Прямоугольные многогранники и кубы: площадь поверхности и объём: задания с ответами

Для прямоугольного параллелепипеда пространственная диагональ находится по обобщённой теореме Пифагора: если из одной вершины выходят взаимно перпендикулярные рёбра длиной a, b, c, то диагональ d удовлетворяет формуле

d = √(a² + b² + c²).

Это не случайная формула, а результат последовательного применения теоремы Пифагора. Сначала можно найти диагональ одной грани, например √(6² + 8²) = 10. Затем эта диагональ и третье ребро 24 образуют прямоугольный треугольник, поэтому

d = √(10² + 24²) = √(100 + 576) = √676 = 26.

Можно считать и сразу по формуле для трёх измерений:

d = √(6² + 8² + 24²) = √(36 + 64 + 576) = √676 = 26.

Ответ: 26.

Важно не перепутать пространственную диагональ с диагональю грани. Диагональ грани использует только два ребра, а здесь нужно учитывать все три взаимно перпендикулярных ребра. Ещё одна типичная ошибка — сложить длины рёбер без квадратов: так делать нельзя, потому что в прямоугольной геометрии расстояния комбинируются именно по теореме Пифагора. Для самопроверки полезно помнить: если в задаче спрашивают диагональ тела, а не плоской фигуры, почти всегда нужно брать корень из суммы квадратов трёх рёбер.

Решим задачу аккуратно, как это удобно делать на ЕГЭ по стереометрии.

1. Сначала найдём площадь поверхности нижнего параллелепипеда.
Для прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b, c площадь полной поверхности равна

S = 2(ab + ac + bc).

Для нижнего тела: a = 12, b = 8, c = 4. Тогда

S_нижн = 2(12·8 + 12·4 + 8·4) = 2(96 + 48 + 32) = 2·176 = 352.

2. Найдём площадь поверхности верхнего параллелепипеда.
Его рёбра: 5, 3, 6. Тогда

S_верхн = 2(5·3 + 5·6 + 3·6) = 2(15 + 30 + 18) = 2·63 = 126.

3. Почему нельзя просто сложить 352 и 126?
Потому что часть граней становится внутренней после соединения тел и не входит в внешнюю поверхность. Верхний параллелепипед опирается на нижний всей своей нижней гранью площадью

5·3 = 15.

Эта грань была посчитана в поверхности верхнего тела, но в итоговую внешнюю поверхность не входит. Кроме того, на нижнем параллелепипеде исчезает соответствующий участок верхней грани той же площади 15.

Значит, из суммы поверхностей двух отдельных тел надо вычесть две такие площади:

2·15 = 30.

4. Итог:

S_внешн = 352 + 126 - 30 = 448.

Ответ: 448 см².

Как проверить себя на экзамене:
1) Убедиться, что верхнее тело действительно стоит на части верхней грани нижнего и не выступает за её пределы.
2) Посчитать площади поверхностей каждого параллелепипеда отдельно.
3) Не забыть, что площадь соприкосновения убирается дважды: один раз из нижнего тела и один раз из верхнего.

Типичная ошибка — вычесть только 15 вместо 30. Это неверно, потому что внутренняя граница перестаёт быть внешней у обоих тел.

Ключевая идея таких задач — не пытаться «склеить» фигуру в один прямоугольный параллелепипед, если это не получается геометрически, а разбить её на простые тела и затем сложить их объёмы. Для прямоугольного параллелепипеда объём находится по формуле

V = a \cdot b \cdot c,

где a, b, c — три взаимно перпендикулярных ребра.

В этой задаче тело состоит из двух блоков:

• нижний параллелепипед: 12 × 8 × 3;
• верхний параллелепипед: 6 × 8 × 5.

Важно понимать, что фраза «верхний блок поставлен на нижний» означает, что блоки не перекрываются по объёму, а просто прилегают друг к другу по одной грани. Поэтому общий объём — это именно сумма объёмов частей.

Вычислим объём нижнего блока:

V₁ = 12 · 8 · 3 = 288.

