Трапеция: свойства и площадь: задания с ответами

Используем формулу площади выпуклого четырёхугольника через диагонали и угол между ними:

\(S = \frac12 d_1 d_2 \sin\varphi\),

где \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали, а \(\varphi\) — угол между ними. Это очень важная формула: она подходит не только для трапеции, но и для любого выпуклого четырёхугольника. В задачах ЕГЭ её часто используют именно тогда, когда даны площадь, одна диагональ и синус угла между диагоналями.

Подставим данные из условия:

\(48 = \frac12 \cdot 12 \cdot d_2 \cdot \frac23\).

Теперь аккуратно упростим выражение. Сначала \(\frac12 \cdot 12 = 6\), затем \(6 \cdot \frac23 = 4\). Получаем:

\(48 = 4d_2\).

Следовательно,

\(d_2 = 12\).

Итак, искомая вторая диагональ равна 12.

Почему это не ловушка с трапецией? Иногда школьники пытаются искать высоту, основания или использовать формулу площади трапеции \(S = \frac{a+b}{2}h\). Но здесь этого делать не нужно: в условии даны именно площадь, диагональ и синус угла между диагоналями, значит почти наверняка нужно применять формулу через диагонали. Ещё одна типичная ошибка — забыть множитель \(\frac12\). Если его пропустить, можно получить неверный ответ вдвое меньше. Полезная самопроверка: если из формулы выходит слишком большое или слишком маленькое значение, проверьте, учли ли вы \(\frac12\) и правильно ли переписали синус.

Обозначим основания равнобедренной трапеции через a и b, где a — большее основание, b — меньшее. В таких задачах ключевое свойство не в высоте, а в симметрии равнобедренной трапеции.

Если из вершины тупого угла опустить высоту на большее основание, то она отсекает у этого основания «лишние» равные части по краям, а центральный отрезок между основаниями по горизонтали равен меньшему основанию трапеции. Иными словами, если большая основа разбита на отрезки x и y, то меньшая основа выражается как b = |x - y|, а большая — как a = x + y. Это стандартный результат для равнобедренной трапеции: боковые стороны равны, значит, «свесы» слева и справа одинаковы, и проекция вершины на большее основание позволяет восстановить оба основания.

В нашей задаче отрезки равны 5 и 11. Тогда

a = 5 + 11 = 16,

b = 11 - 5 = 6.

Теперь используем формулу средней линии трапеции:

m = (a + b) / 2.

Подставляем:

m = (16 + 6) / 2 = 22 / 2 = 11.

Ответ: 11.

Почему здесь не нужна высота? Это типичная ловушка. Многие ученики видят высоту и начинают искать треугольники, Пифагора или площадь. Но если требуется именно средняя линия, то достаточно восстановить основания. Высота важна только как геометрический инструмент, который показывает, как именно связаны отрезки на большем основании с основаниями трапеции.

Полезная проверка: средняя линия всегда равна полусумме оснований, значит, она должна лежать между ними по величине. Здесь основания 6 и 16, поэтому средняя линия 11 действительно находится между ними — это хороший признак, что ответ разумен.

Обозначим основания прямоугольной трапеции через a=10 и b=4, а высоту — через h. Для любой трапеции площадь выражается формулой

S = (a+b)\cdot h/2.

Это ключевой шаг: в задачах на угол по площади сначала почти всегда нужно найти высоту. Подставляем данные:

35 = (10+4)h/2 = 7h,

откуда h=5.

Теперь используем именно прямоугольность трапеции. Один боковой бок — перпендикулярен основаниям, а наклонная боковая сторона вместе с высотой и разностью оснований образует прямоугольный треугольник. Горизонтальный катет этого треугольника равен разности оснований:

10-4=6.

Итак, для острого угла \alpha между наклонной стороной и большим основанием имеем

tan \alpha = h/(10-4) = 5/6.

Но здесь есть важный нюанс: если строго следовать указанной конфигурации, то угол получается не из «красивых» стандартных значений. Значит, нужно проверить, не заложена ли в ответах ловушка. По условию площадь и основания согласованы с наклонной стороной, но среди предложенных вариантов есть только одно значение, которое соответствует углу, для которого tan \alpha близок к 5/6. Это угол около 40°, а в вариантах такого нет.

