Рационализация выражений в неравенствах: задания с ответами

Решение таких задач строится не на «грубом» раскрытии корней, а на аккуратном анализе знаков после рационализации. Здесь важно помнить две вещи:

1) сначала обязательно найти область определения;

2) затем заменить сложную разность корней на выражение с тем же знаком на своей области определения.

Рассмотрим выражение

\[\dfrac{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x-1}}{\ln(x-1)}\]

Шаг 1. Область определения.

Подкоренные выражения должны быть неотрицательны:

\(x+4\ge 0\), \(2x-1\ge 0\).

Кроме того, логарифм определён только при положительном аргументе:

\(x-1>0\).

И знаменатель не должен обращаться в ноль:

\(\ln(x-1)\ne 0\), то есть \(x-1\ne 1\), значит \(x\ne 2\).

Объединяя условия, получаем:

\(x>1\) и \(x\ge \tfrac12\), то есть пока \(x>1\); и дополнительно \(x\ne 2\).

Итак, область определения: \(x\in(1,2)\cup(2,+\infty)\).

Шаг 2. Рационализация числителя.

Рассмотрим разность корней:

\[\sqrt{x+4}-\sqrt{2x-1}.\]

На области определения обе радикальные функции определены, а корень — возрастающая функция. Поэтому знак разности такой же, как у разности подкоренных выражений:

\[\operatorname{sgn}(\sqrt{x+4}-\sqrt{2x-1})=\operatorname{sgn}\bigl((x+4)-(2x-1)\bigr)=\operatorname{sgn}(5-x).\]

Это ключевая идея рационализации: не надо вычислять корни, достаточно понять, какой из подкоренных аргументов больше.

Можно также записать строго через сопряжённое:

\[\sqrt{x+4}-\sqrt{2x-1}=\dfrac{(x+4)-(2x-1)}{\sqrt{x+4}+\sqrt{2x-1}}=\dfrac{5-x}{\sqrt{x+4}+\sqrt{2x-1}}.\]

Знаменатель здесь положителен на области определения, значит знак числителя совпадает со знаком \(5-x\).

Шаг 3. Анализ знака знаменателя.

Рассмотрим \(\ln(x-1)\):

- если \(1<x<2\), то \(0<x-1<1\), значит \(\ln(x-1)<0\);

- если \(x>2\), то \(x-1>1\), значит \(\ln(x-1)>0\).

Шаг 4. Знак дроби.

Теперь анализируем по промежуткам, на которых знаки множителей постоянны.

1) Если \(1<x<2\), то:

\(5-x>0\), значит числитель положителен;

\(\ln(x-1)<0\), значит знаменатель отрицателен.

Следовательно, дробь отрицательна.

2) Если \(x>2\), то:

\(\ln(x-1)>0\), а знак числителя зависит от \(5-x\):

- при \(2<x<5\) числитель положителен, дробь положительна;

- при \(x>5\) числитель отрицателен, дробь отрицательна.

Отсюда ответ:

\[x\in(1,2)\cup(5,+\infty).\]

Почему здесь легко ошибиться?

1) Частая ошибка — забыть, что \(\ln(x-1)\) меняет знак в точке \(x=2\). Если смотреть только на область определения, можно потерять этот важный рубеж.

2) Другая ошибка — пытаться «сократить» корни напрямую. Делать этого нельзя: разность корней не сокращается, а рационализируется через сопряжённое.

3) Ещё одна ловушка — перепутать, что знак \(\sqrt{u}-\sqrt{v}\) совпадает со знаком \(u-v\) только потому, что корень возрастающий на своей области определения. Это нужно понимать как отдельный теоретический факт, а не как механическое правило.

Итог: выражение отрицательно при \(x\in(1,2)\cup(5,+\infty)\).

Обозначим подкоренные выражения: \(A=x^2-6x+10\) и \(B=x^2-2x+2\). Исходное неравенство имеет вид

\[\sqrt{A}-\sqrt{B}\ge 0.\]

Ключевая идея рационализации в таких задачах: если оба корня определены, то они неотрицательны, а значит сравнение разности корней с нулём можно заменить сравнением подкоренных выражений, но только после проверки знака правой части и области определения.

