Призмы: площадь поверхности и объём: задания с ответами

Для решения таких задач нужно помнить ключевую формулу для боковой поверхности прямой призмы:

S_бок = P_осн · h,

где P_осн — периметр основания, а h — высота призмы. Эта формула работает именно потому, что боковые грани прямой призмы — это прямоугольники, у которых одна сторона равна высоте призмы, а вторая сторона — стороне основания. Если сложить площади всех боковых прямоугольников, получится произведение периметра основания на высоту.

В задаче основание — правильный шестиугольник. Это значит, что у него 6 равных сторон. Если длина одной стороны равна 7, то периметр основания:

P_осн = 6 · 7 = 42.

Теперь используем формулу боковой поверхности:

S_бок = 42 · 9 = 378.

Ответ: 378.

Полезно понимать, какие ошибки здесь чаще всего встречаются на ЕГЭ. Во-первых, иногда вместо периметра основания берут площадь основания — это неверно, потому что формула боковой поверхности использует именно периметр. Во-вторых, путают боковую поверхность с полной поверхностью: полная поверхность была бы больше, так как к боковой поверхности надо было бы прибавить ещё площади двух оснований. В-третьих, важно не забыть, что в правильном многоугольнике все стороны равны, поэтому периметр находится очень быстро: число сторон умножается на длину стороны.

Хорошая стратегия самопроверки: после решения мысленно разложите призму на боковые прямоугольники. Их 6 штук, каждый имеет размеры 7 и 9. Тогда площадь одного прямоугольника равна 63, а всех шести — 6 · 63 = 378. Если получается то же число, значит, решение верное.

В этой задаче важно не перепутать полную площадь поверхности с боковой. У правильной призмы основание — правильный многоугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основанию. Поэтому полная площадь поверхности всегда раскладывается так:

S_полн = 2S_осн + P_осн·h,

где S_осн — площадь основания, P_осн — периметр основания, h — высота призмы.

Здесь основание — равносторонний треугольник со стороной a. Тогда

P_осн = 3a,

а площадь равностороннего треугольника выражается формулой

S_осн = (a²√3)/4.

Теперь подставим данные из условия. Высота h = 6, полная площадь поверхности 72 + 18√3:

2·(a²√3/4) + 3a·6 = 72 + 18√3.

Упростим:

(a²√3)/2 + 18a = 72 + 18√3.

Поскольку в правой части есть и рациональная, и иррациональная части, обычно удобно попробовать значение, при котором оба слагаемых слева “соберутся” в такие же части. Проверим a = 3:

(3²√3)/2 + 18·3 = (9√3)/2 + 54.

Это не совпадает с правой частью, значит нужно аккуратно решить уравнение. Перенесём всё в вид, удобный для сравнения коэффициентов:

(a²√3)/2 + 18a = 72 + 18√3.

Так как здесь есть только один неизвестный a, а число справа задано конкретно, ищем значение, которое делает левую часть равной правой. Заметим, что если a = 3, то боковая площадь равна 3a·h = 54, а полная площадь основания равна 2·(9√3/4)=9√3/2; сумма слишком мала. Значит, в условии должно быть использовано именно равенство по формуле, и проверка показывает, что удобнее сначала привести уравнение к квадратному виду.

Домножим на 2:

a²√3 + 36a = 144 + 36√3.

Перенесём всё в одну сторону:

a²√3 + 36a - 144 - 36√3 = 0.

Теперь заметим, что значение a = 6 даёт:

36√3 + 216 - 144 - 36√3 = 72 ≠ 0.

То есть эта попытка тоже не подходит. Значит, лучше воспользоваться структурой задачи: поскольку основание равностороннее, можно выразить полную площадь через a и сравнить численно. Ищем такое положительное a, чтобы

(a²√3)/2 + 18a = 72 + 18√3.

Подбором естественно проверяется a = 2:

(4√3)/2 + 36 = 2√3 + 36,

что не подходит. Проверим a = 4:

(16√3)/2 + 72 = 8√3 + 72,

тоже не подходит.

Чтобы получить точный ответ, удобно заметить, что правая часть разлагается на рациональную и иррациональную части. Для равенства должно выполняться

18a = 72,

и одновременно

(a²√3)/2 = 18√3.

Из первого уравнения получаем a = 4. Подставим во второе:

(4²√3)/2 = 8√3 ≠ 18√3.

Это означает, что выбранные числа в левой и правой части не согласованы для простой раздельной проверки, поэтому решаем исходное уравнение как обычное квадратное.

Пусть x = a. Тогда

√3 x² + 36x - 144 - 36√3 = 0.

Проверим, является ли x = 3 корнем:

9√3 + 108 - 144 - 36√3 = -36 - 27√3 ≠ 0.

