Секущие и касательные: отрезки и теорема о мощности точки: задания с ответами

Здесь важно заметить не просто наличие окружности и прямой, а именно факт касания. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, OA ⟂ AC, и треугольник OAC — прямоугольный с прямым углом при A.

В такой конфигурации отрезок OC является гипотенузой, а OA и AC — катетами. Это типичный сюжет на применение теоремы Пифагора: OC² = OA² + AC².

Подставим известные значения: 13² = 5² + AC². Тогда 169 = 25 + AC², откуда AC² = 144. Следовательно, AC = 12 см.

Почему нельзя взять, например, 13 - 5? Потому что здесь не отрезки лежат на одной прямой и не используется вычитание длин; нужно работать именно с прямоугольным треугольником. Ещё одна частая ошибка — перепутать гипотенузу и катет: если поставить AC на место гипотенузы, получится неверный результат. Полезная самопроверка: искомый отрезок должен быть меньше гипотенузы OC и больше меньшего катета, что здесь выполняется: 12 < 13 и 12 > 5.

Ключевая идея здесь — вспомнить свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, если A — точка касания, то OA \perp AC.

Тогда треугольник OAC является прямоугольным, где:

• OA — радиус окружности, это искомая величина;
• AC = 12 — катет, потому что он лежит на касательной;
• OC = 13 — гипотенуза, так как она противолежит прямому углу при A.

Теперь применяем теорему Пифагора:

OA² + AC² = OC².

Подставим числа:

OA² + 12² = 13²,

OA² + 144 = 169,

OA² = 25,

OA = 5 (берём только положительное значение, потому что длина отрезка не может быть отрицательной).

Ответ: 5.

Почему здесь часто ошибаются:

• Путают катет и гипотенузу и записывают 12² + 13² = r², что неверно.
• Забывают, что именно радиус к точке касания образует прямой угол с касательной, а не любая линия к окружности.
• Берут отрицательный корень, хотя в геометрии длина всегда положительна.

Экзаменационная стратегия: если в задаче есть касательная и расстояние от внешней точки до центра, почти всегда нужно построить прямоугольный треугольник и применить Пифагора. Перед вычислениями обязательно отметьте, где прямой угол и какая сторона является гипотенузой — это помогает избежать самой частой ошибки.

Ключевая идея здесь — увидеть прямоугольный треугольник. Радиус, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. Значит, OA \perp AB, и треугольник OAB — прямоугольный с прямым углом при A.

Теперь можно применить теорему Пифагора к этому треугольнику:

OB^2 = OA^2 + AB^2.

Подставляем данные:

OB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169.

Следовательно,

OB = \sqrt{169} = 13.

Итак, искомая длина равна 13.

Почему это именно гипотенуза? Потому что сторона OB лежит напротив прямого угла при A. У многих учеников здесь бывает типичная ошибка: они берут за гипотенузу сторону касательной или радиус. Но гипотенуза — всегда самая длинная сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Как проверять себя на ЕГЭ:

• сначала обязательно найдите прямой угол по свойству касательной и радиуса;
• после этого выпишите катеты: здесь это OA и AB;
• только затем применяйте Пифагора;
• если получилось число меньше одного из катетов, значит, где-то ошибка.

В этой задаче часто путают сложение длин с теоремой Пифагора. Нельзя писать OB = 5 + 12, потому что эти отрезки не лежат на одной прямой и не образуют один составной отрезок. Геометрический смысл здесь важнее формального вычисления: нужно работать именно с прямоугольным треугольником.

Решение основано на двух ключевых фактах о касательных.

1. Равенство касательных из одной точки. Если из точки P к окружности проведены две касательные PA и PB, то PA = PB. Это одно из базовых свойств касательных: отрезки касательных, проведённых из одной внешней точки, всегда равны.

Значит, треугольник PAB — равнобедренный, причём его боковые стороны равны: PA = PB, а основание — AB.

2. Используем угол при вершине равнобедренного треугольника. По условию ∠APB = 60°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠PAB = ∠PBA = (180° - 60°)/2 = 60°.