Сначала найдём область определения. Здесь

\[A=x^2-6x+10=(x-3)^2+1>0,\qquad B=x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0\]

для всех \(x\). Это очень удобный случай: область определения — все действительные числа, поэтому никаких дополнительных ограничений не возникает.

Теперь используем правило:

\[\sqrt{A}-\sqrt{B}\ge 0 \iff \sqrt{A}\ge \sqrt{B}.\]

Поскольку функция \(\sqrt{t}\) возрастает на \([0,+\infty)\), при \(A\ge 0\), \(B\ge 0\) получаем эквивалентность

\[\sqrt{A}\ge \sqrt{B} \iff A\ge B.\]

Следовательно, исходное неравенство эквивалентно

\[x^2-6x+10\ge x^2-2x+2.\]

Упростим:

\[-6x+10\ge -2x+2,\]

\[-4x\ge -8,\]

\[x\le 2.\]

Итак, эквивалентное неравенство без корней — \(x\le 2\).

Почему важно не спешить с возведением в квадрат? Многие ученики пытаются сразу перейти к \((\sqrt{A}-\sqrt{B})^2\), но при неравенствах это часто не даёт эквивалентности без анализа знаков. В данной задаче всё проще: левая часть неравенства уже сравнивается с нулём, а обе радикальные функции определены и неотрицательны, поэтому достаточно сравнить сами подкоренные выражения.

Типичные ошибки:

1) забыть проверить область определения; здесь она, к счастью, вся числовая прямая, но это нужно именно доказать;
2) перепутать знак при переносе членов и получить \(x\ge 2\) вместо \(x\le 2\);
3) попытаться сравнить корни по подкоренным выражениям, не убедившись, что оба подкоренных выражения неотрицательны.

Именно поэтому в ЕГЭ полезно сначала переписать выражение в виде \(\sqrt{A}\ge\sqrt{B}\), затем применить монотонность корня на его области определения и только после этого решать обычное линейное неравенство.

Сначала важно не забыть область определения. Здесь основание степени — выражение \(x^2-4\). Для степенной функции с произвольным действительным показателем нужно, чтобы основание было положительным, иначе выражение в общем случае не определено. Значит, обязательно рассматриваем только

\(x^2-4>0\), то есть \(|x|>2\).

Теперь у нас на этой области основание одно и то же, а сравниваются степени с одинаковым положительным основанием. Для такого случая действует ключевая идея:

• если \(a>1\), то функция \(a^t\) возрастает по показателю \(t\);
• если \(0<a<1\), то функция \(a^t\) убывает по показателю.

Здесь основание \(x^2-4\) не просто положительное, а на области \(|x|>2\) оно может быть как меньше 1, так и больше 1. Поэтому надо проверить, можно ли решить неравенство без разбиения на случаи. Заметим, что сравниваются степени с одним и тем же основанием:

\((x^2-4)^{x+1} < (x^2-4)^{2x-1}\).

Если бы мы знали, что основание всегда больше 1 или всегда между 0 и 1, можно было бы сразу сравнить показатели, но здесь основание меняется. Поэтому нужно мыслить аккуратно: удобнее привести неравенство к виду

\((x^2-4)^{x+1-(2x-1)} < 1\),

то есть

\((x^2-4)^{-x+2} < 1\).

Теперь используем общий факт: для любого положительного основания \(a\neq 1\) неравенство \(a^t<1\) эквивалентно:

• \(t<0\), если \(a>1\);
• \(t>0\), если \(0<a<1\).

Но здесь знак основания зависит от \(x\), поэтому проще вернуть исходное сравнение показателей через анализ монотонности по основанию. Перепишем неравенство так:

\((x^2-4)^{x+1} - (x^2-4)^{2x-1} < 0.

Вынесем общий множитель:

\((x^2-4)^{x+1}\bigl(1-(x^2-4)^{x-2}\bigr) < 0.

На области определения \(x^2-4>0\), значит \((x^2-4)^{x+1}>0\). Следовательно, знак всего выражения определяется только второй скобкой:

\(1-(x^2-4)^{x-2} < 0\),

то есть

\((x^2-4)^{x-2} > 1\).

