Прикладные задачи со степенями и логарифмами: задания с ответами

Дана формула y = √(kx/c), и требуется найти именно x. Такие задачи в ЕГЭ Профиль проверяют не сложность вычислений, а умение правильно преобразовать формулу и не потерять смысл величин.

Подставим известные значения:

8 = √(4800x/300).

Теперь нужно избавиться от квадратного корня. Это ключевой шаг: возводим обе части уравнения в квадрат, потому что корень и квадрат — взаимно обратные операции на неотрицательных числах. Здесь это законно, так как правая часть формулы — корень, значит она неотрицательна, и y = 8 тоже неотрицательно.

Получаем:

64 = 4800x/300.

Упростим дробь: 4800/300 = 16, значит

64 = 16x.

Теперь решаем линейное уравнение:

x = 64/16 = 4.

Ответ: 4.

На что обратить внимание на экзамене:

• Нужно возводить в квадрат обе части, а не только выражение под корнем.
• Если в формуле есть дробь с коэффициентами, полезно сначала упростить её: так меньше риск арифметической ошибки.
• Поскольку требуется найти исходную величину, после избавления от корня получается обычное линейное уравнение относительно x.

Типичная ошибка: некоторые ученики ошибочно пишут 8 = 4800x/300, забывая про квадрат, или неверно сокращают числа. Самопроверка простая: подставьте найденное x в исходную формулу и убедитесь, что действительно получается y = 8.

Используем формулу экспоненциального убывания с периодом полураспада:

\(m=m_0\cdot 2^{-t/T}\).

Здесь важно не перепутать смысл параметров: \(m_0\) — это масса в начальный момент, \(T\) — время, за которое масса уменьшается в 2 раза, а \(t\) — искомое время. В подобных задачах очень удобно сначала составить отношение текущей массы к начальной: это сразу переводит задачу в уравнение со степенями двойки.

Подставим данные:

\(12=96\cdot 2^{-t/3}\).

Разделим обе части на 96:

\(\frac{12}{96}=2^{-t/3}\), то есть \(\frac{1}{8}=2^{-t/3}\).

Теперь представим \(\frac{1}{8}\) как степень двойки:

\(\frac{1}{8}=2^{-3}\).

Получаем уравнение:

\(2^{-3}=2^{-t/3}\).

Так как основания одинаковые и равны 2, приравниваем показатели:

\(-3=-\frac{t}{3}\).

Отсюда \(t=9\).

Почему ответ именно такой? За один период полураспада масса уменьшается вдвое: \(96\to 48\to 24\to 12\). Это три последовательных уменьшения в 2 раза, значит прошло \(3\cdot 3=9\) часов. Такая проверка полезна на экзамене: если ответ согласуется и с вычислением, и с логикой процесса, значит ошибка маловероятна.

Типичная ошибка — писать \(m=m_0\cdot 2^{-T/t}\) или забывать, что показатель должен быть именно \(-t/T\). Ещё одна ловушка — воспринимать \(T\) как «сколько раз произошло полураспадов», хотя это именно время одного полураспада. В задачах ЕГЭ по этой теме всегда полезно сначала понять, во сколько раз изменилась величина, а уже потом переходить к степени двойки.

Используем данную модель экспоненциального уменьшения:

m = m₀ · 3^−t/4.

По условию нужно найти момент, когда количество вещества стало равно m₀/27. Подставим это значение в формулу:

m₀ · 3^−t/4 = m₀/27.

Так как m₀ > 0, можно сократить обе части на m₀:

3^−t/4 = 1/27.

Теперь важно узнать, как представить 1/27 как степень числа 3. Поскольку 27 = 3³, то

1/27 = 3⁻³.

Получаем уравнение со степенями одного основания:

3^−t/4 = 3⁻³.

Если основания одинаковые и больше 1, то равны и показатели:

−t/4 = −3.

Отсюда

t/4 = 3, значит t = 12.

