Функция корня квадратного и тригонометрические функции (графики): задания с ответами

Решать такие задачи нужно не «по формуле ради формулы», а через смысл графика: уравнение f(x)=c означает, что надо найти на графике точку(и), где ордината равна заданному числу c, и затем прочитать абсциссу этой точки.

Здесь задан график функции f(x)=2\sqrt{x-1}+1. Это корневая функция, сдвинутая вправо на 1 и вверх на 1, а также растянутая по вертикали в 2 раза. Для корневой функции важно помнить две вещи:

• область определения начинается там, где выражение под корнем неотрицательно: x-1\ge 0, то есть x\ge 1;
• график корневой функции монотонно возрастает, поэтому горизонтальная прямая y=c пересекает его не более чем в одной точке, если уровень c не меньше минимального значения функции.

Найти нужно x, при котором f(x)=5. Это значит, что на графике надо взять уровень y=5. По условию сказано, что график проходит через точку (5;5). Следовательно, при x=5 значение функции равно 5.

Можно проверить и аналитически, чтобы убедиться в правильности чтения графика:

2\sqrt{x-1}+1=5

2\sqrt{x-1}=4

\sqrt{x-1}=2

x-1=4

x=5.

Ответ единственный, потому что корневая функция на своей области определения возрастает. Это важный экзаменационный момент: если график не имеет «петель» и не пересекается с горизонтальной линией несколько раз, то уравнение f(x)=c обычно даёт один ответ. Но нужно всегда проверять, что уровень действительно достижим: если бы c был меньше минимального значения функции, решений бы не было.

Типичная ошибка на ЕГЭ — перепутать координаты точки и записать ответ y=5 вместо x=5. В подобных задачах спрашивают именно аргумент, то есть число по оси x. Поэтому сначала ищем уровень по оси y, затем читаем соответствующую абсциссу.

Ответ: 5.

Решать такие задачи удобнее не «по графику целиком», а через параметры функции f(x)=a\sin x+b. Здесь важно помнить два факта.

1. Вертикальный сдвиг b равен значению функции при x=0. Так как \sin 0=0, то f(0)=a\cdot 0+b=b. По условию f(0)=1, значит b=1.

2. Максимум синусоиды помогает найти a. Для функции вида a\sin x+b амплитуда равна |a|, а наибольшее значение равно b+|a|, если a>0, и b+|a| тоже, если взять максимум по модулю синуса. Здесь максимум равен 5, а средняя линия — это y=b=1. Значит расстояние от средней линии до вершины равно 5-1=4, то есть |a|=4. Поскольку график синусоиды в типовой задаче считается возрастающим из точки x=0 вправо к максимуму при x=\frac{\pi}{2}, берём a=4.

Теперь подставим нужный аргумент:

f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=4\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+1.

Знаем, что \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1. Тогда

f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=4\cdot(-1)+1=-4+1=-3.

Ответ: -3.

Полезная проверка для ЕГЭ. У синусоиды вида a\sin x+b значение при x=0 всегда равно b. Если потом подставить x=-\frac{\pi}{2}, то при положительном a получится минимум функции: b-a. Здесь это 1-4=-3, что согласуется с вычислением. Частая ошибка — принять 5 за a, хотя 5 — это максимум всей функции, а не амплитуда. Ещё одна ошибка — забыть про сдвиг b и написать просто -4 вместо -3.

Ключевая идея таких задач — не пытаться «считать» параметр по виду графика на глаз, а использовать то, что каждая точка графика удовлетворяет формуле функции. Если известна одна точка, то её координаты можно подставить в уравнение и получить обычное линейное уравнение относительно неизвестного параметра c.

У нас дана функция y = 2\sqrt{x-1} + c и точка A(5; 6) лежит на графике. Это означает, что при x=5 значение функции равно y=6. Подставим координаты точки в формулу:

6 = 2\sqrt{5-1} + c.

Сначала считаем подкоренное выражение:

\sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2.

Тогда получаем:

6 = 2\cdot 2 + c = 4 + c.

Теперь находим c:

c = 6 - 4 = 2.

Ответ: 2.

Почему именно так: параметр c в функции вида y = a\sqrt{x-b} + c задаёт вертикальный сдвиг графика. Это значит, что все точки графика поднимаются или опускаются на одно и то же число. Но чтобы определить это число, удобнее всего взять точку, координаты которой известны точно. Тогда мы не сравниваем графики «на глаз», а используем точную алгебру.

Типичные ошибки:

• забывают, что в точке A(5; 6) надо подставлять именно x=5 и y=6;
• ошибочно считают \sqrt{5-1} как \sqrt{5}-1, хотя корень берётся от всего выражения в скобках;
• не умножают корень на коэффициент 2;
• путают вертикальный сдвиг c с горизонтальным параметром b.