Теперь объём верхнего блока:

V₂ = 6 · 8 · 5 = 240.

Складываем:

V = 288 + 240 = 528.

Ответ: 528.

Полезно помнить типичные ловушки:

1. Ошибка в разбиении. Иногда ученик учитывает только видимую часть и забывает о нижнем блоке или, наоборот, дважды считает общую часть. Здесь блоки просто складываются, потому что они не пересекаются по объёму.
2. Попытка перемножить «общие» размеры. Это неверно, потому что вся фигура не является одним прямоугольным параллелепипедом: её поперечное сечение меняется по высоте.
3. Путаница с размерами. Если блок расположен по центру, это не влияет на объём. Для объёма важны только размеры самого тела, а не его положение в пространстве.

Стратегия самопроверки на ЕГЭ: после вычисления объёмов частей проверьте, что ответ разумен по порядку величины. Здесь нижний блок даёт почти 300, верхний — чуть меньше 250, значит общий объём около 500, и ответ 528 выглядит правдоподобно.

Здесь важно сразу увидеть, что тело составное, но состоит из двух обычных прямоугольных параллелепипедов. Для таких задач основная идея всегда одна: разбить фигуру на простые блоки, найти объём каждого и сложить их. Это надёжнее, чем пытаться «угадать» формулу для всей фигуры сразу.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле V = a·b·c, где a и b — стороны основания, а c — высота. У первого блока размеры 4, 6 и 3 см, значит его объём:

V₁ = 4·6·3 = 72 см³.

У второго блока размеры 4, 2 и 3 см, значит его объём:

V₂ = 4·2·3 = 24 см³.

Теперь складываем объёмы, потому что тела не пересекаются и вместе образуют весь многогранник:

V = V₁ + V₂ = 72 + 24 = 96 см³.

Ответ: 96.

Полезный экзаменационный комментарий: если в условии сказано, что части «поставлены рядом», «примыкают» или «составляют одно тело без наложения», значит объёмы можно суммировать. Частая ошибка — взять только один из блоков или перепутать высоту с ребром основания. Ещё одна ловушка — попытка найти объём всей фигуры как будто это один параллелепипед с “общими” размерами, хотя форма может быть составной. Самопроверка простая: если мысленно отделить одну часть, объём должен уменьшиться на объём именно этой части, а не на что-то произвольное.

Ключевая идея здесь — не искать «формулу для составной фигуры» отдельно, а свести задачу к сумме объёмов двух прямоугольных параллелепипедов. Для прямоугольного параллелепипеда объём вычисляется по формуле V = abc, где a, b, c — его три взаимно перпендикулярных измерения.

У нас нижний блок имеет размеры 8×5×3, значит его объём равен 8·5·3 = 120. Верхний блок имеет размеры 8×5×2, значит его объём равен 8·5·2 = 80.

Так как параллелепипеды склеены по всей площади основания, но не перекрываются по объёму, общий объём равен сумме объёмов частей:

V = 120 + 80 = 200.

Ответ: 200.

Полезно заметить типичную ловушку: некоторые ученики ошибочно складывают все числа 8+5+3+8+5+2 или находят площадь основания 8·5 и забывают умножить на высоту. В задачах на объём важно всегда проверять: у каждого блока есть три измерения, а при составной фигуре объёмы нужно именно складывать, если части не пересекаются внутри. Если фигура «ступенчатая», её почти всегда удобно мысленно разложить на несколько прямоугольных тел и посчитать каждое отдельно.

Для прямоугольного параллелепипеда работает пространственный аналог теоремы Пифагора:

d² = a² + b² + c²,

где d — пространственная диагональ, а a, b, c — три взаимно перпендикулярных ребра, выходящих из одной вершины.

В этой задаче известны a = 6, b = 8, d = 11. Нужно найти третье ребро c.

Подставим данные в формулу:

11² = 6² + 8² + c².

Вычислим квадраты:

121 = 36 + 64 + c² = 100 + c².

