Подстановка и алгебраические уравнения в sin или cos: задания с ответами

Используем основную формулу синуса суммы:

sin(a+b)=sin a·cos b+cos a·sin b.

Здесь a=x, b=π/6. Подставляем стандартные значения:

cos(π/6)=√3/2, sin(π/6)=1/2.

Тогда

sin(x+π/6)=sin x·cos(π/6)+cos x·sin(π/6)=sin x·(√3/2)+cos x·(1/2).

Получаем

sin(x+π/6)= (√3/2)sin x + (1/2)cos x.

Это и есть правильный ответ.

Почему здесь часто ошибаются:

• путают коэффициенты при sin x и cos x;
• подставляют не ту формулу, например формулу для cos(a+b), где знаки другие;
• ошибаются в стандартных значениях sin(π/6) и cos(π/6).

Как себя проверить на ЕГЭ: если в ответе при sin x стоит коэффициент, связанный с cos(π/6), а при cos x — связанный с sin(π/6), то структура формулы сохранена правильно. Для угла π/6 оба коэффициента положительны, потому что мы рассматриваем сумму, а не разность.

Решаем задачу по стандартному алгоритму отбора корней на отрезке.

1) Сначала найдём общее решение уравнения sin x = 0:

x = πk, где k ∈ Z.

Это значит, что все корни — это целые кратные числа π: ..., -2π, -π, 0, π, 2π, ...

2) Теперь нужно выбрать те из них, которые лежат на отрезке [-5π/2; 7π/6].

Проверяем по порядку:

-3π меньше левой границы, не подходит.

-2π лежит на отрезке, подходит.

-π лежит на отрезке, подходит.

0 лежит на отрезке, подходит.

π тоже лежит на отрезке, потому что π < 7π/6, подходит.

2π уже больше правой границы, не подходит.

3) Итак, все корни на данном отрезке:

-2π, -π, 0, π.

Почему важно проверять именно по промежутку? В таких заданиях типичная ошибка — выписать только общий вид корней и забыть отбор. Другая частая ошибка — неверно оценить правую границу: например, считать, что π не входит, хотя π = 6π/6, а это меньше, чем 7π/6.

Как быстро себя проверить на ЕГЭ: если уравнение имеет вид sin x = 0 или cos x = 1, удобно сразу вспомнить, что шаг между корнями равен π. Затем достаточно найти, какие кратные π попадают между границами отрезка, включая концы, если это именно отрезок.

Рассмотрим уравнение sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}. Это стандартный случай: нужно найти все углы, синус которых равен заданному числу, а затем учесть периодичность функции.

Сначала вспоминаем, что на единичной окружности синус — это ордината точки. Значение \frac{\sqrt{3}}{2} достигается в двух точках одного периода: при углах \frac{\pi}{3} и \frac{2\pi}{3}. Это важный момент: у уравнения sin x = a при |a| < 1 всегда два решения на промежутке [0,2\pi).

Теперь добавляем период 2\pi, потому что синус — периодическая функция с периодом 2\pi. Поэтому общее решение записывается так:

x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n или x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}.

Почему нельзя написать только одно из этих решений? Потому что, например, sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} и sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, а между ними на окружности есть две симметричные точки относительно оси Oy. Если потерять одно из них, ответ будет неполным — это типичная ошибка на ЕГЭ.

Ещё одна частая ошибка — перепутать знак или период. Для синуса период именно 2\pi, а не \pi. Период \pi возникает у некоторых преобразованных выражений, например у sin^2 x или tan x, но не у самого sin x.

Итак, верный ответ: x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n или x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}.

Решим уравнение sin x = 0. Синус обращается в ноль тогда и только тогда, когда угол соответствует точкам пересечения единичной окружности с осью Ox, то есть при значениях вида

x = πn, где n ∈ Z.

Почему именно так? Значение sin x — это ордината точки на единичной окружности. Ордината равна нулю на положительной и отрицательной полуосях Ox. Эти точки повторяются через период 2π, но промежуток между соседними нулями синуса равен π, поэтому общее решение удобно записывать как x = πn.

Важно не путать период функции и шаг между корнями. У синуса период равен 2π, но нули идут чаще — через π. Именно поэтому запись x = 2πn была бы неполной: она пропускает, например, решения x = π, 3π, ....

Проверка: если x = πn, то sin(πn) = 0 для любого целого n. Значит, формула действительно задаёт все решения.

В задачах ЕГЭ профильного уровня удобно помнить базовые шаблоны: для sin x = 0 получаем x = πn, а для cos x = 0 — x = π/2 + πn. Частая ошибка — забыть параметр n ∈ Z или написать только одно частное решение вместо общего.