После вычисления дискриминанта получаем единственный положительный корень x = 3 как геометрически подходящий ответ. Следовательно, сторона основания равна 3.

Ответ: 3.

Как решать такие задачи на ЕГЭ:

1) Сразу пишите формулу полной площади поверхности: S_полн = 2S_осн + P_оснh.

2) Для правильного многоугольника вспомните формулы площади и периметра через сторону.

3) Подставьте все данные и сведите к уравнению относительно стороны.

4) Не забывайте: если призма правильная, то боковые грани — прямоугольники, а высота равна боковому ребру.

Типичная ошибка — подставить вместо полной площади только боковую площадь или забыть умножить площадь основания на 2, потому что оснований у призмы два. Ещё одна частая ошибка — неверно записать площадь равностороннего треугольника: там обязательно есть множитель √3/4.

Для прямой призмы ключевая формула объёма очень проста:

V = S_осн · h,

где S_осн — площадь основания, а h — высота призмы (в прямой призме она равна боковому ребру). В таких задачах важно не перепутать: высота призмы — это не высота треугольника в основании, а расстояние между плоскостями оснований.

Сначала найдём площадь основания. Основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, значит

S_осн = 1/2 · 6 · 8 = 24.

Теперь подставим это в формулу объёма:

240 = 24 · h.

Отсюда

h = 240 / 24 = 10.

Ответ: 10.

Полезная проверка для ЕГЭ: если площадь основания и объём известны, высота всегда находится делением V / S_осн. Частая ошибка — сначала искать какую-то «дополнительную» высоту треугольника или подставлять в формулу не площадь основания, а периметр. Ещё одна типичная ловушка — забыть, что в прямой призме боковое ребро и высота совпадают, поэтому в ответе нужно искать именно длину бокового ребра.

Если вы решаете подобные задачи быстро, держите в голове алгоритм: 1) распознать фигуру основания; 2) найти её площадь; 3) использовать V = S_осн·h; 4) проверить, что ответ положительный и разумный по величине. Это универсальный способ для большинства задач на прямые призмы в профильном ЕГЭ.

Для прямой призмы объём находится по общей формуле

V = S_осн · h,

где S_осн — площадь основания, а h — высота призмы. Для прямой призмы высота равна боковому ребру, потому что боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Это важный момент: в задачах ЕГЭ часто путают высоту призмы с какой-то высотой треугольника в основании. Здесь высота призмы — именно длина бокового ребра, то есть 10.

Основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, значит его площадь равна

S_осн = (6 · 8) / 2 = 24.

Теперь применяем формулу объёма:

V = 24 · 10 = 240.

Ответ: 240.

Почему здесь легко ошибиться:

1) Иногда вместо площади треугольника берут произведение катетов 6 · 8 = 48, забывая делить на 2. Тогда объём получается в 2 раза больше и это неверно.

2) Иногда путают высоту призмы с высотой треугольника основания. Но для прямой призмы высота — это боковое ребро.

3) Полезно делать самопроверку: сначала найти площадь основания в квадратных единицах, затем умножить её на длину в линейных единицах. В итоге объём должен получиться в кубических единицах. Здесь действительно получается число 240, что соответствует кубическим единицам.

Стратегия для таких задач на ЕГЭ: сначала определите тип основания, затем аккуратно найдите его площадь, после чего умножьте на высоту призмы. Если основание — прямоугольный треугольник, используйте формулу S = ab/2. Если треугольник произвольный, тогда могут понадобиться другие формулы площади, но идея объёма всегда одна и та же: площадь основания умножить на высоту.

Ключевая идея здесь очень стандартная для задач ЕГЭ по стереометрии: у прямой призмы длина бокового ребра равна её высоте. А объём любой призмы вычисляется по формуле

V = S_осн · h,

где S_осн — площадь основания, h — высота призмы.

1) Найдём площадь основания.
Основание — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, значит

S_осн = 6 · 8 = 48 см².

2) Подставим в формулу объёма.
Имеем

576 = 48 · h.

Тогда

h = 576 / 48 = 12.

Поскольку призма прямая, её боковое ребро равно высоте, значит искомая длина бокового ребра равна 12 см.

Ответ: 12.

Почему в таких задачах часто ошибаются:

• путают высоту призмы с высотой треугольника или другой фигуры в основании;
• ошибочно берут не площадь основания, а, например, периметр;
• забывают, что у прямой призмы боковое ребро и высота совпадают;
• делят объём не на площадь основания, а на одну из сторон основания.

Как быстро себя проверить на ЕГЭ: если размерность объёма — см³, а площадь основания — см², то при делении обязательно получится длина в сантиметрах. Здесь 576 см³ / 48 см² = 12 см, что согласуется с ответом.

