1
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 18, высота равна 10. Найдите тангенс двугранного угла при ребре основания.
Разбор ключевых задач по стереометрии: задания с ответами
Решите задания самостоятельно, затем откройте ответы и подробные объяснения.
2
В пространстве дана точка P(8; 14; 3) и плоскость 8x + 2y + 3z − 7 = 0. Найдите квадрат расстояния от точки P до плоскости.
3
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра AB = 9, AD = 10, AA₁ = 11. Найдите квадрат косинуса острого угла между прямыми AB₁ и AD₁.
4
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 10, 18 и 12; последнее ребро — высота. Найдите квадрат синуса угла между пространственной диагональю и плоскостью основания.
5
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 16, высота равна 9. Найдите тангенс двугранного угла при ребре основания.
6
В пространстве дана точка P(7; 12; 3) и плоскость 7x + 2y + 3z − 6 = 0. Найдите квадрат расстояния от точки P до плоскости.
7
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра AB = 8, AD = 9, AA₁ = 10. Найдите квадрат косинуса острого угла между прямыми AB₁ и AD₁.
8
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 9, 16 и 11; последнее ребро — высота. Найдите квадрат синуса угла между пространственной диагональю и плоскостью основания.
9
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 14, высота равна 8. Найдите тангенс двугранного угла при ребре основания.
10
В пространстве дана точка P(6; 10; 3) и плоскость 6x + 2y + 3z − 5 = 0. Найдите квадрат расстояния от точки P до плоскости.
11
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра AB = 7, AD = 8, AA₁ = 9. Найдите квадрат косинуса острого угла между прямыми AB₁ и AD₁.
12
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 8, 14 и 10; последнее ребро — высота. Найдите квадрат синуса угла между пространственной диагональю и плоскостью основания.
Ответы и решения
1. Ответ
10/9
Сечение через вершину, центр основания и середину стороны основания образует прямоугольный треугольник. Катеты равны 10 и 18/2. Поэтому tgα = 2·10/18 = 10/9.
2. Ответ
8836/77
Квадрат расстояния равен (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)²/(A² + B² + C²). Подстановка даёт 8836/77.
3. Ответ
14641/44642
Направляющие векторы можно взять (9, 0, 11) и (0, 10, 11). Их скалярное произведение равно 121. По формуле косинуса cos²α = 14641/((202)·(221)) = 14641/44642.
4. Ответ
18/71
Длина диагонали в квадрате равна 568. Перпендикулярная основанию составляющая равна 12, поэтому sin²α = 144/568 = 18/71.
5. Ответ
9/8
Сечение через вершину, центр основания и середину стороны основания образует прямоугольный треугольник. Катеты равны 9 и 16/2. Поэтому tgα = 2·9/16 = 9/8.
6. Ответ
2888/31
Квадрат расстояния равен (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)²/(A² + B² + C²). Подстановка даёт 2888/31.
7. Ответ
2500/7421
Направляющие векторы можно взять (8, 0, 10) и (0, 9, 10). Их скалярное произведение равно 100. По формуле косинуса cos²α = 10000/((164)·(181)) = 2500/7421.
8. Ответ
121/458
Длина диагонали в квадрате равна 458. Перпендикулярная основанию составляющая равна 11, поэтому sin²α = 121/458 = 121/458.
9. Ответ
8/7
Сечение через вершину, центр основания и середину стороны основания образует прямоугольный треугольник. Катеты равны 8 и 14/2. Поэтому tgα = 2·8/14 = 8/7.
10. Ответ
3600/49
Квадрат расстояния равен (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D)²/(A² + B² + C²). Подстановка даёт 3600/49.
11. Ответ
6561/18850
Направляющие векторы можно взять (7, 0, 9) и (0, 8, 9). Их скалярное произведение равно 81. По формуле косинуса cos²α = 6561/((130)·(145)) = 6561/18850.
12. Ответ
5/18
Длина диагонали в квадрате равна 360. Перпендикулярная основанию составляющая равна 10, поэтому sin²α = 100/360 = 5/18.