Сферы и шары: площадь поверхности и объём: задания с ответами

Для шара объём выражается формулой V=\frac{4}{3}\pi r^3. Это означает, что при сравнении двух шаров множитель \frac{4}{3}\pi сокращается, и остаётся ключевая зависимость: объём пропорционален кубу радиуса.

Пусть радиусы шаров равны r_1 и r_2, а объёмы — V_1 и V_2. Тогда

\frac{V_2}{V_1}=\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3.

По условию \frac{V_2}{V_1}=27, значит

\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3=27.

Теперь извлекаем кубический корень:

\frac{r_2}{r_1}=\sqrt[3]{27}=3.

Итак, радиус второго шара больше радиуса первого в 3 раза.

Почему здесь нельзя брать квадратный корень? Это частая ошибка. Площадь поверхности действительно зависит от квадрата радиуса, но объём шара — от куба радиуса. Поэтому для объёма нужен именно кубический корень из отношения объёмов.

Полезная стратегия для ЕГЭ: если в задаче дано отношение объёмов двух подобных тел, сразу переводите его в степень радиусов. Для шара правило особенно простое: V\sim r^3, значит отношение радиусов равно кубическому корню из отношения объёмов. Это позволяет быстро проверять ответ даже без полного развёрнутого решения.

Ключевая идея здесь — помнить, что для сферы разные характеристики зависят от радиуса по-разному: объём пропорционален кубу радиуса, а площадь поверхности — квадрату радиуса.

Обозначим радиусы сфер через r₁ и r₂. Тогда

V = \frac{4}{3}\pi r^3, поэтому из условия

\dfrac{V_1}{V_2} = 27 = \dfrac{r_1^3}{r_2^3}.

Из этого находим отношение радиусов:

\dfrac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{27} = 3.

Теперь используем формулу площади поверхности сферы:

S = 4\pi r^2, значит

\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2 = 3^2 = 9.

Ответ: 9.

Важно не перепутать степени. Типичная ошибка на ЕГЭ — попытаться сразу перенести отношение объёмов на площади и получить 27, но это неверно: объём связан с третьей степенью радиуса, а площадь — со второй. Поэтому сначала нужно перейти от отношения объёмов к отношению радиусов через кубический корень, а затем возвести результат в квадрат.

Полезная проверка для самоконтроля: если одна сфера в 27 раз больше по объёму, то её радиус должен быть только в 3 раза больше, а не в 27 раз. Тогда площадь, зависящая от квадрата радиуса, увеличится в 9 раз. Это логично: площадь растёт медленнее, чем объём.

Обозначим радиусы сфер через r₁ и r₂. Для сферы объём выражается формулой V = 4/3·πr³, а площадь поверхности — формулой S = 4πr². В таких задачах важно помнить: объём зависит от радиуса в третьей степени, а площадь поверхности — во второй степени.

По условию V₁ / V₂ = 27. Так как объём пропорционален r³, имеем:

(r₁/r₂)³ = 27.

Отсюда r₁/r₂ = 3. Это ключевой шаг: сначала из отношения объёмов нужно перейти к отношению радиусов, и только потом — к площадям поверхностей. Многие ошибаются, пытаясь сразу сказать, что отношение площадей равно 27, но это неверно, потому что разные величины зависят от радиуса по-разному.

Теперь используем формулу площади поверхности:

S₁ / S₂ = (r₁/r₂)² = 3² = 9.

Ответ: 9.

Полезная проверка для ЕГЭ: если линейный размер увеличился в 3 раза, то объём должен вырасти в 3³ = 27 раз, а площадь поверхности — в 3² = 9 раз. Такая самопроверка помогает быстро отсеивать ошибки в степенях.

Используем формулу площади поверхности шара:

S = 4\pi R^2.

Если у нас есть два шара с радиусами 3 и 4, то их площади поверхностей равны:

S_1 = 4\pi \cdot 3^2 = 36\pi,

S_2 = 4\pi \cdot 4^2 = 64\pi.

Суммарная площадь поверхностей:

S_1 + S_2 = 36\pi + 64\pi = 100\pi.

Теперь пусть радиус искомого шара равен R. По условию его площадь поверхности равна этой сумме:

4\pi R^2 = 100\pi.

Делим обе части на 4\pi:

R^2 = 25.

Так как радиус положителен, получаем:

R = 5.

Ответ: 5.

Полезно помнить важный приём для таких задач: множитель 4\pi одинаков у всех шаров, поэтому можно сразу складывать квадраты радиусов. Тогда вместо длинных вычислений получается

R^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25.

Отсюда R = 5. Это типичная ловушка ЕГЭ: иногда по невнимательности используют формулу объёма \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\) вместо площади поверхности. Здесь нужен именно квадрат радиуса, а не куб. Ещё одна частая ошибка — забыть извлечь корень и оставить ответ в виде R^2 = 25, хотя спрашивают именно радиус.