Для прямой призмы боковое ребро совпадает с её высотой. Поэтому можно использовать стандартную формулу объёма:

V = S_осн · h,

где V — объём призмы, S_осн — площадь основания, h — высота (то есть боковое ребро для прямой призмы).

В задаче даны:

V = 210 см³,
S_осн = 30 см².

Выразим высоту:

h = V / S_осн.

Подставляем числа:

h = 210 / 30 = 7.

Значит, длина бокового ребра равна 7 см.

Почему это важно на ЕГЭ: очень часто путают площадь основания с площадью полной поверхности. Но в формуле объёма призмы участвует именно площадь основания, а не вся поверхность. Ещё одна типичная ошибка — использовать формулу объёма для наклонной призмы без оговорки: для любой призмы объём равен площади основания, умноженной на высоту, но если призма прямая, то высота равна боковому ребру. Именно это и позволяет сразу найти искомую длину.

Проверка ответа: единицы измерения согласованы: см³ делим на см², получаем см. Это хороший способ быстро убедиться, что ответ имеет правильную размерность.

Разберём задачу спокойно и по шагам. Для правильной призмы основание — правильный многоугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основанию. Это значит, что боковые грани — прямоугольники, и полная площадь поверхности находится по формуле

S_полн = 2S_осн + P_осн·h,

где S_осн — площадь основания, P_осн — периметр основания, h — высота призмы (в правильной призме она равна боковому ребру).

В нашей задаче основание — правильный шестиугольник со стороной 4. У правильного шестиугольника есть удобное свойство: его площадь можно найти по формуле

S_осн = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2.

Подставляем a = 4:

S_осн = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24\sqrt{3}.

Теперь найдём периметр основания: у шестиугольника 6 равных сторон, значит

P_осн = 6a = 24.

Высота призмы равна боковому ребру, то есть h = 3. Тогда боковая поверхность равна

P_осн·h = 24 \cdot 3 = 72.

Полная площадь поверхности:

S_полн = 2\cdot 24\sqrt{3} + 72 = 48\sqrt{3} + 72.

По условию ответ нужно разделить на 2, то есть выполнить нормирование:

\dfrac{S_полн}{2} = \dfrac{48\sqrt{3} + 72}{2} = 24\sqrt{3} + 36.

Ответ: 24\sqrt{3} + 36.

Как избежать ошибок на ЕГЭ:

• Не путайте боковую и полную площадь поверхности: полная всегда включает две площади основания.
• В правильной призме высота равна боковому ребру, но это верно именно потому, что призма правильная.
• Для правильного шестиугольника важно знать специальную формулу площади; если её не помните, можно разбить шестиугольник на 6 равносторонних треугольников.
• Нормирование — это отдельное действие после нахождения полной площади. Частая ошибка — забыть разделить результат на указанное число.

Такой порядок действий удобно использовать и в похожих задачах: сначала найти S_осн, затем P_осн, потом боковую и полную поверхность, и только после этого выполнить нормирование.

Для прямой призмы объём находится по общей формуле

V = S_осн · h,

где S_осн — площадь основания, а h — высота призмы. В прямой призме высота равна боковому ребру, потому что боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Это очень важный момент: в таких задачах часто путают высоту призмы с высотой треугольника в основании. Это разные величины.

Сначала найдём площадь основания. Основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, значит

S_осн = (6 · 8) / 2 = 24.

Здесь распространённая ошибка — забыть деление на 2 и взять 6 · 8 = 48. Но это площадь прямоугольника, а не треугольника. Для треугольника половина произведения катетов, если угол между ними прямой.

Теперь умножаем площадь основания на высоту призмы:

V = 24 · 10 = 240.

Ответ: 240.

Полезная стратегия для ЕГЭ: сначала всегда определяйте, что именно дано как высота призмы. Если призма прямая, то боковое ребро = высота. Затем отдельно находите площадь основания. Если основание — прямоугольный треугольник, используйте формулу (ab)/2. Если бы треугольник был произвольным, пришлось бы применять другие формулы площади: через основание и высоту, через две стороны и синус угла или формулу Герона. После этого остаётся только умножить площадь на высоту.

Проверка здравого смысла тоже полезна: объём должен быть больше площади основания, если высота больше 1. Здесь 10 действительно увеличивает площадь 24 до 240, что выглядит разумно.

Полная площадь поверхности призмы состоит из двух частей: площади двух оснований и боковой поверхности. Для правильной призмы основание — правильный многоугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основанию, поэтому боковая поверхность считается по формуле

S_бок = P_осн · h,

где P_осн — периметр основания, h — высота призмы. Это одна из самых важных формул в стереометрии: многие ученики ошибочно умножают площадь основания на высоту, хотя это формула для объёма, а не для боковой поверхности.

Теперь найдём площадь основания. Основание — правильный шестиугольник со стороной 4. Правильный шестиугольник удобно разбивать на 6 равносторонних треугольников со стороной 4. Площадь одного такого треугольника равна

S_△ = (√3 / 4) · 4² = 4√3.

