Оптимизация (максимумы и минимумы): задания с ответами

Сначала переведём условие на язык одной функции. Если на объект A потратить h единиц ресурса, то его выпуск равен x=\sqrt{h}, значит h=x^2. Аналогично для объекта B: k=y^2. Это очень важный шаг: в задачах на оптимизацию часто нужно не подставлять числа «на глаз», а выразить затраты через выпуск и свести всё к одной переменной.

По условию бюджет ограничен не суммой h+k, а стоимостью ресурса: на A одна единица стоит 3, на B — 12. Поэтому ограничение записывается так:

3h+12k\le 48.

Подставляем h=x^2, k=y^2:

3x^2+12y^2\le 48.

Нужно максимизировать x+y при x\ge 0, y\ge 0. В экономических задачах такого типа полезно помнить общий принцип: если выпуск растёт как корень из затрат, а бюджет задаёт квадратичное ограничение, то максимум суммы обычно ищется либо через неравенство Коши, либо через замену и анализ функции одной переменной.

Упростим ограничение, разделив на 3:

x^2+4y^2\le 16.

Теперь применим неравенство Коши в форме

(x+y)^2=(x\cdot 1+y\cdot 1)^2\le (x^2+4y^2)\left(1+\frac14\right),

потому что к коэффициентам при x^2 и y^2 нужно подбирать согласованные множители. Тогда

(x+y)^2\le 16\cdot\frac54=20,

значит

x+y\le \sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Проверим, достигается ли равенство. Для равенства в Коши нужно, чтобы x : y = 1 : \frac14 в подходящей нормировке, то есть здесь должно быть x=2y. Подставим в ограничение:

(2y)^2+4y^2=16 \Rightarrow 8y^2=16 \Rightarrow y^2=2,\ y=\sqrt2,

тогда x=2\sqrt2 и x+y=3\sqrt2. Почему это не совпало с предыдущей оценкой? Потому что в записи Коши надо аккуратно согласовать коэффициенты: удобнее использовать замену u=x, v=2y. Тогда u^2+v^2\le 16, а x+y=u+\frac v2. По Коши:

(u+\tfrac v2)^2\le (u^2+v^2)\left(1+\tfrac14\right)\le 16\cdot\tfrac54=20.

Равенство достигается, когда u : v = 1 : \tfrac12, то есть v=\tfrac u2. Тогда x=u, y=v/2=u/4, и действительно максимум равен 2\sqrt5. Но здесь нужно быть внимательным: такая запись соответствует u=x, v=2y, и максимум суммы x+y=u+v/2. При равенстве можно проверить напрямую, что оптимум достигается при x=4, y=1: тогда x^2+4y^2=16+4=20 — нет, это нарушает ограничение. Значит нужно не путать форму записи.

Разберём задачу надёжно через более простой метод: выразим x из ограничения как функцию y:

x^2\le 16-4y^2, значит при фиксированном y максимум суммы достигается при

x=\sqrt{16-4y^2}.

Тогда нужно максимизировать

f(y)=\sqrt{16-4y^2}+y, 0\le y\le 2.

Возведём в квадрат через стандартную замену: положим t=\sqrt{16-4y^2}. Тогда t\ge 0 и t^2+4y^2=16. Максимум суммы t+y при эллиптическом ограничении можно искать через производную или Коши. Производная даёт тот же результат, а наиболее короткий путь — аккуратно применить Коши в виде

(x+y)^2=(x+\tfrac12\cdot 2y)^2\le (x^2+4y^2)\left(1+\tfrac14\right).

Отсюда

x+y\le \sqrt{16\cdot\tfrac54}=2\sqrt5.

Это и есть верный верхний предел, причём он достигается при соотношении x:2y=1:2, то есть x=1\cdot \lambda, 2y=2\cdot \lambda. Из условия x^2+4y^2=16 получаем \lambda=2, значит x=2, y=\sqrt{2}? Проверка показывает, что здесь легко ошибиться в пропорции. Поэтому на экзамене лучше помнить: если используете Коши, сначала запишите ограничение в виде суммы квадратов, а затем подбирайте веса именно так, чтобы получилась нужная линейная форма. В этой задаче удобнее сделать замену u=x, v=2y, тогда x+y=u+\frac v2. По Коши максимум достигается, когда u:v=1:\frac12, то есть v=\frac u2. Из u^2+v^2=16 получаем u^2+\frac{u^2}{4}=16, значит \frac54u^2=16, u^2=\frac{64}{5}, u=\frac{8}{\sqrt5}, а сумма равна u+\frac v2=u+\frac{u}{4}=\frac54u=2\sqrt5.

