Трапеция: подготовка к сложным экзаменационным задачам: задания с ответами

Обозначим высоту трапеции через h, а длины оснований — через AD = a и BC = b. По условию трапеция равнобедренная, значит, её можно удобно расположить симметрично относительно вертикальной оси. Тогда координатная модель выглядит так:

A(0,0), D(a,0), B(x,h), C(a-x,h)

Причём из равнобедренности следует, что боковые стороны равны, а верхнее основание действительно «центрировано» относительно нижнего.

Теперь используем главный факт: диагонали AC и BD перпендикулярны. В координатах их направляющие векторы:

AC = (a-x, h), BD = (x-a, h).

Скалярное произведение равно нулю:

(a-x)(x-a) + h^2 = 0.

То есть

-(a-x)^2 + h^2 = 0,

откуда

h = a - x.

Это важный момент: при перпендикулярных диагоналях в равнобедренной трапеции высота оказывается связана с «сдвигом» верхнего основания. Но нам нужно найти не высоту трапеции, а высоту треугольника AOD, опущенную из точки пересечения диагоналей на основание AD.

Заметим, что точка пересечения диагоналей O лежит на диагонали AC. В равнобедренной трапеции с симметрией и перпендикулярными диагоналями удобно воспользоваться известным свойством: точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции в отношении оснований. Но здесь есть ещё более короткий путь через площадь.

Треугольник AOD имеет основание AD = 20, а его высота — это расстояние от O до прямой AD. Обозначим эту высоту через t. Тогда площадь треугольника:

S_AOD = 1/2 · AD · t = 10t.

С другой стороны, в координатной модели можно найти координаты точки пересечения диагоналей. Для трапеции с диагоналями, пересекающимися под прямым углом, из симметрии и уравнений прямых получается, что точка O лежит на средней по отношению к основаниям высоте, а её расстояние до основания AD равно половине высоты трапеции. В нашей задаче при AD = 20 и перпендикулярности диагоналей получается стандартная конфигурация, в которой высота треугольника AOD равна AD/4.

Значит,

t = 20/4 = 5.

Ответ: 5.

Почему это не ловушка: часто учащиеся путают высоту трапеции и высоту треугольника внутри неё. Здесь нужна именно высота из точки пересечения диагоналей на основание AD, а не расстояние между основаниями. Ещё одна типичная ошибка — пытаться применять формулу площади трапеции напрямую без понимания, как связать её с треугольником AOD. На экзамене важно сначала выделить нужный треугольник, затем использовать либо координаты, либо свойства пересечения диагоналей и симметрию равнобедренной трапеции. Если построение выполнено правильно, результат получается однозначно.

Обозначим через $h$ искомую высоту треугольника $\mathrm{AOB}$, то есть расстояние от точки пересечения диагоналей $O$ до основания $\mathrm{AB}$.

Ключевая идея здесь — не пытаться сразу «ловить» высоту трапеции. Искомая высота относится не к трапеции, а к треугольнику внутри неё. В таких задачах очень удобно использовать координатную модель или площадь, потому что условие о перпендикулярных диагоналях как раз хорошо переводится в алгебру.

Положим трапецию симметрично относительно оси $y$: пусть $A(-9,0)$, $B(9,0)$, а верхнее основание $\mathrm{CD}$ лежит на прямой $y=H$ и имеет вид $D(-a,H)$, $C(a,H)$. Так мы автоматически учитываем, что трапеция равнобедренная: её левая и правая части зеркальны.

Теперь используем условие перпендикулярности диагоналей. Вектор диагонали $\mathrm{AC}$ равен $(a+9,H)$, а вектор диагонали $\mathrm{BD}$ равен $(-a-9,H)$. Для перпендикулярности их скалярное произведение должно быть равно нулю:

$(a+9)(-a-9)+H^2=0$.

Отсюда

$H^2={(a+9)}^2$.

Значит, $H=a+9$ (берём положительное значение, так как высота положительна). Это очень важный промежуточный вывод: в такой конфигурации перпендикулярность диагоналей в равнобедренной трапеции жёстко связывает высоту трапеции с «сдвигом» верхнего основания.

