Пирамиды: площадь поверхности и объём: задания с ответами

Обозначим апофему пирамиды через l. Для правильной пирамиды с квадратным основанием полная площадь поверхности состоит из площади основания и площади четырёх одинаковых боковых граней.

1) Площадь основания. Основание — квадрат со стороной 8, значит

S_осн = 8² = 64.

2) Площадь боковой поверхности. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием 8 и высотой, равной апофеме l. Поэтому площадь одной грани:

S₁ = 1/2 · 8 · l = 4l.

Так как граней 4, то вся боковая поверхность равна

S_бок = 4 · 4l = 16l.

3) Составляем уравнение для полной площади.

S_полн = S_осн + S_бок,

то есть

224 = 64 + 16l.

Тогда

16l = 160,

l = 10.

Ответ: 10.

Почему здесь часто ошибаются? Самая типичная ошибка — сразу умножать 8 на 4 и считать это площадью боковой поверхности. Но 8 — это длина стороны основания, а не площадь. Другая частая путаница — принять апофему за высоту пирамиды. В правильной пирамиде апофема — это высота боковой грани, а не высота всей пирамиды. В задачах ЕГЭ важно всегда мысленно раскладывать полную площадь на две части: основание и боковую поверхность. Если основание квадратное, удобнее помнить формулу

S_полн = a² + 2al,

где a — сторона основания, l — апофема. Она получается из суммы площади основания a² и четырёх треугольников по 1/2·a·l каждый: 4·(1/2·a·l)=2al. Подстановка чисел сразу даёт то же уравнение:

224 = 8² + 2·8·l = 64 + 16l.

Такой способ полезен на экзамене: он быстрее и уменьшает риск арифметической ошибки.

Используем базовую формулу объёма пирамиды:

V = \frac{1}{3} S_{осн} h,

где S_осн — площадь основания, а h — высота пирамиды. Здесь важно не перепутать высоту пирамиды с высотой боковой грани: в объёме участвует именно перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.

Основание — равносторонний треугольник со стороной 6. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле:

S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}.

Подставим a = 6:

S = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}.

Теперь подставляем площадь основания и высоту h = 4\sqrt{3} в формулу объёма:

V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}.

Перемножим аккуратно: \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, значит

V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{108}{3} = 36.

Ответ: 36.

Полезная проверка для ЕГЭ: если в ответе получилось число без корня, это не повод сомневаться — часто корни из площади и высоты взаимно уничтожаются. Но обязательно проверьте два типичных места ошибок: (1) не забыли ли множитель 1/3; (2) правильно ли нашли площадь именно равностороннего треугольника. Если вместо \frac{a^2\sqrt{3}}{4} использовать формулу площади произвольного треугольника без нужных данных, задача станет некорректной. В задачах на пирамиды удобная стратегия такая: сначала формула объёма, затем площадь основания, и только потом упрощение. Это снижает риск потерять коэффициент или ошибиться в корнях.

Для нахождения объёма пирамиды в таких задачах всегда используется одна и та же основная формула:

V = (1/3) · S_осн · h,

где S_осн — площадь основания, а h — высота пирамиды. Важно не путать высоту пирамиды с боковым ребром или апофемой: в формуле объёма нужна именно перпендикулярная высота, опущенная к плоскости основания.

Здесь основание — правильный шестиугольник со стороной 4. Площадь правильного шестиугольника удобно находить как сумму площадей 6 равносторонних треугольников со стороной 4:

S_осн = 6 · (a²√3 / 4) = 6 · (16√3 / 4) = 24√3.

Теперь подставляем это значение в формулу объёма:

V = (1/3) · 24√3 · 9 = 8√3 · 9 = 72√3.

Ответ: 72√3.

Полезная проверка для ЕГЭ: если основание выражено через корень, а высота — целое число, то объём часто тоже получается с тем же корнем. Ещё одна типичная ошибка — забыть множитель 1/3; если его пропустить, ответ получится в три раза больше правильного. Вторая частая ошибка — взять площадь не всего основания, а только одного треугольника, что даёт заниженный результат в 6 раз. Поэтому при самопроверке всегда делайте три шага: 1) распознайте тип основания; 2) аккуратно найдите его площадь; 3) только потом умножайте на высоту и делите на 3.