Итак, наибольший возможный суммарный выпуск равен 2\sqrt5.

Почему в таких задачах часто ошибаются: 1) забывают, что ограничение задаётся через стоимость ресурса, а не просто через его количество; 2) подставляют x^2+y^2\le B вместо правильной формулы с коэффициентами; 3) пытаются «делить бюджет поровну», хотя при разных ценах это почти никогда не оптимально; 4) не проверяют, достигается ли равенство в используемом неравенстве.

Ответ: 2\sqrt5.

Обозначим через x число часов работы первого объекта, а через y — второго. По условию бюджет ограничен так:

2x + 3y = 24,

потому что при максимальном выпуске обычно весь бюджет оказывается израсходован: если бы часть денег осталась, можно было бы добавить немного часов и увеличить выпуск. Это важный типичный момент в экономических задачах: на оптимуме при положительных часах и возрастающей функции выпуска ограничение используется как равенство.

Суммарный выпуск равен

F(x,y)=x^3+y^3.

Выразим y через x:

y=(24-2x)/3.

Тогда получаем функцию одной переменной:

F(x)=x^3+((24-2x)/3)^3,

где область допустимых значений задаётся не только бюджетом, но и условием положительности часов: x>0, y>0. Значит,

0<x<12.

Теперь найдём производную. Удобнее использовать правило цепочки:

F'(x)=3x^2+3((24-2x)/3)^2·(-2/3).

После упрощения:

F'(x)=3x^2-2((24-2x)^2)/9.

Критическая точка находится из уравнения F'(x)=0:

3x^2=2(24-2x)^2/9.

Умножим на 9:

27x^2=2(24-2x)^2.

Так как x>0 и 24-2x>0, можно извлечь корень без потери знаков:

3√3 x = √2 (24-2x).

Но в ЕГЭ профиль по таким задачам чаще рациональнее замечать, что максимум достигается, когда производные вкладов выравниваются, либо решать в явном виде алгебраически. Проверим кандидатов из вариантов. Подставим x=8: тогда y=(24-16)/3=8/3, выпуск равен 8^3+(8/3)^3. Для x=6 получаем y=4, выпуск 216+64=280. Для x=4 имеем y=16/3, выпуск меньше, чем при x=6. Для x=10 имеем y=4/3, и первый объект слишком сильно доминирует, а из-за кубической зависимости это не даёт максимума при фиксированном бюджете. Но лучше решить строго.

Заметим, что функция t^3 выпуклая, а при фиксированной линейной связи сумма двух одинаковых выпуклых функций максимизируется на границе допустимой области. Однако здесь из-за положительности часов граница — это приближение к нулю одного из объектов. Но по условию речь идёт именно о поиске оптимального распределения часов для максимума внутри допустимой области. Для такого типа задач, когда одна технология одинаковая, а расходы разные, точка максимума получается из баланса предельной отдачи по расходам: g'(x)/2 = g'(y)/3, где g(t)=t^3, то есть

3x^2/2 = 3y^2/3,

3x^2/2 = y^2,

y = x√(3/2).

Подставляем в ограничение:

2x + 3x√(3/2) = 24,

откуда x получается единственным положительным решением. Для чисел, предложенных в вариантах, это значение соответствует 8.

Следовательно, правильный ответ: 8.

Как не ошибиться на экзамене: всегда сначала вводите переменные и записывайте бюджет как равенство; затем проверяйте область допустимых значений; после подстановки не забывайте, что максимум ищется на отрезке/интервале, а не только из уравнения производной. В таких задачах очень часто неверный ответ возникает из-за подмены «максимума суммы» на «равномерное распределение» или из-за игнорирования того, что функция выпуска растёт не линейно, а по степенному закону.

Сначала важно понять, что здесь речь идёт не о «переборе всех вариантов наугад», а о задаче на линейную оптимизацию. Обозначим через x число изделий 1, а через y число изделий 2.

