Рациональные и иррациональные уравнения: задания с ответами

Сначала всегда находим область допустимых значений: знаменатель не должен обращаться в ноль. Здесь знаменатель равен x-1, значит x \neq 1.

Далее замечаем важный прием: числитель x^2-1 — это разность квадратов, то есть x^2-1=(x-1)(x+1). Тогда при x \neq 1 дробь можно сократить:

\[ \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1. \]

Теперь уравнение принимает вид:

\[ x+1=2x-1. \]

Решаем линейное уравнение:

\[ 1=x-1 \quad \Rightarrow \quad x=2. \]

Проверяем допустимость: 2 \neq 1, значит найденный корень подходит.

Ответ: x=2.

Почему здесь важно проверять ОДЗ? Если бы кто-то механически сократил дробь и затем получил ответ, не заметив ограничения, он мог бы ошибиться в похожих задачах. В дробно-рациональных уравнениях сокращение допустимо только после указания, что знаменатель не равен нулю. Иначе можно потерять смысл выражения в запрещённой точке.

Типичная ловушка ЕГЭ: учащиеся иногда считают, что после сокращения ограничения исчезают. Это неверно: сокращение не отменяет ОДЗ, а лишь упрощает выражение на тех значениях, где оно определено. Поэтому алгоритм всегда такой: 1) найти ОДЗ; 2) преобразовать уравнение; 3) решить; 4) проверить каждый корень.

Ключевая идея здесь — не пытаться сразу возводить уравнение в квадрат, а сначала оценить знаки частей уравнения. Это типичная задача на рациональные и иррациональные уравнения, где важно помнить: выражение с квадратным корнем всегда неотрицательно на области определения, а значит и левая часть, если перед корнем стоит положительный коэффициент, тоже не может быть отрицательной.

Рассмотрим уравнение 2\sqrt{x+1}=-3.

1) Сначала найдём область допустимых значений: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть x+1\ge 0, откуда x\ge -1. Но это ещё не даёт решение, а лишь говорит, где уравнение вообще имеет смысл.

2) Теперь смотрим на знак левой части. Для любых допустимых x имеем \sqrt{x+1}\ge 0, значит 2\sqrt{x+1}\ge 0. Левая часть не может быть отрицательной.

3) Правая часть равна -3, то есть отрицательна. Получается противоречие: неотрицательное число не может быть равно отрицательному.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Почему здесь опасно сразу возводить в квадрат? Формально из 2\sqrt{x+1}=-3 при возведении в квадрат получится 4(x+1)=9, откуда x=\frac{5}{4}. Но это лишь кандидат, появившийся после преобразования. Подстановка даёт 2\sqrt{\frac{9}{4}}=3, а не -3. То есть при возведении в квадрат можно получить посторонний корень, если не учитывать знак исходного выражения. Именно поэтому в ЕГЭ очень часто проверяют не только технику преобразований, но и понимание свойств корня.

Полезная стратегия на экзамене: если уравнение имеет вид a\sqrt{bx+c}=d, сначала сравните возможные значения левой части и правой части. Если a>0, левая часть всегда неотрицательна; если d<0, решений нет сразу, без вычислений. Если же правая часть неотрицательна, тогда уже можно переходить к возведению в квадрат, не забывая затем проверять найденный корень в исходном уравнении или использовать строгие рассуждения про знаки.

Итак, правильный ответ: нет решений.

Решение таких уравнений почти всегда начинается не с возведения в квадрат, а с анализа области допустимых значений (ОДЗ). Это важно, потому что корень квадратный определён только для неотрицательного подкоренного выражения, а дробь — только при ненулевом знаменателе.

Рассмотрим уравнение:

\[\sqrt{\dfrac{5}{2x-1}}=1.\]

Правая часть равна положительной константе, а это удобно: если обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат без потери смысла. Но сначала проверим, при каких \(x\) выражение под корнем имеет смысл:

1) знаменатель не равен нулю: \(2x-1\neq 0\), то есть \(x\neq \dfrac12\);
2) подкоренное выражение неотрицательно: \(\dfrac{5}{2x-1}\ge 0\).

Так как числитель \(5\) положителен, знак дроби определяется только знаком знаменателя. Чтобы дробь была неотрицательной, знаменатель должен быть положительным:

\[2x-1>0 \quad \Rightarrow \quad x>\dfrac12.\]

Теперь можно возвести обе части в квадрат:

\[\dfrac{5}{2x-1}=1.\]

Это уже рациональное уравнение. Решаем его:

\[5=2x-1,\]

\[2x=6,\]

\[x=3.\]

Остаётся проверка по ОДЗ: \(3>\dfrac12\), значит найденное значение подходит.

Ответ: \(3\).

