Степени и корни: преобразования и упрощение: задания с ответами

Главная идея здесь — привести дроби к общему виду через вынесение \(\sqrt{x}\) из выражения в знаменателе. Это типичная техника для ЕГЭ: сначала замечаем, что

\(x+\sqrt{x}=\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)\),

потому что \(x=(\sqrt{x})^2\). Тогда первая дробь упрощается:

\(\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\).

Здесь сокращение законно, так как по условию \(x>0\), значит \(\sqrt{x}>0\), и делить на \(\sqrt{x}\) можно. После этого исходное выражение становится

\(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=0\).

Но внимательно: если вы сразу замечаете, что обе дроби одинаковые, то ответ действительно равен нулю. Это и есть самый короткий путь. Однако в таких заданиях полезно уметь выполнять и «алгебраическую проверку» через преобразование знаменателя, потому что на экзамене выражения часто выглядят менее очевидно.

Почему остальные варианты неверны?

• \(\dfrac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\) — это ошибка в вычитании дробей: нельзя просто вычесть числители, не приведя к общему знаменателю.
• \(\dfrac{x-1}{x+\sqrt{x}}\) — похоже на неверное «сведение к квадрату» или случайное сокращение без оснований.
• \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}}\) — частая ошибка при неверном преобразовании разности \(1-\sqrt{x}\) и перестановке знаков.

На что обращать внимание на ЕГЭ: всегда проверяйте, можно ли сокращать на выражение с переменной. Здесь условие \(x>0\) гарантирует, что \(\sqrt{x}\neq 0\), а значит преобразование корректно. Если бы было \(x\ge 0\), надо было бы отдельно проверить случай \(x=0\), потому что деление на ноль недопустимо.

Ответ: \(0\).

Ключевая идея здесь — не пытаться перемножать числа «как есть», а сначала привести оба основания к одной и той же степени одного числа. В заданиях ЕГЭ профильного уровня это стандартный приём: если основания связаны степенным соотношением, то произведение степеней удобно сводится к общему основанию, после чего показатели просто складываются.

Заметим, что \(4=2^2\), а \(8=2^3\). Тогда

\[4^{\sqrt{3}-1}=(2^2)^{\sqrt{3}-1}=2^{2(\sqrt{3}-1)}=2^{2\sqrt{3}-2},\]

\[8^{2-\sqrt{3}}=(2^3)^{2-\sqrt{3}}=2^{3(2-\sqrt{3})}=2^{6-3\sqrt{3}}.\]

Теперь основания одинаковые, значит можно воспользоваться свойством \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}\):

\[2^{2\sqrt{3}-2}\cdot 2^{6-3\sqrt{3}}=2^{(2\sqrt{3}-2)+(6-3\sqrt{3})}.\]

Сложим показатели:

\[(2\sqrt{3}-3\sqrt{3})+(-2+6)=-\sqrt{3}+4=4-\sqrt{3}.\]

Получаем

\[4^{\sqrt{3}-1} \cdot 8^{2-\sqrt{3}}=2^{4-\sqrt{3}}.\]

Это и есть упрощённый вид выражения.

Почему важно делать именно так: ошибка многих учеников — пытаться «сократить» показатели или складывать основания, что недопустимо. Также часто забывают, что при переходе от \((2^2)^{\sqrt{3}-1}\) к степени с основанием 2 показатель нужно умножить на 2, а не оставить прежним. Это частая ловушка на правило \((a^k)^x=a^{kx}\).

Для самопроверки полезно помнить общий алгоритм: 1) разложить основания на степени одного числа; 2) перенести коэффициенты в показатели; 3) сложить показатели при одинаковом основании; 4) при желании проверить, не сокращаются ли иррациональные части. Здесь проверка показывает, что иррациональные слагаемые не исчезли, а ответ в виде одной степени с основанием 2 является корректным и компактным.

Сначала заметим важный приём ЕГЭ: прежде чем раскрывать скобки, полезно упростить корни. Здесь √12 = √(4·3) = 2√3. Это сразу делает выражение гораздо проще и позволяет избежать лишних вычислений.

Подставим:
(2√3 − 2√3)(√3 + 2·2√3) = 0 · (√3 + 4√3).

Первый множитель равен нулю, значит всё произведение равно 0.

Ответ: 0.

Почему это хороший экзаменационный ход? В выражениях с корнями часто есть скрытое упрощение подкоренных чисел. Если не заметить, что √12 = 2√3, можно долго раскрывать скобки и в итоге сделать арифметическую ошибку. После упрощения обычно становится видно либо сокращение, либо полный взаимный аннулирующийся множитель, как здесь.

