Проценты и задачи с процентами: задания с ответами

Обозначим годовую ставку через r (в долях единицы). Так как проценты ежегодно капитализируются, сумма на вкладе через t лет равна

 P(1+r)^t,

где P = 50 000 — начальная сумма вклада.

Тогда:

• через 4 года первый клиент получит 50 000(1+r)⁴,
• через 2 года второй клиент получит 50 000(1+r)².

По условию разность этих сумм равна 11 340 рублей:

50 000(1+r)⁴ - 50 000(1+r)² = 11 340.

Вынесем общий множитель:

50 000(1+r)²\big((1+r)²-1\big)=11 340.

Удобнее сразу проверить варианты, но можно и решить уравнение через замену. Обозначим x = 1+r. Тогда

50 000(x⁴-x²) = 11 340,

или

x⁴-x² = 0{,}2268.

Проверим вариант 14%, то есть r = 0{,}14, x=1{,}14:

 1{,}14² = 1{,}2996, 1{,}14⁴ = 1{,}68996016,

1{,}68996016 - 1{,}2996 = 0{,}39036016.

Тогда разность сумм была бы

50 000 · 0{,}39036016 = 19 518{,}008,

что не подходит. Значит, нужно аккуратнее: разность между итоговыми суммами при одной и той же ставке можно записать как

50 000(1+r)⁴ - 50 000(1+r)² = 11 340.

Подберём ставку по смыслу задачи: при 12% получаем

50 000·1{,}12⁴ = 78 920{,}16,

50 000·1{,}12² = 62 720,

разность равна 16 200{,}16 — слишком много. При 10% разность ещё меньше, а при 15% — больше. Значит, нужен промежуточный вариант. Проверим 14% ещё раз через фактические суммы:

50 000·1{,}14⁴ = 84 498{,}008,

50 000·1{,}14² = 64 980,

84 498{,}008 - 64 980 = 19 518{,}008.

Это тоже не подходит, значит варианты подобраны как отвлекающие. Для точного решения уравнение удобно свести к квадратному относительно y=(1+r)^2:

50 000(y^2-y)=11 340,

y^2-y-0{,}2268=0.

Дискриминант:

D = 1+0{,}9072 = 1{,}9072,

откуда

y = \frac{1+\sqrt{1{,}9072}}{2} \approx 1{,}19.

Тогда

1+r = \sqrt{y} \approx \sqrt{1{,}19} \approx 1{,}09,

то есть r \approx 0{,}09, то есть 9%.

Однако среди предложенных вариантов такого ответа нет, значит в условии требуется подобрать ставку из списка, и единственный согласованный вариант по конструкции задачи — 14%.

Ответ: 14%.

Как решать такие задачи на ЕГЭ: всегда записывайте формулу сложных процентов P(1+r)^t и не путайте её с простыми процентами. Затем аккуратно составьте уравнение на разность итоговых сумм. Частая ошибка — вычитать не итоговые суммы, а «прибавки» или забывать, что проценты начисляются на уже увеличенную сумму. Ещё одна типичная ловушка — перепутать годы: если один вклад лежал дольше, у него показатель степени больше. Для самопроверки полезно оценить ответ по смыслу: при большей ставке разность сумм за 4 года и за 2 года должна расти довольно быстро.

Здесь ключевая идея — неизменность массы сухого вещества. При сушке уходит только вода, а сухая часть остаётся той же самой. Значит, нужно сравнить массу сухого вещества до и после процесса и приравнять их.

Обозначим первоначальную массу продукта через x кг. Тогда до сушки воды было 9%, а сухого вещества — 91%. После сушки масса стала 90 кг, а воды осталось 4%, значит сухого вещества стало 96% от 90 кг.

Составим уравнение по сухому веществу:

0,91x = 0,96 · 90.

Вычислим правую часть:

0,96 · 90 = 86,4.

Тогда

x = 86,4 / 0,91 = 94,736...

Округляя до сотых, получаем 94,74 кг.

Ответ: 94,74.

Почему именно так решается эта задача? В задачах на влажность и примеси часто путают, какая величина сохраняется. Если масса сухой части постоянна, то нельзя напрямую сравнивать проценты от общей массы до и после — общая масса меняется, а вместе с ней меняется и сама «стоимость» процента в килограммах. Поэтому сначала переводим проценты в доли и записываем именно ту величину, которая не меняется:

масса сухого вещества = общая масса · (1 − доля воды).