Теперь применяем стандартное правило для сравнения с 1:

• если \(x^2-4>1\), то нужно \(x-2>0\);
• если \(0<x^2-4<1\), то нужно \(x-2<0\).

Это уже полное решение, но вопрос просит выбрать эквивалентное условие, то есть корректную редукцию. Среди вариантов правильным будет тот, который отражает именно переход к сравнению показателей после вынесения общего положительного множителя, а не просто механическое «сравнить показатели». Частая ошибка — забыть, что при основании между 0 и 1 знак неравенства по показателям меняется.

Итог: эквивалентное условие — это не просто \(x+1<2x-1\), а условие, полученное после корректного учёта области определения и монотонности степенной функции. Правильный вариант — тот, где сохраняется логика: сначала \(x^2-4>0\), затем выделяется общий положительный множитель, и далее сравнивается \((x^2-4)^{x-2}\) с 1 с учётом значения основания.

Рассмотрим неравенство

log_1/2(x + 3) > log_1/2(2x - 1).

Главная идея здесь — не вычислять логарифмы, а использовать монотонность логарифмической функции. Основание равно 1/2, а значит оно лежит между 0 и 1, поэтому функция log_1/2(t) убывает. Для убывающей функции знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный.

Но прежде всего обязательно выписываем область допустимых значений:

1) x + 3 > 0,

2) 2x - 1 > 0.

Отсюда получаем:

x > -3,

x > 1/2.

Совместно это даёт ОДЗ: x > 1/2.

Теперь применяем свойство убывающей логарифмической функции:

log_1/2(x + 3) > log_1/2(2x - 1) эквивалентно x + 3 < 2x - 1.

Решим полученное линейное неравенство:

x + 3 < 2x - 1

4 < x.

Теперь пересекаем с ОДЗ: x > 1/2 и x > 4. Итог:

x > 4.

Это и есть ответ.

Почему здесь легко ошибиться:

— Если забыть, что при основании 0 < a < 1 логарифм убывает, можно не поменять знак неравенства и получить неверный ответ.

— Нельзя сравнивать аргументы, не проверив их положительность: логарифм определён только при положительных аргументах.

— Иногда ученики останавливаются на условии x + 3 < 2x - 1, забывая про ОДЗ. Здесь это не страшно только потому, что получившееся решение x > 4 и так удовлетворяет ОДЗ, но в других задачах это может привести к лишним корням или неверному ответу.

Экзаменационный приём: если в неравенстве стоят логарифмы с одинаковым основанием, сначала определите, возрастает или убывает функция. Затем аккуратно выпишите ОДЗ, после чего сравните аргументы. Это самый надёжный способ рационализации таких выражений.

Сначала важно увидеть, что здесь нельзя «механически» сокращать или заменять выражения вне области определения. Для рационализации в неравенствах мы заменяем каждый множитель вида «логарифм минус 1» или «степень минус 1» на эквивалентный множитель, который имеет тот же знак на своей области определения. Именно это позволяет превратить сложную дробь в произведение простых факторов, удобных для анализа знака.

Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.

1) Числитель: \(2^{x}-1\). Так как основание \(2>1\), функция \(2^x\) возрастает, и знак выражения \(2^x-1\) совпадает со знаком \(x\), потому что \(2^x-1=0\) при \(x=0\). Формально это можно записать как эквивалентность по знаку: \(2^x-1\sim x\) при \(x\in\mathbb R\).

Далее \(\log_3(x+1)-1\). По формуле рационализации логарифма:

\[\log_b(v)-1=\log_b\!\left(\frac{v}{b}\right)\]

если \(b>0\), \(b\ne 1\), \(v>0\). Поэтому

\[\log_3(x+1)-1=\log_3\!\left(\frac{x+1}{3}\right).\]

Так как основание \(3>1\), знак этого выражения совпадает со знаком аргумента \(\frac{x+1}{3}-1\), то есть со знаком \(x-2\). Но в задачах этого типа удобно помнить более прямую эквивалентную замену: \(\log_3(x+1)-1\sim x-2\). Однако здесь нам ещё нужно внимательно учесть структуру знаменателя, где стоит логарифм с основанием \(\tfrac13\).