Получается, что все три угла треугольника PAB равны 60°. А значит, треугольник PAB не просто равнобедренный, а равносторонний.

3. Следствие для сторон. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому

PA = AB = 6.

Следовательно, длина касательной PA равна 6.

Ответ: 6.

Почему здесь важно заметить именно равносторонний треугольник? На ЕГЭ часто пытаются заставить решать задачу через дополнительные построения или теорему косинусов, но в таких задачах обычно достаточно увидеть структуру: две касательные из одной точки дают равнобедренный треугольник, а угол 60° мгновенно превращает его в равносторонний. Это экономит время и снижает риск вычислительной ошибки.

Типичные ошибки:

• путают хорду AB с касательной и пытаются применять свойство равенства касательных к AB;
• считают, что AB — это тоже касательная и приравнивают её к PA без анализа треугольника;
• начинают искать радиус, хотя он здесь вообще не нужен;
• не замечают, что при угле 60° равнобедренный треугольник обязательно становится равносторонним.

Проверка здравым смыслом: если в треугольнике PAB боковые стороны равны и угол между ними 60°, то основание тоже должно быть равно им. Значит, ответ 6 выглядит естественно и согласуется с геометрией задачи.

Ключевая идея здесь — использовать сразу два факта о касательных из одной точки:

• касательные, проведённые из одной внешней точки, равны: PA = PB;
• радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным, поэтому фигура удобно сводится к анализу треугольника APB.

По условию PA = PB = 6 и ∠APB = 90°. Значит, треугольник APB — равнобедренный прямоугольный, причём угол между равными сторонами находится при вершине P. Тогда отрезок AB — это основание такого треугольника, то есть гипотенуза, если смотреть на разбиение по двум равным катетам от вершины прямого угла.

Для равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого катеты равны 6 и 6, гипотенуза равна:

AB = 6√2.

Это можно получить и по теореме Пифагора:

AB² = PA² + PB² = 6² + 6² = 72,

AB = √72 = 6√2.

Почему это важно для ЕГЭ: очень часто ученики путают, какая сторона является искомой, и начинают считать AB как один из катетов или даже как удвоенную касательную. Но здесь отрезок между точками касания — это не касательная и не радиус, а сторона треугольника, соединяющая точки касания. Если угол между касательными прямой, а касательные равны, то почти всегда задача сводится к прямоугольному равнобедренному треугольнику.

Ещё одна типичная ошибка — пытаться использовать только теорему о мощности точки. Она здесь действительно верна, но она даёт связь между секущими и касательными или между касательной и отрезками секущей, а длину AB напрямую не находит. Поэтому сначала нужно распознать геометрию треугольника, а уже потом применять Пифагора или свойства равнобедренного прямоугольного треугольника.

Ответ: 6√2.

Ключевой факт здесь — радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, угол между OA и AC равен 90°, и треугольник OAC — прямоугольный, причём прямой угол находится в точке A.

Когда в задаче с окружностью появляется касательная, многие по привычке пытаются применять теорему о мощности точки, но здесь она не нужна: достаточно увидеть прямой угол и перейти к теореме Пифагора. Это типичная экзаменационная ловушка: если не заметить перпендикулярность радиуса и касательной, можно начать искать лишние соотношения и потерять время.

Применим теорему Пифагора к треугольнику OAC:

OC² = OA² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Отсюда OC = 10.

Теперь периметр треугольника равен сумме всех его сторон:

P = OA + AC + OC = 6 + 8 + 10 = 24.

Ответ: 24.

Полезная самопроверка для ЕГЭ: если в задаче с касательной получился прямоугольный треугольник, то самая длинная сторона должна быть против прямого угла. Здесь это OC, и действительно 10 больше 8 и 6. Это хороший способ быстро проверить вычисления.

Обозначим через P точку касания вписанной окружности со стороной AC. В таких задачах ключевой факт — из одной вершины к окружности можно провести равные касательные. Это значит, что если окружность касается сторон AB и AC в точках K и P, то отрезки AK и AP равны. Аналогично от вершины C касательные к окружности по сторонам CA и CB тоже равны, поэтому CP удобно выражать через полупериметр.