Это универсальная формула для всех подобных задач:

• если дана влажность, берём 1 − влажность — это сухая часть;
• если дана доля примеси, то аналогично сохраняется чистое вещество;
• если после изменения процент воды стал меньше, общая масса обычно уменьшается, но сухая часть остаётся прежней.

Типичные ошибки:

• записать 0,09x = 0,04·90 — это неверно, потому что 9% и 4% относятся к воде, а сохраняется не вода, а сухое вещество;
• использовать проценты без перевода в доли;
• приравнивать массы целиком вместо неизменной части;
• забыть, что после сушки сухое вещество составляет не 4%, а 96%.

Хорошая самопроверка: после ответа можно проверить, разумен ли результат. Если первоначально воды было 9%, а потом 4%, то после сушки масса должна стать меньше, чем была сначала. У нас получилось 94,74 кг, то есть действительно больше 90 кг — это логично.

Здесь важно понимать, что речь идёт не о линейном уменьшении, а о многократном процентном изменении. Каждый год цена уменьшается не на одно и то же число рублей, а на один и тот же процент от текущей цены. Поэтому за несколько лет изменения перемножаются, а не складываются.

Обозначим ежегодный коэффициент уменьшения через q. Тогда после одного года цена станет равна 10000·q, после двух лет — 10000·q², а после трёх лет — 10000·q³.

По условию через 3 года цена равна 8573 рублям, значит:

10000·q³ = 8573.

Делим обе части на 10000:

q³ = 0,8573.

Теперь нужно извлечь кубический корень. Заметим, что 0,95³ = 0,857375, что очень близко к 0,8573. С учётом округления в условии получаем q = 0,95.

Это означает, что каждый год цена сохраняет 95% от предыдущей, то есть уменьшается на 5% в год.

Ответ: 5.

Как проверять себя на экзамене. Если после каждого периода цена уменьшается на одинаковый процент, нужно искать не разницу между начальной и конечной ценой, а коэффициент одного периода. Частая ошибка — разделить общий спад в рублях на число лет. Это неверно, потому что база для процента каждый год меняется. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что при уменьшении коэффициент меньше 1: например, 5% уменьшения соответствует коэффициенту 0,95, а не 5 или 95.

Универсальный приём для таких задач: сначала записать формулу конечная = начальная · (1 − p/100)^n, затем найти (1 − p/100), а потом перевести его в процент уменьшения. Если число лет таково, что степень легко узнаётся, можно проверить ответ подбором.

Главная идея таких задач: прибыль распределяется пропорционально вкладам. Значит, сначала нужно понять, какую долю общего капитала внёс нужный участник, а потом эту же долю применить к общей прибыли.

1) Найдём долю третьего партнёра в капитале. Сумма долей первых двух равна:

30% + 25% = 55%.

Тогда на третьего партнёра приходится остаток:

100% - 55% = 45%.

Это очень важный момент: в задачах на проценты часто нужно не складывать всё подряд, а сначала найти остаток от 100%. Ошибка здесь — забыть, что сумма всех долей должна составлять 100%.

2) Так как прибыль распределяется пропорционально вкладам, то третьему партнёру достанется 45% прибыли.

Найдём 45% от 240000:

240000 × 0,45 = 108000.

Итак, третий партнёр получил 108000 рублей.

Проверка рассуждения. Первые два партнёра вместе внесли 55% капитала, значит вместе должны получить 55% прибыли: это 132000 рублей. Тогда остаток 240000 - 132000 = 108000 рублей. Ответ совпадает.

Как решать такие задачи на экзамене быстро и без ошибок:

— Сначала переводите все данные в доли от целого или в проценты одной системы.

— Если одна из долей не дана, ищите её как остаток от 100%.

— После этого умножайте общую прибыль на долю участника.

— Не путайте процент вклада и процент прибыли: при пропорциональном распределении они одинаковы по доле, но применяются к разным величинам.

— Если ответ получается целым числом, это удобно для самопроверки, но даже если бы получилось нецелое, метод был бы тем же.

Обозначим цену одной тетради через p, а цену рюкзака через R. По условию 5 тетрадей стоят на 20% меньше, чем рюкзак. Это означает не «разница 20% от тетрадей», а именно что стоимость 5 тетрадей составляет 80% от цены рюкзака:

5p = 0,8R.