2) Знаменатель: \(4^x-1\). Поскольку \(4>1\), знак совпадает со знаком \(x\): \(4^x-1\sim x\).

Теперь \(\log_{\frac13}(x+1)-1\). Здесь основание меньше 1, и это самая частая ловушка. Для \(0<b<1\) функция \(\log_b t\) убывает, поэтому знак выражения \(\log_b(t)-1\) меняется по сравнению с основанием больше 1. Применим формулу рационализации:

\[\log_{\frac13}(x+1)-1=\log_{\frac13}\!\left(\frac{x+1}{\frac13}\right)=\log_{\frac13}(3x+3).\]

Чтобы понять знак, удобнее перейти к эквивалентному виду через основание \(3\):

\[\log_{\frac13}(x+1)= -\log_3(x+1),\]

значит

\[\log_{\frac13}(x+1)-1=-(\log_3(x+1)+1).\]

Но для рационализации по стандартной школьной схеме достаточно знать, что

\[\log_{\frac13}(x+1)-1\sim 2-x,\]

потому что при основании меньше 1 знак выражения меняется на противоположный.

Теперь соберём всё вместе. В исходной дроби:

\[\frac{(2^{x}-1)(\log_{3}(x+1)-1)}{(4^{x}-1)(\log_{\frac13}(x+1)-1)}\ge 0\]

после замены получаем выражение, эквивалентное по знаку:

\[\frac{x\cdot(x+1)}{x\cdot(1-x)}\ge 0.\]

Но здесь нужно аккуратно: рационализация должна быть сделана так, чтобы сохранить знак каждого множителя в своей области определения. Для данного набора замен итоговое упрощение сводится к отношению

\[\frac{(x+1)(2x-1)}{x}\ge 0,\quad x>0,\ x\ne 1.\]

Именно этот вид получается после корректного сведения логарифмических множителей к линейным по переменной выражениям с учётом того, что в области определения \(x+1>0\) и основания логарифмов допустимы.

Почему вариант A верный: он сохраняет область определения \(x>0\) и \(x\ne 1\), а после рационализации знак выражения определяется дробью \(\frac{(x+1)(2x-1)}{x}\). Остальные варианты либо меняют знак неравенства без основания, либо используют неверный знаменатель, либо расширяют область определения до недопустимой.

Типичные ошибки:

• забыть, что при основании \(\frac13\) знак логарифмического множителя меняется;
• сократить на \(x\) без анализа, если \(x=0\) может входить в область знака;
• потерять ограничение \(x>0\) из-за логарифма \(\log_3(x+1)\);
• перепутать эквивалентную замену \(\log_b(v)-1\) с \(\log_b(v-1)\), это разные операции.

В задачах ЕГЭ полезно всегда действовать по алгоритму: 1) выписать ОДЗ; 2) заменить каждый сложный множитель на эквивалентный по знаку; 3) упростить дробь; 4) проверить, не потеряны ли точки, где выражение не определено. Это делает решение надёжным и защищает от самых частых ошибок.

Рассмотрим выражение a^x − a^y. Чтобы понять его знак, удобно вынести меньшую или большую степень, но главное здесь — помнить о свойствах функции f(t) = a^t.

Если a > 1, то функция a^t возрастает. Значит, из x ≥ y следует a^x ≥ a^y, а значит, разность a^x − a^y ≥ 0. И наоборот, если разность неотрицательна, то a^x ≥ a^y, а из возрастания показательной функции немедленно получаем x ≥ y.

Если же 0 < a < 1, то функция a^t убывает. Тогда неравенство a^x ≥ a^y эквивалентно уже x ≤ y. Это типичная ловушка: многие автоматически пишут x ≥ y, забывая, что при основании меньше единицы знак при сравнении показателей меняется.

Почему другие варианты неверны: вариант A игнорирует случай 0 < a < 1; вариант C перепутал направление неравенства в обоих случаях; вариант D неверен, потому что при x = y разность равна нулю, а значит, условие x > y слишком сильное.

Ключевая стратегия на ЕГЭ: всегда сначала проверить, где находится основание a — больше ли оно 1 или лежит между 0 и 1. Именно от этого зависит монотонность функции и, следовательно, знак разности степеней. Если основание не равно 1 и положительно, то сравнение степеней всегда сводится к сравнению показателей, но направление неравенства зависит от монотонности.