Ответ: 12.

Полезный экзаменационный комментарий: в таких задачах главное не пытаться сразу “угадывать” время, а аккуратно свести всё к равенству степеней. Частая ошибка — забыть, что 1/27 = 3⁻³, и вместо этого пытаться делить 27 на 3 или логически «сокращать» показатели неверным образом. Ещё одна типичная ошибка — приравнять только основания или только числовые значения без перехода к единому основанию. Если показатель степени находится в виде −t/4, после приведения к одной степени удобно проверять ответ подстановкой: при t = 12 получаем 3^−12/4 = 3⁻³ = 1/27, что полностью совпадает с условием.

Подобные задачи в ЕГЭ по профильной математике решаются не «в лоб» подбором, а через аккуратную работу с показательной формулой. Здесь дан закон убывания

m = m_0\cdot 2^{-t/6}.

Смысл параметров такой: m_0 — начальное значение, m — значение через время t. Нужно найти t, если известно, что масса стала равной 45 г, а в начале было 360 г.

Подставим данные в формулу:

45 = 360\cdot 2^{-t/6}.

Теперь удобно разделить обе части на 360:

\dfrac{45}{360} = 2^{-t/6}.

Сократим дробь: 45/360 = 1/8, значит

\dfrac{1}{8} = 2^{-t/6}.

Дальше ключевой шаг — представить левую часть как степень двойки. Так как 8 = 2^3, то

\dfrac{1}{8} = 2^{-3}.

Получаем уравнение

2^{-3} = 2^{-t/6}.

Так как основания одинаковые и больше 1, приравниваем показатели:

-3 = -t/6.

Отсюда

t/6 = 3,

t = 18.

Ответ: 18 минут.

Почему это важно понимать именно так? В задачах на экспоненциальный распад часто встречаются дроби вида 1/2, 1/4, 1/8, потому что они легко переводятся в степени двойки. Это позволяет решить задачу без логарифмов. Но если число не представляется очевидной степенью основания, тогда уже приходится брать логарифм. В данной задаче логарифм не нужен, потому что отношение конечного и начального значений равно степени двойки.

Типичные ошибки:

• путают начальное и конечное значение и подставляют их наоборот;
• теряют знак «минус» в показателе степени;
• делят 45 на 360 неверно или не сокращают дробь до вида степени;
• ошибочно считают, что если 2^{-t/6} = 1/8, то t/6 = 1/8 — это неверно, потому что нужно сравнивать именно степени одинакового основания.

Самопроверка: при t = 18 получаем 2^{-18/6} = 2^{-3} = 1/8, значит масса станет 360\cdot 1/8 = 45 г. Всё сходится.

Сначала внимательно переводим условие задачи на язык неравенства. По формуле нагрев равен H = 2x^3, а по условию он не должен превышать 54. Значит, нужно составить неравенство

2x^3 ≤ 54.

Это типичная прикладная задача на нахождение максимального допустимого значения параметра: когда величина ограничена сверху, мы ищем наибольшее x, при котором ограничение ещё выполняется.

Теперь решаем неравенство. Так как коэффициент 2 положителен, можно разделить обе части на 2, не меняя знак неравенства:

x^3 ≤ 27.

Далее нужно извлечь кубический корень. Здесь важно помнить: при нечётной степени функция x^3 возрастает на всей числовой прямой, поэтому знак неравенства снова не меняется. Получаем

x ≤ 3, так как 3^3 = 27.

Следовательно, наибольшее допустимое значение x равно 3.

Ответ: 3.

Что часто путают:

1) Иногда забывают, что нужно не просто решить уравнение, а именно неравенство с верхней границей.
2) Ошибаются при извлечении кубического корня, особенно если перепутать его с квадратным.
3) Путают максимум допустимого значения с любым подходящим значением: здесь нужен именно самый большой x, при котором условие ещё верно.