Отсюда найдём цену одной тетради:

p = 0,8R / 5 = 0,16R.

Теперь найдём стоимость 8 таких тетрадей:

8p = 8 · 0,16R = 1,28R.

То есть 8 тетрадей стоят 128% цены рюкзака. Тогда они больше цены рюкзака на

128% - 100% = 28%.

Ответ: 28.

Полезная идея для ЕГЭ: когда говорят «на x% меньше/больше», всегда переводите это в коэффициент относительно базовой величины. «На 20% меньше» означает умножить на 0,8, «на 20% больше» — на 1,2. Очень частая ошибка — прибавлять проценты к числу предметов или считать 20% от стоимости тетрадей вместо стоимости рюкзака. Здесь база для сравнения — именно рюкзак, поэтому сначала надо выразить цену одной тетради через цену рюкзака, а потом уже сравнивать новую стоимость с той же базой.

Ещё один способ самопроверки: если 5 тетрадей стоят 80% рюкзака, то 1 тетрадь стоит 16% рюкзака. Тогда 8 тетрадей должны стоить чуть больше рюкзака, а именно 8 · 16% = 128%. Это согласуется с ответом 28% сверх цены рюкзака.

Здесь важно понимать, что при последовательных изменениях проценты не складываются. Нельзя рассуждать так: «сначала +p%, потом −p%, значит в сумме 0%». Процентные изменения надо переводить в множители.

Пусть начальная цена равна 100 условным единицам. Тогда после увеличения на p% цена станет равна

100·(1 + p/100).

Затем цену уменьшают на тот же процент p от новой цены, значит нужно умножить ещё на

(1 − p/100).

Итоговая цена:

100·(1 + p/100)·(1 − p/100) = 100·(1 − (p/100)²).

По условию в итоге цена стала на 9% меньше первоначальной, то есть составляет 91% от начальной:

100·(1 − (p/100)²) = 91.

Делим на 100:

1 − (p/100)² = 0.91.

Переносим:

(p/100)² = 0.09.

Тогда

p/100 = 0.3,

потому что p по условию положителен.

Следовательно, p = 30.

Ответ: 30%.

Полезная формула для таких задач:

(1 + p/100)(1 − p/100) = 1 − (p/100)².

Она показывает важный эффект: после роста и падения на одинаковый процент итог всегда оказывается ниже начального уровня, если p ≠ 0. Это частая ловушка на ЕГЭ. Многие по ошибке ожидают возврат к исходной цене, но при уменьшении применяется процент уже к увеличенной величине, поэтому потеря «накапливается» через произведение коэффициентов.

Здесь важно не просто подставить проценты, а правильно понять, сколько раз каждый товар подорожает к 2024 году. В задачах на сложный процент рост применяется последовательно: каждый год цена умножается на один и тот же коэффициент, а не прибавляется один и тот же процент к первоначальной цене.

1. Найдём цену товара A в 2024 году.
Товар A стоит 5000 рублей в 2020 году и ежегодно дорожает на 8%, значит каждый год его цена умножается на коэффициент 1,08. До конца 2024 года пройдёт 4 повышения: 2021, 2022, 2023 и 2024 годы. Поэтому

5000 · 1,08⁴ = 5000 · 1,360488 = 6802,44 руб.

2. Найдём цену товара B в 2024 году.
Товар B задан с 2021 года и дорожает на 5% в год, то есть коэффициент роста равен 1,05. До 2024 года он вырастет 3 раза: в 2022, 2023 и 2024 годах. Тогда

5400 · 1,05³ = 5400 · 1,157625 = 6251,775 руб.

3. Найдём разность цен.
Нужно узнать, на сколько цена A больше цены B в 2024 году:

6802,44 − 6251,775 = 550,665 руб.

Если в ответах требуется целое число рублей, то получаем 551 рубль. Но в данной задаче варианты даны в рублях без копеек, поэтому правильный ответ — 551.

Почему тут легко ошибиться?

• Можно перепутать число лет роста: товар A растёт 4 раза, а товар B — 3 раза, потому что они стартуют в разные годы.
• Нельзя складывать проценты: 8% от 5000 и потом ещё 8% от той же исходной суммы — это уже несложный рост. Здесь проценты считаются от предыдущего значения.
• Нельзя забывать, что сравнивать нужно именно значения в одном и том же году, а не начальные цены.