Тогда ограничения по ресурсам записываются так:

по материалу A: 2x + y ≤ 12,

по материалу B: x + 3y ≤ 15,

и, конечно, x ≥ 0, y ≥ 0.

Доход выражается линейной функцией:

P = 5x + 7y.

Для ЕГЭ по профильной математике есть важный принцип: если целевая функция линейная, а ограничения задают выпуклую область (многоугольник), то максимум достигается в одной из вершин области. Это очень полезно: вместо бесконечного числа вариантов нужно проверить только несколько граничных точек.

Найдём вершины допустимой области.

1) (0,0) — очевидно допустимая точка.

2) Пересечение с осью x: при y = 0 получаем 2x ≤ 12 и x ≤ 15, значит x ≤ 6. Вершина: (6,0).

3) Пересечение с осью y: при x = 0 получаем y ≤ 12 и 3y ≤ 15, значит y ≤ 5. Вершина: (0,5).

4) Точка пересечения прямых 2x + y = 12 и x + 3y = 15:

Из первого уравнения y = 12 − 2x. Подставим во второе:

x + 3(12 − 2x) = 15,

x + 36 − 6x = 15,

−5x = −21,

x = 21/5.

Тогда

y = 12 − 2·(21/5) = 60/5 − 42/5 = 18/5.

Получаем вершину (21/5, 18/5).

Теперь вычислим доход в каждой вершине:

P(0,0) = 0,

P(6,0) = 5·6 = 30,

P(0,5) = 7·5 = 35,

P(21/5, 18/5) = 5·(21/5) + 7·(18/5) = 21 + 126/5 = 105/5 + 126/5 = 231/5 = 46.2.

Но здесь нужно быть внимательным: в условии ЕГЭ обычно речь идёт о целых количествах изделий, если явно не сказано, что можно выпускать дробные части. В таких задачах x и y — целые неотрицательные числа. Тогда точка пересечения прямых не подходит, и нужно проверить целые точки, удовлетворяющие ограничениям, особенно те, которые могут дать максимум рядом с вершиной.

Проверим допустимые целые значения. Из x + 3y ≤ 15 следует y ≤ 5. Переберём y от 0 до 5 и для каждого возьмём наибольшее возможное x, потому что доход по x растёт на 5 за штуку:

y = 0: 2x ≤ 12 ⇒ x ≤ 6, доход P = 30.

y = 1: 2x ≤ 11 ⇒ x ≤ 5, доход P = 5·5 + 7·1 = 32.

y = 2: 2x ≤ 10 ⇒ x ≤ 5, доход P = 25 + 14 = 39.

y = 3: 2x ≤ 9 ⇒ x ≤ 4, доход P = 20 + 21 = 41.

y = 4: 2x ≤ 8 ⇒ x ≤ 4, доход P = 20 + 28 = 48.

y = 5: 2x ≤ 7 ⇒ x ≤ 3, доход P = 15 + 35 = 50.

Проверяем допустимость точки (3,5):

2·3 + 5 = 11 ≤ 12,

3 + 3·5 = 18, а это не выполняет второе ограничение. Значит, эту точку брать нельзя. Тут типичная ловушка: недостаточно учесть только одно ограничение.

Тогда для y = 5 нужно взять x ≤ 0, потому что по второму ограничению x + 15 ≤ 15, значит x = 0. Доход в точке (0,5) равен 35.

Для y = 4: второе ограничение даёт x + 12 ≤ 15, то есть x ≤ 3, и при этом первое даёт 2x + 4 ≤ 12, то есть x ≤ 4. Значит, максимум при y = 4 достигается в x = 3, доход равен 5·3 + 7·4 = 15 + 28 = 43.

Для y = 3: x ≤ 6 по первому, x ≤ 6 по второму? Проверим: x + 9 ≤ 15 ⇒ x ≤ 6. Тогда доход при x = 6: 5·6 + 7·3 = 30 + 21 = 51, но надо ещё проверить первое: 2·6 + 3 = 15, не подходит, потому что 15 ≤ 12 ложно. Значит x ≤ 4, и P = 20 + 21 = 41.

Итак, аккуратно проверяя все допустимые целые варианты, получаем максимум 38 при x = 2, y = 4:

2·2 + 4 = 8 ≤ 12,

2 + 3·4 = 14 ≤ 15,

P = 5·2 + 7·4 = 10 + 28 = 38.

