Парабола: свойства и пересечения с прямыми/параболами: задания с ответами

Точки пересечения графиков находятся из равенства их ординат. Это базовая идея для любых задач на пересечение двух парабол: если в точке графики пересекаются, то значения функций равны.

Составим уравнение:

$x^2+2x-3=-x^2+4x+1$.

Перенесём всё в одну сторону. Важно аккуратно следить за знаками: при переносе члены меняют знак.

$x^2+2x-3+x^2-4x-1=0$,

$2x^2-2x-4=0$.

Разделим на 2:

$x^2-x-2=0$.

Теперь решаем квадратное уравнение. Разложим на множители:

$(x-2)(x+1)=0$.

Отсюда получаем два корня:

$x=2$ и $x=-1$.

Так как по условию требуется точка с меньшей абсциссой, выбираем меньший корень: $-1$.

Ответ: $-1$.

Полезно помнить экзаменационную стратегию: если уравнение пересечения уже приведено к квадратному, то наличие двух различных пересечений означает два различных действительных корня. После нахождения корней обязательно сверяйтесь с условием: иногда нужно выбрать не «любой», а, например, меньший, больший, положительный или целый корень. Одна из типичных ошибок — перепутать знаки при переносе и получить неверное квадратное уравнение; другая — забыть, какой именно корень требуется по тексту задачи.

Точки пересечения двух графиков — это такие точки, координаты которых одновременно удовлетворяют обоим уравнениям: и уравнению прямой, и уравнению параболы. Это ключевая идея, которую часто путают с простым приравниванием выражений: само по себе уравнение вида 2x - 3 = x² - 4x + 1 действительно помогает найти абсциссы точек пересечения, но в задании требуется записать систему, а не решать её и не сводить всё к одному уравнению.

Запишем функции отдельно:

y = 2x - 3 — это прямая;

y = x² - 4x + 1 — это парабола.

Чтобы найти точки их пересечения, нужно объединить эти два уравнения в систему:

{ y = 2x - 3
y = x² - 4x + 1 }

Именно такой вариант и является верным.

Почему остальные ответы неверны:

• Во втором варианте изменён коэффициент у прямой: вместо 2x - 3 написано x - 2, то есть это уже другая функция.
• В третьем варианте ошибка в параболе: коэффициент при x² стал равен 2, а это меняет график.
• В четвёртом варианте записано только одно уравнение. Оно может быть полезно для алгебраического сведения, но не является системой и не соответствует формулировке задачи.

Важно помнить экзаменационную стратегию: если просят записать систему для пересечения графиков, почти всегда нужно просто переписать оба уравнения вместе, а не искать точки пересечения и не преобразовывать одно уравнение в другое. Проверка на самоконтроль простая: в системе должно быть столько уравнений, сколько графиков задано. Здесь графиков два, значит и уравнений должно быть два.

Ещё одна типичная ошибка — забыть, что в обеих формулировках должна стоять одна и та же зависимая переменная y. Если в одном месте появляется, например, 2x - y = 3, это тоже может быть эквивалентно, но в тестах лучше придерживаться того вида, который дан в условии или который легко сопоставить с графиками.

Точки пересечения графиков находятся из условия равенства ординат: если точка лежит одновременно на графиках y = \dfrac{12}{x} и y = x - 6, то её координаты удовлетворяют уравнению

\dfrac{12}{x} = x - 6.

Дальше важно аккуратно избавиться от знаменателя. Так как x \neq 0, можно умножить обе части на x:

12 = x(x - 6), то есть

x^2 - 6x - 12 = 0.

Теперь решаем квадратное уравнение. Его дискриминант:

D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 36 + 48 = 84.

Следовательно,

x = \dfrac{6 \pm \sqrt{84}}{2} = 3 \pm \sqrt{21}.

Получились две точки пересечения, как и сказано в условии. Нужно найти абсциссу большей точки пересечения. Здесь следует понимать, что «большая точка» означает точку с большей абсциссой, то есть с большим значением x. Из двух корней больше

3 + \sqrt{21}.

Ответ: 3 + \sqrt{21}.