Обозначим стороны треугольника стандартно: AB = c = 10, AC = b = 13, BC = a = 13. Полупериметр равен

s = (a + b + c)/2 = (13 + 13 + 10)/2 = 18.

Теперь вспоминаем важное свойство: отрезок от вершины до точки касания на стороне равен полупериметру минус противолежащая сторона. Более конкретно, на стороне AC точка касания делит её на части

AP = s - a и CP = s - c,

потому что отрезки касательных из вершины C до точек касания на сторонах CA и CB равны, а сумма этих частей на стороне AC дает всю сторону.

Итак,

CP = s - AB = 18 - 10 = 8.

Ответ: 8.

Почему это работает и где часто ошибаются:

1) Многие пытаются сначала находить радиус вписанной окружности или высоту, но здесь это лишнее: достаточно свойства касательных и полупериметра.

2) Важно не перепутать, к какой стороне относится формула. На стороне AC отрезок от вершины C до точки касания равен s - AB, то есть вычитается противоположная сторона, а не та, на которой лежит точка касания.

3) Если треугольник равнобедренный, это дополнительно служит проверкой: при AC = BC точки касания на этих равных сторонах должны давать симметричные отрезки от вершины C. Полученное значение 8 выглядит естественно, потому что оно меньше длины боковой стороны 13 и положительно.

Стратегия для ЕГЭ: если спрашивают расстояние от вершины до точки касания вписанной окружности, почти всегда выгодно идти через полупериметр. Сначала находите s, затем нужный отрезок как s - соответствующая сторона. Это самый быстрый и надежный путь.

Ключевая идея здесь — увидеть прямоугольный треугольник, который возникает автоматически из свойства касательной. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, OA \perp AC, и треугольник OAC прямоугольный, причём прямой угол находится в точке A.

Даны две стороны этого прямоугольного треугольника: гипотенуза OC = 10 и катет OA = 6. Искомый отрезок AC — второй катет. Тогда применяем теорему Пифагора:

OC^2 = OA^2 + AC^2.

Подставляем числа:

10^2 = 6^2 + AC^2,

100 = 36 + AC^2,

AC^2 = 64,

AC = 8 см.

Ответ: 8 см.

Важно не перепутать, где находится прямой угол: он всегда в точке касания, если соединить центр окружности с точкой касания и взять любую внешнюю точку на касательной. Частая ошибка — складывать числа вместо вычитания из квадрата гипотенузы: в прямоугольном треугольнике неизвестный катет находится по формуле \sqrt{\text{гипотенуза}^2 - \text{катет}^2}, а не через сумму. Ещё одна типичная ошибка — принять OC за касательную, хотя в задаче касательная — это прямая l, а отрезок OC просто соединяет центр с внешней точкой.

Если проверять себя на экзамене, полезно сделать быструю самопроверку: 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2. Равенство верно, значит ответ согласуется с теоремой Пифагора.

Ключевая идея здесь очень важная для всей темы касательных: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это не просто удобное свойство — именно оно переводит задачу на окружность в задачу на прямоугольный треугольник.

Рассмотрим треугольник OAB. По условию AB — касательная в точке A, значит OA ⟂ AB. Следовательно, треугольник OAB прямоугольный, причём прямой угол находится при вершине A.

Тогда OA = 6 и AB = 8 — это катеты, а OB — гипотенуза. Применяем теорему Пифагора:

OB² = OA² + AB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Отсюда

OB = √100 = 10.

Ответ: 10.

На экзамене важно не перепутать, какие отрезки являются катетами, а какой — гипотенузой. Частая ошибка — пытаться использовать теорему о степени точки, хотя здесь она не нужна: по условию дана именно касательная и радиус, а значит задача решается напрямую через прямоугольный треугольник. Ещё одна типичная ошибка — принять OA за гипотенузу, хотя гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла, то есть здесь это OB.

Полезная самопроверка: если один катет 6, второй 8, то гипотенуза должна быть больше каждого из них. Число 10 этому условию удовлетворяет, значит ответ реалистичен.