Здесь проверяется не вычисление неравенства, а умение заменять сложные скобочные выражения на более простые по знаку. Это и есть рационализация: мы ищем такие выражения, которые в своей области определения имеют тот же знак, что и исходные множители.

Разберём каждый множитель отдельно.

1) Выражение \(4^{x-1}-1\).

Основание показательной функции \(4>1\), значит функция \(4^t\) возрастает. Поэтому знак разности \(4^{x-1}-1\) определяется сравнением показателя с нулём:

\[4^{x-1}-1>0 \iff x-1>0,\qquad 4^{x-1}-1<0 \iff x-1<0.\]

Следовательно, по знаку это выражение эквивалентно \(x-1\). Частая ошибка — пытаться заменить его на \(x\) или на \(x-1\) без понимания, почему именно так; здесь важно, что у показательной функции с основанием больше 1 знак разности совпадает со знаком показателя относительно точки, где значение равно 1.

2) Выражение \(\log_{\frac13}(x^2-4x+5)-2\).

Сначала заметим область определения: аргумент логарифма должен быть положительным. Здесь

\[x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0\]

для всех \(x\), значит логарифм определён при любом \(x\).

Теперь используем свойства логарифма. Так как основание \(\frac13\) лежит между 0 и 1, логарифмическая функция убывает. Число 2 можно представить как \(\log_{\frac13}\!\left(\left(\frac13\right)^2\right)=\log_{\frac13}\left(\frac19\right)\). Тогда

\[\log_{\frac13}(x^2-4x+5)-2=\log_{\frac13}(x^2-4x+5)-\log_{\frac13}\left(\frac19\right)=\log_{\frac13}\left(9(x^2-4x+5)\right).\]

Но для рационализации обычно удобнее не переписывать в одну логарифмическую форму, а заметить знак напрямую: поскольку основание меньше 1,

\[\log_{\frac13}(u)-2>0 \iff \log_{\frac13}(u)>2 \iff u<\frac19,\]

где \(u=x^2-4x+5\). Значит знак этого множителя определяется сравнением \(x^2-4x+5\) с \(\frac19\). Эквивалентная по знаку запись —

\[\frac19-(x^2-4x+5)\]

или, что то же самое, \[\frac{46}{9}-(x-2)^2.\] Именно такие формы удобны в неравенствах: они сохраняют знак и часто дают возможность разложить задачу на интервалы.

Очень важная ловушка: при основании меньше 1 знак меняется по сравнению с основанием больше 1. Нельзя писать \(\log_{1/3}(u)-2\sim u-1/9\); это неверно по знаку. Нужно брать выражение, у которого знак совпадает после учёта убывания логарифма, например \(\frac19-u\).

3) Выражение \(\sqrt{x^2-4x+5}-1\).

Для квадратного корня удобно использовать монотонность функции \(\sqrt{t}\) на \([0,+\infty)\). Поскольку \(x^2-4x+5>0\) всегда, знак разности \(\sqrt{u}-1\) определяется сравнением \(u\) и 1:

\[\sqrt{u}-1>0 \iff u>1,\qquad \sqrt{u}-1<0 \iff u<1.\]

Значит знак выражения совпадает со знаком \(u-1\), то есть с

\[x^2-4x+4=(x-2)^2.\]

Действительно,

\[\sqrt{x^2-4x+5}-1 \sim x^2-4x+4=(x-2)^2.\]

Здесь есть тонкость: при \(x=2\) получаем ноль. Это нормально, потому что знак сохраняется и в точке нуля.

Итак, правильные замены множителей по знаку:

\[4^{x-1}-1 \sim x-1,\qquad \log_{\frac13}(x^2-4x+5)-2 \sim \frac19-(x^2-4x+5),\qquad \sqrt{x^2-4x+5}-1 \sim x^2-4x+4.\]

Если в вариантах ответа именно такой набор замещающих выражений, то он и является верным.

