Теоретическая часть: основные понятия: задания с ответами

Правильный ответ — тот, где вероятность связана с отношением числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов. Это и есть классическое определение вероятности.

Почему именно так? В классической схеме рассматривают случайный эксперимент, у которого:

• все элементарные исходы равновозможны;
• их конечное число;
• событие можно представить как набор некоторых элементарных исходов.

Тогда вероятность события A записывают как P(A)=m/n, где m — число благоприятных исходов, а n — число всех равновозможных исходов. Именно это соотношение и отражает смысл вероятности как доли «успешных» исходов среди всех возможных.

Разберём типичные ловушки.

• Путаница с частотным смыслом. Формулировка вида «вероятность — это отношение числа наступлений события к числу испытаний» относится к статистическому (частотному) подходу и не является классическим определением. На ЕГЭ такие варианты часто выглядят правдоподобно, но в теоретическом вопросе они неверны.
• Путаница с числом исходов. Если сказано, что вероятность — это просто число благоприятных исходов, то это ошибка: само по себе число ничего не говорит о вероятности, пока не сравнивается с общим числом равновозможных исходов.
• Неполное определение. Иногда пишут только «отношение благоприятных исходов к общему числу исходов», но забывают важнейшее условие: исходы должны быть равновозможны. Без этого классическая формула может быть неприменима.

Как себя проверять на экзамене? Если в ответе есть все три элемента — благоприятные исходы, все исходы, равновозможность — это хороший признак, что определение корректно. Если хотя бы одного из этих элементов нет, формулировка, скорее всего, неполная или неверная.

Полезная связка для запоминания: классическая вероятность работает там, где можно честно посчитать все исходы и они одинаково «весомы». Если исходы неравновозможны, нужно уже думать о других моделях вероятности.

Для объединения событий A ∪ B нужно учитывать все исходы, которые входят хотя бы в одно из событий: либо в A, либо в B, либо сразу в оба. Если просто сложить P(A) и P(B), то общая часть A ∩ B будет посчитана дважды: один раз как часть события A и второй раз как часть события B. Поэтому эту общую часть нужно вычесть один раз.

Именно поэтому общая формула выглядит так:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Это ключевая формула темы «сумма вероятностей». Она верна для любых двух событий, в том числе и для совместных. Частая ошибка на ЕГЭ — писать просто P(A)+P(B). Такая запись правильна только в частном случае, когда события несовместны, то есть A ∩ B = ∅, и тогда P(A ∩ B)=0. Если события могут пересекаться, вычитание обязательно.

Полезная проверка себя: если в ответе есть объединение A ∪ B, спросите себя, не посчитаны ли общие исходы дважды. Если да, значит, формула должна содержать минус P(A ∩ B). Это помогает не путать объединение с пересечением и быстро отсеивать неверные варианты в тесте.

В этой задаче используется классическое определение вероятности: если все исходы равновозможны, то вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.

Здесь эксперимент состоит в том, что из мешка один раз вытаскивают шар. Всего шаров 5 синих и 3 красных, значит общее число равновозможных исходов равно 8: каждый шар можно рассматривать как отдельный возможный исход вытаскивания. Благоприятными для события «вынут красный шар» являются только красные шары, их 3.

Тогда вероятность равна

P = 3/8.

Это значение лежит между 0 и 1, как и должно быть для любой вероятности. Это полезная самопроверка: если у вас получилось число больше 1, отрицательное число или дробь с числителем больше знаменателя при вероятности одного исхода в равновозможной модели, значит где-то допущена ошибка в подсчёте.

Почему другие ответы типично бывают ошибочными?

• 5/8 — это вероятность вытащить синий шар, то есть перепутано благоприятное событие.
• 3/5 — это отношение красных шаров к синим, но вероятность так не считается.
• 8/3 — это неверный перевёрнутый дробный формат; вероятность не может быть больше 1 в такой ситуации.

Стратегия для ЕГЭ: сначала всегда ответьте на два вопроса: 1) сколько всего равновозможных исходов? 2) сколько из них подходят под условие? После этого просто делите первое на второе? Нет, наоборот: благоприятные / все возможные. Эта формула — базовая, но именно в ней чаще всего делают ошибки из-за невнимательности.