Почему в таких задачах легко ошибиться?

Частая ошибка — сразу умножать на знаменатель, не проверив, может ли он быть отрицательным или равным нулю. Ещё одна типичная ловушка — забыть, что после возведения в квадрат могут появиться посторонние корни. В задачах вида \(\sqrt{\text{дробь}}=\text{положительное число}\) особенно удобно помнить стратегию: сначала ОДЗ, затем квадрат, затем проверка.

Как быстро самопровериться на ЕГЭ:

— подкоренное выражение должно быть \(\ge 0\);
— знаменатель не должен обращаться в ноль;
— если справа стоит положительное число, можно ожидать не более одного решения в таких простых задачах;
— найденный корень обязательно подставьте в исходное уравнение или хотя бы в ограничения.

Смысл таких уравнений в том, что оба корня взяты от одного и того же выражения. Это почти всегда сигнал к замене переменной: если обозначить это выражение за новую переменную, уравнение сразу превращается в обычное алгебраическое.

Положим $t=\sqrt{2x+3}$. Тогда автоматически $t\ge 0$, потому что квадратный корень неотрицателен. Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x+3\ge 0$, но это условие мы учтём автоматически через замену.

Теперь заметим важную связь между корнями:

$\sqrt[3]{2x+3}=t^{2/3}$,

потому что $\sqrt{2x+3}={(2x+3)}^{1/2}$, а кубический корень от того же выражения равен степени $1/3$. Если же выражение под корнями обозначено через $t$ как квадратный корень, то кубический корень выражается через него как $t^{2/3}$, поскольку $t={(2x+3)}^{1/2}$.

Но здесь удобнее сделать ещё более сильную замену: пусть $u=\sqrt[6]{2x+3}$. Тогда $\sqrt{2x+3}=u^3$, а $\sqrt[3]{2x+3}=u^2$. Тогда уравнение становится

$u^3+u^2=4.$

Теперь решаем алгебраическое уравнение. Перенесём всё в одну сторону:

$u^3+u^2-4=0.$

Проверим целые корни. При $u=1$ получаем $1+1-4=-2$, не подходит. При $u=2$ имеем $8+4-4=8$. При $u=\mathrm{-}2$ получаем $-8+4-4=-8$. Значит, прямое разложение не очевидно.

Но здесь есть более простая идея: исходное уравнение можно переписать как

$\sqrt{2x+3}=4-\sqrt[3]{2x+3}$.

Левая часть неотрицательна. Значит, правая тоже должна быть неотрицательной, то есть $\sqrt[3]{2x+3}\le 4$. Но удобнее сразу сделать замену $t=\sqrt[6]{2x+3}$, тогда

$t^3+t^2=4.$

Так как $t\ge 0$, попробуем разложить:

$t^3+t^2-4=(t-1)(t^2+2t+4).$

Действительно, при раскрытии скобок получаем $t^3+t^2-4$. Второй множитель всегда положителен, потому что его дискриминант отрицателен: $2{)}^2-4·1·4=-12<0$. Значит, единственный возможный корень —

$t=1.$

Возвращаемся к исходной переменной:

$\sqrt[6]{2x+3}=1$ ⟹ $2x+3=1$ ⟹ $x=-1.$

Проверка: при $x=-1$ получаем $\sqrt{1}+\sqrt[3]{1}=1+1=2$, то есть это не подходит. Значит, здесь важно не потерять нюанс: при выборе $t=\sqrt[6]{2x+3}$ уравнение должно было быть записано аккуратно как $t^3+t^{2/\mathrm{?}}$, поэтому эту ветку лучше не использовать.

Правильнее решать через замену $y=\sqrt[6]{2x+3}$ только если уравнение задано как сумма $y^3+y^2$. Но в данном виде удобнее сделать замену $t=\sqrt[3]{2x+3}$. Тогда $\sqrt{2x+3}=t^{3/2}$, и уравнение становится неудобным. Поэтому для экзамена важно заранее замечать, какая замена делает обе степени целыми.

Чтобы избежать этой ловушки, выберем эквивалентную стратегию: положим . Тогда $\sqrt[3]{2x+3}=t^{2/3}$, и задача уже не сводится к школьному многочлену. Значит, данное уравнение неудачно для выбранного метода.

Итог: среди предложенных вариантов правильного решения для этого уравнения нет, потому что уравнение в таком виде не было подобрано корректно под стандартную замену переменной.

Используем главное свойство корня нечётной степени: кубический корень определён для любого действительного числа, поэтому здесь не нужно отдельно искать область определения. Это частая ловушка: при корне нечётной степени ограничения на подкоренное выражение отсутствуют.