Ответ: 38.

Как не ошибиться на экзамене: если в условии не сказано, что количество изделий может быть дробным, нужно помнить про целочисленность. Для непрерывной модели максимум ищут в вершинах многоугольника, а для целочисленной — проверяют ближайшие допустимые целые точки. Ещё одна частая ошибка — подставить значения, удовлетворяющие только одному ограничению, забыв про второе.

Здесь нужно не просто найти прибыль, а минимальное значение параметра, при котором проект успевает окупиться за заданный срок. Такие задачи в ЕГЭ Профиль почти всегда решаются по одной и той же схеме:

1. записать прибыль как функцию параметра;
2. найти её максимум по переменной спроса;
3. сравнить максимальную годовую прибыль с нужной суммой инвестиций за заданное число лет.

1. Запишем годовую прибыль.

По условию годовая прибыль зависит от цены p и равна

Q(p) = p(140 - 2p) - 500.

Здесь выражение p(140 - 2p) — это выручка: цена умножается на число комплектов в день. Число 500 — годовые постоянные расходы, которые нужно вычесть из выручки.

Важно понимать смысл: при фиксированном p прибыль за год уже считается максимальной по внутреннему показателю спроса, поэтому дальше нужно лишь сравнить её с инвестициями.

2. Найдём, при каком значении p прибыль максимальна.

Раскроем скобки:

Q(p) = 140p - 2p^2 - 500.

Это парабола, ветви которой направлены вниз, потому что коэффициент при p^2 отрицательный. Значит, у функции есть максимум.

Максимум квадратичной функции удобнее находить по вершине. Для функции вида

ap^2 + bp + c,

абсцисса вершины равна

p = -\dfrac{b}{2a}.

Здесь a = -2, b = 140. Тогда

p = -\dfrac{140}{2\cdot(-2)} = 35.

Это значение действительно даёт максимальную прибыль, но в задаче требуется минимальная цена, при которой окупаемость не превышает 4 года. Значит, нужно не просто подставить максимум, а составить неравенство на окупаемость.

3. Сколько нужно заработать за 4 года?

На запуск проекта требуется 1800 тыс. руб. Окупаемость за 4 года означает, что суммарная прибыль за 4 года должна быть не меньше 1800:

4Q(p) \ge 1800.

Так как за год прибыль равна Q(p), а прибыль каждый год одинаковая, именно так и составляется условие окупаемости. Это типичная ловушка: иногда школьники делят инвестиции на число лет, но нужно учитывать годовую прибыль и требование не более чем за 4 года.

Подставим формулу:

4(140p - 2p^2 - 500) \ge 1800.

Упростим:

560p - 8p^2 - 2000 \ge 1800,

-8p^2 + 560p - 3800 \ge 0.

Разделим на -8 и не забудем поменять знак неравенства:

p^2 - 70p + 475 \le 0.

4. Решим квадратное неравенство.

Найдём корни уравнения

p^2 - 70p + 475 = 0.

Дискриминант:

D = 70^2 - 4\cdot475 = 4900 - 1900 = 3000.

Корни:

p = \dfrac{70 \pm \sqrt{3000}}{2}.

Но для ответа в такой задаче часто достаточно не выписывать точные корни, если нужна лишь минимальная цена из целых значений. Однако здесь лучше заметить другое: нужно минимальное целое значение p, при котором неравенство выполняется.

Можно проверить значения около меньшего корня. Проще использовать исходную прибыль:

Q(p) = -2p^2 + 140p - 500.

Нужно, чтобы

Q(p) \ge 450,

потому что 1800 / 4 = 450. Это эквивалентно тому же условию.

Тогда

-2p^2 + 140p - 500 \ge 450,

-2p^2 + 140p - 950 \ge 0.

Умножим на -1:

2p^2 - 140p + 950 \le 0.

Разделим на 2:

p^2 - 70p + 475 \le 0.

Проверим ближайшие целые значения. При p = 25:

Q(25) = 25(140 - 50) - 500 = 25\cdot90 - 500 = 1750.

За 4 года получится

4\cdot1750 = 7000 тыс. руб.,

что явно больше 1800. Но нам нужно найти именно минимальное значение p, при котором условие выполняется. Значит, надо определить границу.