Полезно помнить типичную ловушку: при умножении на x нельзя терять ограничение x \neq 0. В этой задаче x=0 и так не может быть решением, потому что в исходной функции \dfrac{12}{x} ноль недопустим. Ещё одна частая ошибка — взять не тот корень, если в условии сказано «большая» или «меньшая» точка. В задачах на пересечение графиков сначала обязательно находят все абсциссы, а потом выбирают нужную по условию.

Точки пересечения графиков находятся из условия равенства значений функций: в одной и той же точке координаты \(y\) должны совпадать. Поэтому решаем уравнение

\(\dfrac{12}{x}=x+3\).

Здесь важно помнить два момента.

• Во-первых, нельзя сразу умножать на \(x\), не оговорив, что \(x\neq 0\). Но в задаче это безопасно, потому что при \(x=0\) левая часть не определена, значит точкой пересечения \(x=0\) быть не может.
• Во-вторых, после умножения на \(x\) мы получаем квадратное уравнение, и у него могут быть два корня — именно это и соответствует двум точкам пересечения.

Умножим уравнение на \(x\):

\(12=x^2+3x\).

Переносим всё в одну сторону:

\(x^2+3x-12=0\).

Теперь решаем квадратное уравнение. Подходящий способ — разложение на корни через дискриминант:

\(D=3^2-4\cdot1\cdot(-12)=9+48=57\).

Тогда

\(x=\dfrac{-3\pm\sqrt{57}}{2}.\)

Это две абсциссы точек пересечения. По условию нужна меньшая абсцисса, то есть корень с минусом:

\(x=\dfrac{-3-\sqrt{57}}{2}.\)

Почему именно он меньше? Потому что \(\sqrt{57}>0\), и выражение с минусом перед корнем всегда меньше, чем выражение с плюсом. Это типичная проверка на ЕГЭ: если просят «меньшую/большую» точку пересечения, нужно не просто найти оба корня, но и правильно выбрать нужный.

Частые ошибки:

• забыть, что \(x\neq 0\), и пытаться подставлять ноль;
• ошибиться в знаке при переносе \(12=x^2+3x\) в вид \(x^2+3x-12=0\);
• перепутать, какой из двух корней меньше;
• потерять один корень при решении уравнения.

Итак, правильный ответ: \(\dfrac{-3-\sqrt{57}}{2}\).

Сначала используем главное свойство точек пересечения графиков: в точках пересечения обе функции принимают одно и то же значение. Это значит, что координаты каждой точки пересечения удовлетворяют обоим уравнениям. В нашей задаче неизвестная парабола имеет вид y=ax^2+bx+c, и она проходит через точки (1,0), (3,0) и (0,3).

Подставим координаты точек в общий вид:

(1,0): a+b+c=0,

(3,0): 9a+3b+c=0,

(0,3): c=3.

Теперь решаем систему. Из последнего уравнения сразу получаем c=3. Тогда из первого: a+b+3=0, то есть a+b=-3. Из второго: 9a+3b+3=0, делим на 3: 3a+b=-1. Вычтем первое уравнение из второго: (3a+b)-(a+b)= -1-(-3), значит 2a=2, откуда a=1. Тогда b=-4, а c=3.

Итак, неизвестная функция — y=x^2-4x+3. Заметим важный момент: это та же самая формула, что и у известной параболы. Значит, графики совпадают, а не просто пересекаются в двух точках. В подобных задачах это частая ловушка: если по условию сказано «пересекаются в двух точках», но по найденным коэффициентам получается тождественное равенство функций, нужно проверить исходные данные. Здесь это означает, что формулировка о двух точках пересечения несовместима с дополнительным условием (0,3). Поэтому при решении ЕГЭ важно всегда делать контрольную проверку: найденная функция должна не только удовлетворять точкам, но и согласовываться со всеми условиями задачи.

Система уравнений для точки (1,0) записывается так: \(\begin{cases}0=a\cdot1^2+b\cdot1+c\\0=1^2-4\cdot1+3\end{cases}\), но обычно в задачах на восстановление функции под системой понимают уравнение для неизвестной параболы: \(\begin{cases}a+b+c=0\end{cases}\). Если же требуется система для точки пересечения двух парабол, то нужно приравнять значения функций в этой точке: \(a\cdot1^2+b\cdot1+c=1^2-4\cdot1+3\), то есть \(a+b+c=0\). Именно это и есть правильный подход.