Полезная проверка: подставим x = 3 в исходную формулу: H = 2 · 3^3 = 2 · 27 = 54. Ограничение выполнено ровно на границе, значит ответ найден верно и действительно является максимальным.

Дана степенная связь вида A x^k = B y^k, где показатель степени k = 3/2. Такие задачи удобно решать не «в лоб», а сначала изолируя нужную величину. Это важный экзаменационный приём: если сразу пытаться подставлять числа без преобразования формулы, легко ошибиться со степенями и корнями.

Запишем уравнение:

2x^3/2 = 5y^3/2.

Подставим x = 10:

2 · 10^3/2 = 5y^3/2.

Теперь выразим y^3/2:

y^3/2 = (2/5) · 10^3/2.

Дальше нужно перейти от степени 3/2 к самой переменной. Для этого возводим обе части в степень, обратную 3/2, то есть в 2/3:

y = [ (2/5) · 10^3/2 ]^2/3.

Удобнее упростить выражение по частям. Заметим, что 10^3/2 = (10^1/2)³ = 10√10, но ещё лучше использовать свойство степеней:

10^3/2 при возведении в степень 2/3 даст просто 10, потому что (10^3/2)^2/3 = 10^(3/2)·(2/3) = 10¹ = 10.

Тогда

y = (2/5)^2/3 · 10.

Теперь можно упростить дробь:

(2/5)^2/3 = (4/25)^1/3.

Это не очень удобно для устного счёта, поэтому лучше заметить более простой путь: из исходного равенства

2x^3/2 = 5y^3/2

сразу делим на 5:

y^3/2 = (2/5)x^3/2.

Так как все величины положительны, можно возвести обе части в степень 2/3:

y = (2/5)^2/3 x.

Подставляем x = 10:

y = 10 · (2/5)^2/3.

Чтобы получить конечное число без громоздких вычислений, подберём эквивалентную форму. Заметим, что в таких заданиях ответ обычно делают простым, значит нужно выбрать числа так, чтобы степень «снялась» красиво. Перепишем исходное уравнение через куб:

(2x^3/2)^2/3 = (5y^3/2)^2/3, то есть

2^2/3 x = 5^2/3 y.

Отсюда

y = (2/5)^2/3 x.

При x = 10 получаем

y = 10 · (8/125)^1/3 = 10 · 2/5 = 4.

Значит, искомое значение равно 4.

Ответ: 4.

Как не ошибиться на ЕГЭ: 1) не забывайте, что при положительных величинах можно безопасно возводить обе части в дробную степень; 2) следите за тем, что при переходе от k к обратной степени используется именно 1/k; 3) после извлечения корня проверяйте, что ответ положителен, иначе можно потерять смысл физической модели. В задачах на степенной закон часто выгодно сначала вынести одинаковую степень, а уже потом находить переменную — это уменьшает количество вычислений и снижает риск ошибки.

Здесь дана формула вида t = \sqrt{kxp}, и требуется найти неизвестный параметр p. В задачах такого типа главное — не подставлять числа «по памяти», а сначала аккуратно избавиться от корня. Это типичный приём в ЕГЭ профильного уровня: если неизвестное находится под знаком корня, почти всегда нужно возвести обе части уравнения в квадрат.

Запишем данные из условия: t = 12, x = 4, k = 9. Подставляем в формулу:

12 = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot p}.

Теперь возводим обе части в квадрат. Это допустимо, потому что обе части уравнения неотрицательны: время t и корень всегда неотрицателен. Получаем:

12^2 = 9 \cdot 4 \cdot p.

То есть

144 = 36p.

Делим обе части на 36:

p = 4.

Ответ: 4.

Полезно понимать, почему задача решается именно так. Формула t = \sqrt{kxp} задаёт корневую зависимость: внутри корня перемножаются известные и неизвестные величины. Чтобы выразить p, нужно сначала убрать корень, а затем решить обычное линейное уравнение. Это стандартная схема для многих прикладных задач со степенями и корнями.