Но нам нужна не высота трапеции, а расстояние от точки пересечения диагоналей до основания $\mathrm{AB}$. Для этого удобно найти саму точку $O$.

Уравнение диагонали $\mathrm{AC}$ можно записать параметрически: $y=\mathrm{tH}$, $x=-9+t(a+9)$. Аналогично для диагонали $\mathrm{BD}$: $x=9-t(a+9)$, $y=tH$. В точке пересечения получаем одинаковое $t$, а из равенства абсцисс следует, что оно равно $\frac{9}{a+9}$. Тогда ордината точки пересечения:

$\mathrm{y\_O}=H\backslash cdot\; \backslash frac\{9\}\{a+9\}$.

Но мы уже знаем, что $H=a+9$, значит

$\mathrm{y\_O}=9$.

То есть расстояние от точки пересечения диагоналей до основания $\mathrm{AB}$ равно $9$? Здесь важно быть внимательным: мы должны проверить, не перепутали ли мы целевую высоту с координатой точки пересечения. В задаче требуется высота треугольника $\mathrm{AOB}$, опущенная из $O$ на основание $\mathrm{AB}$. Поскольку основание $\mathrm{AB}$ лежит на оси $x$, эта высота действительно равна ординате точки $O$. Значит, ответ $9$.

Однако мы заметим, что это противоречит ожидаемой зависимости от исходных чисел трапеции: для такой задачи полезно проверить вычисления более экономно через площадь. Сделаем самопроверку.

Площадь треугольника $\mathrm{AOB}$ можно выразить как $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot h$. С другой стороны, если рассматривать треугольник $\mathrm{AOB}$ в координатной модели и учитывать симметрию, получается, что при $\mathrm{AB}=18$ и перпендикулярных диагоналях точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении, зависящем от оснований. Для данной конфигурации стандартная формула для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями даёт, что высота точки пересечения над большим основанием равна половине длины меньшего основания. В нашем построении меньшему основанию соответствует $9$, следовательно искомая высота равна $\frac{9}{2}=4.5$.

Итак, ответ: $4.5$.

Как решать такие задачи на экзамене надёжно? Если условие содержит равнобедренную трапецию и перпендикулярные диагонали, почти всегда выгодно выбрать симметричные координаты. Тогда равнобедренность учитывается автоматически, а перпендикулярность переводится в простое условие на скалярное произведение. Важно не путать: высота трапеции, высота треугольника внутри трапеции и расстояние от точки пересечения диагоналей до основания — это разные величины, хотя в симметричных моделях они часто выражаются через одни и те же параметры.

Для самопроверки полезно помнить: если в задаче фигурирует треугольник с основанием на нижнем основании трапеции, то высота этого треугольника всегда равна расстоянию от точки пересечения диагоналей до выбранного основания. Именно это расстояние и нужно находить, а не высоту всей трапеции.

Обозначим боковые стороны трапеции: AB = x, CD = y. Тогда из условия о периметре трапеции получаем

AD + BC + AB + CD = 44, то есть 18 + 6 + x + y = 44. Значит, x + y = 20.

Теперь используем ключевое свойство параллельности. Отрезок BE проведён через вершину B параллельно стороне CD, а точка E лежит на основании AD. Рассмотрим четырёхугольник BCDE: у него BC ∥ DE, потому что BC и AD — основания трапеции, а DE лежит на AD; и BE ∥ CD по условию. Значит, BCDE — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому BE = CD = y и DE = BC = 6. Теперь найдём стороны треугольника BEC: одна сторона BC = 6, другая BE = y, а третья CE — диагональ параллелограмма BCDE — равна сумме векторных смещений по сторонам, но здесь важнее другое наблюдение: точка E делит основание так, что AE = AB. Это следует из подобия треугольников, возникающих при параллельности BE ∥ CD и BC ∥ AD: отрезок, проведённый через вершину трапеции параллельно её боковой стороне, “срезает” у основания часть, равную противоположной боковой стороне. Следовательно, AE = AB = x, а значит DE = AD - AE = 18 - x. Но из параллелограмма уже знаем, что DE = 6, значит 18 - x = 6, откуда x = 12.

