Подобие тел: линейные размеры, площади и объёмы: задания с ответами

Ключевая идея здесь одна и очень важная для стереометрии ЕГЭ: объём подобных тел изменяется как куб коэффициента линейного масштабирования. Если все линейные размеры тела увеличили в одинаковое число раз, то тело осталось подобным исходному, а значит, для объёма работает формула

V_нов = V_стар · k³,

где k — коэффициент изменения всех линейных размеров. В задаче k = 3, поэтому

V_нов / V_стар = 3³ = 27.

Значит, объём увеличится в 27 раз.

Почему именно куб? У объёма три независимых направления измерения: длина, ширина и высота. Если каждое из них умножить на k, то общий множитель для объёма будет k · k · k = k³. Это универсально для всех подобных тел: призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, многогранники — форма роли не играет, важна только подобность и одинаковое масштабирование всех линейных размеров.

Типичная ошибка на экзамене — умножать объём на 3 вместо 3³ или путать объём с площадью. Для сравнения: площади подобных фигур меняются как k², а объёмы — как k³. Поэтому полезная самопроверка такая: если в условии говорят о линейных размерах, то ответ почти всегда надо возводить в степень, равную размерности объекта. Для площади — квадрат, для объёма — куб.

Ещё один нюанс: важно, что изменены все линейные размеры, а не только один из них. Если бы увеличили лишь высоту или только ребро в одной модели, это уже была бы другая задача, и формула подобия напрямую не применялась бы ко всему объёму.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей её боковых граней. Если все линейные размеры тела увеличили в одно и то же число раз, то полученное тело подобно исходному, а все площади масштабируются как квадрат коэффициента подобия.

Здесь коэффициент увеличения равен 3. Значит, каждое ребро стало в 3 раза длиннее, а каждая боковая грань, будучи многоугольником в плоскости, имеет все свои линейные размеры, увеличенные в 3 раза. Тогда её площадь возрастает в 3² = 9 раз.

Следовательно, и вся боковая поверхность призмы увеличится в 9 раз.

Почему не 3 и не 27? Это типичные ошибки. Число 3 — это линейный коэффициент, но для площадей он не подходит. Число 27 относится к объёмам, потому что объём при подобии меняется как куб коэффициента: 3³ = 27. Для площади куб брать нельзя.

Проверка для ЕГЭ: если меняются только длины, ищите степень: для длины — 1, для площади — 2, для объёма — 3. Здесь спрашивают именно площадь боковой поверхности, значит нужен квадрат коэффициента.

Ключевая идея здесь — для подобных тел объём меняется не так, как линейные размеры и не так, как площади. Если все линейные размеры увеличили в k раз, то:

• длины увеличиваются в k раз;
• площади — в k^2 раз;
• объёмы — в k^3 раз.

Это фундаментальное свойство подобия в стереометрии: объём зависит от трёх независимых направлений пространства, поэтому коэффициент масштабирования нужно возводить в третью степень.

В задаче сказано, что все линейные размеры стали в 3 раза больше. Значит, коэффициент подобия k = 3. Тогда коэффициент изменения объёма равен

k^3 = 3^3 = 27.

Следовательно, объём конуса увеличится в 27 раз.

Почему нельзя отвечать «в 3 раза»? Это типичная ошибка: 3 — это коэффициент для длины, а не для объёма. Если мысленно представить, что у конуса одновременно увеличились радиус и высота в 3 раза, то основание стало в 9 раз больше по площади, а высота — в 3 раза больше. И именно поэтому объём растёт в 9·3 = 27 раз.

Как проверять себя на экзамене: если в условии сказано «все линейные размеры увеличились в k раз», почти автоматически пишите k^3. Если речь идёт о площади поверхности — тогда k^2. Это помогает не путать три самых частых случая.

Если тело полностью погружено в жидкость и при этом не касается дна и стенок, то оно вытесняет объём жидкости, равный своему объёму. Это ключевая идея задачи: объём тела можно найти через то, насколько поднялся уровень жидкости.