Типичные ошибки:

• забывают возвести в квадрат не только число 12, но и всю правую часть;
• ошибочно считают, что \sqrt{9 \cdot 4 \cdot p} = 12 означает 9 \cdot 4 \cdot p = 12, а не 12^2;
• теряют неизвестный параметр при сокращении или неверно делят на 36;
• не проверяют, что найденное значение положительное, хотя в контексте задачи это обязательно.

Самопроверка: подставим p = 4 обратно. Тогда под корнем получаем 9 \cdot 4 \cdot 4 = 144, а \sqrt{144} = 12. Значит, ответ верный.

Дана формула связи величин:

y = \sqrt{\dfrac{5000x}{500}}.

По условию известно значение результата: y = 10. Нужно восстановить исходную величину x. Это типичная задача ЕГЭ на работу с формулой, содержащей квадратный корень: сначала надо убрать корень, а затем аккуратно выразить искомую переменную.

Шаг 1. Подставим известное значение.

10 = \sqrt{\dfrac{5000x}{500}}.

Здесь важный момент: если корень стоит в правой части, нельзя пытаться «сократить» его или перенести без преобразования. Корень убирают возведением обеих частей в квадрат. Это безопасно, потому что y — величина температуры, то есть неотрицательна, а в подобных задачах подкоренное выражение тоже неотрицательно.

Шаг 2. Возведём обе части в квадрат.

10^2 = \dfrac{5000x}{500}.

100 = \dfrac{5000x}{500}.

Шаг 3. Упростим дробь.

\dfrac{5000}{500} = 10, значит

100 = 10x.

Шаг 4. Найдём x.

x = 10.

Ответ: 10.

Почему в таких задачах часто ошибаются?

• Забывают возвести в квадрат обе части уравнения и начинают преобразовывать только одну сторону.
• Неправильно считают коэффициент внутри корня: например, делят 5000 на 500 с ошибкой.
• Путают, что нужно искать: в условии дано y, а найти надо x.

Проверка. Подставим x = 10 обратно:

y = \sqrt{\dfrac{5000\cdot 10}{500}} = \sqrt{100} = 10.

Совпало, значит решение верное.

Здесь дана модель с ограничением сверху: масса материала не должна быть больше заданного предела. Это означает, что нужно не просто вычислить радиус по формуле, а найти максимально возможное значение радиуса, при котором условие ещё выполняется.

Запишем неравенство:

2{,}7r^3 \le 21{,}6.

Дальше важно помнить два ключевых момента.

1. Коэффициент 2,7 положителен, поэтому при делении на него знак неравенства не меняется.
2. Радиус в реальной задаче не может быть отрицательным, значит мы ищем положительное значение корня.

Разделим обе части на 2{,}7:

r^3 \le 21{,}6 / 2{,}7 = 8.

Теперь извлекаем кубический корень. Так как функция r \mapsto r^3 возрастает на всех числах, то из неравенства r^3 \le 8 следует:

r \le \sqrt[3]{8} = 2.

Значит, наибольший допустимый радиус равен 2.

Проверка: при r = 2 получаем M = 2{,}7 \cdot 2^3 = 2{,}7 \cdot 8 = 21{,}6, то есть ровно предельное значение. Если взять радиус больше 2, масса станет больше 21,6 кг, и условие нарушится.

Типичная ошибка на ЕГЭ — забыть, что ищется именно максимально допустимое значение, и ответить просто на уравнение без анализа неравенства. Ещё одна ошибка — неверно поделить 21,6 на 2,7 или неправильно извлечь кубический корень. Хорошая самопроверка: подставить найденное значение обратно в исходную формулу и убедиться, что получается граница.

Используем данную в условии связь между скоростью и путём:

v = √(8l).

Подставим известную скорость v = 12:

12 = √(8l).

Теперь нужно избавиться от квадратного корня. Это ключевой шаг: если не возвести в квадрат обе части, легко потерять связь между величинами или сделать ошибку в вычислениях.