Типичные ошибки:

• ошибочно считать, что √12 = 12 или √12 = 3;
• раскрыть скобки, но не упростить корни заранее и потерять знак;
• не заметить, что один из множителей обращается в ноль.

Самопроверка: если после приведения к одинаковым корням выражение содержит одинаковые слагаемые с противоположными знаками, произведение может стать нулём. Это часто встречающийся «скрытый» приём в заданиях на точное значение.

Ключевая идея здесь — не вычислять каждую степень отдельно «в лоб», а сначала привести все основания к одной и той же базе. Это особенно важно в задачах ЕГЭ на дробные показатели: если знаменатели показателей одинаковые, выражение часто можно свернуть в одну степень и затем извлечь корень.

Перепишем все числа как степени двойки:

\(8 = 2^3\), значит \(8^{\frac12} = (2^3)^{\frac12} = 2^{\frac32}\).

\(4 = 2^2\), значит \(4^{\frac12} = (2^2)^{\frac12} = 2^{1}\).

Тогда исходное выражение превращается в произведение степеней с одинаковым основанием:

\(2^{\frac32}\cdot 2^{\frac32}\cdot 2^1\).

Теперь используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: показатели складываются.

\(\frac32 + \frac32 + 1 = 3 + 1 = 4\).

Получаем:

\(2^4 = 16\).

Ответ: 16.

Почему этот способ надёжнее? Потому что при работе с дробными показателями многие ученики начинают преждевременно извлекать корни и ошибаются в порядке действий. Например, нельзя складывать показатели у чисел с разными основаниями напрямую; сначала нужно привести основания к одному виду. Также важно помнить, что для положительных чисел свойства степеней с рациональными показателями применяются без ограничений, связанных со знаком основания. В задачах такого типа почти всегда выгодно искать общий «прародительский» множитель: здесь это число 2.

Проверка на здравый смысл тоже полезна: \(2^{\frac32}=2\sqrt2\), \(8^{\frac12}=2\sqrt2\), \(4^{\frac12}=2\). Тогда произведение равно \((2\sqrt2)(2\sqrt2)\cdot 2 = 8\cdot 2 = 16\), что совпадает с полученным результатом.

Типичные ошибки: 1) считать, что \(8^{1/2}=\sqrt8\) и дальше не упрощать; 2) пытаться складывать \(\frac32\), \(\frac12\) и \(\frac12\) без приведения к общему основанию; 3) забывать, что \((a^m)^n = a^{mn}\), а не \(a^{m+n}\). В ЕГЭ такие ошибки часто стоят потерянного балла, поэтому полезно всегда сначала преобразовать основания к одной степени, а уже потом объединять показатели.

Здесь используется формула разности квадратов:

(x - y)(x + y) = x² - y².

В нашем случае x = \sqrt{41}, y = \sqrt{9}. Тогда

\((\sqrt{41} - \sqrt{9})(\sqrt{41} + \sqrt{9}) = (\sqrt{41})^2 - (\sqrt{9})^2\).

Теперь аккуратно возводим корни в квадрат. Это допустимо, потому что подкоренные выражения неотрицательны:

\((\sqrt{41})^2 = 41\), \((\sqrt{9})^2 = 9\).

Получаем:

\(41 - 9 = 32\).

Ответ: 32.

Типичная ошибка на ЕГЭ — начинать перемножать скобки «в лоб» и получать громоздкое выражение. В сопряжённых выражениях нужно сразу узнавать удобную формулу: произведение суммы и разности одинаковых величин всегда сводится к разности квадратов. Ещё одна частая ошибка — забыть, что квадрат корня убирает корень только при неотрицательном подкоренном выражении; здесь это условие выполнено, поэтому преобразование законно.

Полезная проверка: если в выражении стоят одинаковые числа под корнем и отличаются только знаки между ними, почти всегда выгодно применять формулу \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

Сначала удобно перевести корень в степень с дробным показателем. Это один из самых надёжных приёмов в заданиях на упрощение: как только выражение записано в степенях, можно применять стандартные правила для степеней.