Сосуд — призма с постоянной площадью основания, значит каждый сантиметр высоты соответствует одному и тому же объёму жидкости. Поэтому объём вытесненной жидкости равен произведению площади основания сосуда на прирост уровня:

V = S · Δh.

Здесь площадь основания S = 40 см², а изменение уровня жидкости:

Δh = 15 - 12 = 3 см.

Тогда объём тела:

V = 40 · 3 = 120 см³.

Следовательно, правильный ответ: 120 см³.

Почему важно именно вычитать уровни? Частая ошибка — брать только конечный уровень или, наоборот, складывать уровни. Но в подобных задачах нужен именно прирост уровня, потому что вытесненный объём связан не с самим уровнем, а с тем, на сколько он изменился после погружения тела.

Ещё одна типичная ловушка — забыть про единицы измерения. Если площадь дана в см², а высота в см, то объём получится в см³. Это хороший способ самопроверки: размерность должна быть кубической.

В более общих задачах с подобными телами и сосудами работает тот же принцип: если основание сосуда постоянно, то объём, соответствующий изменению уровня, всегда находится по формуле V = S·Δh. Это одна из базовых моделей ЕГЭ по стереометрии, и её нужно узнавать сразу.

Если все линейные размеры подобного тела увеличили в одно и то же число раз, то речь идёт о подобии тел. Для подобных пространственных фигур действует важное правило: объёмы относятся как куб коэффициента подобия.

Здесь коэффициент изменения линейных размеров равен k = 5. Значит, объём нового цилиндра изменится в

k³ = 5³ = 125

раз.

Это очень частая ловушка на ЕГЭ: многие по привычке берут тот же коэффициент, что и для линейных размеров, или вспоминают формулу для площадей (k²). Но для объёма нужна именно третья степень, потому что объём — это величина трёхмерная: если каждое из трёх измерений увеличивается в k раз, то общий множитель равен k·k·k = k³.

Проверка здравым смыслом тоже полезна: если увеличить все размеры тела в 5 раз, оно станет заметно «больше», и объём должен вырасти гораздо сильнее, чем в 5 раз. Значение 125 здесь естественно, потому что объём растёт очень быстро при масштабировании.

Ответ: 125.

Для подобных тел нужно помнить главное правило: если все линейные размеры увеличиваются в k раз, то площади увеличиваются в k² раз, а объёмы — в k³ раз. Это одно из самых важных свойств подобия в стереометрии, и в ЕГЭ его часто проверяют именно в таком виде.

В задаче сказано, что все линейные размеры призмы увеличили в 2,5 раза. Значит, коэффициент масштабирования по длине равен k = 2,5.

Тогда объём новой призмы будет связан со старым объёмом формулой:

V_new = V_old · k³.

Подставим значение:

k³ = 2,5³ = 15,625.

Значит, объём увеличился в 15,625 раза.

Почему нельзя ответить 2,5 или 6,25? Это типичная ошибка. Число 2,5 — это только изменение длины. Число 6,25 = 2,5² — это изменение площади. Но объём зависит уже от трёх измерений, поэтому нужно возводить коэффициент в третью степень.

Как быстро самопровериться на экзамене: если масштабируется одно измерение — меняется линейно; если речь о площади поверхности — квадрат коэффициента; если речь об объёме — куб коэффициента. Эта схема помогает не перепутать степени даже в сложных задачах.

Для подобных тел важно не путать линейный коэффициент и коэффициент изменения объёма. Если все линейные размеры увеличены в одно и то же число раз, то новое тело подобно исходному. Это означает, что радиус, высота, образующая и любые другие линейные величины умножаются на один и тот же коэффициент.

Объём подобных тел меняется по кубическому закону:

если линейный коэффициент равен k, то объём изменяется в k³ раз.

В задаче сказано, что все линейные размеры конуса увеличили в 4 раза, значит k = 4. Тогда коэффициент изменения объёма равен

4³ = 64.

Следовательно, объём стал больше в 64 раза.