Ответ: 3/8.

Здесь речь идёт о фиксированном числе успехов в серии независимых одинаковых испытаний. «Успехом» удобно считать выпадение шестёрки в одном броске.

Сначала найдём вероятность успеха в одном испытании: для симметричной кости она равна p = 1/6. Тогда вероятность неуспеха в одном броске равна 1 - p = 5/6.

Нужно, чтобы успех произошёл ровно 2 раза из 4. Это типичная схема Бернулли, и для неё используется формула:

P = C_n^k · p^k · (1-p)^n-k

Подставим n = 4, k = 2, p = 1/6:

P = C₄² · (1/6)² · (5/6)²

Вычислим по шагам:

1) C₄² = 6 — это число способов выбрать, в каких именно двух бросках выпадет шестёрка.
2) (1/6)² — вероятность двух удачных бросков.
3) (5/6)² — вероятность двух остальных бросков без шестёрки.

Получаем:

P = 6 · 1/36 · 25/36 = 150/1296 = 25/216

Значит, правильный ответ: 25/216.

Почему нельзя просто взять (1/6)²? Потому что это вероятность только одного конкретного расположения двух шестёрок, например: 6, 6, не-6, не-6. Но шестёрки могут стоять и в других позициях: 6, не-6, 6, не-6; не-6, 6, 6, не-6 и т. д. Именно поэтому нужен коэффициент сочетаний C₄².

Типичная ошибка — умножить вероятности успехов, но забыть учесть количество перестановок одинакового по смыслу события. В задачах на «ровно k раз» всегда проверяйте два шага: вероятность одного фиксированного набора исходов и число таких наборов.

Самопроверка: ответ должен быть меньше 1, и здесь это так: 25/216 ≈ 0,116. Это разумно: получить ровно две шестёрки из четырёх бросков не очень часто, но и не крайне редко.

Сочетания без повторений — это выбор k элементов из n так, что:

• порядок не важен;
• один и тот же элемент нельзя выбирать дважды.

Именно поэтому формула сочетаний отличается и от размещений, и от перестановок. Если бы порядок был важен, использовались бы размещения: там число способов больше, потому что наборы с теми же элементами, но в другом порядке, считаются разными. В сочетаниях такие перестановки внутри выбранной группы не должны различаться, поэтому нужно разделить на число перестановок выбранных k элементов, то есть на k!.

Общая формула сочетаний без повторений:

C_n^k = n! / (k!(n-k)!)

Её можно понимать так:

1. Сначала выбираем упорядоченно k элементов из n: это можно сделать n·(n-1)·...·(n-k+1) способами.
2. Но каждый набор из k элементов был посчитан k! раз, потому что выбранные элементы можно переставлять между собой.
3. Делим на k! и получаем формулу сочетаний.

Эквивалентная запись через факториалы:

C_n^k = n! / (k!(n-k)!)

Частая ошибка на ЕГЭ — спутать сочетания с размещениями и написать n!/(n-k)!. Это неверно, потому что в сочетаниях порядок не учитывается. Ещё одна типичная ошибка — забыть деление на k!. Если его нет, получается формула для упорядоченного выбора, а не для неупорядоченного.

Значит, правильный вариант — тот, где есть одновременно n! в числителе и произведение k!(n-k)! в знаменателе.

Правильная формула для вероятности объединения двух событий — это

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Почему именно так? Если просто сложить P(A) и P(B), то общая часть, то есть события, при которых одновременно происходят A и B, будет учтена дважды: один раз в P(A) и второй раз в P(B). Поэтому вероятность пересечения P(A ∩ B) нужно вычесть один раз, чтобы исправить двойной счёт.

Это важнейшая идея в теории вероятностей: объединение событий означает «произойдёт хотя бы одно из них». Если есть пересечение, то при подсчёте через сумму надо обязательно убрать повтор. Именно здесь многие делают типичную ошибку и пишут P(A ∪ B) = P(A) + P(B) всегда — это верно только для несовместных событий, когда A ∩ B = ∅ и тогда P(A ∩ B)=0.