Имеем:

\[ \sqrt[3]{x^4} = x^{4/3}. \]

Тогда числитель становится

\[ \left(x^{4/3}\right)^6. \]

Теперь применяем правило степени в степень: показатели перемножаются:

\[ \left(x^{4/3}\right)^6 = x^{(4/3)\cdot 6} = x^8. \]

После этого исходная дробь принимает вид

\[ \frac{x^8}{x^7}. \]

Далее используем правило деления степеней с одинаковым основанием: показатели вычитаются:

\[ \frac{x^8}{x^7} = x^{8-7} = x. \]

Итак, ответ:

\[ x. \]

Почему важно условие \(x \ne 0\)? Потому что в знаменателе стоит \(x^7\). Деление на ноль невозможно, а правила сокращения степеней при одинаковом основании корректно применяются именно при ненулевом основании.

Типичные ошибки здесь такие:

• путают правило степени в степень и складывают показатели вместо умножения;
• забывают, что \(\sqrt[3]{x^4}\) — это именно \(x^{4/3}\), а не \(x^{1/3}\) или \(x^{4}\);
• после возведения в степень неверно сокращают показатели в дроби;
• игнорируют ограничение \(x \ne 0\).

Проверка на здравый смысл: числитель сначала содержит очень большую степень, а знаменатель делит её на ту же переменную. Поэтому итог должен быть простой степенью одной переменной, что и получилось.

Здесь специально дана разность квадратов двух биномиальных выражений, после чего результат нужно разделить на одночлен. Для ЕГЭ Профиль важно не просто «раскрыть скобки», а заметить структуру: если стоит выражение вида \(A^2-B^2\), то почти всегда выгоднее использовать формулу разности квадратов

\[A^2-B^2=(A-B)(A+B).\]

В нашей задаче

\[A=3x-2y,\qquad B=3x+2y.\]

Тогда числитель равен

\[(3x-2y)^2-(3x+2y)^2=((3x-2y)-(3x+2y))((3x-2y)+(3x+2y)).\]

Теперь аккуратно упростим каждую скобку:

\[(3x-2y)-(3x+2y)=3x-2y-3x-2y=-4y,\]

\[(3x-2y)+(3x+2y)=3x-2y+3x+2y=6x.\]

Значит, числитель равен

\[(-4y)\cdot(6x)=-24xy.\]

Теперь делим на знаменатель \(4xy\):

\[\frac{-24xy}{4xy}=-6.\]

Ответ: \(-6\).

Почему такой способ лучше, чем прямое раскрытие скобок? Если раскрывать оба квадрата отдельно, легко потерять знак минус или ошибиться в коэффициентах при средних членах. Формула разности квадратов позволяет сразу сократить выражение до произведения, а затем — до простого числа. На экзамене это особенно полезно: при наличии одинаковых одночленов в числителе и знаменателе удобно сначала разложить на множители, а уже потом сокращать.

Типичные ошибки:

• раскрыть скобки и неверно собрать подобные члены;
• перепутать знак при вычислении \((3x-2y)-(3x+2y)\);
• сократить только числа и забыть сократить \(x\) и \(y\);
• попытаться сократить до разложения на множители — это часто приводит к потере структуры.

Хорошая самопроверка: результат должен быть не содержащим переменных, потому что в числителе после разности квадратов получается \(-24xy\), а знаменатель \(4xy\) полностью сокращается.

Сначала упрощаем каждую дробь отдельно, потому что так меньше риска ошибиться со знаками показателей. В подобных заданиях самая частая ошибка — неправильно вычесть степени при делении и забыть, что коэффициенты тоже сокращаются.

Рассмотрим первую дробь:

\(\dfrac{3a^{-2}b^5}{2a^3b^{-1}}=\dfrac{3}{2}\cdot a^{-2-3}\cdot b^{5-(-1)}=\dfrac{3}{2}a^{-5}b^6.\)

Здесь важно помнить правило \(a^m/a^n=a^{m-n}\). Для \(b\) показатель в знаменателе отрицательный, поэтому вычитание превращается в сложение: \(5-(-1)=6\).

Теперь вторая дробь:

\(\dfrac{4a^4b^{-2}}{3a^{-1}b^3}=\dfrac{4}{3}\cdot a^{4-(-1)}\cdot b^{-2-3}=\dfrac{4}{3}a^5b^{-5}.\)

Перемножим результаты:

\(\left(\dfrac{3}{2}a^{-5}b^6\right)\left(\dfrac{4}{3}a^5b^{-5}\right).\)

Сокращаем коэффициенты: \(\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3}=2\). Для степеней с одинаковым основанием складываем показатели:

\(a^{-5}a^5=a^0=1,\quad b^6b^{-5}=b^{6+(-5)}=b.\)

Получаем:

\(2\cdot 1 \cdot b = 2b.\)

Ответ: \(2b\).

