Параллелограмм, прямоугольник и квадрат: свойства и площадь: задания с ответами

Обозначим смежные стороны параллелограмма через a и b, причём a > b. По условию известны периметр и разность сторон:

2(a+b)=50, значит a+b=25.

Также a-b=10.

Теперь нужно найти сами стороны. Складываем уравнения:

(a+b)+(a-b)=25+10, откуда 2a=35, значит a=17,5.

Вычитаем второе уравнение из первого:

(a+b)-(a-b)=25-10, откуда 2b=15, значит b=7,5.

Для площади параллелограмма используется формула

S = ab \sin \alpha,

где \alpha — угол между сторонами. Это важный момент: в отличие от прямоугольника, здесь площадь зависит не только от сторон, но и от угла между ними. Частая ошибка — забыть множитель \sin \alpha или подставить вместо него косинус.

Подставим найденные значения:

S = 17,5 \cdot 7,5 \cdot \sin 30^\circ.

Так как \sin 30^\circ = \frac12, получаем

S = 17,5 \cdot 7,5 \cdot \frac12 = 65,625 \cdot \frac12 = 60.

Ответ: 60.

Полезная стратегия для задач такого типа: сначала по периметру переходить к сумме сторон, затем совместно с разностью находить каждую сторону, и только после этого применять формулу площади. Такой порядок помогает избежать арифметических ошибок и проверяет, что стороны действительно положительны. В этой задаче всё согласуется: a=17,5, b=7,5, обе стороны положительны, а угол острый, значит формула применима напрямую.

Используем основную формулу площади параллелограмма через две смежные стороны и угол между ними:

S = ab sin α,

где a и b — длины смежных сторон, а α — угол между ними. В таких задачах важно помнить: если по условию требуется острый угол, то после нахождения синуса нужно выбрать именно острое значение угла, а не тупое. Это типичная ловушка ЕГЭ: один и тот же синус могут иметь два угла в промежутке от 0° до 180°.

Подставим данные:

42 = 12 · 7 · sin α.

Вычислим произведение сторон:

12 · 7 = 84, значит

sin α = 42 / 84 = 1/2.

Теперь находим угол по синусу. Для острого угла значение sin α = 1/2 соответствует углу 30°. Вторая возможность — 150°, но это тупой угол, а в задаче требуется именно острый.

Ответ: 30.

Полезная проверка для ЕГЭ: если площадь параллелограмма равна ab, то sin α = 1, а угол был бы 90°. Здесь же 42 < 84, значит синус меньше 1, ответ действительно возможен. Всегда проверяйте, что найденное значение синуса не превышает 1, и не забывайте различать острый и тупой углы при переходе от синуса к углу.

Обозначим смежные углы параллелограмма через 5x и 7x, потому что по условию их отношение равно 5:7. Это стандартный приём: если величины связаны отношением, удобно ввести общий множитель, а не пытаться сразу угадывать сами углы.

Дальше используем ключевое свойство параллелограмма: сумма любых двух смежных углов равна 180°. Это не случайная формула, а следствие того, что противоположные стороны параллельны, а смежные углы образуют развернутый угол. Поэтому составляем уравнение:

5x + 7x = 180.

Получаем 12x = 180, откуда x = 15.

Теперь находим сами углы: 5x = 75° и 7x = 105°. По условию требуется больший угол, значит ответ: 105°.

Почему важно не ошибиться здесь: в параллелограмме противоположные углы равны, а смежные — в сумме дают 180°. Иногда учащиеся по привычке складывают все четыре угла и получают 360°, но это не помогает напрямую, если даны именно два смежных угла. В этой задаче нужны только одно отношение и одно свойство — сумма смежных углов.

Полезная проверка: если один угол 75°, то соседний действительно должен быть 180° - 75° = 105°. Значит, ответ согласуется с геометрией параллелограмма.

Главная идея здесь — у параллелограмма одна и та же площадь может быть найдена по разным основаниям. Это ключевой факт для задач на стороны и высоты.