Полезно помнить две частные ситуации:

• если события несовместны, то P(A ∪ B) = P(A) + P(B);
• если события совместны, то без вычитания пересечения формула неверна.

Значит, среди вариантов нужно выбрать тот, где присутствуют все три части: P(A), P(B) и вычитание P(A ∩ B).

Число сочетаний C_n^m показывает, сколькими способами можно выбрать m элементов из n без учёта порядка. Это ключевое отличие сочетаний от размещений и перестановок: если меняется только порядок выбранных элементов, то для сочетаний это не считается новым способом.

В задаче нужно выбрать 3 элемента из 8, значит здесь n = 8, m = 3. По формуле:

C₈³ = 8! / (3! · 5!).

Можно не раскрывать все факториалы полностью, а сразу сократить:

C₈³ = (8 · 7 · 6) / (3 · 2 · 1) = 56.

Теперь важно понять, какая именно запись соответствует сочетаниям. Правильная формула всегда имеет вид n! / (m!(n-m)!). Ошибки обычно возникают, когда:

• путают сочетания с размещениями и пишут n!/(n-m)! — это уже учитывает порядок;
• забывают один из факториалов в знаменателе;
• меняют местами m и n-m, хотя для сочетаний это не меняет значение, но в записи нужно соблюдать стандартную форму;
• считают, что разные перестановки одних и тех же выбранных элементов дают разные результаты — для сочетаний это неверно.

Итак, нужно выбрать вариант с записью C₈³ = 8!/(3!5!). Это и есть правильное выражение для числа сочетаний.

В этой задаче используется классическое определение вероятности для равновозможных исходов: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.

Здесь эксперимент состоит в одном испытании: из 5 шаров выбирают один. Все шары равновозможны, значит, каждый номер от 1 до 5 появляется с одинаковой вероятностью.

1. Считаем все возможные исходы. Их 5: можно выбрать шар 1, 2, 3, 4 или 5.

2. Считаем благоприятные исходы. Нам подходит только один исход — выбрать шар с номером 3. Значит, благоприятных исходов 1.

3. Применяем формулу: P = m/n = 1/5.

Итак, вероятность выбора шара с номером 3 равна 1/5.

Почему важно именно так решать? На ЕГЭ часто пытаются подменить вероятность просто числом благоприятных исходов. Это ошибка: вероятность — это не количество, а доля от общего числа равновозможных исходов. Поэтому всегда нужно делить на общее число исходов.

Типичные ошибки:

• ответить 1, забыв про деление на 5;
• ответить 3/5, если по невнимательности перепутать номер шара и число подходящих шаров;
• выбрать 0, если ошибочно считать, что событие «один конкретный шар» невозможно;
• ответить 1, если кажется, что раз шаров всего 5, то «что-то обязательно выпадет» — да, обязательно выпадет какой-то шар, но не именно шар №3.

Самопроверка: вероятность любого события не может быть больше 1. Здесь событие состоит из одного исхода из пяти, значит ответ должен быть дробью меньше 1, и 1/5 выглядит естественно.

Правильный ответ — тот, где вероятность понимается именно как отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов. Это и есть классическое определение вероятности, которое используется в задачах ЕГЭ, когда эксперимент имеет конечное число исходов и все они равновозможны.

Разберём идею внимательно. Пусть у случайного эксперимента есть несколько элементарных исходов, и каждый из них одинаково вероятен. Тогда для события A можно посчитать:

• число благоприятных исходов — тех, при которых событие происходит;
• число всех возможных исходов — всех равновозможных элементарных исходов эксперимента.

Тогда вероятность события определяется формулой:

P(A) = m/n,

где m — число благоприятных исходов, а n — число всех равновозможных исходов.

Почему другие формулировки неверны?

• Частотный подход описывает не определение, а способ оценить вероятность по результатам большого числа испытаний. Он связан с относительной частотой, но это другая идея. Частота может приближаться к вероятности, однако не заменяет классическое определение.
• Число благоприятных исходов без деления — это просто счёт, а не вероятность. Вероятность обязана быть числом от 0 до 1, поэтому она не может равняться только количеству исходов.
• Неполное определение часто забывает про равновозможность исходов или про деление на общее число исходов. Это критическая ошибка: без этих условий формула не является классической вероятностью.

