Квадратичные и рациональные прикладные задачи: задания с ответами

Сначала аккуратно выпишем эталонное значение. По условию

f_{\text{ref}}=f(0)=\dfrac{48}{0+6}=8.

Далее переводим текст задачи в неравенство: нужно, чтобы текущее значение не превышало \dfrac{3}{5} от эталонного. Значит

\dfrac{48}{x+6}\le \dfrac{3}{5}\cdot 8.

Правая часть упрощается:

\dfrac{3}{5}\cdot 8=\dfrac{24}{5}.

Получаем рациональное неравенство

\dfrac{48}{x+6}\le \dfrac{24}{5}.

Так как по условию x>0, то x+6>0, и можно безопасно умножить обе части на положительное число 5(x+6), не меняя знак неравенства:

240\le 24(x+6).

Делим на 24:

10\le x+6, откуда x\ge 4.

Нужно найти наименьшее допустимое значение x, значит ответом будет 4.

Важно помнить типичную ловушку: в задачах на сравнение дробей нельзя просто «переносить» знаменатели или сокращать без анализа знака. Здесь всё просто, потому что x>0, а значит знаменатель x+6 гарантированно положителен. Ещё одна частая ошибка — забыть, что требуется не любое решение, а именно минимальное. Поэтому после нахождения области x\ge 4 нужно выбрать левую границу: 4.

Проверка: при x=4 имеем f(4)=\dfrac{48}{10}=4{,}8, а \dfrac{3}{5}f_{\text{ref}}=\dfrac{3}{5}\cdot 8=4{,}8. Равенство выполняется, значит ответ найден верно.

Сначала важно понять, что именно сравнивается. В таких прикладных задачах нельзя сразу подставлять числа в исходную формулу «в лоб»: нужно перевести условие «не превышает 40% от эталонного значения» в неравенство для отношения текущей величины к эталонной.

Эталонное значение получается при k=0:

$v(0)=\dfrac{12}{0+6}=2$.

Теперь условие задачи:

$v(k)\le 40\%\cdot v(0)$.

Так как $40\%=0{,}4=\dfrac25$, получаем

$\dfrac{12}{k+6}\le \dfrac25\cdot 2=\dfrac45$.

Дальше решаем рациональное неравенство. Поскольку k — положительный параметр, то k+6>0, значит можно умножить обе части на $k+6$ без изменения знака неравенства:

$12\le \dfrac45(k+6)$.

Умножим на 5:

$60\le 4k+24$.

Переносим 24 влево:

$36\le 4k$.

Делим на 4:

$9\le k$.

Значит, наименьшее целое положительное значение параметра:

$k=9$.

Ответ: 9.

На ЕГЭ здесь есть несколько типичных ловушек:

• сначала находят $v(0)$, но забывают, что сравнение идёт именно с долей от эталона, а не с самим эталоном;
• ошибаются в переводе процентов: $40\%$ — это $0{,}4$, а не $4$;
• при решении неравенства с дробью преждевременно «сокращают» или неверно переносят знаменатель. Безопасный путь — помнить, что при положительном знаменателе знак неравенства не меняется;
• не учитывают, что требуется минимальное целое положительное значение. После получения $k\ge 9$ нужно взять именно 9, а не округлять иначе.

Полезная стратегия для подобных задач: 1) найти эталонное значение; 2) записать долю от него; 3) составить неравенство; 4) решить его с учётом области допустимых значений. Это почти всегда приводит к быстрому и надёжному решению.

Нужно найти максимальное допустимое время, при котором величина ещё не превышает заданный порог. Это означает, что мы решаем не просто уравнение, а фактически неравенство:

F(t) \le 180.

По условию F(t)=8t+t^2, значит

t^2+8t \le 180.

Переносим всё в левую часть:

t^2+8t-180 \le 0.

Теперь найдём корни квадратного уравнения t^2+8t-180=0. Разложим на множители:

t^2+8t-180=(t-10)(t+18).

Тогда корни: t=10 и t=-18.

Поскольку время в прикладной задаче должно быть неотрицательным, отрицательный корень не подходит физически. Остаётся интервал, на котором неравенство выполняется:

-18 \le t \le 10.

С учётом условия t \ge 0 получаем:

0 \le t \le 10.

Значит, максимальное допустимое время равно 10 секунд.

Почему важно именно так решать: в задачах на «не превысит», «не позже», «не больше» нужен не один корень, а граница допустимого промежутка. Частая ошибка — сразу записать только равенство и забыть проверить, что требуется именно максимум времени до порога. Ещё одна типичная ошибка — выбрать отрицательный корень, хотя он не имеет физического смысла.

Самопроверка: подставим t=10: F(10)=8\cdot10+10^2=80+100=180. Порог достигнут ровно, значит ответ верный.