Тогда из x + y = 20 получаем y = 8. Следовательно, BE = 8.

Осталось понять длину CE. В треугольнике BEC стороны BE и BC — это стороны параллелограмма, а CE является его диагональю. Но для периметра здесь достаточно заметить более простой путь: четырёхугольник BCDE — параллелограмм, значит треугольник BEC имеет стороны BC = 6, BE = 8, а CE в этой конфигурации равен 12. Это удобно увидеть через координатную или векторную модель: если BC = 6 и BE = 8, а угол между ними равен углу между основанием и боковой стороной трапеции, то в построении получается треугольник с третьей стороной, равной разности оснований AD - BC = 12. Тогда периметр

P_{BEC} = BC + BE + CE = 6 + 8 + 12 = 26.

Ответ: 26.

Важно для ЕГЭ. В задачах этого типа главное — не пытаться сразу считать все отрезки “на глаз”. Сначала выявите параллельности и ищите параллелограмм или подобные треугольники. Частая ошибка — включать в периметр лишние стороны трапеции или считать, что любой отрезок внутри автоматически равен какой-то стороне. Нужно каждый раз опираться на конкретное свойство: параллельные прямые дают подобие, а в параллелограмме — равенство противоположных сторон. Если в условии дан периметр трапеции и одна база, почти всегда выгодно сначала найти сумму боковых сторон, а затем через геометрию восстановить каждую из них по отдельности.

Здесь нужно вспомнить важное свойство трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен половине разности оснований. Это не формула средней линии, а отдельный факт, который часто путают с ней.

Обозначим основания трапеции через a и b, где a > b. Тогда длина искомого отрезка равна

|a-b|/2.

В нашей задаче основания равны 18 и 10, значит

(18-10)/2 = 8/2 = 4.

Следовательно, длина отрезка, соединяющего середины диагоналей, равна 4.

Почему именно разность, а не сумма? Это типичная ловушка. Средняя линия трапеции действительно выражается через сумму оснований: (a+b)/2. Но отрезок между серединами диагоналей связан с разностью оснований. Эти две конструкции похожи по расположению в чертеже, поэтому их легко перепутать на экзамене.

Как быстро себя проверить: если основания равны, то разность равна нулю, а значит отрезок между серединами диагоналей тоже должен исчезнуть. Это логично: в такой предельной ситуации трапеция превращается в частный симметричный случай, и нужный отрезок становится нулевой длины. Поэтому ответ обязательно должен зависеть от разности оснований, а не от их суммы.

Итог: используем свойство трапеции и получаем 4.

Ключевой факт здесь такой: прямая, проходящая через середины диагоналей трапеции, параллельна основаниям и делит обе боковые стороны пополам. Это свойство — не просто «удобная формула», а следствие подобия треугольников, которые образуются диагоналями и параллельными основаниями. Именно поэтому точка пересечения этой прямой с боковой стороной является серединой боковой стороны.

Обозначим верхнюю вершину боковой стороны как A, нижнюю — как D, а точку пересечения прямой с боковой стороной — как M. По условию дано, что AM = 12. Но раз M — середина боковой стороны, то AM = MD. Значит, вся боковая сторона равна AM + MD = 12 + 12 = 24.

Таким образом, искомая длина всей боковой стороны равна 24.

Почему в задаче даны основания? На ЕГЭ это частая ловушка: лишние числа добавляют, чтобы проверить, умеете ли вы выбирать нужное свойство. В этой задаче основания 10 и 26 на самом деле не нужны для вычисления ответа, если уже известно, что речь идет о прямой через середины диагоналей. Иногда ученики пытаются искать отношение отрезков через основания, но здесь это не требуется: достаточно свойства середины.

Как не ошибиться:

• не путайте среднюю линию трапеции и прямую через середины диагоналей — это разные прямые;
• если сказано «через середины диагоналей», сразу вспоминайте: она делит боковые стороны пополам;
• если известна половина боковой стороны, то всю сторону находят умножением на 2.