Обозначим известную сторону через a = 12 см, а высоту к ней — h_a = 5 см. Тогда площадь параллелограмма равна

S = a · h_a = 12 · 5 = 60 см².

Теперь та же площадь выражается через другую сторону b и высоту к ней h_b = 4 см:

S = b · h_b.

Приравниваем два выражения площади:

b · 4 = 60.

Отсюда

b = 60 / 4 = 15 см.

Ответ: 15.

Почему именно так решается задача: у параллелограмма площадь не зависит от того, какую сторону выбрать основанием, если высота взята именно к этому основанию. Поэтому формула a·h_a = b·h_b — основная связь в таких задачах.

Типичные ошибки:

• путают высоты и подставляют их “не к своей стороне”;
• складывают или вычитают данные числа вместо использования площади;
• делят 12 на 5 или 5 на 4, хотя здесь нужно именно равенство площадей;
• забывают, что высота всегда перпендикулярна соответствующей стороне.

Как быстро проверить себя на ЕГЭ: если вы нашли сторону, можно проверить ответ подстановкой: 15 · 4 = 60, то есть площадь совпала с 12 · 5. Это хороший способ не потерять баллы из-за арифметической ошибки.

Используем основную формулу площади параллелограмма через две смежные стороны и угол между ними:

S = ab sin α,

где a и b — длины смежных сторон, а α — угол между ними. Это ключевая формула для таких задач на ЕГЭ: если известны стороны и площадь, то угол находится напрямую через синус.

Подставим данные:

40 = 10 · 8 · sin α.

Отсюда

40 = 80 sin α,

sin α = 1/2.

Теперь нужно восстановить сам угол. У синуса значение 1/2 соответствует углам 30° и 150°. Но в условии требуется острый угол параллелограмма, значит берём только 30°.

Ответ: 30.

Полезно помнить несколько нюансов.

• Формула S = ab sin α работает именно для параллелограмма, а не для прямоугольника «по умолчанию». Для прямоугольника это частный случай, где α = 90°.
• Если по синусу получается два угла, всегда сверяйтесь с требованием: острый угол, тупой угол или просто угол между сторонами. В параллелограмме острый и тупой углы дополнительны, поэтому по одному и тому же синусу возможны два ответа.
• Проверка здравым смыслом: площадь не может превышать произведение сторон, потому что sin α ≤ 1. Здесь 40 ≤ 80, значит данные корректны.

В экзаменационных задачах такой тип часто решается в одну строку, но важно не просто подставить числа, а понимать смысл формулы: площадь равна произведению сторон на «высотный множитель» sin α. Именно поэтому максимальная площадь при фиксированных сторонах достигается, когда угол прямой.

Площадь параллелограмма можно выразить через любую сторону и соответствующую ей высоту:

S = a \cdot h_a = b \cdot h_b.

Здесь важно не перепутать, какая высота к какой стороне относится. По условию сторона 12 см имеет высоту 5 см, значит площадь равна

S = 12 \cdot 5 = 60 см².

Ту же площадь можно записать через другую сторону b и соответствующую ей высоту 4 см:

b \cdot 4 = 60.

Отсюда

b = 60 / 4 = 15 см.

Ответ: 15 см.

Почему этот способ универсален? В задачах на параллелограмм часто не нужно искать углы, диагонали или строить дополнительные треугольники. Достаточно помнить, что площадь не меняется при выборе разных оснований, если высота соответствует именно этому основанию. Поэтому всегда можно приравнять два выражения площади:

a h_a = b h_b.

Типичные ошибки:

• берут высоту не к той стороне и пишут, например, 12·4 вместо 12·5;
• делят не ту величину: иногда ошибочно считают, что нужно 12/4 или 5/4;
• путают сторону и высоту: высота — это не боковая сторона параллелограмма, а перпендикуляр к выбранному основанию.