Это задача на достижение порогового значения по закону, который зависит от времени линейно и квадратично. В таких задачах важно не «угадывать» ответ, а перевести условие на язык уравнения.

1. Записываем условие достижения порога.
По условию нужно найти момент, когда величина S(t) впервые станет равна 75. Значит, составляем уравнение:

3t + 2t² = 75.

Очень частая ошибка здесь — написать неравенство или попытаться сразу «прикинуть» время. Но если требуется момент достижения значения, нужно именно уравнение.

2. Приводим уравнение к стандартному виду.
Переносим 75 в левую часть:

2t² + 3t - 75 = 0.

Теперь это квадратное уравнение. Для ЕГЭ важно видеть, что именно квадратичное слагаемое делает задачу прикладной и отличает её от линейной.

3. Находим корни.
Разложим на множители. Нужно подобрать числа, произведение которых равно 2 · (−75) = −150, а сумма равна 3. Подходят 15 и −10:

2t² + 15t - 10t - 75 = 0,

t(2t + 15) - 5(2t + 15) = 0,

(2t + 15)(t - 5) = 0.

Отсюда:

2t + 15 = 0 или t - 5 = 0.

Получаем корни t = -7,5 и t = 5.

4. Выбираем физически осмысленный корень.
Время не может быть отрицательным, поэтому корень -7,5 не подходит. Остаётся t = 5.

Ответ: 5.

Почему это важно понимать глубже?
В прикладных задачах на движение или накопление величины одна и та же формула может давать два математических решения, но физический смысл имеет только одно. Поэтому после решения квадратного уравнения всегда проверяйте: соответствует ли корень ограничениям задачи. Если речь идёт о времени, то обязательно требуется t ≥ 0. Кроме того, если процесс описан формулой, которая сначала возрастает медленно, а потом быстрее, то порог может достигаться лишь один раз в неотрицательной области, но алгебраически корней всё равно может быть два.

Сначала нужно правильно понять, что именно в задаче требуется найти. Так как сосуд имеет постоянное сечение, объём жидкости пропорционален её высоте. Значит, если высота стала равной 80% от начальной, то и объём стал 80% от начального. Поэтому достаточно работать с высотой H(t).

Начальная высота находится при t=0:

H(0)=20.

Ищем момент, когда высота равна 80% от 20:

0{,}8\cdot 20=16.

Теперь подставляем это значение в формулу:

20-4t+t^2=16.

Переносим всё в одну сторону:

t^2-4t+4=0.

Получили квадратное уравнение, которое удобно распознавать как полный квадрат:

(t-2)^2=0.

Отсюда t=2.

Почему здесь только один ответ? В таких прикладных задачах важен не только алгебраический корень, но и физический смысл. Время после начала процесса не может быть отрицательным, а здесь уравнение даёт единственный корень, причём он подходит по смыслу.

Ответ: 2 минуты.

Как не ошибиться на ЕГЭ: 1) не путать долю высоты с долей объёма, если сосуд постоянного сечения; 2) не забывать сначала найти начальное значение при t=0; 3) после решения квадратного уравнения проверять, подходит ли корень физически. В более сложных задачах у уравнения может быть два корня, и тогда нужно оставлять только тот, который соответствует времени в рамках процесса.

Нужно найти наименьшее значение диаметра D, при котором давление не превышает допустимое. Это типичная прикладная задача на неравенство с рациональной зависимостью: величина в знаменателе растёт, а давление уменьшается.

Запишем условие безопасности:

1800 / D² ≤ 50.

Здесь важно сразу помнить два момента:

1. D — геометрический размер, значит D > 0. Это принципиально: когда потом берут корень, нужен только положительный ответ.
2. Так как D² при положительном D тоже положительно, можно корректно умножать неравенство на D² без смены знака.

Умножим обе части на D²:

1800 ≤ 50D².

Теперь разделим на 50:

D² ≥ 36.

Из неравенства на квадрат получаем:

D ≥ 6 или D ≤ -6.

Но по смыслу задачи D > 0, значит подходит только

D ≥ 6.

Следовательно, наименьший допустимый диаметр равен 6 мм.

Ответ: 6.

Типичные ошибки: 1) забывают про условие D > 0 и выбирают отрицательный корень; 2) делят сразу на D², не уточняя, что оно положительно; 3) вместо наименьшего допустимого значения записывают любое из подходящих. В таких задачах всегда надо перевести физический смысл в математическое неравенство, решить его и затем отфильтровать корни по смыслу величины.

Сначала важно понять смысл условия. По формуле давление p обратно пропорционально ширине s: чем больше s, тем меньше давление. Значит, если требуется, чтобы давление не превышало заданный предел, нужно подобрать минимально допустимое значение s, при котором неравенство выполнено.

Запишем условие безопасности:

\dfrac{m g}{k l s} \le p_{\max}.

Подставим числа:

\dfrac{72 \cdot 10}{3 \cdot 0{,}8 \cdot s} \le 500.

Теперь аккуратно преобразуем неравенство. Так как все величины положительны, при умножении на s и на положительные числа знак неравенства не меняется. Это очень важный момент: в подобных задачах ошибка со знаком обычно возникает, если забыть, что делим/умножаем на положительное число.

\dfrac{720}{2{,}4\,s} \le 500, то есть \dfrac{300}{s} \le 500.

Дальше можно решить двумя способами:

1) 300 \le 500s, откуда s \ge 0{,}6;

2) сразу заметить, что при большем s давление меньше, значит минимальное допустимое значение — это граница, на которой p = p_{\max}.

Получаем:

s_{\min} = \dfrac{300}{500} = 0{,}6 м.

Ответ: 0{,}6.

Полезная проверка для ЕГЭ: если увеличить s, давление действительно уменьшится, значит найденное значение должно быть именно нижней границей. Если бы в ответе получилось отрицательное число или ноль, это сразу бы означало ошибку, потому что ширина физически положительна.

Используем закон Ома для участка цепи:

I = U / R, где I — сила тока, U — напряжение, R — сопротивление.

По условию задачи сила тока не должна превышать 5 А, то есть нужно записать неравенство:

U / R ≤ 5.

Подставим U = 220:

220 / R ≤ 5.

Теперь решаем неравенство относительно R. Поскольку сопротивление в реальной задаче положительно, можно умножить обе части на R и затем разделить на 5, не забывая, что знак неравенства не меняется, так как все величины положительны:

220 ≤ 5R, откуда R ≥ 44.

Это означает, что минимально допустимое сопротивление равно 44.

Ответ: 44.

Важно понимать смысл результата: если сопротивление меньше 44 Ом, ток станет больше 5 А, и условие безопасности нарушится. Поэтому в задачах на «минимально допустимое значение» ответом всегда является граница, при которой условие выполняется ровно на пределе.

Типичные ошибки:

• путают, что именно требуется найти: не максимальный ток, а минимальное сопротивление;
• неверно преобразуют дробное неравенство и забывают, что сопротивление должно быть положительным;
• отвечают 5 или 220, подставляя не ту величину;
• не замечают слово «не превышает», а это всегда знак ≤, а не = или >.

Для самопроверки можно сделать обратную проверку: при R = 44 получаем I = 220 / 44 = 5 А — ровно допустимый предел. Значит, ответ найден верно.

Используем стандартную модель прибыли для производственных задач:

прибыль = количество × (цена − переменные затраты) − постоянные расходы.

Здесь важно не перепутать три разных величины:

• цена — это выручка с одного изделия;
• переменные затраты — расходы, которые растут вместе с количеством изделий;
• постоянные расходы — это фиксированная сумма, которую нужно вычесть независимо от объёма выпуска.

Обозначим число изделий через x. Тогда прибыль равна

P = x(950 - 620) - 33 000.

Сначала найдём прибыль с одного изделия:

950 - 620 = 330 рублей.

Это ключевой шаг: если его сделать неверно, всё решение «уедет». Иногда ученики по ошибке вычитают постоянные расходы из цены, но это неправильно, потому что постоянные расходы не относятся к одной единице продукции.

Теперь составим уравнение по условию: прибыль должна быть 33 000 рублей.

330x - 33 000 = 33 000.

Переносим постоянные расходы вправо:

330x = 66 000.

Делим обе части на 330:

x = 200.

Ответ: нужно выпустить 200 изделий.

Почему это логично? Прибыль с одного изделия составляет 330 рублей, значит, чтобы получить 33 000 рублей прибыли и ещё покрыть 33 000 рублей постоянных расходов, нужно заработать суммарно 66 000 рублей на марже. Тогда 66 000 / 330 = 200.

Типичные ошибки на ЕГЭ:

• забывают вычесть постоянные расходы;
• считают прибыль с единицы как 950 + 620 вместо 950 − 620;
• приравнивают 330x сразу к 33 000, забывая, что в прибыли уже сидит вычитание постоянных расходов;
• ошибаются при делении и получают нецелый объём, хотя в таких задачах обычно должен получаться разумный целый ответ.

Проверка подстановкой помогает избежать потери баллов: при x = 200 прибыль равна 200·330 − 33 000 = 66 000 − 33 000 = 33 000, что совпадает с условием.

В таких задачах главное — не пытаться сравнивать сами дроби «на глаз», а сначала перейти к отношению текущего значения к эталонному. Это стандартный приём для прикладных рациональных задач ЕГЭ: если величина задана формулой вида $\frac{k}{t+a}$, а эталон берётся при \(t=0\), то общий множитель обычно сокращается, и остаётся простое неравенство.