Почему это хороший экзаменационный приём: сначала упростить каждую дробь, а потом перемножить — это снижает число вычислений и помогает не потерять отрицательные показатели. Если сразу раскрывать всё в одном выражении, легко перепутать, где надо складывать показатели, а где вычитать.

Типичные ошибки:

• писать \(a^{-2}/a^3=a^{1}\) вместо \(a^{-5}\);
• забывать, что \(b^{-1}\) в знаменателе меняет знак показателя при делении;
• не сокращать коэффициенты \(3\) и \(3\), \(4\) и \(2\);
• оставлять отрицательные степени в ответе, хотя их можно убрать.

Проверка себя: если в промежуточном ответе после сокращения одинаковых оснований остаются только коэффициент и одна переменная, значит, вы всё сделали правильно.

Рассмотрим числитель отдельно. Здесь дано выражение вида квадрат суммы/разности минус квадраты отдельных слагаемых. Для таких заданий в ЕГЭ профильного уровня важно не подставлять числа, а увидеть тождественное преобразование.

Раскроем квадрат разности по формуле:

\[(3x-2y)^2=9x^2-12xy+4y^2.\]

Подставим это в числитель:

\[(3x-2y)^2-9x^2-4y^2=(9x^2-12xy+4y^2)-9x^2-4y^2.\]

Теперь аккуратно приводим подобные слагаемые. Термины \(9x^2\) и \(-9x^2\) взаимно уничтожаются, так же как \(4y^2\) и \(-4y^2\). Остаётся:

\[-12xy.\]

Тогда всё выражение равно

\[\dfrac{-12xy}{-12xy}=1,\]

при условии, что знаменатель не равен нулю. Это и есть область допустимых значений: \(x\neq 0\) и \(y\neq 0\). Именно поэтому важно в конце помнить про ОДЗ, хотя итоговое упрощение получается постоянным числом.

Ответ: \(1\).

Как решать такие задачи на экзамене: сначала распознайте формулу квадрата разности, затем раскройте скобки, после этого сократите одинаковые члены. В подобных выражениях очень частая ошибка — забыть про средний член \(-2\cdot 3x\cdot 2y=-12xy\) или неверно изменить знак при делении на отрицательное число. Ещё одна типичная ловушка — попытка сократить выражение до раскрытия скобок: это нельзя делать, пока не получена явная форма числителя.

Проверка себя: если после раскрытия скобок все квадраты исчезли, а остался только смешанный член, значит преобразование выполнено верно. В данном случае именно так и происходит, поэтому итог равен 1.

Рассмотрим выражение

\(\dfrac{(2\sqrt{12})^3}{\sqrt{27}}\).

Здесь важно не пытаться сначала вычислять приближённые значения корней. В задачах ЕГЭ Профиль на степени и корни почти всегда нужно использовать свойства корней и степеней: сначала упростить подкоренные выражения, затем аккуратно возводить в степень, и только после этого сокращать.

Шаг 1. Упростим корень в числителе.

\(\sqrt{12} = \sqrt{4\cdot 3} = 2\sqrt{3}\).

Тогда

\(2\sqrt{12} = 2\cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}.\)

Теперь числитель становится

\((4\sqrt{3})^3\).

Шаг 2. Возводим произведение в степень.

Используем свойство \((ab)^n=a^n b^n\):

\((4\sqrt{3})^3 = 4^3\cdot (\sqrt{3})^3 = 64\cdot (\sqrt{3})^3.\)

Теперь разберём \((\sqrt{3})^3\):

\((\sqrt{3})^3 = (\sqrt{3})^2\cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}.\)

Значит, числитель равен

\(64\cdot 3\sqrt{3} = 192\sqrt{3}.\)

Шаг 3. Упростим знаменатель.

\(\sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}.\)

Шаг 4. Сократим общий множитель.

Получаем

\(\dfrac{192\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}\).

Сокращаем \(\sqrt{3}\) и делим 192 на 3:

\(\dfrac{192}{3}=64\).

Итак, значение выражения равно 64.

Почему это типичная ловушка? Частая ошибка — неверно возводить корень в куб, например писать \(\sqrt{3}^3=\sqrt{9}=3\). Это неверно: при нечётной степени от корня остаётся один корень, потому что \(x^3=x^2\cdot x\), а \((\sqrt{3})^2=3\), значит \((\sqrt{3})^3=3\sqrt{3}\). Ещё одна ошибка — пытаться сокращать корни до того, как выражение приведено к удобному виду.