На ЕГЭ важно помнить три обязательных элемента:

1. есть случайный эксперимент;
2. его элементарные исходы равновозможны;
3. вероятность — это доля благоприятных исходов среди всех исходов.

Типичная ловушка: ученики путают вероятность с относительной частотой. Например, если в серии испытаний событие произошло 37 раз из 100, это относительная частота, а не само определение вероятности. Вероятность в классическом смысле относится к модели с равновозможными исходами и заранее считается теоретически, а не по эксперименту.

Ещё одна частая ошибка — забывать, что исходы должны быть именно равновозможными. Если исходы не равны по шансам, формула через простое отношение чисел уже не является классической вероятностью. В таких задачах нужна другая модель или дополнительная информация.

Самопроверка для экзамена: если в формулировке есть слова «отношение», «доля», «благоприятные исходы», «равновозможные исходы», то это хороший признак правильного определения. Если вместо этого говорится только про «сколько раз событие произошло» или просто про «число исходов», то определение неверно или неполно.

Итак, верное утверждение — то, где вероятность определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.

Это классическая модель вероятности для одного опыта с равновозможными исходами. У правильного шестигранного кубика все 6 граней равновероятны, значит общее число исходов равно 6: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Интересующий исход здесь один-единственный: выпадение числа 4. Следовательно, число благоприятных исходов равно 1.

По определению классической вероятности:

P = k / n, где k — число благоприятных исходов, n — число всех равновозможных исходов.

Подставляем:

P = 1/6.

Это и есть искомая вероятность.

Почему важно именно так считать? Частая ошибка — пытаться делить «одно нужное число» на что-то не связанное с числом всех исходов или забывать, что в классической схеме все исходы должны быть равновозможными. Если бы кубик был неправильным или грани имели разные шансы, формула k/n уже не подходила бы в таком виде.

Проверка здравым смыслом: вероятность одного конкретного числа на честном кубике должна быть меньше 1 и одинаковой для каждого из шести чисел. Действительно, для любой грани ответ был бы 1/6.

При равномерном выборе точки внутри фигуры геометрическая вероятность равна отношению площади благоприятной области к площади всей области:

P = S_внутр / S_внешн.

Здесь внешняя фигура — круг радиуса 8, а внутренняя — круг радиуса 5. Поэтому

S_внешн = π·8² = 64π,

S_внутр = π·5² = 25π.

Тогда

P = 25π / 64π = 25/64.

Важно заметить типичную ошибку: нельзя брать отношение радиусов 5/8. Это отношение длин, а вероятность здесь зависит от площадей, поэтому линейный размер надо возводить в квадрат. Именно поэтому для подобных задач с подобными фигурами удобно помнить правило: если внутренняя фигура подобна внешней и все линейные размеры уменьшены в k раз, то площадь уменьшается в k² раз, а вероятность равна квадрату отношения линейных размеров.

Ещё одна проверка: вероятность обязана быть меньше 1, и число 25/64 действительно меньше 1. Если бы вы получили 64/25 или разность площадей, это было бы неверно: вероятность — это не площадь «кольца», а именно доля площади, занимаемая внутренней областью.

В классической теории вероятностей вероятность события определяют только в случае равновозможных элементарных исходов. Тогда вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу всех исходов:

P(A)=m/n,

где m — число исходов, при которых событие A происходит, а n — число всех возможных элементарных исходов. Именно это и есть классическое определение вероятности.

Почему другие формулировки неверны:

• если в ответе числитель и знаменатель перепутаны, получится величина, не совпадающая с вероятностью;
• если говорится о частоте появления события в серии испытаний, это уже статистическая (эмпирическая) вероятность, а не классическая;
• если не сказано, что исходы равновозможны, формула P(A)=m/n не обязана быть верной в таком виде.

На экзамене важно уметь узнавать именно структуру определения: сначала проверяем, что исходы равновозможны, затем считаем благоприятные и все возможные исходы, и только после этого записываем дробь m/n. Частая ошибка — подставлять вместо теоретической вероятности опытную частоту или забывать условие равновозможности.

Итак, правильное утверждение: вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов.