактах о прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность.

1. Гипотенуза равна диаметру окружности.
Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром этой окружности. Это частный случай теоремы Фалеса. Значит, при радиусе 5 см диаметр равен 10 см, и именно он является гипотенузой треугольника.

2. Используем синус острого угла.
По условию сторона, лежащая напротив искомого острого угла, равна 5 см. Для прямоугольного треугольника

sin α = противолежащий катет / гипотенуза.

Подставляем данные: sin α = 5 / 10 = 1/2.

Теперь нужно вспомнить, что острый угол, синус которого равен 1/2, — это 30°.

Почему нельзя ошибиться здесь?
Частая ошибка — взять радиус за гипотенузу. Но в задаче про вписанный прямоугольный треугольник гипотенуза всегда равна диаметру, то есть 2R, а не R. Если забыть удвоить радиус, получится sin α = 5/5 = 1 и тогда ошибочно выйдет 90°, что невозможно для острого угла.

Ещё одна типичная ловушка — перепутать синус и косинус. Если искать угол по стороне, лежащей напротив этого угла, нужно именно отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть синус.

Ответ: 30°.

Проверка себя на ЕГЭ: если в треугольнике известен катет и гипотенуза, сначала определите, какой катет дан: противолежащий или прилежащий. От этого зависит выбор функции: sin или cos. Здесь дан противолежащий катет, значит ответ находится через синус.

Для нахождения радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике удобнее всего использовать общую формулу

r = S / p,

где S — площадь треугольника, а p — его полупериметр.

В данной задаче известны катеты: a = 6 и b = 8. Сначала найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Теперь найдём площадь прямоугольного треугольника:

S = ab / 2 = 6·8 / 2 = 24.

Полупериметр равен

p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12.

Тогда радиус вписанной окружности:

r = S / p = 24 / 12 = 2.

Ответ: 2.

Почему это важно для ЕГЭ. В прямоугольном треугольнике часто пытаются вспомнить «особую» формулу, но безопаснее действовать через универсальное соотношение r = S / p. Это особенно полезно, когда даны катеты: площадь находится сразу, а гипотенузу легко получить по Пифагору. Ошибка, которую часто делают, — путают вписанную окружность с описанной. Для описанной окружности в прямоугольном треугольнике радиус равен половине гипотенузы, то есть здесь был бы 5, но это уже совсем другая окружность. Ещё одна типичная ошибка — забывают, что в формуле нужен именно полупериметр, а не весь периметр. Если бы вместо p подставили 2p, ответ получился бы вдвое меньше.

Экзаменационная стратегия: если в задаче даны два катета, почти всегда стоит идти по цепочке: Пифагор → площадь → полупериметр → радиус. Такой алгоритм универсален и помогает не потеряться даже в более сложных задачах на вписанную окружность.

Площадь прямоугольного треугольника удобно находить по формуле

S = \frac{ab}{2},

где a и b — катеты. Важно не подставить гипотенузу вместо катета: формула площади через гипотенузу напрямую не работает без дополнительных шагов.

Здесь один катет известен: 6, а гипотенуза равна 10. Значит, сначала нужно найти второй катет по теореме Пифагора:

b^2 = c^2 - a^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64,

откуда b = 8. Берём положительное значение, потому что длина стороны не может быть отрицательной.

Теперь находим площадь:

S = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24.

Ответ: 24.

Полезная проверка на ЕГЭ: если дан катет и гипотенуза, сначала находят второй катет, а затем считают площадь. Типичная ошибка — попытаться применить формулу площади к паре "катет и гипотенуза", забыв, что в ней должны быть именно два катета. Ещё одна частая ошибка — не извлечь квадратный корень после применения теоремы Пифагора или взять отрицательный корень. Всегда проверяйте, что найденный катет меньше гипотенузы и что произведение катетов делится на 2 без арифметической ошибки.

Сначала разберёмся, какие свойства здесь действительно нужны. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, имеет очень важное свойство: она является радиусом окружности, описанной около треугольника, и проходит к середине гипотенузы. Но для угловой задачи нам полезнее другое: если поместить прямой угол в точку $C$, то направление медианы $CM$ можно найти через углы треугольника.

Поскольку $\angle C=90°$ и $\angle A=35°$, второй острый угол равен

$\angle B=90°-35°=55°$.

Теперь рассмотрим угол между стороной $CA$ и медианой $CM$. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе делит прямой угол на два угла, равных острым углам треугольника, если смотреть на направление относительно катетов: более точно, в координатной или тригонометрической модели направление $CM$ образует с катетом $CA$ угол, равный углу при вершине $A$, то есть $35°$. Это удобный и часто используемый факт: если в прямоугольном треугольнике из прямого угла провести медиану к гипотенузе, то она идёт к середине гипотенузы и образует с одним катетом угол, равный противолежащему острому углу.

Биссектриса прямого угла делит угол $90°$ пополам, значит она образует с каждым катетом угол $45°$.

Следовательно, искомый угол между медианой $CM$ и биссектрисой угла $\angle C$ равен разности их наклонов к одному и тому же катету:

$45°-35°=10°$.

Ответ: 10°.

Полезно помнить типичную ловушку: некоторые ученики ошибочно считают, что медиана к гипотенузе всегда является биссектрисой прямого угла. Это неверно: такое бывает только в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Здесь же при $\angle A\ne 45°$ медиана и биссектриса дают разный угол, и его удобно находить через разность $45°$ и одного из острых углов.

Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором один острый угол равен 60°, а прилежащий к нему катет равен 6. Требуется найти высоту, опущенную из прямого угла на гипотенузу.

Здесь удобно идти через восстановление всех сторон треугольника, а затем использовать площадь двумя способами. Это стандартная и очень надёжная стратегия для задач на высоту к гипотенузе.

1. Найдём второй острый угол.
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, значит второй острый угол равен 30°.

2. Восстановим гипотенузу.
Для угла 60° прилежащий катет равен 6, поэтому

cos 60° = прилежащий катет / гипотенуза = 6 / c.

Так как cos 60° = 1/2, получаем 1/2 = 6/c, откуда c = 12.

3. Найдём второй катет.
Можно использовать синус угла 60°:

sin 60° = противолежащий катет / гипотенуза = b/12.

Так как sin 60° = √3/2, то b = 12·√3/2 = 6√3.

4. Используем формулу площади.
Площадь прямоугольного треугольника через катеты:

S = (1/2)·6·6√3 = 18√3.

С другой стороны, если опустить высоту h на гипотенузу, то

S = (1/2)·12·h = 6h.

Приравниваем площади:

6h = 18√3, значит h = 3√3.

Ответ: 3√3.

Почему этот способ хорош на ЕГЭ?
Во многих задачах на высоту к гипотенузе ученики пытаются запоминать отдельную формулу, но на экзамене надёжнее помнить общий принцип: сначала восстановить стороны через тригонометрию, затем связать их через площадь. Это особенно полезно, когда даны синус или косинус и одна сторона. Ошибки чаще всего возникают в двух местах: путают прилежащий и противолежащий катеты относительно выбранного угла и неверно используют формулы синуса/косинуса. Полезная самопроверка: если угол 60°, то прилежащий катет должен быть вдвое меньше гипотенузы, а ответ для высоты в такой задаче часто получается с корнем, но без сложных дробей.

Рассмотрим условие внимательно. Здесь дана биссектриса AD, значит она делит угол A пополам: если обозначить ∠BAD = ∠DAC = x, то весь угол ∠A = 2x.

Теперь используем равенства отрезков. Из условия AB = BD следует, что треугольник ABD равнобедренный, поэтому его углы при основании равны: ∠BAD = ∠ADB = x. Аналогично, из AC = CD получаем, что треугольник ACD тоже равнобедренный, значит ∠DAC = ∠ADC = x.