Как быстро проверять себя на экзамене: после нахождения c=2 можно мысленно проверить: при x=5 имеем 2\sqrt{4}+2=4+2=6, то есть точка действительно лежит на графике. Это хороший способ избежать арифметической ошибки.

Рассмотрим общий вид функции f(x)=a\sqrt{x+c}+d. Для таких задач важно помнить три ключевых факта.

1. Начало графика корня сразу даёт сдвиг и вертикальное смещение. У функции \sqrt{x} график начинается в точке (0,0). Поэтому у выражения \sqrt{x+c} начало графика будет в точке, где подкоренное выражение равно нулю: x=-c. В этой же точке значение функции равно d, потому что \sqrt{0}=0. Значит, если график начинается в точке (-1,-2), то -c=-1, откуда c=1, а также d=-2.

2. Используем вторую точку, чтобы найти коэффициент a. Подставим координаты точки (8,4) в формулу:

4=a\sqrt{8+1}-2.

Так как \sqrt{9}=3, получаем:

4=3a-2,

3a=6,

a=2.

3. Теперь можно вычислить нужное значение. Но здесь нужно быть внимательным: спрашивают именно f(8), а точка (8,4) уже лежит на графике. Это значит, что значение функции при x=8 равно ординате этой точки, то есть 4.

Проверим по формуле: f(8)=2\sqrt{8+1}-2=2\cdot 3-2=4. Ответ совпал.

Почему эта задача типична для ЕГЭ? В подобных заданиях часто нужно не просто «считать точку», а распознать параметры корневой функции. Ловушка состоит в том, что учащиеся иногда путают сдвиг по оси x и по оси y: точка начала графика (-1,-2) означает одновременно и начало области определения, и вертикальный уровень, на котором значение корня равно нулю. Ещё одна частая ошибка — забыть, что у корневой функции область определения задаётся условием x+c\ge 0, то есть левый конец графика всегда соответствует нулю под корнем.

Самопроверка: если при x=-1 подкоренное выражение равно нулю, то значение функции действительно должно быть -2; при x=8 получается 4. Это согласуется с графиком и подтверждает ответ.

Подставим координаты отмеченной точки в формулу функции. Если точка \left(\dfrac{\pi}{6},\,-1\right) лежит на графике y = a\tan x + b, то её координаты удовлетворяют уравнению:

-1 = 2\tan\dfrac{\pi}{6} + b.

Здесь важно аккуратно вычислить тригонометрическое значение: \tan\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}. Тогда

-1 = 2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}} + b,

откуда

b = -1 - \dfrac{2}{\sqrt{3}}.

Это и есть свободный член, то есть вертикальный сдвиг графика тангенса. На ЕГЭ часто ошибаются в двух местах: либо забывают подставить значение a, либо путают знак при переносе слагаемого 2\tan\dfrac{\pi}{6} в правую или левую часть. Удобная самопроверка: если \tan\dfrac{\pi}{6}>0, то при a=2 величина 2\tan\dfrac{\pi}{6} положительна, а чтобы в итоге получить отрицательное число -1, параметр b действительно должен быть ещё меньше -1. Это согласуется с ответом.

Сначала извлечём из графика параметры функции f(x)=A\sin x+B. Для синусоиды вида A\sin x+B вертикальный сдвиг B — это средняя линия графика, а амплитуда |A| равна половине разности между максимумом и минимумом.

По условию максимум равен 5, минимум равен 1. Тогда

B=\dfrac{5+1}{2}=3,

|A|=\dfrac{5-1}{2}=2.

Обычно в таких задачах по графику видно, что при x=\pi/2 функция достигает максимума, значит коэффициент при синусе положителен, то есть A=2. Следовательно, функция имеет вид

f(x)=2\sin x+3.

Теперь подставим заданный аргумент:

f\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=2\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)+3.

Здесь важно не ошибиться со значением синуса. Угол 7\pi/6 лежит в третьей четверти, где синус отрицателен:

\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}.

Тогда

f\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+3=-1+3=2.

Ответ: 2.

Полезная стратегия для ЕГЭ: сначала всегда находите среднюю линию и амплитуду, а уже потом подставляйте аргумент. Частая ошибка — забыть про вертикальный сдвиг B и записать только A\sin x, из-за чего ответ получается неверным на одно и то же число. Другая типичная ошибка — спутать знак синуса в разных четвертях: для углов вида \frac{\pi}{2}+\alpha, \pi+\alpha, \frac{3\pi}{2}+\alpha полезно сразу определять четверть, а не считать наугад.