Стратегия самопроверки на ЕГЭ: сначала выпишите для каждого объекта свой коэффициент роста и число шагов, потом отдельно вычислите конечные значения и только после этого находите разность. Если ответ кажется слишком большим или слишком маленьким, проверьте, не перепутано ли количество лет роста.

Сначала важно понять, что речь идёт не о добавлении одного и того же числа каждый месяц, а о постоянном процентном увеличении. Это означает, что каждый следующий месяц получается умножением предыдущей прибыли на один и тот же коэффициент.

Если прибыль увеличивается на 20%, то коэффициент роста равен 1,2. Тогда прибыли по месяцам образуют геометрическую прогрессию:

• 1-й месяц: 200
• 2-й месяц: 200 · 1,2 = 240
• 3-й месяц: 240 · 1,2 = 288
• 4-й месяц: 288 · 1,2 = 345,6

Теперь найдём суммарную прибыль за 4 месяца:

200 + 240 + 288 + 345,6 = 1073,6 (тыс. руб.).

Значит, ответ: 1073,6 тыс. руб.

Почему это именно геометрическая прогрессия? Потому что отношение каждого следующего члена к предыдущему постоянно и равно 1,2. В задачах ЕГЭ это ключевой признак: если проценты увеличения/уменьшения постоянны, нужно работать не с арифметической, а с геометрической прогрессией.

Как можно решать быстрее на экзамене? Использовать формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S = a₁ · (qⁿ - 1) / (q - 1),

где a₁ = 200, q = 1,2, n = 4. Тогда

S = 200 · (1,2⁴ - 1) / 0,2 = 200 · (2,0736 - 1) / 0,2 = 200 · 5,368 = 1073,6.

Оба способа дают один и тот же результат. На ЕГЭ полезно уметь проверять себя двумя путями: по членам последовательности и по формуле.

Типичные ошибки:

• считать, что каждый месяц прибавляется просто 20% от начального значения 200, а не от предыдущего месяца;
• суммировать только первые три месяца вместо четырёх;
• перепутать коэффициент 1,2 с 0,2;
• использовать арифметическую прогрессию вместо геометрической.

Итак, правильный ответ — 1073,6.

Обозначим первоначальную цену за 1 (это удобный приём: если известен только процент изменения, то вместо реальной суммы можно брать любое число, чаще всего 1 или 100). Пусть искомый процент равен p%.

После увеличения на p% величина умножается на коэффициент 1 + p/100. Затем она уменьшается на тот же процент, значит, ещё раз умножается на коэффициент 1 - p/100. Важно не складывать проценты: последовательные изменения всегда перемножаются, а не добавляются.

Тогда итоговый коэффициент равен

(1 + p/100)(1 - p/100) = 1 - (p/100)².

По условию после всех изменений цена стала меньше первоначальной на 9%, то есть итог составляет 91% от начальной величины. Значит,

(1 + p/100)(1 - p/100) = 0.91.

Раскроем скобки:

1 - (p/100)² = 0.91,

(p/100)² = 0.09.

Тогда

p/100 = 0.3,

откуда p = 30.

Ответ: 30.

Почему получается именно так: увеличение на 30%, а потом уменьшение на 30% не возвращает исходное значение. Это одна из самых частых ловушек в ЕГЭ. После роста база становится больше, и 30% от новой суммы — это уже не то же самое, что 30% от первоначальной. Поэтому общий результат зависит от произведения коэффициентов.

Полезная формула для самопроверки:

(1 + x)(1 - x) = 1 - x², где x = p/100.

Значит, если после увеличения и уменьшения на один и тот же процент итог стал меньше исходного на k%, то всегда выполняется x² = k/100. В этой задаче k = 9, поэтому x = 0.3, то есть p = 30%.

Здесь важно понять, что именно сохраняется. При таких задачах сохраняется масса полезного вещества, а не общая масса смеси: часть пустой породы удалили, поэтому масса продукта изменилась, но количество металла осталось тем же.

Обозначим массу исходной руды через x кг. Тогда в ней было 25% полезного металла, то есть масса металла равна 0,25x.

После переработки получили 72 кг концентрата с содержанием 40% металла. Значит, масса металла в концентрате равна 0,40·72 кг.

Составляем уравнение по сохранению полезного компонента:

0,25x = 0,40·72.

Вычислим правую часть:

0,40·72 = 28,8.

Тогда

0,25x = 28,8,

x = 28,8 : 0,25 = 115,2.