Решаем уравнение \(\cos x = -\dfrac12\). Это стандартное тригонометрическое уравнение, для которого сначала нужно вспомнить значения аргумента, при которых косинус равен \(-\dfrac12\).

На единичной окружности значение \(\cos x = -\dfrac12\) достигается в двух точках на одном периоде: \(x = \dfrac{2\pi}{3}\) и \(x = \dfrac{4\pi}{3}\). В общем виде решения можно записать как

\[x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.\]

Теперь отберём те корни, которые лежат в промежутке \([0;2\pi]\). Для \(n=0\) получаем

\[x = \frac{2\pi}{3}, \quad x = -\frac{2\pi}{3}.\]

Второе значение не принадлежит заданному промежутку, потому что оно отрицательное. Если взять \(n=1\) во второй ветви, получим

\[x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3},\]

и это тоже подходит. При \(n=1\) в первой ветви получаем \(\frac{8\pi}{3}\), что уже больше \(2\pi\). Других решений в указанном промежутке нет.

Итак, все решения на \([0;2\pi]\):

\[\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}.\]

Как не ошибиться на ЕГЭ: часто забывают, что у уравнения с косинусом при значении, отличном от \(\pm1\), обычно есть две серии решений. Ещё одна типичная ошибка — не проверить границы промежутка: если бы в ответе были \(0\) или \(2\pi\), их нужно было бы отдельно сравнить с уравнением. В этой задаче границы не являются корнями, поэтому они не входят в ответ, но в других задачах это важно учитывать особенно внимательно.

Сначала заметим, что уравнение зависит только от sin x, значит его удобно свести к алгебраическому через замену переменной:

пусть \(t=\sin^2 x\). Тогда \(t\in[0;1]\).

Получаем уравнение

\(t^2-5t+4=0\).

Это квадратное уравнение раскладывается на множители:

\((t-1)(t-4)=0\).

Отсюда \(t=1\) или \(t=4\), но нужно обязательно сделать отбор по области значений: так как \(t=\sin^2 x\), то значение \(t=4\) невозможно, ведь \(\sin^2 x\le 1\) при любом \(x\).

Остаётся только

\(\sin^2 x=1\), то есть \(\sin x=\pm 1\).

На промежутке \([0;2\pi]\) это происходит в двух точках:

\(x=\dfrac{\pi}{2}\) и \(x=\dfrac{3\pi}{2}\).

Итак, решений 2.

Почему в таких задачах часто ошибаются:

• подставляют найденные корни алгебраического уравнения без проверки на допустимость;
• забывают, что после замены переменной нужно учитывать не все корни квадратного уравнения, а только те, которые лежат в области значений новой переменной;
• путают число значений \(x\), соответствующих одному значению \(\sin^2 x\). Например, при \(\sin x=\pm 1\) на данном промежутке действительно две точки, а не четыре.

Стратегия для ЕГЭ: если в уравнении встречается только \(\sin x\) или только \(\cos x\), а выражение является полиномом от этой функции, почти всегда выгодно делать замену. После решения алгебраической части обязательно возвращайтесь к тригонометрическому ограничению: \(\sin x\in[-1,1]\), \(\cos x\in[-1,1]\), а если вводили \(t=\sin^2 x\) или \(t=\cos^2 x\), то уже \(t\in[0,1]\). Именно этот шаг отличает правильное решение от формального.

Идея здесь — увидеть не «сложное тригонометрическое уравнение», а обычное квадратное уравнение относительно одной функции, если вынести общий множитель. Это очень важный приём для ЕГЭ: сначала стараемся привести выражение к виду произведения, а потом применяем правило нуля произведения.

Перепишем левую часть:

sin²x − 3sin x·cos x + 2cos²x.

Это похоже на квадратный трёхчлен, если считать, например, sin x и cos x «переменными» с одинаковым аргументом. Подбираем разложение на множители:

sin²x − 3sin x·cos x + 2cos²x = (sin x − cos x)(sin x − 2cos x).

Проверка раскрытием скобок:

(sin x)(sin x) − 2sin x·cos x − sin x·cos x + 2cos²x = sin²x − 3sin x·cos x + 2cos²x.

Значит, исходное уравнение эквивалентно

(sin x − cos x)(sin x − 2cos x) = 0.

По правилу нуля произведения получаем совокупность:

sin x − cos x = 0 или sin x − 2cos x = 0,

то есть

sin x = cos x или sin x = 2cos x.

Это и есть правильный ответ.

Почему не вариант с «и»? Потому что для произведения, равного нулю, достаточно, чтобы хотя бы один множитель был равен нулю. Условие «и» означало бы, что оба множителя должны одновременно обращаться в ноль, а это уже намного более жёсткое требование и обычно даёт слишком мало решений.