Решаем задачу по графику корневой функции вида f(x)=a\sqrt{x+p}+q. В таких заданиях важно не подставлять «на глаз», а понимать структуру функции.

Здесь дана функция f(x)=2\sqrt{x-1}-3. Это значит, что график корня y=\sqrt{x} сдвинут вправо на 1, растянут по вертикали в 2 раза и опущен вниз на 3. Начальная точка графика — это точка, где подкоренное выражение равно нулю: x-1=0, то есть x=1. Тогда f(1)=-3. Это полезно для самопроверки: у корневой функции есть только одна «стартовая» точка.

Нам нужно найти x, при котором f(x)=1. Составим уравнение:

2\sqrt{x-1}-3=1.

Переносим число -3 в правую часть:

2\sqrt{x-1}=4.

Делим на 2:

\sqrt{x-1}=2.

Теперь возводим обе части в квадрат:

x-1=4, значит x=5.

Проверим область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть x-1\ge 0, откуда x\ge 1. Полученное значение x=5 подходит.

Ответ: 5.

Полезная идея для ЕГЭ: если график корневой функции задан явно, то значение аргумента по значению функции проще всего находить через уравнение, а не пытаться считывать координаты по рисунку. Частая ошибка — забыть проверить, что найденное значение лежит в области определения. Ещё одна типичная ошибка — неверно распознать сдвиги: у функции \sqrt{x-1} график начинается при x=1, а не при x=-1.

Ключевая идея здесь — использовать не «форму графика на глаз», а точные значения косинуса в специальных точках. Для функции вида f(x)=A\cos x+B параметры находятся из значений функции при x=0 и x=\pi, потому что именно в этих точках косинус принимает самые простые значения:

cos 0 = 1, cos \pi = -1.

По условию на графике отмечена точка (0;5), значит

f(0)=A\cos 0+B=A+B=5.

Также отмечена точка (\pi;-1), значит

f(\pi)=A\cos \pi+B=-A+B=-1.

Получаем систему:

A+B=5

-A+B=-1

Сложим уравнения: 2B=4, откуда B=2. Подставим в первое уравнение: A+2=5, значит A=3.

Итак, A=3, B=2. Ответ: 3, 2.

Почему именно так удобно решать такие задачи на ЕГЭ? График косинуса симметричен и периодичен, но искать параметры по «высотам» волн вручную ненадёжно: можно перепутать амплитуду, вертикальный сдвиг и знак коэффициента. Точки x=0 и x=\pi особенно полезны, потому что дают два линейных уравнения с двумя неизвестными. Это универсальный приём для задач на восстановление параметров.

Типичные ошибки:

• путают A и B: коэффициент A отвечает за «размах» и знак, а B — за вертикальный сдвиг;
• неверно подставляют значения косинуса: cos \pi = -1, а не 1;
• считают, что если график «выше оси Ox», то B обязательно положительно — это не всегда так, потому что положение графика зависит и от A;
• забывают проверить ответ подстановкой: при x=0 должно получиться 5, при x=\pi — -1.

Самопроверка: подставим найденные значения: f(x)=3\cos x+2. Тогда f(0)=3\cdot1+2=5, f(\pi)=3\cdot(-1)+2=-1. Всё совпадает, значит решение верно.

Для функций вида f(x)=k\sqrt{x+b}+c ключевой опорной точкой является начальная точка графика. Она соответствует тому моменту, когда подкоренное выражение равно нулю:

x+b=0, значит x=-b, а значение функции в этой точке равно c, потому что \sqrt{0}=0.

Итак, если начальная точка равна (-1; 2), то сразу получаем:

• -b=-1, откуда b=1;
• c=2.

Теперь используем вторую точку (3; -2). Подставим её в формулу:

-2=k\sqrt{3+1}+2.

Так как 3+1=4, то \sqrt{4}=2, и получаем:

-2=2k+2.

Тогда 2k=-4, следовательно k=-2.

Ответ: k=-2, b=1, c=2.

Почему это важно на ЕГЭ. В задачах на восстановление коэффициентов по графику корневой функции чаще всего ошибаются в двух местах: путают b и c, а также забывают, что знак k определяет направление ветви. Если k<0, график убывает от начальной точки вправо; если k>0, то возрастает. В нашей задаче значение функции во второй точке оказалось меньше, чем у начальной, значит отрицательный k здесь действительно согласуется с видом графика.

Стратегия самопроверки. Всегда делайте три шага: 1) найдите начальную точку и сразу считайте из неё b и c; 2) подставьте любую другую точку и найдите k; 3) проверьте, что область определения начинается именно в найденной начальной точке и что направление ветви соответствует знаку k.