Сначала нужно вспомнить ключевую формулу объёма пирамиды:

V = 1/3 · S_осн · h,

где S_осн — площадь основания, а h — высота пирамиды. Очень частая ошибка на ЕГЭ — подставить в формулу не площадь основания, а какую-то длину из основания, или забыть множитель 1/3. Поэтому алгоритм всегда один и тот же: сначала найти площадь основания, потом умножить её на высоту, и только затем поделить на 3.

В задаче основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Его площадь находится по формуле:

S = 1/2 · a · b.

Значит,

S_осн = 1/2 · 6 · 8 = 24 см².

Теперь подставляем это значение в формулу объёма пирамиды:

V = 1/3 · 24 · 9.

Сначала удобно сократить: 24 / 3 = 8, тогда

V = 8 · 9 = 72 см³.

Ответ: 72.

Почему именно так, а не иначе? Объём пирамиды всегда в три раза меньше объёма призмы с тем же основанием и той же высотой. Это геометрический факт, и именно из него появляется множитель 1/3. Если ученик получил 216, то он, скорее всего, умножил площадь основания на высоту, но забыл деление на 3. Если получил 36, значит, ошибся в площади прямоугольного треугольника или перепутал катеты с гипотенузой.

Полезная самопроверка на экзамене: единицы измерения должны быть кубическими. Если в ответе стоит см², значит, объём найден неверно или не дописаны единицы. Для объёма всегда должен быть ответ в кубических единицах.

Используем основную формулу объёма пирамиды:

V = 1/3 · S · h,

где S — площадь основания, h — высота пирамиды. В таких задачах очень важно не перепутать высоту пирамиды с боковым ребром или апофемой: по формуле объёма нужна именно перпендикулярная высота к плоскости основания.

1) Сначала найдём площадь основания. Основание — прямоугольник со сторонами 6 и 8, значит

S = 6 · 8 = 48.

2) Подставим известные значения в формулу объёма:

96 = 1/3 · 48 · h.

3) Упростим выражение:

1/3 · 48 = 16,

поэтому

96 = 16h.

4) Тогда

h = 96 / 16 = 6.

Итак, высота пирамиды равна 6.

Почему это типичная ловушка на ЕГЭ? Многие ученики забывают коэффициент 1/3 и пишут V = S·h. Тогда получилось бы неверное значение. Другая распространённая ошибка — неправильно вычислить площадь основания или подставить вместо высоты боковую высоту. Самопроверка здесь простая: после нахождения высоты можно снова подставить её в формулу и убедиться, что объём действительно получается 96.

Используем основную формулу объёма пирамиды:

V = (1/3)·S_осн·h,

где V — объём, S_осн — площадь основания, h — высота пирамиды.

Здесь даны: V = 96 см³, S_осн = 24 см². Подставим значения в формулу:

96 = (1/3)·24·h.

Сначала упростим правую часть: (1/3)·24 = 8. Тогда получаем

96 = 8h.

Теперь выразим высоту:

h = 96 / 8 = 12.

Ответ: 12 см.

Почему именно так? В задачах на пирамиду часто путают площадь основания и площадь поверхности. Для формулы объёма нужна только площадь основания, а не вся поверхность. Ещё одна типичная ошибка — забыть коэффициент 1/3. Если его пропустить, высота получится в три раза меньше/больше нужной, и ответ будет неверным.

Как быстро проверять себя на экзамене: если объём и площадь основания даны, высота находится по формуле h = 3V / S_осн. Подставляем: h = 3·96 / 24 = 288 / 24 = 12. Получили тот же ответ, значит вычисления верны.

Для правильной пирамиды важно не путать апофему с высотой пирамиды. Апофема — это высота боковой грани, то есть отрезок, проведённый в боковой равнобедренной треугольной грани из вершины пирамиды к середине стороны основания этой грани. Именно она входит в формулу площади боковой поверхности:

S_бок = \frac{1}{2}Pl,

где P — периметр основания, а l — апофема пирамиды.

Сначала найдём площадь основания. Основание — равносторонний треугольник со стороной 6, значит

S_осн = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}.

Теперь используем то, что полная поверхность равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

S_полн = S_осн + S_бок.