Пусть B — точка касания. Тогда радиус OB перпендикулярен касательной, а значит OB \perp AC. Поскольку точка C лежит на касательной, отрезок BC тоже лежит на этой прямой, и треугольник OBC прямоугольный с прямым углом при B.

Здесь важно не перепутать, какие именно отрезки образуют прямой угол: прямой угол возникает между радиусом к точке касания и касательной, а не между любыми двумя отрезками к окружности. Поэтому применять теорему Пифагора нужно именно к треугольнику OBC.

Из условия AC = 9, а A и B — точки касания и внешняя точка на одной касательной. На схеме подразумевается, что B лежит между A и C, поэтому BC равно разности данных отрезков по касательной. Но в этой задаче проще заметить, что для прямоугольного треугольника можно взять катеты OB = r и BC, а гипотенузу OC = 15. Так как точка A — внешняя точка на касательной, а AC дано, то по рисунку отрезок от точки касания до внешней точки составляет 9, то есть BC = 9.

Применяем теорему Пифагора:

OC^2 = OB^2 + BC^2,

15^2 = r^2 + 9^2.

225 = r^2 + 81,

r^2 = 144,

r = 12, так как радиус — положительная величина.

Ответ: 12.

Как себя проверять в таких задачах на ЕГЭ: всегда сначала отмечайте точку касания и проводите радиус к ней. Если в решении не возник прямоугольный треугольник, значит, выбрана неверная фигура. После этого удобно мысленно проверить неравенство: гипотенуза должна быть больше каждого катета, и здесь действительно 15 > 9, что согласуется с ответом 12.

Ключевая идея здесь — вспомнить свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, OA \perp AC, и треугольник OAC — прямоугольный, причём прямой угол находится в точке A.

Раз дано AC = 12 и OC = 13, а OA — это радиус, который нужно найти, применяем теорему Пифагора:

\(OC^2 = OA^2 + AC^2\).

Подставим числа:

\(13^2 = OA^2 + 12^2\).

Получаем:

\(169 = OA^2 + 144\),
\(OA^2 = 25\),
\(OA = 5\).

Так как длина радиуса не может быть отрицательной, берём положительное значение: 5.

Почему это важно для ЕГЭ? В таких задачах часто путают, где именно прямой угол. Нужно не просто увидеть «касающую», а обязательно провести радиус к точке касания и понять, что он перпендикулярен касательной. После этого задача сводится к прямоугольному треугольнику и решается одной формулой. Если студент ошибочно считает прямым угол между OC и AC, то он теряет всю логику решения.

Самопроверка: гипотенуза в прямоугольном треугольнике должна быть самой длинной стороной. Здесь 13 > 12, значит ответ OA = 5 выглядит разумно: он меньше и 12, и 13.

Пусть O — центр окружности. Здесь работает сразу несколько ключевых свойств касательных.

1. Почему треугольник PAB удобен?
Отрезки PA и PB — касательные, проведённые из одной точки P к окружности. Значит, по теореме о равенстве касательных PA = PB. В задаче дано PA = 6, следовательно, PB = 6 тоже.

2. Какой треугольник получается?
Угол между касательными ∠APB = 90°. Значит, треугольник PAB — прямоугольный, причём прямой угол находится при вершине P. При этом катеты этого треугольника равны: PA = PB = 6.

3. Находим искомый отрезок AB
Отрезок AB — это гипотенуза прямоугольного треугольника PAB. Применяем теорему Пифагора:

AB² = PA² + PB² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72.

Тогда

AB = √72 = 6√2.

Ответ: 6√2.

Почему это важно для ЕГЭ: в задачах на касательные часто пытаются «сразу» использовать центр окружности, но здесь самый быстрый путь — заметить равенство касательных и увидеть прямоугольный равнобедренный треугольник. Это типичная ловушка: если не вспомнить, что касательные из одной точки равны, можно ошибиться в вычислениях или начать строить лишние радиусы.

Самопроверка: раз угол между касательными 90°, а катеты равны 6 и 6, гипотенуза должна быть больше 6, но меньше 12. Значение 6√2 ≈ 8,49 выглядит правдоподобно.