Ключевые навыки здесь такие: 1) перевод точки графика в уравнение; 2) решение системы на коэффициенты; 3) обязательная проверка, не превратилась ли задача в случай совпадающих графиков. На экзамене такие проверки помогают избежать потери баллов из-за арифметической ошибки или из-за неверного чтения условия.

Ключевая идея здесь такая: если точка принадлежит графику, то её координаты удовлетворяют уравнению графика. Поскольку точки A(-1; 2) и B(2; -1) — точки пересечения прямой и параболы, то каждая из них лежит сразу на обоих графиках. Значит, координаты этих точек нужно подставить и в уравнение прямой, и в уравнение параболы.

Запишем условия для прямой y = kx + d:

A(-1; 2): 2 = -k + d,

B(2; -1): -1 = 2k + d.

Вычтем первое уравнение из второго: -1 - 2 = (2k + d) - (-k + d), то есть -3 = 3k, откуда k = -1. Теперь подставим в 2 = -k + d: 2 = 1 + d, значит d = 1.

Теперь аналогично для параболы y = x^2 + bx + c. Подставим точку A(-1; 2):

2 = (-1)^2 - b + c, то есть 2 = 1 - b + c,

а точку B(2; -1):

-1 = 2^2 + 2b + c, то есть -1 = 4 + 2b + c.

Получаем систему:

1 - b + c = 2,

4 + 2b + c = -1.

Из первого: -b + c = 1, то есть c = b + 1. Подставим во второе: 4 + 2b + b + 1 = -1, значит 3b + 5 = -1, откуда 3b = -6 и b = -2. Тогда c = -2 + 1 = -1.

Итак, k = -1, d = 1, b = -2, c = -1.

Почему это важно на ЕГЭ: часто ошибаются в двух местах. Во-первых, подставляют точку только в одно уравнение, хотя точка пересечения обязана удовлетворять обоим. Во-вторых, теряют знак при подстановке отрицательных координат, особенно в выражениях вроде x^2 + bx + c: при x=-1 получается x^2=1, а линейный член становится -b, а не +b. Хорошая самопроверка: после нахождения коэффициентов обязательно подставьте обе точки обратно в оба уравнения. Если где-то не сходится хотя бы одна координата, значит, в вычислениях есть ошибка.

Идея задачи очень типична для ЕГЭ: если по графику нужно решить уравнение вида f(x)=K, то это означает, что надо найти точки пересечения графика функции с горизонтальной прямой y=K. Здесь K=1, значит мысленно проводим прямую y=1 и смотрим, при каких значениях x парабола её пересекает.

По графику видно, что пересечения происходят в двух точках: при x=-1 и при x=3. Это и есть корни уравнения f(x)=1, потому что в этих точках ордината графика равна 1.

Но в условии просят не просто найти корни, а выбрать наименьший из них. Из чисел -1 и 3 меньшее — это -1.

Ответ: -1.

Полезно помнить несколько важных моментов. Во-первых, не путайте x и y: число, которое нужно найти, — это абсцисса точки пересечения, а не её ордината. Во-вторых, если на графике две точки пересечения, то корней тоже два. В-третьих, при формулировке «наименьший корень» нужно сравнивать именно значения x, а не высоту точек на рисунке.

На экзамене удобно действовать так: сначала определить уровень прямой y=K, затем найти все точки пересечения с графиком, после этого выписать соответствующие абсциссы и только в конце выбрать наименьшую. Такой порядок помогает не ошибиться даже в более сложных задачах, где парабола расположена несимметрично или оси на рисунке подписаны не очень крупно.

Используем самую надёжную идею для задач на восстановление коэффициента по вершине: сначала перепишем параболу в вершиной форме. Если вершина графика имеет координаты (h;k), то

y=a(x-h)^2+k.

Здесь вершина равна (2;-3), значит

y=a(x-2)^2-3.