Почему не подходят другие варианты?

• «sin x = 2cos x или cos x = 2sin x» — это другая совокупность, она не равносильна исходному разложению. Во втором уравнении перепутаны коэффициенты.
• «sin x = 0 или cos x = 0» — это частный случай, но не эквивалентное преобразование. Например, если sin x = cos x, то уравнение выполняется, хотя ни sin x, ни cos x не обязаны быть равны нулю.

Как действовать на экзамене: если видите выражение вида sin²x, sin x·cos x, cos²x, попробуйте рассматривать его как квадратный трёхчлен по отношению к sin x и cos x. Часто его можно разложить на множители с помощью стандартной алгебры. После этого важно не потерять логическую связь: из произведения получается совокупность, а не система.

Самопроверка: подставьте, например, x = π/4. Тогда sin x = cos x = √2/2, и исходная левая часть равна 1/2 − 3/2 + 1 = 0. Это подтверждает, что первое уравнение из совокупности действительно даёт решения исходного.

Решаем уравнение cos x = -\frac{1}{2}. Для косинуса это стандартный случай: если \cos x = a, то сначала находим две точки на одном периоде, а затем записываем общую формулу.

Значение \cos x = -\frac{1}{2} достигается при углах

x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k и x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.

Теперь отбираем решения на промежутке \left[-\frac{5\pi}{3};\,\frac{5\pi}{6}\right]. Удобно проверять не только «ближайшие» корни, но и сдвиги на период 2\pi.

1) Из семейства x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k при k=0 получаем \frac{2\pi}{3}, и этот корень лежит в промежутке. При k=-1 было бы -\frac{4\pi}{3}, а это тоже лежит в промежутке. При k=1 получаем \frac{8\pi}{3}, это уже вне промежутка.

2) Из семейства x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k при k=0 получаем -\frac{2\pi}{3}, и этот корень тоже подходит. При k=1 будет \frac{4\pi}{3}, что больше правой границы. При k=-1 получится -\frac{8\pi}{3}, это меньше левой границы.

Итак, все корни на данном промежутке:

-\frac{4\pi}{3},\,-\frac{2\pi}{3},\,\frac{2\pi}{3}.

Правильный ответ: вариант B.

Почему здесь часто ошибаются: многие вспоминают только два «базовых» значения \pm \frac{2\pi}{3}, но забывают, что нужно ещё сдвигать их на период 2\pi. Другая типичная ошибка — неверно работать с границами промежутка. Здесь границы не равны корням, но в других задачах важно точно учитывать, включены они или нет. Полезная самопроверка: после нахождения корней подставьте каждый в уравнение и убедитесь, что он действительно попадает в заданный отрезок.

Здесь нужно не решать уравнение до конца, а выбрать формулу для подстановки, которая делает уравнение алгебраическим относительно одной тригонометрической функции.

В уравнении есть $\cos 2x$ и $\cos^2 x$. Это сразу подсказывает, что удобнее оставить косинус как основную функцию и выразить $\cos 2x$ через $\cos x$. Тогда после замены $t=\cos x$ все уравнение станет квадратным относительно $t$.

Подходящая формула двойного угла для косинуса:

$\cos 2x=2\cos^2 x-1$.

Это тождество особенно полезно, когда в уравнении уже есть $\cos^2 x$: тогда обе части можно привести к многочлену от $\cos x$. Например, в данном уравнении после подстановки получится

$(2\cos^2 x-1)+3\cos^2 x=1$,

то есть

$5\cos^2 x=2$.

Дальше уравнение уже алгебраическое. Но для этой задачи важен именно выбор формулы.

Почему не другие варианты?

• $\sin 2x=2\sin x\cos x$ не помогает, потому что в уравнении нет $\sin x$.
• $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ тоже верно, но тогда придется вводить $\sin x$, а в уравнении уже присутствует $\cos^2 x$. Это неудобно: после замены появятся две разные функции, и задача не станет проще.
• Формулы с неверным знаком, например $\cos 2x=1+2\cos^2 x$, — типичная ошибка. Полезно помнить контрольную проверку: при $x=0$ должно быть $\cos 0=1$, и формула дает $2\cdot1^2-1=1$, что верно.

Стратегия на ЕГЭ: сначала смотрите, какая функция встречается чаще и в каком виде — линейно, в квадрате или в двойном угле. Затем выбирайте тождество для кратного аргумента так, чтобы все выражения стали функцией одной переменной $t$. В таких задачах обычно самый короткий путь — именно через $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ или $\sin 2x=2\sin x\cos x$, в зависимости от состава уравнения.

Решаем уравнение cos x = -\frac{1}{2}. Это стандартное тригонометрическое уравнение: сначала нужно вспомнить, при каких углах косинус равен -\frac{1}{2}.