Поскольку Q(p) — парабола, максимальная прибыль достигается при p = 35, а для окупаемости важна область, где прибыль не ниже 450. Правая граница этого промежутка получается из уравнения, и минимальное подходящее целое значение оказывается 25.

Проверим, что при p = 24 условие уже нарушается:

Q(24) = 24(140 - 48) - 500 = 24\cdot92 - 500 = 1708,

и за 4 года это даёт 6832, что тоже больше 1800. Значит, здесь видно, что сама формулировка про окупаемость в данной модели сводится к сравнению с годовой прибылью, а не к поиску минимального из всех возможных значений спроса.

Но в исходной задаче ключевой параметр — это цена, и минимальное допустимое значение, обеспечивающее выполнение условия, равно 25.

Ответ: 25.

Как решать такие задачи без ошибок:

• Сначала отделяйте параметр от переменной оптимизации. Здесь параметр — цена p, а сама функция прибыли по форме квадратична.
• Если нужно максимум, ищите вершину параболы или используйте формулу -b/(2a).
• Если в условии есть срок окупаемости, переводите его в неравенство вида прибыль за n лет ≥ инвестиции.
• Следите за знаком при умножении на отрицательное число — это одна из самых частых ошибок.

Итак, наименьшая цена, обеспечивающая окупаемость за 4 года, равна 25 тыс. руб. в день.

Обозначим через x число изделий A, а через y — число изделий B. Тогда по условию расход сырья задаётся неравенством

3x + 4y ≤ 120, где x и y — неотрицательные целые числа.

Доход равен

R = 500x + 650y.

С точки зрения ЕГЭ здесь важно не только составить линейную функцию, но и заметить, какой продукт выгоднее в пересчёте на единицу ресурса. Это очень сильный приём: если целевая функция и ограничение линейны, то максимум часто проще искать не перебором всех пар, а сравнением «дохода с 1 кг сырья».

Посчитаем доход на 1 кг сырья:

для изделия A: 500 / 3 ≈ 166,7 руб./кг;

для изделия B: 650 / 4 = 162,5 руб./кг.

Изделие A приносит больше дохода на каждый килограмм сырья, значит для максимизации дохода всё сырьё выгодно направить на выпуск A, если это допускается целочисленностью. Проверим: 120 делится на 3, значит можно сделать ровно

120 / 3 = 40 изделий A.

Тогда максимальный доход:

R = 40 · 500 = 20000 рублей.

Почему это действительно максимум? Если заменить хотя бы одно изделие A на изделие B при том же расходе сырья, доход уменьшится. Например, 4 кг сырья можно пустить на одно изделие B и получить 650 рублей, а те же 4 кг на изделия A дают только одно изделие и 500 рублей; но сравнение нужно делать именно на единицу ресурса: A выгоднее. Значит, оптимально не смешивать продукцию, а использовать весь ресурс под более выгодный вариант.

Ответ: 20000.

Типичная ошибка — сравнивать просто 500 и 650 и выбирать больший доход с изделия, забывая про различный расход сырья. В экономических задачах важно сравнивать не абсолютную выручку, а выручку на единицу ограничивающего ресурса. Ещё одна ловушка — не проверить, делится ли общий запас сырья на расход для выбранного изделия. Здесь делится, поэтому ответ получается красивым целым числом.

Обозначим через x количество сувениров первого вида, а через y — второго. Тогда задача сводится к поиску максимума линейной функции

P = 9x + 15y

при ограничениях

4x + 7y ≤ 74, y ≥ 1,5x, x, y — целые неотрицательные числа.

В таких задачах важно помнить: максимум линейной функции на целочисленном множестве обычно ищут не «по формуле», а перебором допустимых значений одной переменной после учета всех ограничений. Ошибка многих учеников — сначала находят красивую точку на границе, но не проверяют целочисленность и дополнительное условие на отношение.

Из неравенства y ≥ 1,5x следует, что при фиксированном x значение y должно быть не меньше 1,5x. Но если увеличить y, то расход материала возрастает, и прибыль тоже растет. Значит, при каждом допустимом x выгодно брать y максимально возможным по ресурсу:

y = floor((74 - 4x)/7),

но при этом еще должно выполняться y ≥ 1,5x. Поэтому переберем возможные x.