Как быстро проверять себя на экзамене:

• для \(a^t-1\) при \(a>1\) смотрите на знак \(t\);
• для \(\log_a u-c\) сначала перепишите \(c\) как логарифм и учитывайте, возрастает или убывает функция;
• для \(\sqrt{u}-1\) сравнивайте \(u\) с 1, а не пытайтесь «раскрыть корень»;
• в рационализации важно не равенство выражений, а эквивалентность по знаку в области определения.

Здесь проверяется именно рационализация в неравенствах: нужно заменить сложные множители на эквивалентные им выражения в области определения, сохраняя знак каждого множителя.

Разберём по частям.

1. Множитель \(3^{x-1}-1\). Для любого основания \(a>0\), \(a\ne 1\) выполняется эквивалентность по знаку:

\(a^u-1\) имеет тот же знак, что и \(u\ln a\).

Здесь \(a=3\), \(u=x-1\). Так как \(\ln 3>0\), знак \(3^{x-1}-1\) совпадает со знаком \((x-1)\ln 3\), а значит — просто со знаком \(x-1\). В задачах ЕГЭ часто пишут замену без постоянного положительного множителя, потому что положительный коэффициент на знак не влияет. Поэтому допустимо заменить \(3^{x-1}-1\) на \(x-1\) при анализе знака.

2. Множитель \(\log_{1/3}(x+2)-1\). Здесь основание логарифма меньше 1, и это очень важная ловушка: функция \(\log_{1/3} t\) убывает, но при рационализации знак всё равно можно привести к линейному виду, если делать замену аккуратно.

Используем тождество:

\(\log_b v-1=\log_b\!\left(\dfrac{v}{b}\right)\).

При \(b=\tfrac13\) получаем

\(\log_{1/3}(x+2)-1=\log_{1/3}(3x+6)\).

Чтобы анализировать знак, удобно перейти к натуральному логарифму:

\(\log_{1/3}(3x+6)=\dfrac{\ln(3x+6)}{\ln(1/3)}\).

Поскольку \(\ln(1/3)<0\), знак этого выражения противоположен знаку \(\ln(3x+6)=\ln 3+\ln(x+2)\). Но для рационализации в вариантах ответа обычно используют эквивалентную по знаку замену через аргумент логарифма: после учёта отрицательности основания основным множителем становится \(x+2\) (с точностью до положительных/отрицательных постоянных, которые уже учтены в структуре замены). В данном наборе вариантов именно форма \(\ln(x+2)\) стоит в числителе или знаменателе, что показывает ошибку: логарифм нельзя просто заменить на аргумент без отслеживания основания и области определения.

3. Множитель \(\ln(x+1)-1\). Это классическая замена:

\(\ln(x+1)-1=\ln\left(\dfrac{x+1}{e}\right)\).

Для знакового анализа это эквивалентно сравнению \(x+1\) с \(e\), но в вариантах такого типа рационализация обычно ведёт к линейному множителю по переменной после замены «выражение минус единица» на «логарифм от дроби». В нашем задании правильный эквивалентный результат, предназначенный для дальнейшего исследования знака, записан в виде множителей \((x-1)\), \(\ln(x+2)\), \(\ln(x+1)\) и \((2^x-1)\), причём сохраняется исходная ориентация неравенства.

4. Что важно по области определения. Исходное выражение определено, если:

\(x+2>0\), \(x+1>0\), то есть \(x>-1\).

Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль:

\(2^x-1\ne 0 \Rightarrow x\ne 0\),

\(\ln(x+1)-1\ne 0 \Rightarrow x\ne e-1\).

При рационализации нельзя терять эти ограничения: замена должна быть эквивалентной на ОДЗ, а не просто «похожей по виду».

Почему верен вариант A. В нём исходная дробь заменена на выражение, где сложные множители сведены к более простым, а знак неравенства сохранён. Это и есть стандартная стратегия ЕГЭ: найти эквивалентные по знаку формы, затем исследовать знак произведения.

Почему неверны остальные варианты.

B — числитель и знаменатель фактически перепутаны местами, знак выражения меняется неэквивалентно.
C — знак неравенства изменён без причины; при рационализации знак сохраняется только если отдельно доказано умножение на отрицательное выражение, чего здесь нет.
D — это просто исходное выражение без рационализации; оно не упрощает анализ знака и не соответствует требованию задания.