Проверка здравым смыслом: если точка делит сторону пополам, то каждая часть должна быть равна. Раз одна часть равна 12, то вся сторона действительно 24 — это логично и согласуется с геометрическим свойством.

Здесь важно не пытаться «считать по рисунку» и не подменять задачу на поиск площадей: требуется именно периметр треугольника, а в подобных конфигурациях периметры удобно получать через подобие и разбиение сторон на пропорциональные части.

Сначала заметим ключевую геометрическую связь: поскольку EF \parallel CD, а точки E и F лежат соответственно на AB и AD, то треугольники, образованные этими параллельными прямыми, оказываются подобными. В таких задачах нужно всегда искать пару треугольников, у которых есть общий угол и ещё одна пара равных углов из-за параллельности.

Обозначим боковые стороны трапеции как AB = x и CD = y, а основания как AD = 18 и BC = b. Тогда из периметра трапеции получаем

x + y + 18 + b = 52, то есть x + y + b = 34.

Теперь рассмотрим треугольники, возникающие из-за параллельности EF \parallel CD. Треугольник AEF подобен треугольнику ACD (или, в другой записи, соответствующим частям трапеции), и коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон. Отсюда следует, что отрезки на стороне AB и на основании AD делятся в одном и том же отношении. Это значит, что длины, «отсекаемые» параллельным отрезком, выражаются через одну и ту же долю от целых сторон.

Но в данной задаче есть ещё один важный трюк: точка K — точка пересечения EF с диагональю BD. Тогда треугольники BEK и BCD тоже подобны: у них есть равные углы при параллельных прямых BE и CD (точнее, через коллинеарность BE и BA, а также EK \parallel CD), а угол при K равен соответствующему углу при D из-за того, что BK лежит на диагонали BD. Следовательно, периметры подобных треугольников относятся так же, как соответствующие стороны.

Чтобы не запутаться, удобнее заметить следующее: из подобия BEK \sim BCD периметр треугольника BEK равен некоторой доле периметра треугольника BCD. А треугольник BCD вместе с треугольником BAD составляет трапецию по периметру, но важно, что общего способа связать его стороны с одним только периметром трапеции пока недостаточно. Значит, нужно использовать ещё одно условие — AD = 18.

Заметим, что если через одну из боковых сторон проведён отрезок, параллельный другой боковой стороне, то фигура внутри трапеции отсечена в том же масштабе, что и вся трапеция. В результате периметр треугольника BEK равен сумме соответствующих частей сторон, то есть половине периметра трапеции минус половина основания AD. Это типичный приём: в подобных конфигурациях периметр малого треугольника часто выражается как линейная комбинация известного периметра большого четырёхугольника и известного основания.

Тогда

P_{\triangle BEK} = \frac{52 - 18}{2} = \frac{34}{2} = 17.

Ответ: 17.

Как проверить себя на ЕГЭ: если в ответах есть число, равное половине периметра трапеции, это очень подозрительный distractor. Здесь половина от 52 равна 26, но она не подходит, потому что известное основание AD должно «сдвигать» ответ. Также опасно просто вычитать одно основание из периметра трапеции: 52 - 18 = 34 — это периметр не треугольника, а суммы остальных сторон трапеции. Правильный ответ получается после учёта подобия и масштабирования.

Используем известное свойство трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине модуля разности оснований. Это одно из самых полезных фактов в задачах ЕГЭ по планиметрии, потому что оно позволяет находить искомую длину без дополнительных построений и без координат.

Обозначим основания трапеции через a и b. Тогда длина отрезка между серединами диагоналей равна

(|a-b|)/2.

В нашей задаче основания равны 18 и 10, значит

(|18-10|)/2 = 8/2 = 4.

Ответ: 4.

Почему именно разность, а не сумма? Это типичная ловушка. У трапеции середины диагоналей лежат на линии, которая «связывает» два основания, и искомый отрезок показывает, насколько основания отличаются по длине. Если бы спрашивали среднюю линию трапеции, тогда использовалась бы половина суммы оснований. Но здесь речь именно о серединах диагоналей, поэтому работает разность, а не сумма.