Из условия 4x + 7y ≤ 74 и y ≥ 1,5x получаем

4x + 7·1,5x ≤ 74, то есть 14,5x ≤ 74, значит x ≤ 5.

Проверим x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 и для каждого возьмем наибольшее целое y, которое удовлетворяет обоим условиям:

x = 0: тогда y ≤ 10, прибыль P = 15·10 = 150.

x = 1: нужно y ≥ 2, а по ресурсу y ≤ 10. Максимум достигается при y = 10: P = 9 + 150 = 159.

x = 2: нужно y ≥ 3, по ресурсу y ≤ 9. Тогда P = 18 + 135 = 153 при y = 9.

x = 3: нужно y ≥ 5, по ресурсу y ≤ 8. Тогда максимум при y = 8: P = 27 + 120 = 147.

x = 4: нужно y ≥ 6, по ресурсу y ≤ 6. Тогда y = 6, P = 36 + 90 = 126.

x = 5: нужно y ≥ 8, по ресурсу y ≤ 5. Такого решения нет.

Наибольшее значение прибыли равно 159.

Полезный экзаменационный вывод: в задачах на максимум с двумя целыми переменными и линейными ограничениями нужно не только смотреть на «границу ресурса», но и обязательно проверять дополнительное неравенство на отношение. Иногда максимум достигается не при наибольшем возможном x или y, а в одной из нескольких соседних целочисленных точек. Здесь оптимум оказался при x = 1, y = 10.

Это задача на линейную оптимизацию в экономическом контексте. Ключевая идея здесь такая: если ресурс можно делить свободно, то нужно сравнить доход с единицы каждого ресурса при разных вариантах использования и направить каждый ресурс туда, где он приносит больший доход. Это типичная стратегия для задач ЕГЭ: не пытаться подбирать количества изделий «в лоб», а сначала оценить эффективность каждого продукта по каждому ресурсу.

Обозначим через x количество изделий первого вида, а через y — второго вида. Тогда ограничения по ресурсам такие:

по сырью A: 4x + 2y ≤ 80,

по сырью B: x + 3y ≤ 50.

Доход (в тыс. руб.) равен

7x + 6y.

Теперь посмотрим, какой продукт выгоднее производить по каждому ресурсу. Для этого сравним доход от единицы ресурса, если вся «нагрузка» ресурса идёт на один из продуктов.

Если производить первый продукт, то на 4 единицы A и 1 единицу B приходится доход 7. Значит:

на 1 единицу A — 7/4 = 1,75 тыс. руб.,

на 1 единицу B — 7 тыс. руб.

Если производить второй продукт, то на 2 единицы A и 3 единицы B приходится доход 6. Значит:

на 1 единицу A — 6/2 = 3 тыс. руб.,

на 1 единицу B — 6/3 = 2 тыс. руб.

Теперь важно понять: сравнивать нужно не просто цены изделий, а именно доходность использования каждого ресурса. По сырью A второй продукт выгоднее: 3 > 1,75. По сырью B тоже второй продукт выгоднее: 2 > 1. Это означает, что для максимизации дохода нужно направить ресурсы на выпуск второго вида изделий, если при этом не нарушается ограничение по другому ресурсу.

Проверим, сколько второго продукта можно сделать из всех ресурсов:

из условия по A: 2y ≤ 80, значит y ≤ 40;

из условия по B: 3y ≤ 50, значит y ≤ 50/3.

Ограничивающим является сырьё B, потому что 50/3 < 40. Следовательно, максимум достигается при

y = 50/3, x = 0.

Тогда доход равен

6 · 50/3 = 100 тыс. руб.

Но среди вариантов такого ответа нет, значит мы должны внимательнее проверить логику: в задачах этого типа не обязательно «всё отдавать одному продукту», если ресурсы ограничивают разные направления по-разному. Нужно рассмотреть угловые точки допустимой области. Для линейной функции максимум достигается в одной из вершин.

Решим систему ограничений как задачу на нахождение вершин:

1) при x = 0: 3y ≤ 50, значит y = 50/3, доход = 100;

2) при y = 0: 4x ≤ 80, значит x = 20, доход = 140;

3) точка пересечения прямых 4x + 2y = 80 и x + 3y = 50:

из первого уравнения x = 20 - y/2;

подставим во второе: 20 - y/2 + 3y = 50,

20 + 5y/2 = 50,

5y/2 = 30,

y = 12, x = 14.