Почему так происходит? Объём — величина трёхмерная: он зависит от трёх независимых направлений пространства. При одинаковом увеличении всех размеров каждый из этих трёх «слоёв» получает множитель k, поэтому в сумме получается k·k·k = k³. Это общий закон для любых подобных тел: призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, многогранников и их частей.

Типичная ошибка на ЕГЭ — возвести коэффициент увеличения в квадрат, перепутав объём с площадью. Для площади действительно работает закон k², а для объёма — только k³. Ещё одна частая ловушка — думать, что если размеры увеличились «в 4 раза», то и объём увеличился тоже в 4 раза. Это верно только для одной линейной величины, но не для объёма.

Проверка здравым смыслом: если каждый размер стал в 4 раза больше, тело должно стать намного «объёмнее», чем просто в 4 раза. Значение 64 выглядит естественно и согласуется с кубическим законом.

Ключевая идея здесь очень простая, но на экзамене часто ошибаются в деталях: объём полностью погружённого тела равен объёму вытесненной жидкости. Если сосуд не имеет переменного сечения по высоте, а здесь это прямоугольный аквариум, то вытеснённый объём находится как произведение площади основания сосуда на прирост уровня жидкости.

Сначала найдём, насколько поднялась вода:

Δh = 22 - 18 = 4 см.

Теперь вычислим площадь основания аквариума:

S = 40 · 25 = 1000 см².

Тогда объём вытесненной жидкости, а значит и объём камня, равен:

V = S · Δh = 1000 · 4 = 4000 см³.

Ответ: 4000 см³.

Почему это работает? При полном погружении тела жидкость «освобождает» ровно такой объём, какой занимает само тело. Поскольку жидкость не выливается, весь этот объём проявляется только в увеличении высоты столба жидкости. Для призматического сосуда с постоянной площадью основания связь особенно удобна: один и тот же объём можно записать как площадь основания, умноженная на изменение высоты.

Типичные ошибки:

• берут не прирост уровня, а конечную высоту 22 см — это неверно, потому что в объём тела входит только дополнительная часть, то есть разность уровней;
• умножают на 18 см, считая это объёмом воды до погружения — но нас спрашивают не объём воды, а объём камня;
• ошибаются в площади основания, забывая перевести её в квадратные сантиметры или неверно перемножая стороны;
• путают сантиметры и кубические сантиметры: объём всегда измеряется в см³.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ: если после погружения уровень вырос на 1 см, то объём вытесненной жидкости равен площади основания сосуда. Здесь рост на 4 см, значит объём камня должен быть в 4 раза больше площади основания: 4 · 1000 = 4000 см³. Это хорошая самопроверка на здравый смысл.

Ключевая идея здесь одна: если у тела все линейные размеры увеличили в одно и то же число раз, то оно стало подобным исходному телу. Для подобных тел площади, в том числе площади боковой поверхности, меняются как квадрат коэффициента подобия.

Обозначим коэффициент увеличения всех рёбер через k. В задаче k = 1{,}5 = ½? Нет, это важный момент ловушки: 1,5 — это полтора раза, то есть 3/2. Площадь при масштабировании не умножается на k, как длина, и не на k^3, как объём, а именно на k^2.

Почему так? Любую грань призмы можно мысленно разбить на много маленьких фигур, и каждая из них при увеличении всех длин в k раз становится в k раз длиннее и в k раз шире. Значит, каждая малая площадь возрастает в k × k = k^2 раз. Это относится и к боковым граням, поэтому вся боковая поверхность тоже увеличится в k^2 раз.

Теперь подставим:

k^2 = (3/2)^2 = 9/4 = 2{,}25.

Значит, площадь боковой поверхности увеличится в 2,25 раза.

Ответ: 2,25.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• если речь о длинах — умножаем на k;
• если о площадях — умножаем на k^2;
• если об объёмах — умножаем на k^3.

Здесь спрашивают именно площадь боковой поверхности, поэтому нужен квадрат коэффициента.