Самопроверка: если радиус искомого шара 5, то его площадь поверхности равна 4\pi \cdot 25 = 100\pi, что действительно совпадает с суммой 36\pi + 64\pi. Значит, решение верно.

Ключевая идея здесь очень простая, но в ЕГЭ именно на ней часто ошибаются: большой круг шара — это окружность, полученная сечением шара плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара, а его площадь равна πr².

Для поверхности шара верна стандартная формула:

S = 4πr².

Сравним её с площадью большого круга S_бк = πr². Видно, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади большого круга:

S = 4 · S_бк.

Подставляем данные из условия:

S = 4 · 18 = 72 см².

Ответ: 72 см².

Почему это важно понимать глубже: многие ученики путают площадь большого круга с площадью сечения вообще. Если сечение проходит через центр, это действительно большой круг, и его радиус равен радиусу шара. Если же плоскость не проходит через центр, получится меньший круг, и соотношение S = 4 · S_бк уже неприменимо. В таких задачах всегда нужно сначала определить, о каком именно сечении идёт речь.

Типичные ошибки:

• умножают площадь большого круга на 2 вместо 4;
• пытаются сначала находить радиус, хотя это не требуется;
• путают площадь круга с длиной окружности;
• забывают, что в формуле площади поверхности шара стоит именно 4πr².

Самопроверка: если площадь большого круга равна πr², то поверхность шара должна быть в 4 раза больше, то есть порядок ответа должен быть реалистично больше исходного числа, но не в 10 раз и не в 2 раза.

Для сферы площадь поверхности выражается формулой S = 4πr². Это означает, что площадь поверхности сферы зависит от радиуса квадратично: если радиус увеличить в k раз, то площадь поверхности увеличится в k² раз.

В задаче дано отношение площадей поверхностей двух сфер:

S₁ : S₂ = 25 : 9.

Так как S ∝ r², то отношение радиусов находится как квадратный корень из отношения площадей:

r₁ : r₂ = √(S₁ : S₂) = √(25 : 9) = 5 : 3.

Следовательно, радиус первой сферы больше радиуса второй в 5/3 раза.

Ответ: 5/3.

Почему здесь нельзя брать отношение площадей напрямую? Частая ошибка — думать, что если площади относятся как 25:9, то и радиусы тоже как 25:9. Это неверно, потому что площадь поверхности — величина второго порядка по радиусу. Для линейных размеров нужно “снимать квадрат”, то есть брать корень.

Как быстро проверять себя на экзамене: если площадь увеличилась в 4 раза, радиус должен увеличиться в 2 раза; если площадь увеличилась в 9 раз, радиус — в 3 раза. В нашей задаче 25:9 действительно даёт 5:3, что согласуется с правилом.

Объём шара выражается формулой V = \(\frac{4}{3}\pi r^3\), где r — радиус. Это ключевой факт: объём зависит от радиуса кубически, а не линейно и не квадратично.

Если радиус увеличить в 3 раза, то новый радиус станет равен 3r. Подставим его в формулу:

\[V_{\text{нов}} = \frac{4}{3}\pi (3r)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27r^3 = 27V_{\text{исх}}.\]

Значит, объём увеличится в 27 раз.

Почему часто ошибаются? Многие по привычке отвечают 3 или 9, путая объём с длиной или площадью поверхности. Но для объёма всегда нужно возводить коэффициент изменения линейного размера в третью степень. Если бы речь шла о площади поверхности шара, тогда коэффициент был бы квадратом: при увеличении радиуса в 3 раза площадь выросла бы в 9 раз. Это полезно проверять на экзамене, чтобы не перепутать формулы.

Стратегия для самопроверки: если линейный размер умножили на k, то площадь умножается на k^2, а объём — на k^3. Здесь k = 3, значит получаем 3^3 = 27.

Для сферы площадь поверхности выражается формулой S = 4πr². Это означает, что площадь поверхности пропорциональна квадрату радиуса, а не самому радиусу. Именно здесь чаще всего допускают ошибку: если площадь стала больше в 9 раз, радиус не увеличивается в 9 раз, потому что зависимость нелинейная.

Обозначим радиусы сфер через r₁ и r₂, а площади поверхностей — через S₁ и S₂. По условию S₂ = 9S₁. С другой стороны,

S₂ / S₁ = (4πr₂²)/(4πr₁²) = r₂² / r₁².

Значит,

r₂² / r₁² = 9.

Чтобы найти отношение радиусов, нужно извлечь квадратный корень из отношения площадей:

r₂ / r₁ = √9 = 3.

Итак, радиус второй сферы больше радиуса первой в 3 раза.

Почему это важно для ЕГЭ: в задачах на сферы и шары всегда надо помнить степень зависимости. Площадь поверхности растёт как r², объём — как r³. Поэтому если дано отношение площадей, для перехода к радиусам нужно брать корень; если дано отношение объёмов, нужно брать кубический корень. Полезная самопроверка: если отношение площадей равно 9, то отношение радиусов должно быть меньше 9, но больше 1, и именно 3 здесь подходит идеально.