Следовательно, надо внимательно переосмыслить, какой именно угол спрашивается. В прямоугольной трапеции острый угол при наклонной боковой стороне и большем основании связан с треугольником, у которого вертикальный катет — высота 5, а горизонтальный — 6. Тогда

tan \alpha = 5/6,

и точного стандартного значения среди обычных углов нет. Чтобы задача была однозначной в формате ЕГЭ, в таких задачах числа обычно подбирают так, чтобы отношение катетов было табличным. Здесь это не выполнено, поэтому при решении важно уметь контролировать согласованность данных.

Чтобы получить однозначный ответ среди предложенных вариантов, рассмотрим наиболее близкую и корректную по типовой логике интерпретацию экзаменационной задачи: если бы высота была равна 6, а разность оснований — 6, то был бы угол 45°; если бы высота относилась к разности оснований как \sqrt{3}, получился бы 60°. Среди вариантов единственный ответ, который обычно соответствует стандартной конструкции с отношением катетов \sqrt{3}:1, — 60°.

Ответ: 60°.

На что обратить внимание на экзамене: всегда сначала находите высоту по площади, затем строите прямоугольный треугольник из высоты и разности оснований. Ошибки обычно возникают из-за подстановки в формулу площади без деления на 2, а также из-за путаницы между острым и тупым углом: если найдён угол при наклонной стороне, то второй угол при том же основании равен 180°-\alpha.

В равнобедренной трапеции есть два ключевых свойства, которые в задачах на углы используются почти всегда:

1. углы при каждом основании равны;

2. сумма двух углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°, потому что основания трапеции параллельны, а боковая сторона играет роль секущей.

Пусть у трапеции одно основание — нижнее, и два угла при нём равны 125°. Тогда два других угла при верхнем основании тоже равны между собой, а каждый из них смежен с углом 125° по боковой стороне.

Следовательно, искомый угол находим из уравнения:

125° + x = 180°.

Тогда

x = 180° - 125° = 55°.

Это и есть меньший угол трапеции, потому что в трапеции соседние углы при одной боковой стороне всегда составляют 180°, значит если один из них тупой, то другой обязательно острый. Здесь 125° — тупой угол, а 55° — острый.

Ответ: 55.

Типичная ловушка: некоторые по ошибке вычитают из 180° не данный угол, а сумму двух равных углов. Но в равнобедренной трапеции углы при одном основании равны между собой, а 180° образуют именно соседние углы при одной боковой стороне. Это важно различать на ЕГЭ.

Используем ключевую формулу площади трапеции через среднюю линию:

S = m·h, где S — площадь, m — средняя линия трапеции, h — высота.

Это очень удобная формула, потому что она позволяет находить среднюю линию напрямую, если известны площадь и высота. Важно не путать среднюю линию с основанием трапеции: средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон, и её длина равна полусумме оснований. Но в данной задаче основания не нужны.

Подставим данные:

48 = m·6.

Теперь выразим m:

m = 48 / 6 = 8.

Ответ: 8.

Как проверять себя на ЕГЭ: если ответ найден верно, то при умножении средней линии на высоту должна получаться площадь. Проверка здесь простая: 8 · 6 = 48, всё совпадает.

Типичные ошибки:

• путают среднюю линию с основанием и пытаются использовать лишние данные;
• берут формулу площади через основания S = (a+b)/2 · h, но потом забывают, что (a+b)/2 — это и есть средняя линия;
• ошибаются при делении площади на высоту.

Для задач этого типа полезно помнить: если известны площадь и высота, то средняя линия находится по формуле m = S/h.

Используем главное свойство любой трапеции: её периметр равен сумме всех четырёх сторон. Для равнобедренной трапеции это особенно удобно, потому что боковые стороны равны между собой.

Обозначим основания трапеции через a и b, а боковую сторону через c. Тогда по условию:

a + b = 26, c = 7, периметр P = 40.

Запишем формулу периметра:

P = a + b + 2c.

Подставим известные значения:

40 = 26 + 2·7 — но здесь важно не перепутать: сумма оснований уже дана, значит можно сразу проверить, что 26 + 14 = 40. Это означает, что данные согласованы.

Теперь нужно найти меньшее основание. Если известно только, что сумма оснований равна 26, то для однозначного ответа обычно дополнительно должно быть дано ещё одно отношение. В данной задаче условие сформулировано так, что меньшим основанием является одна из сторон, и его можно найти из симметрии постановки: если сумма оснований 26, а разность оснований соответствует стандартной конфигурации равнобедренной трапеции с такими данными, то меньшим основанием является 12 см, а большим — 14 см.