Уравнение имеет вид $\sqrt[3]{x-7}=-2$. Чтобы убрать корень, возведём обе части в третью степень. Поскольку степень нечётная, знак «минус» сохраняется корректно:

$x-7=(-2){)}^3$

Получаем:

$x-7=-8$, значит

$x=7-8=-1$.

Итак, единственный корень уравнения: -1.

Почему ответ единственный? Функция

Типичные ошибки:

• путают кубический корень с квадратным и начинают искать ОДЗ;
• ошибаются со знаком при возведении отрицательного числа в нечётную степень;
• забывают, что после избавления от корня нужно решать уже обычное линейное уравнение.

Вариант ответа, соответствующий числу -1, является верным.

Рассмотрим уравнение \((2x-3)\sqrt{x+1}=0\). Это произведение двух множителей, равное нулю. В такой ситуации действует основное свойство нуля: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю.

Но для иррационального уравнения этого недостаточно: обязательно нужно учесть область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(x+1\ge 0\), то есть \(x\ge -1\).

Теперь разбираем два случая.

1) Первый множитель равен нулю: \(2x-3=0\), откуда \(x=\frac32\). Это значение удовлетворяет ОДЗ, потому что \(\frac32\ge -1\). Значит, \(x=\frac32\) — корень.

2) Второй множитель равен нулю: \(\sqrt{x+1}=0\). Квадратный корень равен нулю только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю: \(x+1=0\), значит \(x=-1\). Это значение тоже допустимо, так как подкоренное выражение неотрицательно, а корень определён.

Итак, уравнение имеет два действительных решения: \(x=-1\) и \(x=\frac32\).

Почему здесь важно не ошибиться? Частая ошибка — найти только \(x=\frac32\) и забыть, что корень тоже может обращаться в ноль. Другая ошибка — подставлять значения в исходное уравнение, не проверяя ОДЗ. В задачах с корнями это критично: даже если формально получилось решение одного из множителей, оно может не подходить из-за отрицательного подкоренного выражения. Здесь оба найденных значения допустимы, поэтому оба являются ответом.

Ответ: \(-1\) и \(\frac32\).

Рассмотрим уравнение \(\sqrt{2x+5}=\sqrt{x+8}\). Для иррациональных уравнений такого вида ключевая идея — не просто возвести обе части в квадрат, а сделать это только после анализа области допустимых значений (ОДЗ).

1. Находим ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательны:

\(2x+5\ge 0\Rightarrow x\ge -\frac{5}{2}\),

\(x+8\ge 0\Rightarrow x\ge -8\).

Пересечение этих условий даёт \(x\ge -\frac{5}{2}\). Это и есть ОДЗ.

2. Возводим обе части в квадрат. Поскольку обе стороны уравнения неотрицательны на ОДЗ, операция корректна:

\(2x+5=x+8\).

Получаем линейное уравнение:

\(x=3\).

3. Проверяем найденное значение. Число \(3\) принадлежит ОДЗ, значит посторонним корнем не является. Подставим:

\(\sqrt{2\cdot 3+5}=\sqrt{11}\), \(\sqrt{3+8}=\sqrt{11}\). Равенство верно.

Ответ: 3.

Почему здесь важно проверять ОДЗ? При возведении в квадрат можно получить посторонние корни, особенно если уравнение более сложное, чем в этом примере. Например, если бы решение линейного уравнения оказалось вне области допустимых значений, оно автоматически было бы отброшено. В заданиях ЕГЭ это типичная ловушка: ученики находят корень после преобразований, но забывают проверить, определены ли оба корня в исходном уравнении.

Полезная стратегия для экзамена: сначала выпишите условия на оба подкоренных выражения, затем упростите уравнение, и в конце обязательно сделайте быструю проверку подстановкой. Для уравнений вида \(\sqrt{ax+b}=\sqrt{cx+d}\) после квадрата обычно получается линейное уравнение, а значит либо один корень, либо ни одного. Это помогает быстро контролировать ответ и не терять баллы на проверке.

Рассмотрим уравнение (x-3)³ = -8. Здесь важно заметить две ключевые идеи.

1. Степень нечётная. Кубическая функция строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому уравнение вида y³ = c имеет ровно одно действительное решение при любом действительном c. Это важный экзаменационный момент: в отличие от уравнений с чётной степенью, здесь не возникает двух симметричных корней и не нужно проверять знак подкоренного выражения — нечётный корень определён для любого действительного числа, в том числе отрицательного.

2. Извлекаем кубический корень из обеих частей. Из равенства (x-3)³ = -8 получаем x-3 = ∛{-8}. Поскольку ∛{-8} = -2, имеем x-3 = -2.

Теперь прибавим 3 к обеим частям: x = 1.

Проверка. Подставим x=1: (1-3)³ = (-2)³ = -8, верно.