Как себя проверить на экзамене: если у параллелограмма площадь уже найдена через одну сторону, то вторая сторона должна получиться из деления площади на соответствующую высоту. Здесь 60 / 4 = 15, и ответ логичен: при меньшей высоте сторона больше, чтобы площадь осталась той же.

Обозначим стороны прямоугольника через \(a\) и \(b\). Тогда по условию известны две стандартные формулы:

\(2(a+b)=34\), значит \(a+b=17\);

\(ab=60\).

Теперь важно не пытаться сразу подставлять в диагональ «17» вместо одной из сторон — это типичная ошибка. Периметр даёт сумму сторон, а не сами стороны. Чтобы восстановить стороны, рассматриваем уравнение, корнями которого будут \(a\) и \(b\):

\(t^2-17t+60=0\).

Разложим на множители:

\(t^2-17t+60=(t-5)(t-12)\).

Значит, стороны прямоугольника равны \(5\) и \(12\) (порядок не важен). Это очень удобный момент для самопроверки: произведение действительно \(5\cdot 12=60\), а сумма \(5+12=17\).

Теперь применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному сторонами и диагональю:

\(d^2=a^2+b^2=5^2+12^2=25+144=169\).

Следовательно,

\(d=\sqrt{169}=13\).

Ответ: \(13\).

На ЕГЭ полезно помнить ещё одну проверочную связь: если известны сумма сторон и площадь прямоугольника, то диагональ находится через \(d^2=(a+b)^2-2ab\). Здесь это даёт \(d^2=17^2-2\cdot 60=289-120=169\), то есть тот же результат. Такая проверка помогает быстро обнаружить арифметическую ошибку.

В параллелограмме важнейшее свойство углов такое: смежные углы в сумме дают 180°, а противоположные равны. Если сказано, что один угол в 4 раза больше другого, то речь идёт именно о смежных углах, потому что противоположные углы равны и отношение между ними не может быть 4:1.

Обозначим меньший угол через x, тогда больший равен 4x. Так как эти углы смежные, получаем уравнение:

x + 4x = 180°.

Отсюда 5x = 180°, значит x = 36°. Тогда больший угол равен 4x = 144°.

Ответ: 144°.

Полезно понимать, как проверять себя в таких задачах. В параллелограмме один угол всегда острый, другой — тупой, если это не прямоугольник. Здесь меньший угол 36°, больший 144°, и их сумма действительно равна 180°. Это хорошая самопроверка на ЕГЭ: если получили, например, 36° и 72°, значит где-то допущена ошибка, потому что смежные углы параллелограмма не могут суммироваться в 108° или 360°.

Типичные ошибки:
1) путают смежные и противоположные углы;
2) составляют уравнение с суммой 360°, хотя для пары соседних углов нужна именно 180°;
3) отвечают меньший угол, хотя в условии спрашивают больший;
4) неверно записывают отношение: если один угол в 4 раза больше другого, это не значит, что они равны 4x и x без проверки, какой именно требуется найти.

В более сложных задачах этот же приём работает так же: сначала выясняем, какие углы смежные, потом записываем их через одну переменную, затем используем сумму 180°. Это универсальная стратегия для отношений углов в параллелограмме, прямоугольнике и квадрате.

Для квадрата ключевая связь между диагональю и стороной получается из прямоугольного треугольника, который образуют две стороны квадрата и его диагональ. Так как все углы квадрата прямые, диагональ — это гипотенуза, а стороны — катеты, причём они равны.

Пусть сторона квадрата равна a, а диагональ — d. Тогда по теореме Пифагора:

d² = a² + a² = 2a².

Отсюда можно выразить площадь квадрата двумя равносильными способами:

1) сначала найти сторону: a = d / √2, затем S = a²;

2) сразу использовать формулу S = d² / 2.

Во втором способе меньше вычислений, и это очень удобно на экзамене.

Подставим d = 6:

S = 6² / 2 = 36 / 2 = 18.

Ответ: 18.