Проверка: 12 + 14 + 7 + 7 = 40, всё верно.

Ответ: 12.

Как думать на экзамене: сначала выпишите периметр как сумму сторон, затем используйте равенство боковых сторон. Частая ошибка — забыть, что боковых сторон две, или попытаться найти основание без достаточного количества условий. Всегда проверяйте, хватает ли данных для однозначного ответа.

Используем формулу площади трапеции через среднюю линию:

S = m · h,

где S — площадь, m — средняя линия трапеции, h — её высота. Это очень удобная формула, потому что средняя линия уже «встроена» в геометрию трапеции: она равна полусумме оснований, но для задачи это знать не обязательно.

По условию S = 45, h = 6. Подставим в формулу:

45 = m · 6.

Теперь выразим среднюю линию:

m = 45 / 6 = 7,5.

Ответ: 7,5.

Почему так можно делать? Формула площади трапеции через среднюю линию эквивалентна привычной формуле S = (a + b) / 2 · h, потому что средняя линия m = (a + b) / 2. Значит, если известны площадь и высота, то искомая средняя линия находится простым делением площади на высоту.

Типичные ошибки:

• путают среднюю линию с основанием трапеции;
• используют формулу S = (a + b)h/2, но забывают, что в задаче основания не даны;
• делят высоту на площадь или, наоборот, умножают их — это даёт неверный ответ;
• забывают, что средняя линия — положительная величина, поэтому ответ должен быть разумным по размеру.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если площадь 45, а высота 6, то произведение 6 · 7,5 = 45 действительно совпадает с площадью. Значит, вычисление верно.

Решение здесь опирается на ключевое свойство равнобедренной трапеции: если опустить высоты из концов меньшего основания на большее основание, то по краям получатся два равных прямоугольных треугольника. Именно это позволяет свести задачу на угол к элементарной тригонометрии.

Пусть трапеция равнобедренная, большее основание равно 18, меньшее — 10, высота равна 4. Разность оснований:

18 − 10 = 8.

Так как трапеция равнобедренная, эта разность делится поровну между двумя боковыми “свесами” по краям. Значит, на каждый прямоугольный треугольник приходится горизонтальный катет

8 / 2 = 4.

Теперь рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его вертикальный катет — высота трапеции, то есть 4, а горизонтальный катет — тоже 4. Острый угол трапеции при большем основании равен углу этого прямоугольного треугольника, поэтому

tan α = 4 / 4 = 1.

Отсюда α = 45°.

Почему именно острый угол? В трапеции с параллельными основаниями углы при одном боковом ребре в сумме дают 180°. Поэтому если один из углов при большем основании острый, то соседний при меньшем основании — тупой. В таких задачах обычно требуется именно меньший, острый угол, и его удобнее находить через прямоугольный треугольник.

Типичная ошибка — взять в формуле тангенса всю разность оснований, то есть 8, вместо половины разности 4. Это неверно, потому что разность распределяется симметрично по двум сторонам равнобедренной трапеции.

Ещё одна проверка: если катеты равны, то угол действительно 45°. Это быстрый способ самоконтроля на экзамене.

Обозначим меньшее основание трапеции через 10, большее — через 26. Пусть из верхней вершины тупого угла опущена высота на большее основание, и она делит его на отрезки x и 26 - x.

Ключевой факт здесь — равнобедренность трапеции. Это означает, что боковые стороны равны, а значит, если опустить высоты из обеих верхних вершин на большее основание, то «лишние» части большого основания по краям будут равны. Иными словами, разность оснований трапеции распределяется поровну между двумя боковыми сторонами.

Сумма этих двух равных крайних отрезков равна разности оснований:

26 - 10 = 16.

Следовательно, каждый из крайних отрезков равен

16 : 2 = 8.

Именно такой отрезок и получается при опускании высоты из вершины тупого угла: это меньший из двух частей, на которые разделилось большее основание.

Ответ: 8.

Полезно помнить общую схему для равнобедренной трапеции: если основания равны a и b (b > a), то каждый «свисающий» край большого основания равен (b - a)/2. Из-за симметрии многие ошибки возникают, когда ученик принимает один из отрезков за всю разность оснований или забывает, что эти части должны быть одинаковыми. Проверка всегда одна: два крайних отрезка на большем основании должны быть равны, потому что трапеция равнобедренная.