Как проверять себя на экзамене. После любой замены задайте три вопроса: 1) выполнена ли замена только на ОДЗ; 2) не потерян ли знак постоянного коэффициента; 3) действительно ли новое выражение эквивалентно старому по знаку, а не только «похоже» на него. Именно на этих мелочах чаще всего теряются баллы.

Рассмотрим исходное неравенство

(x+1)^log₂(x+2) > (x+1)^log₂(x),

причём задано условие x>0. Это очень важный момент: при рационализации степенных неравенств сначала всегда проверяют область определения и свойства основания степени. Здесь основание x+1 положительно при x>0, и более того, x+1>1. Значит, функция a^t с основанием a=x+1 строго возрастает по показателю t.

Именно это позволяет заменить сравнение степеней сравнением показателей:

(x+1)^u > (x+1)^v ⇔ u > v, если x+1>1.

У нас

u = log₂(x+2), v = log₂(x),

поэтому неравенство эквивалентно

log₂(x+2) > log₂(x).

Так как логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, это равносильно

x+2 > x,

что верно при любых x. Но здесь важно не остановиться слишком рано: эквивалентное преобразование должно сохранять решение именно в заданной области x>0. В итоге исходное неравенство выполняется для всех x>0.

Однако в тесте требуется эквивалентное условие, то есть такое преобразование, которое логически равносильно исходному неравенству на области определения. Поэтому правильный ответ — не просто «истина», а именно неравенство log₂(x+2) > log₂(x).

Почему нельзя перепутать знак? Если бы основание было между 0 и 1, то функция a^t убывала бы по показателю, и знак неравенства пришлось бы поменять. Это одна из самых частых ошибок на ЕГЭ: ученик механически «снимает» степень, не проверив, больше ли основание 1 или лежит ли оно между 0 и 1.

Почему нельзя сразу писать x+2>x? Формально это верно, но как ответ на вопрос об эквивалентном условии в контексте рационализации обычно ожидается промежуточный шаг после снятия степеней: сначала сравнение показателей, затем — оснований логарифмов. Так вы показываете понимание структуры задачи.

Исходное неравенство имеет вид |A(x)| − |B(x)| ≤ 0. Это очень важный тип задач по рационализации: вместо того чтобы раскрывать модули по промежуткам, нужно заметить более короткий и строгий путь.

Перенесём второе слагаемое вправо:

|2x-3| ≤ |x+1|.

Далее используем фундаментальное свойство модуля: для любых действительных чисел a и b неравенство |a| ≤ |b| равносильно неравенству a² ≤ b². Это равносильное преобразование, потому что обе части неотрицательны, а функция возведения в квадрат монотонно возрастает на промежутке [0; +∞).

Поэтому получаем:

(2x-3)² ≤ (x+1)².

Раскроем скобки:

4x² - 12x + 9 ≤ x² + 2x + 1.

Переносим всё в одну сторону:

3x² - 14x + 8 ≤ 0.

Итак, искомое равносильное неравенство без модулей:

3x² - 14x + 8 ≤ 0.

Почему это важно на ЕГЭ: многие ученики пытаются раскрывать модули по случаям, хотя здесь это не нужно. Такой путь длиннее и чаще приводит к ошибкам в знаках и границах промежутков. Для неравенств вида |A| ≤ |B| почти всегда выгодно переходить к квадратам, если выражения неотрицательны после модуля.

Типичные ошибки:

1) писать |2x-3| - |x+1| ≤ 0 как 2x-3 - (x+1) ≤ 0 — это неверно, потому что модули нельзя просто убрать;

2) получить 3x² - 14x + 8 ≥ 0 вместо ≤ 0 — знак при переносе часто теряется;

3) забыть, что сначала нужно сравнение модулей переписать как |2x-3| ≤ |x+1|, а уже потом возводить в квадрат.

Самопроверка: можно взять, например, x=0. Тогда исходное неравенство даёт |-3| - |1| = 2 ≤ 0 — неверно. Проверим полученное алгебраическое: 3·0² - 14·0 + 8 = 8 ≤ 0 — тоже неверно. Это согласуется. Возьмём x=1: исходное |-1| - |2| = -1 ≤ 0 верно, а в алгебраической форме 3 - 14 + 8 = -3 ≤ 0 тоже верно. Значит, преобразование корректно.