Теперь выразим неизвестное:

c² = 121 - 100 = 21,

значит

c = √21.

Ответ: √21.

Полезно помнить типичную ошибку: иногда учащиеся путают пространственную диагональ параллелепипеда с диагональю грани и пишут формулу вида d² = a² + b². Это неверно, если требуется диагональ всего тела. Здесь нужно учитывать все три ребра. Ещё одна частая ошибка — забыть, что из уравнения сначала находят c², а затем извлекают корень.

В подобных задачах удобно делать самопроверку: если квадрат диагонали больше суммы квадратов двух известных рёбер, то третье ребро находится по формуле c = √(d² - a² - b²). Если под корнем получилось нецелое число, это не ошибка: в ответе допустим корень в несократимом виде, если по условию не требуется целое значение.

Для прямоугольного параллелепипеда площадь полной поверхности находится как сумма площадей всех шести граней. Важно не перепутать: речь именно о полной поверхности, значит учитываются все внешние грани, а не только «видимые» с одной стороны.

Если рёбра параллелепипеда равны a, b, c, то у него есть:

• 2 грани площадью ab,
• 2 грани площадью ac,
• 2 грани площадью bc.

Поэтому формула полной площади поверхности:

S = 2(ab + ac + bc).

Подставим данные задачи: a = 8, b = 5, c = 3.

Сначала найдём попарные произведения:

• ab = 8 · 5 = 40,
• ac = 8 · 3 = 24,
• bc = 5 · 3 = 15.

Сложим их:

40 + 24 + 15 = 79.

Теперь умножим на 2, потому что каждой грани такого типа по две:

S = 2 · 79 = 158.

Ответ: 158.

Полезно помнить экзаменационную стратегию: если фигура — прямоугольный параллелепипед, почти всегда удобнее использовать формулу 2(ab+ac+bc). Ошибка, которую часто делают, — считают только три разные грани и забывают умножить на 2. Ещё одна типичная ошибка — перемножить все три числа 8·5·3, но это даёт объём, а не площадь поверхности. Чтобы самопровериться, можно оценить результат: площадь поверхности должна быть больше суммы площадей трёх «основных» прямоугольников и выражаться в квадратных сантиметрах, а не в кубических.

Для куба все 6 граней равны, а каждая грань — квадрат со стороной a, где a — ребро куба. Поэтому полная площадь поверхности выражается формулой

S = 6a².

В задаче дана полная площадь поверхности: S = 96. Подставим это в формулу:

6a² = 96.

Теперь нужно найти a. Сначала разделим обе части на 6:

a² = 16.

Так как длина ребра — положительная величина, берём только положительный корень:

a = 4.

Итак, ребро куба равно 4 см.

Важно не перепутать полную площадь поверхности и площадь одной грани. Если разделить 96 не на 6, а, например, принять её за площадь одной грани, получится неверный ответ. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что после нахождения a² нужно извлечь квадратный корень, а не оставить квадрат в ответе.

Проверка: если a = 4, то площадь одной грани равна 4² = 16, а вся поверхность — 6 · 16 = 96. Совпадает с условием, значит ответ верный.

Используем две стандартные формулы для куба. Если ребро куба равно a, то площадь поверхности равна 6a^2, а пространственная диагональ — a\sqrt{3}.

1) По условию 6a^2=54. Тогда a^2=9, откуда a=3 (берём только положительное значение, так как длина ребра не может быть отрицательной).

2) Теперь находим пространственную диагональ: d=a\sqrt{3}=3\sqrt{3}.

Почему нельзя выбрать 3\sqrt{2}? Это диагональ грани куба, а не пространственная диагональ. Для грани используется формула a\sqrt{2}, а в пространстве появляется корень из 3, потому что диагональ «собирает» три взаимно перпендикулярных ребра. Именно поэтому в стереометрии важно сразу понимать, о какой диагонали идёт речь.

Проверка здравым смыслом тоже помогает: при ребре 3 пространственная диагональ должна быть больше диагонали грани 3\sqrt{2}, но меньше суммы трёх рёбер 9. Значение 3\sqrt{3} этому соответствует.