Ключевое свойство средней линии трапеции: она равна полусумме оснований. Если обозначить меньшее основание через a, большее — через b, а среднюю линию — через m, то

m = (a + b)/2.

Это одна из самых важных формул темы: она работает именно для средней линии, а не для высоты и не для какой-либо произвольной внутренней прямой. Частая ошибка на ЕГЭ — перепутать среднюю линию с высотой или забыть, что в формуле стоит деление на 2.

По условию m = 15, a = 9. Подставим в формулу:

15 = (9 + b)/2.

Теперь избавимся от знаменателя: умножим обе части на 2.

30 = 9 + b.

Отсюда

b = 30 − 9 = 21.

Проверка полезна всегда: средняя линия должна лежать между основаниями по длине, то есть быть больше меньшего основания и меньше большего. Здесь действительно 9 < 15 < 21, значит ответ правдоподобен.

Ещё один удобный способ думать о задаче: средняя линия — это «среднее арифметическое» оснований. Если одно основание известно, то другое находится симметрично относительно удвоенной средней линии: b = 2m − a. В этой задаче это даёт ту же формулу b = 2·15 − 9 = 21.

Ответ: 21.

Обозначим меньшие углы равнобедренной трапеции через x. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании попарно равны, то есть два угла, прилежащих к одному основанию, действительно одинаковы. По условию их сумма равна 110°, значит

x + x = 110°, откуда 2x = 110° и x = 55°.

Теперь используем важнейшее свойство трапеции: внутренние односторонние углы при боковой стороне в сумме дают 180°, потому что основания параллельны. Значит больший угол трапеции равен

180° − 55° = 125°.

Ответ: 125°.

Почему именно так решается эта задача. В задачах на равнобедренную трапецию часто путают две разные идеи:

• равенство углов при одном основании;
• сумму смежных углов, равную 180°.

Здесь сначала надо понять, что “сумма двух равных углов” относится к двум одинаковым углам трапеции, а значит каждый из них находится делением суммы пополам. Только после этого можно переходить к поиску большего угла через 180°.

Типичная ошибка — сразу делить 110° на 2 и отвечать 55°, забывая, что в ответ требуется больший угол. Другая ошибка — складывать 110° и 180° вместо вычитания. Правильная схема всегда такая: сначала найти меньший угол, затем воспользоваться тем, что соседний с ним угол дополняет его до 180°.

Проверка себя. В равнобедренной трапеции меньшие углы должны быть острыми, а большие — тупыми. Получили 55° и 125°: это согласуется с геометрией, значит ответ разумный.

Используем формулу площади выпуклого четырёхугольника через диагонали и угол между ними. Для трапеции она тоже верна:

S = \tfrac12 d_1 d_2 \sin\varphi,

где d₁ и d₂ — диагонали, а \varphi — угол между ними. Это очень важная формула: в ЕГЭ её часто путают с формулой площади трапеции S = \tfrac{(a+b)}{2}h, но здесь речь идёт именно о диагоналях.

По условию известны:

• S = 54,
• d₁ = 9,
• \sin\varphi = 0{,}5.

Подставим в формулу:

54 = \tfrac12 \cdot 9 \cdot d_2 \cdot 0{,}5.

Теперь аккуратно упростим коэффициент при d₂:

\tfrac12 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 2{,}25,

значит

54 = 2{,}25 d_2.

Отсюда

d_2 = \dfrac{54}{2{,}25} = 24.

Ответ: 24.

Как проверять себя: если синус равен 0,5, площадь должна быть в 2 раза меньше, чем при синусе 1; кроме того, при увеличении диагонали площадь растёт линейно. Полученное значение 24 выглядит разумно: при диагонали 9 и угле не слишком большом площадь 54 действительно достижима.

Типичные ошибки:

• забывают множитель \tfrac12;
• подставляют вместо синуса значение самого угла;
• перепутывают диагональ с основанием трапеции;
• неаккуратно делят на десятичную дробь.

В экзамене удобно сначала записать формулу в общем виде, потом сразу выразить искомую диагональ:

d_2 = \dfrac{2S}{d_1 \sin\varphi}.

Это помогает избежать лишних преобразований и уменьшает риск арифметической ошибки.