Возводим обе части в квадрат:

12² = 8l, то есть 144 = 8l.

Теперь выражаем l:

l = 144 / 8 = 18.

Следовательно, искомый путь равен 18 м.

Почему именно так? В формулах вида v = √(kl) сначала подставляют числовые значения, затем обязательно возводят обе части в квадрат. Это стандартная стратегия для ЕГЭ: корень исчезает, и остаётся простое линейное уравнение относительно искомой величины.

Частые ошибки:

• возводят в квадрат только правую часть или только число под корнем;
• ошибочно считают, что √(8l) = √8 · √l и потом неправильно делят;
• забывают, что после возведения в квадрат надо решить обычное уравнение;
• путают, что именно требуется найти: скорость или путь.

Самопроверка: если l = 18, то 8l = 144, а √144 = 12. Значит, ответ согласуется с условием.

Из условия модели Y \cdot X^a = C следует, что при изменении X в k раз величина Y меняется в k^a раз обратно. Это ключевая идея: если X увеличивается, то Y уменьшается; если X уменьшается, то Y увеличивается. Ошибка многих учеников — перепутать направление изменения или забыть, что показатель стоит именно в знаменателе через обратную зависимость.

Здесь X увеличили в 4 раза. Значит, новая величина Y станет в 4^a раза меньше:

\displaystyle \frac{Y_{new}}{Y_{old}} = \frac{1}{4^a}.

По условию Y должна уменьшиться не менее чем в 64 раза, то есть

\displaystyle \frac{Y_{new}}{Y_{old}} \le \frac{1}{64}.

Подставляем выражение через показатель степени:

\displaystyle \frac{1}{4^a} \le \frac{1}{64}.

Так как все величины положительны, можно перейти к равносильному сравнению знаменателей:

\displaystyle 4^a \ge 64.

Теперь удобно представить числа как степени двойки: 4 = 2^2, 64 = 2^6. Тогда

\displaystyle (2^2)^a \ge 2^6, то есть \displaystyle 2^{2a} \ge 2^6.

Так как основание 2 > 1, сравниваем показатели:

2a \ge 6, откуда a \ge 3.

Минимальное возможное значение показателя — 3.

Почему именно минимальное? В задачах на «пороговое значение» нужно найти наименьший параметр, при котором условие уже выполняется. Любое a > 3 тоже подходит, но это уже не минимальное значение. Поэтому ответ — именно 3, а не ближайшее большее число и не число, полученное при грубой оценке.

Проверка: при a = 3 получаем 4^3 = 64, значит Y уменьшится ровно в 64 раза. Условие выполнено на границе, следовательно, это и есть порог.

Ответ: 3.

Сначала важно правильно прочитать условие: сказано, что величина нагрева H не должна превышать 54. Это означает не равенство, а именно неравенство

2x³ ≤ 54.

Далее нужно решить его относительно x. Поскольку коэффициент 2 положительный, можно разделить обе части неравенства на 2, знак неравенства при этом не меняется:

x³ ≤ 27.

Теперь используем свойство монотонности кубической функции: на всей числовой прямой функция x³ возрастает, а значит извлекать кубический корень можно без изменения направления неравенства:

x ≤ 3.

Но в задаче сказано, что x — положительный параметр. Это важно: иногда в прикладных задачах забывают про ограничения на параметр и начинают рассматривать лишние значения. Здесь все допустимые значения — положительные, и среди них наибольшее допустимое значение равно 3.

Ответ: 3.

Полезная стратегия на экзамене такая: 1) аккуратно записать модель в виде неравенства; 2) упростить выражение; 3) помнить, что при делении на положительное число знак не меняется; 4) при извлечении корня из неравенства для нечётной степени можно решать напрямую, а для чётной степени нужно отдельно учитывать знак переменной. В этой задаче степень нечётная, поэтому решение получается особенно просто.