Теперь используем ещё одну точку графика, через которую он проходит: (0;1). Подставим её в уравнение:

1=a(0-2)^2-3.

1=4a-3.

4a=4, откуда a=1.

Но это противоречит варианту ответа? Значит нужно внимательно проверить логику: в условии сказано, что вершина (2;-3) и график проходит через (0;1). Тогда действительно получается a=1. Следовательно, в наборе вариантов правильным должен быть именно ответ a=1. Однако в данном вопросе правильный вариант отмечен как a=\frac{3}{4}, что не согласуется с вычислением. Чтобы задача была однозначной, решим её корректно: при данных вершине и точке коэффициент a равен 1.

Следовательно, правильный ответ: a=1.

Полезно помнить экзаменационный алгоритм:

1. Если известна вершина, сразу переходите к форме y=a(x-h)^2+k.
2. Если известна ещё одна точка, подставляйте её и находите a.
3. Не пытайтесь сначала восстанавливать b и c, если это не требуется: это длиннее и чаще ведёт к ошибкам.

Типичные ошибки в таких задачах:

• путают знак в формуле вершины и пишут y=a(x+h)^2+k вместо y=a(x-h)^2+k;
• забывают, что при x=0 надо подставить именно (0;1), а не абсциссу вершины;
• ошибаются в квадрате: (0-2)^2=4, а не 2;
• не проверяют ответ на разумность: если ветви вверх, то a>0, и это согласуется с найденным значением.

Итог: a=1.

В точках пересечения графиков значения функций равны. Поэтому нужно решить уравнение

\(\dfrac{6}{x}=x-1\).

Это типичный приём для задач на пересечение графиков: не «считывать» ответ с рисунка, а перейти к алгебраическому уравнению. Для дробно-рациональной функции важно помнить ограничение: \(x\neq 0\), но в нашем решении это автоматически учтётся, если мы не будем делить на ноль.

Умножим обе части на \(x\):

\(6=x^2-x\),

или

\(x^2-x-6=0\).

Разложим на множители:

\((x-3)(x+2)=0\).

Отсюда абсциссы точек пересечения: \(x_1=3\) и \(x_2=-2\). По условию нужна точка с большей абсциссой, значит берём \(x=3\).

Теперь найдём ординату. Подставим \(x=3\) в любую из функций:

\(y=\dfrac{6}{3}=2\).

Проверка через линейную функцию тоже даёт \(y=3-1=2\), значит вычисление верно.

Ответ: 2.

Полезный экзаменационный комментарий: если в задаче про пересечение двух графиков просят не всю точку, а только одну координату, сначала находят обе абсциссы уравнением равенства функций, затем выбирают нужную по условию и только после этого вычисляют соответствующее значение \(y\). Частая ошибка — подставить в одну из функций «не тот» корень или попытаться сразу угадать координату по графику. Ещё одна ловушка — потерять корни при преобразованиях дробного уравнения; поэтому после нахождения корней всегда полезно сделать быструю проверку подстановкой в исходные формулы.

Используем то, что вершина параболы и одна дополнительная точка на графике позволяют восстановить коэффициент $a$ однозначно. Это типичная идея задач ЕГЭ: если дан вид графика и вершина, то удобнее всего перейти к вершинной форме, потому что она напрямую «зашивает» координаты вершины.

Если у параболы вершина $(h;k)$, то её уравнение можно записать как $y=a{(}^x+k$. Здесь $a$ отвечает за «ширину» и направление ветвей: если $a>0$, ветви направлены вверх, если $a<0$ — вниз. В нашей задаче вершина $(2;-3)$, значит

$y=a{(}^x-3.$

Теперь подставим точку $(0;1)$, через которую проходит график:

$1=a{(}^0-3.$

Получаем

$1=4a-3,$

$4=4a,$

$a=1.$

Ответ: $1$.

Полезно помнить и альтернативный способ: из вершины следует, что ось симметрии имеет уравнение $x=2$. Но в этой задаче точка $(0;1)$ лежит не на оси симметрии, а просто на самой параболе, поэтому одного знания оси мало — нужно именно подставить точку в вершинную форму. Частая ошибка учащихся — пытаться сразу использовать формулы $x=-\frac{b}{2a}$ и $y=-\frac{D}{4a}$ без необходимости. На ЕГЭ обычно рациональнее сначала «считать» вершину из графика и сразу писать вершинную запись, а затем подставлять известную точку. Так меньше вычислений и меньше шансов ошибиться со знаками.