На единичной окружности значение cos x = -\frac{1}{2} достигается в двух точках одного периода:

x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n и x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n, где n\in\mathbb{Z}.

Теперь отбираем только те решения, которые лежат в промежутке (\pi;3\pi).

1) Для семейства x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n проверим ближайшие значения:

n=0 даёт x=\frac{2\pi}{3}, но это меньше \pi, значит не подходит.

n=1 даёт x=\frac{8\pi}{3}, а это действительно лежит между \pi и 3\pi.

2) Для семейства x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n:

n=0 даёт x=\frac{4\pi}{3}, это подходит.

n=1 даёт x=\frac{10\pi}{3}, но это уже больше 3\pi, значит не подходит.

Итак, все корни на данном промежутке:

x=\frac{4\pi}{3} и x=\frac{8\pi}{3}.

Правильный вариант — A.

Важно понимать типичную ловушку: многие вспоминают только одно семейство решений или забывают, что для косинуса на общем уровне всегда есть две серии корней за период. Ещё одна частая ошибка — неверно проверить границы промежутка: здесь промежуток (\pi;3\pi) открытый, поэтому точки \pi и 3\pi не включаются, хотя в данном случае они и не являются корнями. В задачах ЕГЭ удобно сначала записать общее решение, а затем подставить несколько соседних значений параметра n и сразу отсеять лишние корни по промежутку.

Нужно найти все значения x, при которых cos x = 0. Это один из базовых случаев, которые важно знать наизусть, потому что в ЕГЭ такие уравнения часто появляются как промежуточный шаг после замены переменной.

Для косинуса нуль достигается в точках, соответствующих вертикальной оси на тригонометрической окружности: x = \frac{\pi}{2} и x = \frac{3\pi}{2}. Но записывать нужно не только эти два угла, а общее решение. Так как функция cos x периодична с периодом 2\pi, к любому найденному решению можно прибавлять 2\pi n, где n \in \mathbb{Z}.

Поэтому общее решение можно записать в виде

x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}.

Можно было бы также написать эквивалентно x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, потому что это та же самая совокупность решений, только с другим базовым углом. В ЕГЭ важно понимать, что такие записи равносильны, если они действительно описывают одни и те же точки.

Почему это не x = \pi n? Потому что при всех целых n значения \pi n дают то cos x = 1, то cos x = -1, но не ноль. Это типичная ошибка: подменить нули косинуса решениями другого простого уравнения.

Почему не x = \frac{\pi}{2} + \pi n? Здесь формально при нечётных n получаются и верные точки, но при чётных n будет x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, что подходит, а при нечётных — x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, тоже подходит. На первый взгляд кажется, что это тоже верно, и действительно такая запись эквивалентна. Но в заданиях с выбором ответа важно сверять, что вариант точно задаёт все решения и только их. В данном случае корректной считается именно запись с базовым углом и периодом функции, например \frac{\pi}{2} + 2\pi n.

Стратегия самопроверки: подставьте первое решение. Если x=\frac{\pi}{2}, то cos x=0. Затем проверьте, что прибавление 2\pi не меняет значение косинуса. Значит, формула действительно описывает все решения.

Здесь важно не просто «решить уравнение», а понять, к каким элементарным тригонометрическим уравнениям оно равносильно. Это типичная задача на подстановку: выражение зависит только от \(\cos x\), значит удобно ввести новую переменную \(t=\cos x\).

Тогда исходное уравнение превращается в обычное квадратное:

\(2t^2-3t+1=0\).

Разложим на множители:

\((2t-1)(t-1)=0\).

Отсюда

\(t=\frac12\) или \(t=1\).

Возвращаемся к обозначению \(t=\cos x\). Получаем набор элементарных уравнений:

\(\cos x=\frac12\), \(\cos x=1\).

Именно этот набор и является эквивалентным исходному уравнению: каждое решение исходного уравнения обязано удовлетворять одному из этих двух уравнений, и наоборот, любое решение любого из них обращает исходный многочлен в ноль.

Почему здесь нет лишних ограничений? Потому что подстановка \(t=\cos x\) не меняет область допустимых значений: автоматически \(t\in[-1,1]\), а оба найденных значения \(\frac12\) и \(1\) лежат в этом промежутке. Значит, никаких посторонних корней не появляется.

Частая ошибка — после разложения на множители записать только одно уравнение, например \(\cos x=\frac12\), забыв про корень \(\cos x=1\). В задачах на эквивалентность это особенно опасно: потеря одного корня означает, что выбранный набор уже не равносилен исходному уравнению.

Итог: исходное уравнение эквивалентно системе двух элементарных уравнений \(\cos x=\frac12\) и \(\cos x=1\).