При подобии тел нужно различать три разных типа величин: линейные размеры, площади и объёмы. Их коэффициенты изменения связаны по-разному.

Если все линейные размеры тела умножили на число k, то каждая длина стала в k раз больше. Но площадь — это не длина, а величина двумерная: она зависит от двух независимых направлений. Поэтому коэффициент изменения площади равен k².

В задаче дано k = 4. Тогда коэффициент изменения площади поверхности:

4² = 16.

Значит, площадь поверхности увеличится в 16 раз.

Почему часто ошибаются? Многие по привычке отвечают 4, потому что видят коэффициент увеличения линейных размеров. Это неверно: 4 — это для длин, а не для площадей. Другие путают с объёмом и пишут 64, потому что объём действительно меняется как k³. Для проверки полезно помнить общую схему:

• линейные размеры: k;
• площади: k²;
• объёмы: k³.

В этой задаче спрашивают именно площадь поверхности, значит нужен квадрат коэффициента масштабирования.

Объём призмы вычисляется по формуле V = S_осн · h, где S_осн — площадь основания, а h — высота.

В этой задаче масштабируются две разные величины: основание и высота. Это очень важный тип задач на подобие тел: нельзя сразу умножать только коэффициенты изменения линейных размеров, потому что площадь основания зависит не линейно, а квадратично.

Если все стороны основания уменьшили в 2 раза, то любая фигура в основании стала подобной исходной с коэффициентом 1/2. Значит, площадь основания изменилась в (1/2)² = 1/4 раза.

Высоту увеличили в 3 раза, значит в формуле объёма коэффициент для высоты равен 3.

Теперь перемножаем изменения площади основания и высоты:

V' / V = (1/4) · 3 = 3/4.

Значит, новый объём составляет 3/4 от исходного, то есть объём уменьшился в 4/3 раза.

Ответ: объём изменился в 3/4 раза.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• Если меняются линейные размеры основания, сначала находите коэффициент для площади: он равен k².
• Если высота меняется отдельно, её коэффициент входит в объём линейно.
• Не путайте «уменьшили в 2 раза» с коэффициентом 2: здесь нужно брать 1/2.
• Полезная самопроверка: если основание уменьшилось, объём должен уменьшиться; если высота увеличилась, это частично компенсирует уменьшение. Итог 3/4 выглядит разумно.

Ключевая идея здесь — объём жидкости сохраняется, а при подобии тел объём и площадь основания меняются по-разному. Это типичная ловушка: многие по привычке делят высоту на 2, но это верно только тогда, когда меняется объём при одинаковой площади основания. Здесь же меняется сам сосуд, то есть меняется и площадь поперечного сечения на том же уровне.

Обозначим коэффициент линейного подобия через k. По условию второй сосуд в 2 раза больше первого по всем линейным размерам, значит k = 2. Тогда площадь любого соответствующего сечения, в частности основания, увеличивается в k^2 = 4 раза. Это важнейший факт: площади масштабируются по квадрату коэффициента подобия, а не линейно.

Теперь используем формулу объёма как произведения площади основания на высоту: V = S·h. Для одного и того же объёма жидкости получаем

S₁·h₁ = S₂·h₂.

Так как S₂ = 4S₁, то

h₂ = h₁/4 = 15/4 = 3,75 см.

Итак, правильный ответ: 3,75 см.

Почему нельзя было просто делить высоту на 2? Потому что при увеличении сосуда в 2 раза по линейным размерам его «ширина» растёт, и тот же объём распределяется по сечению, которое стало в 4 раза больше. Поэтому уровень падает в 4 раза, а не в 2.

Как быстро проверять себя на ЕГЭ:

• если фигуры подобны, сначала выясняйте, что именно изменилось: длина, площадь или объём;
• линейные размеры умножаются на k;
• площади умножаются на k^2;
• объёмы — на k^3;
• если объём постоянен, то высота ведёт себя обратно пропорционально площади основания.

В этой задаче именно это и нужно было применить.