Типичная ошибка — перепутать квадрат с прямоугольником и пытаться искать площадь как произведение диагоналей или как сумму каких-то отрезков. Для квадрата формула через диагональ особенно простая, потому что диагонали равны и перпендикулярны, а половина диагонали вместе со стороной образует прямоугольный равнобедренный треугольник. Если в задаче дана диагональ квадрата, почти всегда выгодно помнить готовую формулу S = d²/2 и быстро проверять ответ на разумность: площадь должна быть больше нуля и для квадрата со стороной меньше диагонали — это естественно выполняется.

Ключевая идея здесь — связать диагональ квадрата со стороной через прямоугольный треугольник. В квадрате диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника, у которых катеты равны стороне квадрата, а гипотенуза — диагональ.

Обозначим сторону квадрата через a, диагональ — через d. Тогда по теореме Пифагора:

d^2=a^2+a^2=2a^2.

Из этого сразу получаем важную формулу для квадрата:

S=a^2, а значит S=\dfrac{d^2}{2}.

Подставим d=10:

S=\dfrac{10^2}{2}=\dfrac{100}{2}=50.

Ответ: 50.

Это самый быстрый путь на экзамене, если нужно найти площадь квадрата по диагонали. Частая ошибка — пытаться искать сторону через корень и потом ещё раз возводить её в квадрат. Это тоже верно, но длиннее. Другая типичная ошибка — перепутать формулу с прямоугольником или подумать, что площадь можно найти как произведение диагоналей. Для квадрата это неверно: площадь через диагональ находится именно по формуле S=\dfrac{d^2}{2}.

Полезно самопровериться: если диагональ равна 10, то сторона должна быть меньше 10, примерно 7{,}07. Тогда площадь около 7{,}07^2\approx 50, что согласуется с ответом.

Используем основную формулу площади параллелограмма:

S = a \cdot h,

где a — длина выбранной стороны (основания), а h — высота, опущенная на это основание. Это не просто любая высота: важно, чтобы она относилась именно к той стороне, которую нам дали.

В задаче известно:

• a = 15,
• S = 210.

Подставим в формулу:

210 = 15 \cdot h.

Теперь выразим высоту:

h = 210 / 15 = 14.

Ответ: 14.

Почему это верно? Площадь параллелограмма всегда равна произведению основания на соответствующую высоту. Если меняется основание, то меняется и “своя” высота. Поэтому нельзя, увидев сторону 15, автоматически брать любую перпендикулярную длину — высота должна быть именно к этой стороне.

Типичные ошибки:

• делить площадь на другую сторону, не ту, к которой относится высота;
• перепутать высоту со стороной фигуры;
• забыть, что в параллелограмме можно выбрать любое основание, но высота всегда должна быть перпендикулярна именно ему.

Проверка ответа: если 15 · 14 = 210, значит вычисление выполнено правильно.

Для квадрата ключевая связь между стороной a и диагональю d получается из прямоугольного треугольника: диагональ соединяет противоположные вершины, а две стороны квадрата играют роль катетов. По теореме Пифагора

d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2, то есть d = a\sqrt{2}.

Это очень важная формула для ЕГЭ: её нужно не просто помнить, а понимать. Если известна диагональ, то площадь квадрата можно найти без промежуточного вычисления стороны:

S = a^2 = \frac{d^2}{2}.

Подставим d = 6:

S = 6^2 / 2 = 36 / 2 = 18.

Итак, площадь квадрата равна 18.

Типичные ошибки, которые часто встречаются на экзамене:

• берут площадь как d^2, забывая, что диагональ — это не сторона;
• делят диагональ пополам и сразу возводят в квадрат, но не учитывают, что половина диагонали — это катет, а не сторона;
• путают квадрат с прямоугольником и пытаются использовать формулу S = ab без нахождения сторон.

Хорошая самопроверка: если диагональ увеличивается, площадь тоже должна увеличиваться; формула S = d^2/2 этому соответствует. Для задач ЕГЭ полезно помнить именно эту короткую формулу — она экономит время и снижает риск арифметической ошибки.