Так как точки B, D, C лежат на одной прямой, углы ∠ADB и ∠ADC — смежные, то есть их сумма равна 180°. Но каждый из них равен x, значит

x + x = 180°, откуда x = 90°.

Тогда угол при вершине A равен 2x = 180°, но это невозможно для невырожденного треугольника. Значит, важно аккуратно проверить, какие именно углы получаются равными: здесь ошибка возникает, если автоматически считать, что ∠ADB и ∠ADC оба равны x. На самом деле из равнобедренности ABD и ACD имеем:

∠BAD = ∠ADB и ∠DAC = ∠ADC, а поскольку ∠BAD = ∠DAC, то действительно ∠ADB = ∠ADC. Тогда они смежные и равные, следовательно каждый равен 90°. Это означает, что AD перпендикулярна BC, а треугольники ABD и ACD — равнобедренные прямоугольные.

Из равнобедренного прямоугольного треугольника ABD получаем ∠BAD = 45°, и тогда ∠A = 90°.

Остальные углы треугольника тоже равны 45°, значит наибольший угол — 90°.

Ответ: 90.

Как решать такие задачи на ЕГЭ: всегда сначала ищите равнобедренные треугольники по равным отрезкам, затем используйте свойство биссектрисы, а после — сумму углов треугольника или смежные углы на прямой. Частая ошибка — сразу подставлять числа без проверки, какие именно углы равны. В задачах на углы особенно важно не путать равенство сторон с равенством углов и внимательно отслеживать, где именно лежит точка D.

Обозначим искомый угол между биссектрисой и медианой через \(\varphi\). Здесь важно не подменять задачу свойствами «высоты» или «серединного перпендикуляра»: дана именно медиана к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, а это особый случай, который нужно уметь распознавать.

1. Найдём второй острый угол. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \(90^\circ\). Если \(\angle A=30^\circ\), то \(\angle B=60^\circ\).

2. Используем свойство медианы к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы — центр окружности, описанной около треугольника. Поэтому точка, в которую приходит медиана из прямого угла, равноудалена от \(A\), \(B\) и \(C\). Но для нахождения угла удобнее другое наблюдение: в прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе из вершины прямого угла направлена к середине гипотенузы и образует с катетами углы, связанные с острыми углами треугольника. В координатной или угловой модели можно показать, что угол между этой медианой и одним катетом равен одному острому углу, а с другим катетом — второму острому углу.

Поскольку \(\angle A=30^\circ\), а \(\angle B=60^\circ\), то медиана из \(C\) образует с катетом \(CA\) угол \(30^\circ\), а с катетом \(CB\) — угол \(60^\circ\) (или наоборот, в зависимости от расположения рисунка; но для меньшего угла между медианой и биссектрисой это не меняет ответа).

3. Положение биссектрисы. Биссектриса прямого угла при \(C\) делит \(90^\circ\) пополам, значит, она образует с каждым катетом угол \(45^\circ\).

4. Найдём угол между биссектрисой и медианой. Если медиана образует с одним из катетов угол \(30^\circ\), а биссектриса — \(45^\circ\), то угол между ними равен разности этих углов:

\(\varphi=45^\circ-30^\circ=15^\circ\).

Это и есть меньший угол между прямыми. Второй угол между теми же прямыми равен \(180^\circ-15^\circ=165^\circ\), но в геометрических задачах обычно требуется именно меньший угол, если не сказано иное.

Почему здесь нельзя брать \(45^\circ+30^\circ\)? Это типичная ошибка: ученик складывает углы, относящиеся к разным сторонам одной вершины, не проверяя, лежат ли лучи по одну сторону от катета или по разные. Для угла между двумя прямыми нужно смотреть именно на взаимное расположение лучей. В данной конфигурации получается именно разность, а не сумма.

Ответ: \(15^\circ\).