Для сферы площадь поверхности выражается формулой S = 4πr². Это ключевой факт: площадь зависит не от радиуса линейно, а пропорционально квадрату радиуса.

Пусть радиусы сфер равны r₁ и r₂, а площади поверхностей — S₁ и S₂. Тогда

S₁ / S₂ = (4πr₁²) / (4πr₂²) = r₁² / r₂² = (r₁/r₂)².

По условию S₁ / S₂ = 16, значит

(r₁/r₂)² = 16.

Так как радиусы положительны, берём положительный корень:

r₁/r₂ = √16 = 4.

Ответ: 4.

Важно не перепутать площадь поверхности с объёмом. Для объёма сферы была бы формула V = (4/3)πr³, и тогда отношение объёмов давало бы куб радиусного отношения. Здесь же показатель степени равен 2, поэтому из отношения площадей нужно извлекать квадратный корень.

Типичная ошибка на ЕГЭ — сразу писать, что радиусы относятся так же, как площади. Это неверно: при увеличении радиуса в 2 раза площадь поверхности возрастает в 4 раза. Хорошая самопроверка: если отношение площадей равно 16, то отношение радиусов должно быть меньше, чем 16, и естественно равно 4.

Главная идея здесь — объём шара зависит от радиуса кубически, а не линейно. Формула объёма шара:

V = (4/3)πr³.

Если радиус был равен r, а стал 4r, то новый объём равен

V₂ = (4/3)π(4r)³ = (4/3)π·64r³ = 64·(4/3)πr³ = 64V₁.

Значит, объём увеличится в 64 раза.

Почему именно так? Потому что при масштабировании всех линейных размеров в k раз площадь меняется в k² раз, а объём — в k³ раз. Для шара это особенно важно: многие по привычке ошибочно умножают объём на 4, как если бы зависимость была линейной, или на 16, путая со степенью для площади. Но для объёма нужно обязательно возводить коэффициент изменения радиуса в третью степень.

Проверка: если коэффициент увеличения радиуса равен 4, то объём должен увеличиться в 4³ = 64 раза. Это быстрый способ самопроверки на экзамене без подстановки в формулу.

Для шара ключевая зависимость такая: объём пропорционален кубу радиуса, то есть

V = \frac{4}{3}\pi r^3.

Когда сравнивают два шара, удобнее не подставлять сами объёмы целиком, а сразу записать отношение:

\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3.

Здесь множитель \(\frac{4}{3}\pi\) сокращается, и остаётся только куб отношения радиусов. Это очень важный экзаменационный приём: в задачах на сравнение шаров почти всегда нужно работать именно с отношениями, а не с полными формулами.

По условию:

\frac{V_1}{V_2} = 64.

Значит,

\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = 64.

Теперь извлекаем кубический корень:

\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{64} = 4.

Ответ: 4.

Почему здесь нельзя брать квадратный корень? Потому что объём шара зависит от радиуса в третьей степени, а не во второй. Квадратный корень возникает у площадей, например у площади поверхности сферы: S = 4\pi r^2. Это частая ловушка: если в условии речь идёт об объёме, степень всегда 3.

Ещё одна типичная ошибка — перепутать, какое отношение больше единицы. Если объём первого шара больше, то и его радиус тоже больше, значит отношение \(\frac{r_1}{r_2}\) должно быть числом больше 1. Это помогает быстро проверить себя: ответ 4 подходит, а, например, \(\frac14\) — нет.

Общая стратегия для таких задач:

1. вспомнить формулу объёма шара;
2. записать отношение объёмов;
3. сократить одинаковые множители;
4. получить куб отношения радиусов;
5. извлечь кубический корень.

Если отношение объёмов задано как куб рационального числа, ответ тоже получится рациональным. Это удобно для проверки: в данном случае 64 = 4^3, значит отношение радиусов равно 4.

Для шара основная формула площади поверхности такова:

S = 4πR², где R — радиус шара.

По условию S = 36π. Подставим это значение в формулу:

4πR² = 36π.

Теперь аккуратно упростим уравнение. Так как π стоит и слева, и справа, его можно сократить:

4R² = 36.

Делим обе части на 4:

R² = 9.

Радиус — положительное число, значит берём положительный корень:

R = 3.

Ответ: 3.

Почему важно именно так решать: в задачах на шар часто путают формулы площади поверхности и объёма. Для площади поверхности используется 4πR², а не \frac{4}{3}πR^3 — это формула объёма. Ещё одна типичная ошибка — забыть множитель 4 и сразу писать R² = 36, что даёт неверный ответ. Вторая ловушка — после извлечения корня написать ±3. В геометрии радиус по определению неотрицателен, а в задачах ЕГЭ радиус шара берут строго положительным, поэтому выбираем только 3.

Самопроверка: если радиус равен 3, то площадь поверхности действительно равна 4π·3² = 4π·9 = 36π, то есть ответ согласуется с условием. Такой быстрый контроль полезен на экзамене, чтобы не пропустить арифметическую ошибку.