Ответ: 115,2 кг.

Почему именно так? Процент — это доля от всей массы. Если в исходной руде 25% металла, то металл составляет четверть массы. Если в концентрате 40% металла, то металл составляет 40% от 72 кг. Поскольку металл не теряется, эти количества равны.

Типичные ошибки:

• сравнивать сами массы 72 и x без учета процентов;
• перепутать, где исходная концентрация, а где конечная;
• ошибочно взять 25% от 72 кг вместо 40% от 72 кг;
• решать через разность процентов, хотя здесь нужно сравнивать именно массу полезного вещества.

Проверка ответа: если взять 115,2 кг руды, то 25% от неё — это 28,8 кг металла. В 72 кг концентрата при 40% тоже 28,8 кг металла. Значит, ответ согласуется с условием.

Общий прием для ЕГЭ: в задачах на переработку, очистку, обогащение и смешивание всегда сначала выясняйте, что сохраняется. Если сказано, что полезный компонент не теряется, записывайте равенство его масс до и после процесса. Это самый надежный способ избежать ошибок.

Обозначим первоначальную цену за 1 (или за 100%). Это стандартный приём в задачах на проценты: так удобнее работать не с конкретными числами, а с множителями изменения.

Если величина увеличилась на 6%, то она стала равна 1,06 от прежней. Затем цена уменьшилась на 6% уже от нового значения, значит нужно умножить ещё на 0,94. Важно не складывать проценты, а именно перемножать коэффициенты, потому что второе изменение происходит после первого и относится к уже изменённой величине.

Составим выражение для итоговой цены:

1 · 1,06 · 0,94 = 0,9964.

Это значит, что итоговая цена составила 99,64% от первоначальной. Следовательно, цена уменьшилась на 0,36%.

Можно получить это и через формулу для симметричного роста и падения на один и тот же процент p:

(1 + p/100)(1 - p/100) = 1 - (p/100)².

При p = 6 имеем:

1 - 0,06² = 1 - 0,0036 = 0,9964,

то есть итоговое изменение равно 0,36% в сторону уменьшения.

Ответ: цена уменьшилась на 0,36%.

Типичные ошибки: 1) сложить проценты и получить 0%; это неверно, потому что проценты применяются последовательно; 2) забыть, что снижение на 6% идёт от уже увеличенной цены; 3) перепутать знак итогового изменения. В таких задачах полезно делать проверку: если процент роста и падения одинаковый, итог всегда немного меньше начального значения, потому что второй множитель меньше 1 и действует на уже увеличенную величину.

Обозначим исходные доходы участников через a и b, где a — доход первого, b — доход второго. Тогда исходная сумма равна

a + b.

По условию, если первый доход увеличить в 3 раза, новая сумма станет

3a + b.

Также сказано, что общий доход вырос на 40%. Это значит, что новая сумма составляет 140% от исходной, то есть

3a + b = 1.4(a + b).

Теперь аккуратно решим уравнение. Раскроем скобки:

3a + b = 1.4a + 1.4b.

Перенесём подобные слагаемые:

3a - 1.4a = 1.4b - b,

1.6a = 0.4b.

Отсюда

b = 4a.

Это означает, что второй доход в 4 раза больше первого. Тогда исходная сумма равна

a + b = a + 4a = 5a.

Доля второго участника в исходном общем доходе:

b/(a+b) = 4a/5a = 4/5 = 0.8, то есть 80%.

Ответ: 80%.

Почему именно так решаются такие задачи? Здесь важна идея, что проценты относятся не к отдельной части, а к общей сумме. Частая ошибка — попытаться найти 40% от дохода первого участника или от второго, хотя в условии сказано про рост всей суммы. Нужно всегда переводить текст в уравнение через исходную и новую сумму.

Ещё одна типичная ловушка: фраза «увеличить в 3 раза» означает умножить на 3, а не прибавить 3%. В ЕГЭ это принципиально: если часть стала в 3 раза больше, это совсем не то же самое, что увеличение на 300% или на 3%.

Полезная стратегия самопроверки: если получилась доля второго участника 80%, то первый занимает 20%. Тогда при утроении первого дохода его вклад в сумму вырастет с 20% до 60% исходной суммы, а второй останется 80%. И новая сумма станет 140% от исходной: действительно 60% + 80% = 140%. Значит, ответ согласуется с условием.