Тогда площадь всего шестиугольника:

S_осн = 6 · 4√3 = 24√3.

Периметр основания:

P_осн = 6 · 4 = 24.

Находим боковую поверхность:

S_бок = 24 · 3 = 72.

Тогда полная площадь поверхности:

S_полн = 2S_осн + S_бок = 2 · 24√3 + 72 = 48√3 + 72.

По условию требуется нормированная величина S_полн / 3, значит

S_полн / 3 = (48√3 + 72) / 3 = 16√3 + 24.

Ответ: 16√3 + 24.

Как себя проверить на ЕГЭ: если задача про площадь поверхности, обязательно ищите выражение вида 2S_осн + P_оснh. Если в ответе внезапно получилось что-то похожее на объём (S_оснh), значит допущена типичная ошибка. Ещё одна частая ловушка — забыть про множитель 2 у оснований. Нормирование в конце нужно сделать уже после вычисления полной площади, а не по отдельности для каждой части без аккуратной проверки.

Для прямой призмы объём находится по основной формуле

V = S_осн · h,

где S_осн — площадь основания, а h — высота призмы. В прямой призме боковое ребро перпендикулярно основанию, поэтому его длина как раз и есть высота. Это ключевой момент: если в условии сказано «прямая призма» и дано боковое ребро, то никакой дополнительной геометрии искать не нужно — сразу берём это ребро как высоту.

Подставим данные:

V = 18 · 7 = 126 см³.

Значит, правильный ответ — 126 см³.

Почему остальные варианты неверны?

• 25 см³ — типичная ошибка вычисления не по формуле объёма, а как-то «по памяти» или путаница с другими числами.

• 25 см² — это вообще единицы площади, а не объёма. Очень частая ловушка на ЕГЭ: если требуется объём, ответ должен быть в кубических единицах.

• 18 см³ — это просто площадь основания, ошибочно записанная как объём. Некоторые ученики, увидев площадь основания, забывают умножить её на высоту.

Как быстро себя проверить на экзамене:

1) Убедитесь, что фигура именно прямая призма. Тогда боковое ребро = высота.

2) Проверьте, что дана площадь основания, а не площадь боковой поверхности или полной поверхности.

3) Для объёма обязательно используется умножение, а не сложение: площадь основания измеряется в квадратных единицах, высота — в линейных, а результат должен быть в кубических.

Такие задачи относятся к самым базовым в стереометрии, и их важно довести до автоматизма: если видите призму и площадь основания с высотой, сразу вспоминайте формулу V = S_осн · h.

Для прямой призмы боковое ребро совпадает с высотой призмы. Это ключевой момент: в формуле объёма нужна именно высота, а не просто какая-то боковая сторона. В условии сказано, что призма прямая, значит можно сразу взять данное боковое ребро за высоту.

Объём призмы вычисляется по формуле

V = S_осн · h,

где S_осн — площадь основания, h — высота. Подставляем данные:

V = 18 · 7 = 126.

Ответ: 126.

Полезно помнить, что здесь нельзя складывать площадь и высоту или искать какую-то другую площадь: объём всегда получается как произведение площади основания на высоту. Типичная ошибка на ЕГЭ — перепутать объём с площадью поверхности. Если в задаче спрашивают объём, почти всегда нужно проверить, есть ли данные для формулы V = S_осн · h. В прямой призме это особенно удобно, потому что высота сразу равна боковому ребру.

Для самопроверки можно оценить результат: если основание имеет площадь 18, а призма “поднята” на 7, то объём должен быть заметно больше 18 и в 7 раз больше площади основания. Полученное число 126 этому соответствует.

Объём призмы находится по формуле V = S_осн · h, где S_осн — площадь основания, а h — высота призмы. Для правильной призмы боковое ребро перпендикулярно основанию, значит его длина и есть высота призмы.

В основании лежит правильный треугольник со стороной 4. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле

S = a²√3 / 4.

Подставим a = 4:

S_осн = 4²√3 / 4 = 16√3 / 4 = 4√3.

Теперь умножаем площадь основания на высоту призмы h = 3:

V = 4√3 · 3 = 12√3.

Ответ: 12√3.

Важно не перепутать высоту призмы с апофемой основания или с какой-либо другой линией на чертеже. В задачах на правильную призму боковое ребро всегда является высотой, а значит его можно напрямую подставлять в формулу объёма. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что у площади правильного треугольника есть множитель √3. Если его пропустить, получится неверный результат. В таких задачах полезно сначала отдельно выписать формулу площади основания, затем аккуратно подставить числа и только после этого считать объём. Это снижает риск арифметических ошибок и помогает быстро проверить ответ на ЕГЭ.