По условию S_полн = 54 + 9\sqrt{3}, значит

S_бок = (54 + 9\sqrt{3}) - 9\sqrt{3} = 54.

Теперь найдём периметр основания:

P = 3 \cdot 6 = 18.

Подставляем в формулу боковой поверхности:

54 = \frac{1}{2}\cdot 18 \cdot l.

Отсюда

54 = 9l, значит l = 6.

Ответ: 6.

Как проверять себя на ЕГЭ: если в задаче дана полная поверхность, почти всегда нужно сначала выделить площадь основания, потом найти боковую поверхность и только после этого применять формулу S_бок = \frac{Pl}{2}. Типичная ошибка — подставить в эту формулу полную площадь вместо боковой или забыть, что у правильной пирамиды все боковые грани равны, поэтому боковая поверхность выражается через периметр основания, а не через площадь одной грани.

Ловушки: 1) перепутать апофему с высотой пирамиды; 2) забыть вычесть площадь основания; 3) ошибиться в площади равностороннего треугольника; 4) не проверить, что ответ получается положительным и разумным.

Используем основную формулу объёма пирамиды:

V = \frac{1}{3}Sh,

где V — объём, S — площадь основания, h — высота пирамиды. Это ключевая формула для всех задач на связь объёма и площади основания. Ошибка многих учеников — забыть множитель \frac{1}{3} и начать считать так, будто объём равен произведению площади основания на высоту, как у призмы.

Нам дано: V = 96 см³, h = 12 см. Выразим площадь основания:

S = \frac{3V}{h}.

Подставим числа:

S = \frac{3 \cdot 96}{12} = \frac{288}{12} = 24 см².

Итак, площадь основания равна 24 см².

Почему это правильно: высота в формуле пирамиды берётся именно перпендикулярно основанию, а сама формула уже учитывает геометрию пирамиды через коэффициент \frac{1}{3}. Поэтому, если известны только объём и высота, площадь основания находится однозначно и без дополнительных данных о форме основания.

Как проверять себя на ЕГЭ: если после вычислений получилось слишком маленькое или слишком большое число, сравните его с формулой V=\frac{1}{3}Sh. Например, если забыть деление на 3, получится 8 вместо 24 — это типичный неверный ответ-ловушка. Ещё одна частая ошибка — перепутать V и S местами при выражении формулы. Полезно сначала записать формулу символически, а уже потом подставлять числа: так вероятность ошибки заметно ниже.

Полная площадь поверхности пирамиды состоит из двух частей: площади основания и площади боковой поверхности. Это не формула объёма и не площадь одной грани, а именно сумма всех внешних частей поверхности.

Обозначим:

• S_осн — площадь основания;
• S_бок — площадь боковой поверхности;
• S_полн — полная площадь поверхности.

Тогда по определению

S_полн = S_осн + S_бок.

Подставим числа из условия:

S_полн = 18 + 47 = 65.

Ответ: 65.

Почему это важно на ЕГЭ: в задачах на пирамиду часто специально дают площадь основания и боковую поверхность отдельно, чтобы проверить, умеете ли вы отличать полную поверхность от боковой. Ошибка в таких задачах обычно одна из двух: либо забывают прибавить основание, либо по невнимательности начинают искать объём. Здесь же всё решается одним арифметическим действием, поэтому полезно сначала мысленно разложить поверхность пирамиды на части.

Проверка здравым смыслом: полная площадь должна быть больше каждой из данных частей, но меньше их суммы быть не может. Получив 65, мы видим, что это число действительно больше 47 и 18, значит ответ выглядит логично.

Обозначим сторону квадратного основания через a=8, а апофему пирамиды — через l. Для правильной пирамиды апофема — это высота боковой грани, то есть высота равнобедренного треугольника, из которых состоит боковая поверхность.

1) Найдём площадь основания.
Основание — квадрат, значит
S_осн = a² = 8² = 64.

2) Выделим боковую поверхность.
Полная площадь поверхности состоит из площади основания и площади боковой поверхности:
S_полн = S_осн + S_бок.
Тогда
S_бок = 176 - 64 = 112.

3) Используем формулу боковой поверхности правильной пирамиды.
У правильной пирамиды все боковые грани равны, и площадь боковой поверхности выражается формулой
S_бок = (1/2)·P_осн·l,
где P_осн — периметр основания. Для квадрата
P_осн = 4a = 32.