Ключевая связь здесь одна: у куба пространственная диагональ выражается через ребро формулой d = a√3. Это не диагональ грани, а именно отрезок, соединяющий две противоположные вершины куба через его внутреннюю часть. Частая ошибка на ЕГЭ — перепутать её с диагональю квадрата-граня, где было бы a√2.

По условию d = 6√3. Тогда находим ребро куба:

a = d/√3 = 6√3/√3 = 6.

Теперь используем формулу объёма куба:

V = a³ = 6³ = 216.

Итак, правильный ответ — 216.

Полезная проверка для самоконтроля: если диагональ имеет вид k√3, то ребро куба равно k, а объём — k³. В этой задаче k = 6, значит объём сразу должен быть 6³ = 216. Такой быстрый способ помогает избежать лишних вычислений и замечать ошибки в коэффициентах.

Ловушка, которая часто встречается: некоторые ученики ошибочно считают, что надо делить на √2, как в задаче про квадрат, или забывают возвести ребро в куб и получают вместо объёма просто число 6. В стереометрии важно сначала установить именно геометрическую связь между диагональю и ребром, а затем подставить в формулу объёма.

Ключевая идея здесь очень важна для стереометрии ЕГЭ: при одинаковом изменении всех линейных размеров объём изменяется не линейно и не квадратично, а по кубическому закону.

Для куба объём выражается формулой $V=a^3$, где $a$ — ребро куба. Если ребро увеличить в 3 раза, то новое ребро станет $3a$. Тогда новый объём равен

$V_{\mathrm{new}}={\left(}^3=27a^3=27V_{\mathrm{old}}$.

Значит, объём увеличится в 27 раз.

Почему именно так? Объём — это трёхмерная величина: он зависит от длины, ширины и высоты. У куба все три измерения одинаковы, поэтому если каждое из них умножить на 3, то общий объём умножится на $3^3$. Это общий принцип: если все линейные размеры фигуры увеличили в $k$ раз, то площади увеличиваются в $k^2$ раз, а объёмы — в $k^3$ раз.

Типичная ошибка — ответить «в 3 раза», потому что ребро выросло в 3 раза. Это верно для длины, но не для объёма. Другая ошибка — перепутать с площадью поверхности и написать $9$. Для объёма всегда нужна третья степень коэффициента масштабирования.

Самопроверка: если увеличить ребро в 2 раза, объём должен стать в 8 раз больше; если в 4 раза — в 64 раза. Это помогает быстро проверить, что ответ соответствует кубическому закону.

Ответ: 27.

Главная идея здесь — помнить, что объём прямоугольного параллелепипеда зависит от трёх линейных размеров:
V = abc, где a, b и c — рёбра.

Если каждое ребро увеличить в 3 раза, то новые размеры станут равны 3a, 3b и 3c. Тогда новый объём:

V_нов = (3a)(3b)(3c) = 3³abc = 27V.

Значит, объём увеличится в 27 раз.

Почему именно куб коэффициента? Потому что объём — это величина трёхмерная. Если увеличивается только длина в одном направлении, объём растёт линейно; если две независимые стороны — по квадрату; если все три — по кубу. Это одна из самых важных идей в задачах на масштабирование в стереометрии.

Типичная ошибка — умножать объём просто на 3 или на 9. Это неверно: 3 — это коэффициент увеличения каждого ребра, а в объёме таких множителей три, поэтому надо возводить коэффициент в третью степень.

Проверка здравым смыслом: если каждое измерение стало больше в 3 раза, тело стало “шире”, “длиннее” и “выше” одновременно, поэтому объём должен вырасти значительно сильнее, чем в 3 раза. Число 27 здесь вполне естественно.

В ЕГЭ полезно запоминать общую формулу масштабирования: если все линейные размеры тела изменяются в k раз, то объём изменяется в k³ раз, а площадь поверхности — в k² раз. В этой задаче требуется именно объём, значит используем куб.