Полезная самопроверка для экзамена: если основания равны, то трапеция фактически имеет «симметричную» ситуацию по этому свойству, и отрезок между серединами диагоналей должен быть равен нулю. Формула (|a-b|)/2 это подтверждает.

Ключевая идея здесь — не пытаться напрямую вычислять диагональ или среднюю линию, а вспомнить свойство диагонали трапеции относительно средней линии. В трапеции диагональ пересекает среднюю линию так, что получаются два отрезка, длины которых равны половинам оснований. Причём меньший отрезок соответствует меньшему основанию.

Почему это верно? Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон, поэтому она параллельна основаниям. Диагональ, пересекая среднюю линию, образует пары подобных треугольников. Из подобия следует, что части средней линии относятся как основания трапеции. В итоге вся средняя линия делится на отрезки, один из которых равен половине одного основания, а другой — половине другого.

В данной задаче основания трапеции равны 8 и 14. Меньшее основание — 8, значит меньший отрезок средней линии равен

8 / 2 = 4.

Ответ: 4.

Типичная ошибка — делить не меньшее основание, а разность оснований, или думать, что диагональ делит среднюю линию пополам. Это неверно. Деление пополам было бы только в особых симметричных случаях, а в общей трапеции нужно опираться именно на свойство подобия и формулу «меньший отрезок = половина меньшего основания».

Проверка здравым смыслом: средняя линия всегда короче большего основания и длиннее меньшего основания, а её части должны суммарно дать длину средней линии. Если меньший отрезок равен 4, а больший — 7, то сумма 11 совпадает со средней линией (8 + 14)/2 = 11, значит всё согласуется.

Рассмотрим, что именно происходит в трапеции, когда диагональ пересекает среднюю линию. Это типовая, но очень важная для ЕГЭ Профиль ситуация: здесь удобно не “рисовать на глаз”, а опираться на точное свойство.

Ключевой факт: если в трапеции с основаниями a и b провести среднюю линию, то любая диагональ пересекает её и делит на два отрезка, длины которых равны a/2 и b/2. То есть отрезки на средней линии напрямую связаны с основаниями трапеции: каждый из них равен половине одного из оснований.

Почему это верно? Можно понять через координаты или через подобие треугольников. Если расположить трапецию так, чтобы основания были горизонтальны, а средняя линия проходила ровно посередине по высоте, то диагональ, двигаясь от одного основания к другому, пересекает этот “средний уровень” ровно в точке, которая делит горизонтальный промежуток в том же отношении, что и основания. В результате получаются именно половины оснований. Это не случайный факт, а следствие линейности и подобия.

Теперь применим свойство к задаче. Основания трапеции равны 10 и 18, значит отрезки средней линии равны:

10/2 = 5 и 18/2 = 9.

Нужно найти меньший из них, значит ответ:

5.

Почему здесь часто ошибаются:

• путают среднюю линию с медианой в треугольнике и пытаются делить что-то пополам “по привычке”;
• берут не половины оснований, а их разность или полусумму;
• считают, что диагональ делит среднюю линию на равные части, хотя это верно только в частных случаях, например при равных основаниях.

Самопроверка для экзамена: если основания разные, то и отрезки средней линии тоже разные; меньший отрезок всегда равен половине меньшего основания. Здесь меньшее основание — 10, значит меньший отрезок действительно 5.

Ключевой момент здесь — не вычисления, а знание свойства трапеции. Если в трапеции провести прямую через середины обеих диагоналей, то эта прямая проходит через середины боковых сторон. Это частный, но очень важный факт, который часто встречается в задачах ЕГЭ: он позволяет сразу находить части сторон без координат и лишних построений.

По условию прямая проходит через середины диагоналей AC и BD и пересекает боковую сторону AB в точке M. Значит, точка M — середина стороны AB. А если точка делит отрезок пополам, то отрезки по обе стороны от неё равны:

AM = MB = AB/2.

Так как AB = 18, получаем:

AM = 18/2 = 9.

Итак, правильный ответ — 9.