Сначала найдём эталонное значение:

$C\left(0\right)=\frac{48}{0+6}=\frac{48}{6}=8.$

По условию нужно, чтобы концентрация была не больше \(40%\) от эталонной, то есть

$C\left(t\right)\le 0.4\cdot C\left(0\right).$

Подставим формулы:

$\frac{48}{t+6}\le 0.4\cdot 8=3.2.$

Теперь решим неравенство. Так как \(t\) — время, то \(t\ge 0\), и значит \(t+6>0\). Это важно: при умножении на положительное выражение знак неравенства не меняется. Получаем:

\(48\le 3.2(t+6).\)

Раскроем скобки:

\(48\le 3.2t+19.2.\)

\(28.8\le 3.2t.\)

\(t\ge 9.\)

Но обратите внимание: здесь легко ошибиться из-за десятичных дробей. Удобнее было бы умножить всё на 10 или работать с обыкновенными дробями. Например, \(40%\) = $\frac{2}{5}$, и тогда

$\frac{48}{t+6}\le \frac{2}{5}\cdot 8=\frac{16}{5}.$

Дальше:

$48\backslash le\frac{16}{5}(t+6),$

\(240\le 16(t+6),\)

\(240\le 16t+96,\)

\(144\le 16t,\)

\(t\ge 9.\)

Так как требуется наименьшее значение времени, при котором условие выполняется, ответ равен \(9\).

Ответ: \(9\).

Что важно запомнить для ЕГЭ:

• сначала находите эталонное значение при нулевом параметре;
• переводите «не больше 40% от эталона» в неравенство;
• если в знаменателе стоит \(t+a\) и известно, что \(t\) неотрицателен, то знаменатель положителен — знак неравенства при умножении не меняется;
• после решения неравенства не забудьте взять именно минимальное целое/допустимое значение, если ответ предполагает число в натуральном смысле модели.

Нужно найти момент, когда резервуар опустеет, то есть когда объём воды станет равен нулю. В прикладных задачах такого типа всегда важно сначала перевести сюжет на язык уравнения: если Q(t) — объём воды, то окончание процесса соответствует условию Q(t)=0.

Составим уравнение:

0{,}5t^2-5t+12=0.

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части на 2:

t^2-10t+24=0.

Решим квадратное уравнение разложением на множители:

t^2-10t+24=(t-4)(t-6).

Тогда корни уравнения: t=4 и t=6.

На этом этапе часто делают типичную ошибку: выбирают любой корень, не проверяя физический смысл. В задачах на время оба корня должны быть неотрицательными, но в сюжете обычно спрашивается именно момент полного опустошения. Если модель описывает убывание объёма, то сначала объём может стать нулём в более ранний момент, а второй корень обычно означает возвращение функции к нулю после прохождения минимума, что не соответствует реальному процессу, если после опустошения резервуар уже не может снова “наполниться” по той же формуле.

Здесь нужно внимательно посмотреть на смысл модели. Парабола 0{,}5t^2-5t+12 сначала убывает, затем возрастает, а физически объём воды не может стать отрицательным. Значит, для реального процесса нас интересует первый момент, когда вода закончилась, то есть меньший положительный корень: t=4.

Ответ: 4 минуты.

Полезная стратегия для ЕГЭ:
1) записать условие окончания процесса как Q(t)=0;
2) решить квадратное уравнение;
3) проверить, какой корень имеет физический смысл;
4) помнить, что в прикладных задачах отрицательные корни сразу отбрасываются, а иногда и больший положительный корень не подходит по смыслу момента окончания процесса.

Сначала аккуратно переведём условие на язык неравенства. По условию эталонное значение равно

f_{\text{ref}}=\dfrac{60}{6}=10.

Тогда требование f(x)\le 0{,}4\,f_{\text{ref}} означает

\dfrac{60}{x+6}\le 0{,}4\cdot 10=4.

Теперь решаем рациональное неравенство. Так как x>0, то знаменатель x+6 положителен, а значит можно умножить обе части на x+6 без изменения знака неравенства:

60\le 4(x+6).

Раскрываем скобки:

60\le 4x+24,

36\le 4x,

x\ge 9.

Итак, все подходящие значения — это x\ge 9, а наименьшее целое из них равно 9.

Почему здесь легко ошибиться: часто забывают сначала найти эталонное значение f_{\text{ref}} и подставляют в неравенство неверную величину. Ещё одна типичная ошибка — при умножении на выражение с переменной не проверяют знак знаменателя. В этой задаче это безопасно, потому что x>0, значит x+6>0.

Ответ: 9.