Сначала важно помнить общий принцип: при работе с неравенствами, содержащими квадратные корни, нельзя механически «убирать корни» без анализа знаков и области определения. В профильном ЕГЭ это одна из самых частых ловушек. Здесь оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны, а сама разность корней сравнивается с нулём.

Рассмотрим исходное неравенство:

\(\sqrt{x^2-4x+5}-\sqrt{x^2-6x+10}\ge 0\)

Перенесём второй корень вправо:

\(\sqrt{x^2-4x+5}\ge \sqrt{x^2-6x+10}\).

Теперь возникает ключевой вопрос: можно ли сравнить подкоренные выражения напрямую? Да, потому что оба корня определены и, следовательно, неотрицательны. Для неотрицательных чисел функция \(\sqrt{t}\) возрастает, значит неравенство между корнями эквивалентно неравенству между подкоренными выражениями:

\(x^2-4x+5\ge x^2-6x+10\).

Это и есть искомая рационализация: мы получили неравенство без корней, эквивалентное исходному на области определения. Упростим его:

\(-4x+5\ge -6x+10\)

\(2x\ge 5\).

Но в задаче требуется именно записать эквивалентное неравенство без корней, а не обязательно решать его до конца. Поэтому правильная запись — \(x^2-4x+5\ge x^2-6x+10\), то есть вариант с тем же знаком между подкоренными выражениями.

Почему другие варианты неверны:

• Если поменять знак на противоположный, получится неравенство, неэквивалентное исходному.
• Если сразу перейти к линейному \(2x\ge 5\), это уже результат упрощения, но не всегда такой переход в подобных задачах считается ответом на вопрос о записи эквивалентного неравенства.
• Если попытаться возвести в квадрат без условия неотрицательности обеих сторон, легко получить лишние решения или потерять часть области определения.

Полезная стратегия на экзамене такая: 1) проверить ОДЗ; 2) убедиться, что сравниваются неотрицательные выражения; 3) заменить сравнение корней сравнением подкоренных выражений; 4) только потом при необходимости раскрыть скобки и упростить. Именно этот путь делает преобразование эквивалентным.

Ответ: \(x^2-4x+5\ge x^2-6x+10\).

Исходное неравенство имеет вид

|A(x)| - |B(x)| ≤ 0.

Это означает, что разность модулей не положительна, то есть

|A(x)| ≤ |B(x)|.

В нашем случае:

|x - 3| ≤ |2x + 1|.

Дальше важно помнить ключевое свойство: для неотрицательных чисел неравенство между модулями можно равносильно заменить сравнением квадратов:

|x - 3| ≤ |2x + 1| &Longleftrightarrow (x - 3)² ≤ (2x + 1)².

Почему это допустимо? Потому что обе части неотрицательны: модули всегда ≥ 0. Для неотрицательных чисел переход к квадратам сохраняет знак неравенства. Это один из самых удобных приёмов рационализации: мы избавляемся от модулей, не расписывая случаи по знакам выражений.

Теперь получаем:

(x - 3)² ≤ (2x + 1)².

Можно, конечно, раскрыть скобки и привести к квадратному неравенству, но для вопроса на эквивалентное преобразование достаточно именно этой записи. Она и есть алгебраический вид без модулей.

Почему остальные варианты были бы неверны?

1) Если поменять знак на ≥ или <, это уже будет другая задача: знак неравенства при переходе к квадратам не меняется сам по себе.

2) Если написать просто x - 3 ≤ 2x + 1, то это ошибка: так можно поступать только при гарантированно неотрицательных выражениях без модуля, а здесь знаки выражений заранее неизвестны.

3) Если раскрыть модули по одному случаю без анализа всей числовой прямой, легко потерять равносильность. В задачах ЕГЭ это частая ловушка: нельзя произвольно убирать модуль.

Как себя проверять на экзамене:

— сначала свести неравенство вида |A| - |B| ≤ 0 к |A| ≤ |B|;
— затем использовать квадрат как равносильный переход только для неотрицательных величин;
— в ответе должен остаться именно алгебраический вид без модулей и без лишних преобразований.