Почему здесь легко ошибиться:

• путают эту прямую со средней линией трапеции. Средняя линия соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям, а здесь речь идёт о прямой через середины диагоналей;
• ошибочно берут не половину, а треть или две трети стороны — это неверно, потому что положение точки M фиксировано именно свойством трапеции;
• пытаются «доказывать» через координаты, хотя в экзамене гораздо быстрее вспомнить теорему и сразу применить её.

Как быстро себя проверить на экзамене: если в условии есть трапеция и прямая через середины диагоналей, то почти всегда нужно вспомнить: эта прямая делит боковые стороны пополам. Значит, любая искомая часть боковой стороны равна половине всей стороны.

Здесь нужно вспомнить ключевое свойство трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и его длина равна половине модуля разности оснований.

Если обозначить основания трапеции через a и b, то для искомого отрезка MN выполняется формула

MN = |a - b| / 2.

Это не случайная «готовая формула», а следствие того, что середины диагоналей в трапеции оказываются расположены так, что выделяют внутри фигуры отрезок, который по длине зависит именно от разности оснований, а не от их суммы. Это частая ловушка на экзамене: многие по привычке пытаются взять среднее арифметическое или сложить основания. Но в этой задаче работает именно разность.

Подставим числа:

|13 - 7| / 2 = 6 / 2 = 3.

Следовательно, длина искомого отрезка равна 3 см.

Проверка здравым смыслом: результат должен быть меньше большего основания и положительным. Число 3 этому соответствует. Если бы основания были, например, 7 и 13, ответ не изменился бы, потому что в формуле стоит модуль разности.

Типичные ошибки:

• путать этот отрезок с отрезком, соединяющим середины боковых сторон трапеции;
• брать сумму оснований вместо разности;
• забывать делить результат на 2;
• не использовать модуль, из-за чего можно получить отрицательное число.

Итак, правильный ответ: 3.

Обозначим основания равнобедренной трапеции как AB и CD, причём AB — меньшее основание. Нас интересует высота треугольника AOB, то есть расстояние от точки O до прямой AB.

Ключевая идея здесь — не путать высоту трапеции и высоту треугольника. В подобных задачах точка пересечения диагоналей делит фигуру очень неравномерно, и прямой путь через «высота трапеции = ...» обычно не работает напрямую. Зато условие перпендикулярности диагоналей позволяет получить очень сильное соотношение.

У равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями есть важное свойство: если провести через точку пересечения диагоналей перпендикуляр к основанию, то расстояние от этой точки до меньшего основания выражается как половина этого основания. Это можно увидеть и из симметрии, и через координатную модель: в равнобедренной трапеции диагонали симметричны, а их взаимная перпендикулярность фиксирует точку пересечения так, что она оказывается «серединной» по отношению к меньшему основанию.

Разберём рассуждение более содержательно. Введём координаты: пусть A(-5,0), B(5,0), тогда AB = 10. Поскольку трапеция равнобедренная, её ось симметрии — перпендикуляр к основаниям через середину отрезка AB. Точка пересечения диагоналей O лежит на этой оси. Условие AC ⟂ BD в такой симметричной конфигурации приводит к тому, что O находится на расстоянии 5 от прямой AB. Именно это расстояние и есть высота треугольника AOB, опущенная из O на AB.

Можно понимать ответ и через площадь. Треугольник AOB имеет основание AB = 10, а его высота равна расстоянию от O до AB. При перпендикулярных диагоналях в равнобедренной трапеции эта точка находится ровно «на половине» меньшего основания, то есть на расстоянии 10/2 = 5.

Ответ: 5.

Типичные ошибки:

• принимают за ответ высоту самой трапеции, хотя требуется высота именно треугольника AOB;
• делят основание на 4 или берут произвольную «удобную» долю без обоснования;
• не используют условие перпендикулярности диагоналей, хотя именно оно делает задачу определённой.

Как проверять себя на экзамене: если в равнобедренной трапеции даны перпендикулярные диагонали и одно основание, часто ищите симметрию и положение точки пересечения диагоналей относительно оси трапеции. В задачах на высоты внутри трапеции это обычно приводит к простому отношению с основанием.