Проверка ответа. После упрощения корни в числителе и знаменателе действительно взаимно сокращаются, а результат — целое число. Это хороший признак, что преобразования выполнены верно.

Сначала проверим область допустимых значений: условие x > 0 нужно не случайно, потому что в выражении есть \(\sqrt{x}\) в знаменателе и также \(x\) в знаменателе. При x=0 выражение не имеет смысла, а при x>0 корень определён и знаменатели не обращаются в ноль.

Теперь упростим выражение по частям:

\(\dfrac{3\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}}-\dfrac{2\sqrt{x}}{x}\).

Первую дробь удобно разделить на сумму двух дробей:

\(\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{4}{\sqrt{x}}\).

Здесь важно не ошибиться: \(\sqrt{x}/\sqrt{x}=1\) только потому, что \(x>0\), то есть знаменатель не равен нулю. Тогда

\(\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=3\).

Вторая дробь тоже упрощается через свойство корней и степеней:

\(\dfrac{2\sqrt{x}}{x}=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}=\dfrac{2}{\sqrt{x}}\).

Это один из самых частых экзаменационных нюансов: \(x=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}\), поэтому можно сократить один множитель \(\sqrt{x}\), но нельзя писать, что \(\sqrt{x}/x=\sqrt{x}\) или что \(\sqrt{x}/x=1/x\). Правильный результат — \(1/\sqrt{x}\).

Подставим полученные преобразования:

\(3+\dfrac{4}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\).

Собираем подобные дроби:

\(3+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\).

Итак, правильный ответ:

\(3+\dfrac{2}{\sqrt{x}}\).

Как проверять себя на ЕГЭ: если в ответе появляется выражение того же вида, что и в вариантах, полезно мысленно проверить на простом допустимом значении, например на \(x=1\). Тогда исходное выражение равно \((3\cdot1+4)/1-2\cdot1/1=7-2=5\), а полученный результат даёт \(3+2/1=5\). Совпадение подтверждает, что упрощение выполнено верно.

Типичные ошибки:

• не разделяют дробь на сумму дробей и сразу «теряют» часть слагаемых;
• неправильно сокращают \(\sqrt{x}/x\);
• забывают про условие \(x>0\);
• ошибаются со знаком при вычитании второй дроби.

Сначала важно увидеть, что все основания можно привести к одной и той же основе — к числу 2. Это стандартный приём в заданиях на упрощение степеней: если основания связаны как 4 = 2² и 8 = 2³, то выражение удобно переписать через одну базу.

Имеем:

\(2^{\sqrt{5}+1}\cdot 8^{\sqrt{5}-1} = 2^{\sqrt{5}+1}\cdot (2^3)^{\sqrt{5}-1} = 2^{\sqrt{5}+1}\cdot 2^{3(\sqrt{5}-1)}\).

Теперь используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: показатели складываются.

\(2^{\sqrt{5}+1}\cdot 2^{3\sqrt{5}-3} = 2^{(\sqrt{5}+1)+(3\sqrt{5}-3)} = 2^{4\sqrt{5}-2}\).

Знаменатель преобразуем аналогично:

\(4^{2\sqrt{5}} = (2^2)^{2\sqrt{5}} = 2^{4\sqrt{5}}\).

Теперь всё выражение — это деление степеней с одинаковым основанием, значит показатели вычитаются:

\(\dfrac{2^{4\sqrt{5}-2}}{2^{4\sqrt{5}}} = 2^{(4\sqrt{5}-2)-4\sqrt{5}} = 2^{-2}\).

Получаем:

\(2^{-2} = \dfrac{1}{4}\).

Ответ: \(\dfrac{1}{4}\).

Почему здесь легко ошибиться? Частая ошибка — сначала пытаться «сократить» числители и знаменатели по отдельности, не приводя всё к одной основе. Ещё одна типичная ловушка — неверно раскрыть степень произведения: \((2^3)^{\sqrt{5}-1}\neq 2^{3\sqrt{5}-1}\), потому что показатель умножает всю скобку: \(3(\sqrt{5}-1)\). Наконец, при делении степеней важно вычитать именно показатели, а не складывать их.

Самопроверка: после приведения к одной базе можно быстро проверить, что в числителе и знаменателе показатель при 2 отличается ровно на 2, значит результат должен быть \(2^{-2}\), то есть \(1/4\). Это хороший способ убедиться в вычислении на экзамене.