Отвлекающие варианты обычно строятся на типичных ошибках: заменить b на -1 вместо 1, перепутать c с координатой абсциссы начальной точки или взять k=2 вместо -2. Поэтому важно не только подставлять точки, но и понимать геометрию преобразований графика.

Сначала восстановим саму функцию по данным о графике. Для функции вида f(x)=a\cos x+b максимальное и минимальное значения определяются так:

f_{\max}=b+|a|, f_{\min}=b-|a|.

Это очень важная идея для ЕГЭ: по графику косинусоиды нужно не «угадывать» коэффициенты, а читать их через среднюю линию и амплитуду. Средняя линия равна полусумме максимума и минимума:

b=\dfrac{f_{\max}+f_{\min}}{2}=\dfrac{5+1}{2}=3.

Амплитуда равна половине разности максимума и минимума:

|a|=\dfrac{f_{\max}-f_{\min}}{2}=\dfrac{5-1}{2}=2.

Значит, функция имеет вид f(x)=2\cos x+3 или f(x)=-2\cos x+3. Но в задачах такого типа по графику обычно ещё видно, где именно расположен максимум: если при x=0 график достигает максимума, то коэффициент a положителен, и получаем f(x)=2\cos x+3. Здесь именно это и подразумевается графиком косинуса без сдвига по оси x.

Теперь подставим x=\dfrac{\pi}{3}. Мы знаем стандартное значение:

\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}.

Тогда

f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}+3=1+3=4.

Ответ: 4.

Как не ошибиться на экзамене:

• не путайте амплитуду |a| с вертикальным сдвигом b;
• сначала находите максимум и минимум, затем среднюю линию и амплитуду;
• помните стандартные значения косинуса: \cos 0=1, \cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac12, \cos \dfrac{\pi}{2}=0, \cos \pi=-1;
• если в условии по графику видно, что максимум достигается при x=0, то знак при a положительный.

Итак, правильный ответ — 4.

Рассмотрим функцию вида f(x)=a\tan x+b. Для таких задач важно помнить две ключевые идеи:

1. Значение при x=0 сразу даёт вертикальный сдвиг b, потому что tan 0=0.
2. Период тангенса равен \pi, то есть \tan(x+\pi)=\tan x. Поэтому для вычисления значения в «неудобной» точке можно свести аргумент к более простому.

Из условия график проходит через точку (0;2). Подставим x=0:

f(0)=a\tan 0+b=0+b=b=2.

Теперь используем точку (\pi/4;5):

f(\pi/4)=a\tan(\pi/4)+b=a\cdot 1+2=5.

Отсюда a=3. Значит, функция имеет вид f(x)=3\tan x+2.

Теперь вычислим f(\pi+\pi/4). Сначала упростим аргумент с помощью периодичности:

\tan(\pi+\pi/4)=\tan(\pi/4)=1,

поскольку тангенс имеет период \pi.

Тогда

f(\pi+\pi/4)=3\cdot 1+2=5.

Ответ: 5.

Как не ошибиться на ЕГЭ: часто путают период тангенса с периодом синуса и косинуса. У тангенса период именно \pi, а не 2\pi. Ещё одна типичная ошибка — подставить \pi+\pi/4 прямо в калькулятор без упрощения: можно, но тогда важно помнить, что \tan(5\pi/4)=1, а не -1. Полезная самопроверка: если аргумент отличается от известного на \pi, значение тангенса не меняется.

Для функций вида y=a\sqrt{x-h}+k удобно помнить три важных факта:

• график начинается в точке (h; k);
• область определения: x\ge h;
• знак коэффициента a определяет, идёт ли график вверх или вниз от начальной точки.

Здесь y=-2\sqrt{x-1}+3, значит:

• h=1, k=3; начальная точка графика — (1;3);
• коэффициент a=-2 отрицательный, поэтому при росте x график убывает;
• множитель 2 растягивает график по вертикали: когда подкоренное выражение увеличивается на 1, значение \sqrt{x-1} меняется на 1, а y — на 2 единицы вниз.

Теперь подставим x=5:

y=-2\sqrt{5-1}+3=-2\sqrt{4}+3=-2\cdot 2+3=-1.

Следовательно, точка A имеет координаты (5;-1).

Ответ: (5; -1).

Полезная проверка для ЕГЭ: если в ответе получается значение x<1, это сразу ошибка, потому что при x<1 выражение под корнем отрицательно и график не существует. Ещё одна типичная ловушка — перепутать начальную точку (h;k) с точкой при x=0; для корневой функции это не одно и то же. Вторая частая ошибка — забыть знак минус у коэффициента a: тогда можно ошибочно ответить (5;11) вместо (5;-1). Всегда полезно сначала найти опорную точку графика, а затем проверить, согласуется ли найденная координата с убыванием или возрастанием графика.