Точку пересечения графиков находят из условия равенства их ординат. Это основной принцип для любых пересечений графиков: в общей точке у обоих графиков одна и та же пара координат, значит выражения для y нужно приравнять.

Составим уравнение:

3\sqrt{x} = x + 2.

Так как в корневой функции область определения задаётся условием x \ge 0, сразу помним, что решения могут быть только неотрицательными. Это важно: в задачах с корнем иногда после преобразований появляются посторонние корни, и их обязательно нужно проверять.

Чтобы решить уравнение, удобно сделать замену t = \sqrt{x}, где t \ge 0. Тогда x = t^2, и уравнение принимает вид

3t = t^2 + 2.

Перенесём всё в одну сторону:

t^2 - 3t + 2 = 0.

Разложим на множители:

(t - 1)(t - 2) = 0.

Отсюда t = 1 или t = 2. Возвращаемся к x:

x = t^2, значит x = 1 или x = 4.

Теперь нужно понять, может ли в задаче быть две точки пересечения. Подставим найденные значения в исходные функции:

при x = 1: 3\sqrt{1} = 3, а 1 + 2 = 3; точка подходит.

при x = 4: 3\sqrt{4} = 6, а 4 + 2 = 6; точка тоже подходит.

Однако по условию задачи требуется найти абсциссу точки пересечения, а в таких заданиях обычно подразумевается конкретная точка, которая получается из выбранного графического расположения. Здесь важно заметить, что прямая y = x + 2 и график y = 3\sqrt{x} действительно пересекаются в двух точках. Поэтому для корректной задачи на единственный ответ нужно либо дополнять условие указанием на конкретную точку, либо выбирать функции с одной точкой пересечения.

Чтобы не было неоднозначности, в подобных заданиях после решения всегда проверяют количество допустимых корней. Если получилось несколько точек пересечения, задача в формате с одним ответом составлена неверно.

Итог: для данных уравнений абсциссы точек пересечения — 1 и 4. Если в ответ требуется одна абсцисса, условие должно быть уточнено. В экзаменационной практике очень важно сначала анализировать количество решений, а потом уже записывать ответ.

Ключевая идея здесь — использовать координаты вершины и одну дополнительную точку графика. Для квадратичной функции это самый надёжный способ восстановить коэффициент, если график дан не в виде таблицы, а через геометрические свойства.

Запишем функцию в вершиной форме: f(x)=a(x-2)^2-3. Почему так можно? Потому что вершина параболы находится в точке (2; -3), а значит при x=2 значение функции равно -3. Вершинная форма автоматически «встраивает» эту информацию и позволяет работать только с одним неизвестным a.

Теперь используем точку (0; 1), через которую проходит график. Подставим её в формулу:

1 = a(0-2)^2 - 3.

Получаем:

1 = 4a - 3,

4a = 4,

a = 1.

Ответ: 1.

Почему важно было сразу взять вершинную форму, а не пытаться раскрывать скобки? Потому что в задачах ЕГЭ на восстановление коэффициента по графику именно вершина обычно даёт самый короткий путь. Если бы вы раскрывали скобки, пришлось бы находить ещё b и c, что увеличивает риск ошибок. Здесь же одна вершина и одна точка полностью определяют коэффициент a.

Полезная проверка: раз парабола направлена вверх, то a>0. Наш ответ a=1 этому соответствует. Это хороший способ самоконтроля на экзамене: если вы получили отрицательное a при ветвях вверх, значит, где-то допущена ошибка.

Типичная ошибка — подставить координаты вершины напрямую в общий вид ax^2+bx+c и попытаться найти a без учёта, что вершина задаёт не одно уравнение, а связь между коэффициентами. В задачах такого типа вершина почти всегда подсказывает перейти к форме a(x-p)^2+q. Это экономит время и делает решение прозрачным.