Подставляем:
112 = (1/2)·32·l = 16l.

Отсюда
l = 112/16 = 7.

Ответ: 7.

Почему так важно именно вычесть площадь основания?
Это частая ловушка на ЕГЭ: в полной площади поверхности уже есть и основание, и боковые грани. Если сразу подставлять полную площадь в формулу боковой поверхности, получится ошибка. Сначала нужно отделить основание, а уже потом работать с боковой частью.

Ещё одна типичная ошибка — перепутать апофему с боковым ребром. Апофема — это не ребро пирамиды, а высота боковой грани. Именно она входит в формулу S_бок = (1/2)P_оснl.

Самопроверка: апофема 7 выглядит разумно, потому что боковая поверхность 112 при периметре основания 32 даёт среднюю “наклонную высоту” 7, а значит формула согласуется по размерности и по числам.

Ключевая идея здесь такая: полная площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади всех боковых граней. Для правильной пирамиды боковые грани — это одинаковые равнобедренные треугольники, а их высота в каждой грани равна апофеме. Это очень важный момент: апофема — не высота всей пирамиды, а именно высота боковой грани.

Разберём задачу по шагам.

1. Площадь основания. Основание — квадрат со стороной 6, значит

\[ S_{\text{осн}} = 6^2 = 36. \]

2. Площадь одной боковой грани. Боковая грань — треугольник с основанием 6 и высотой 5 (это апофема). Тогда

\[ S_{1\,\text{гр}} = \frac12 \cdot 6 \cdot 5 = 15. \]

3. Площадь всей боковой поверхности. У квадратной пирамиды 4 боковые грани, поэтому

\[ S_{\text{бок}} = 4 \cdot 15 = 60. \]

4. Полная площадь поверхности.

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 36 + 60 = 96. \]

Ответ: 96.

Почему в таких задачах часто ошибаются? Во-первых, путают апофему с высотой пирамиды: если бы была дана высота пирамиды, ею нельзя было бы сразу находить площадь боковой грани по формуле \(\frac12 ah\). Во-вторых, иногда забывают прибавить площадь основания и получают только боковую поверхность. В-третьих, неверно определяют число боковых граней: у пирамиды с квадратным основанием их 4, а не 3 и не 5.

Полезная проверка: для правильной пирамиды с правильным n-угольным основанием площадь боковой поверхности можно находить по формуле \(S_{\text{бок}} = \frac12 P_{\text{осн}} \cdot l\), где \(P_{\text{осн}}\) — периметр основания, \(l\) — апофема. Здесь \(P_{\text{осн}}=24\), значит \(S_{\text{бок}}=\frac12\cdot 24\cdot 5=60\), что совпадает с вычислением через одну грань. Это хороший способ самопроверки на экзамене.

Для правильной пирамиды с квадратным основанием полная площадь поверхности складывается из площади основания и площади боковой поверхности.

1. Найдём площадь основания. Основание — квадрат со стороной 8, значит его площадь равна 8^2 = 64.

2. Запишем формулу боковой поверхности. У правильной пирамиды все боковые грани равны, а каждая из них — равнобедренный треугольник с основанием 8 и высотой, равной апофеме пирамиды l. Площадь одной боковой грани равна 1/2 · 8 · l = 4l. Таких граней 4, поэтому площадь боковой поверхности равна 4 · 4l = 16l. Это можно сразу записать и как формулу S_бок = (P/2)l, где P — периметр основания; здесь P = 32, значит S_бок = 16l.

3. Составим уравнение для полной площади поверхности. По условию S_полн = 192, значит

64 + 16l = 192.

4. Решим уравнение. Тогда 16l = 128, откуда l = 8.

Ответ: 8.

На что важно обратить внимание на ЕГЭ: апофема — это не высота пирамиды, а высота боковой грани. Частая ошибка — забыть вычесть площадь основания из полной площади поверхности. Ещё одна типичная ошибка — посчитать площадь одной боковой грани и забыть умножить на 4, хотя в правильной пирамиде с квадратным основанием боковых граней именно четыре. Если в задаче даны полная площадь поверхности и сторона основания, то апофема находится однозначно из линейного уравнения, и это самый надёжный способ проверки вычислений.