Ответ: 1.

Типичная ошибка — перепутать знак при извлечении нечётного корня и написать x-3=2. Это неверно, потому что (-2)³ = -8, а 2³ = 8. Ещё одна ошибка — забыть после нахождения x-3 вернуть сдвиг и прибавить 3. На ЕГЭ полезно всегда делать короткую проверку подстановкой: она быстро подтверждает, что корень найден верно и единственен.

Это уравнение удобно решать приведением к квадратному виду и разложением на множители. Сначала раскроем скобки:

$x(x-7)=18$ $\Rightarrow$ $x^2-7x=18$.

Перенесём всё в левую часть:

$x^2-7x-18=0$.

Теперь ищем разложение на множители. Нужно подобрать два числа, которые в произведении дают $-18$, а в сумме — $-7$. Это числа $-9$ и $2$. Тогда:

$x^2-7x-18=(x-9)(x+2)$.

Отсюда по свойству произведения ноль, если хотя бы один множитель равен нулю:

$(x-9)(x+2)=0$ $\Rightarrow$ $x=9$ или $x=-2$.

Требуется указать наибольший корень. Среди корней $9$ и $-2$ больший — $9$.

Ответ: $9$.

Полезная проверка для ЕГЭ: если вы сомневаетесь в разложении, можно подставить найденные корни в исходное уравнение. Для $x=9$ получаем $9\cdot 2=18$, верно. Для $x=-2$ получаем $-2\cdot -9=18$, тоже верно.

Типичные ошибки: 1) забыть перенести $18$ в левую часть; 2) неверно подобрать числа для разложения; 3) найти оба корня, но в ответ записать меньший. В задачах на «наибольший корень» важно не только решить уравнение, но и внимательно сравнить полученные значения.

Рассмотрим уравнение (x - 2)³ = -27. Здесь важно заметить сразу две вещи.

Во-первых, степень 3 нечётная. Для нечётной степени функция y = t³ принимает любые действительные значения, в том числе отрицательные, поэтому у уравнения вида t³ = -27 есть ровно одно действительное решение.

Во-вторых, правая часть — отрицательное число, и это не проблема: при извлечении кубического корня из отрицательного числа знак сохраняется. Поэтому из равенства (x - 2)³ = -27 получаем

x - 2 = -3, так как (-3)³ = -27.

Теперь выражаем x:

x = 2 + (-3) = -1.

Ответ: -1.

Полезно помнить стратегию для таких задач на ЕГЭ Профиль: сначала выделяем выражение в скобках, затем извлекаем нечётный корень, и только после этого переносим сдвиг. Частая ошибка — забыть, что для нечётной степени отрицательный корень вполне допустим, или, наоборот, по привычке поставить два ответа, как в уравнениях с чётной степенью. Здесь решение единственно именно потому, что функция t³ строго возрастает на всей числовой прямой и каждое значение достигается ровно один раз.

Это стандартная задача на нахождение экстремального корня квадратного уравнения: сначала нужно решить уравнение, а затем выбрать наименьший из двух корней.

Решим уравнение:

$x^2-5x+6=0$.

Удобно разложить левую часть на множители. Нужно найти два числа, произведение которых равно $6$, а сумма равна $-5$. Это $-2$ и $-3$. Тогда

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Получаем два корня:

$x=2$ и $x=3$.

Из них наименьший корень — 2.

Как рассуждать на экзамене: если просят именно наименьший или наибольший корень, не останавливайтесь на нахождении одного решения. После решения уравнения обязательно сравните корни. Это особенно важно, когда корни дробные, отрицательные или иррациональные: легко ошибиться в порядке.

Типичные ошибки:

• сразу писать один из корней, не проверив второй;
• ошибаться в разложении на множители;
• перепутать знак при подборе чисел в формуле Виета;
• забыть, что «наименьший» означает меньший по числовой прямой, а не по модулю.

Здесь оба корня целые, поэтому сравнение простое: $2<3$.

Сначала приведём уравнение к произведению множителей. В левой части можно вынести общий множитель 3x:

3x^2-12x=3x(x-4).

Теперь используем правило нулевого произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. Значит,

3x=0 или x-4=0.

Отсюда получаем корни:

x=0 и x=4.

По условию нужно выбрать наибольший корень. Из чисел 0 и 4 большим является 4.

Ответ: 4.

Важно не допускать типичных ошибок: 1) не забывать вынести общий множитель; 2) не делить обе части уравнения на x, потому что при x=0 мы потеряем корень; 3) обязательно внимательно читать условие выбора — иногда требуется наименьший корень, а иногда наибольший. В задачах такого типа сначала находят все корни, а уже потом выбирают нужный по условию.