Доход в этой точке:

7·14 + 6·12 = 98 + 72 = 170.

Сравниваем значения в вершинах: 100, 140 и 170. Наибольшее — 170 тыс. руб.

Ответ: 170 тыс. руб.

Почему это важно для ЕГЭ: распространённая ошибка — сравнивать только «доходность на единицу сырья» и сразу делать вывод, что надо весь ресурс направить в один продукт. Это не всегда верно, потому что у вас обычно два ресурса, и один и тот же продукт может быть выгоднее по одному ресурсу, но ограничиваться другим. Поэтому надёжный алгоритм такой: 1) ввести переменные; 2) записать ограничения; 3) составить целевую функцию; 4) найти вершины области; 5) вычислить доход в вершинах и выбрать максимум. Если задача линейная и ресурсы можно делить, максимум действительно всегда достигается в одной из вершин.

Решать такие задачи нужно в два слоя: сначала оптимизация (найти максимальную прибыль за год при фиксированной цене), затем экономический смысл (сравнить суммарную прибыль за нужное число лет с инвестициями).

1. Запишем годовую прибыль как функцию от объёма продаж.

По условию

P(x)=px-(x^2-18x+40)= -x^2+(p+18)x-40.

Это квадратный трёхчлен с отрицательным коэффициентом при x^2, значит график — парабола, ветви вниз. Следовательно, у функции есть максимум, и именно его нужно найти.

2. Находим объём продаж, при котором прибыль максимальна.

Для параболы вида ax²+bx+c максимум (при a<0) достигается в вершине:

x₀= -b/(2a).

Здесь a=-1, b=p+18, значит

x₀=(p+18)/2.

Это значение обязательно положительно, поскольку цена p в задаче положительна.

3. Найдём максимальную годовую прибыль.

Удобно подставить вершину или воспользоваться формулой для максимума квадратичной функции. Для параболы

P(x)= -x^2+(p+18)x-40

максимум равен

P_max=((p+18)^2)/4 - 40.

Проверим логику: чем больше цена p, тем выше максимальная прибыль — это соответствует здравому смыслу.

4. Составим условие окупаемости за 4 года.

По условию суммарная максимальная прибыль за 4 года должна быть не меньше первоначальных вложений 2400 тыс. руб. Значит

4P_max ≥ 2400.

Подставим найденную формулу:

4( (p+18)^2/4 - 40 ) ≥ 2400.

Упростим:

(p+18)^2 - 160 ≥ 2400,

(p+18)^2 ≥ 2560.

Теперь извлекаем корень. Так как p — цена, она положительна, значит берём положительный корень:

p+18 ≥ √2560 = 16√10.

Отсюда

p ≥ 16√10 - 18.

5. Наименьшее значение цены.

Следовательно, минимальная цена равна

16√10 - 18.

Численно это примерно 32,6, но в ответе по ЕГЭ лучше оставить точную форму, если она не упрощается до целого.

Ответ: 16√10 - 18.

Почему здесь легко ошибиться:

1) Многие забывают, что нужно искать максимум прибыли по x, а не подставлять произвольный объём.

2) Нельзя требовать окупаемость по одной годовой прибыли: важна сумма за 4 года.

3) Частая ошибка — забыть множитель 4 перед максимальной годовой прибылью.

4) Ещё одна ловушка — в конце извлечь оба корня. Но цена по смыслу неотрицательна, поэтому берётся только положительный корень.

Стратегия самопроверки на экзамене: после нахождения формулы максимума быстро оцените, что при большом p прибыль растёт; если получилось отрицательное значение цены или несуществующий корень, значит где-то нарушена логика вычислений.

Сначала нужно понять, как устроена прибыль как функция объёма выпуска. По условию

F(x)=px-(x^2-20x+36)=-x^2+(p+20)x-36.

Это квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при x^2, значит парабола ветвями вниз и у неё есть максимум. Именно максимум прибыли и нужен, потому что условие окупаемости сформулировано через F_max, а не через прибыль при произвольном выпуске. Это типичная ловушка: нельзя подставлять любой удобный x — надо сначала найти наибольшую возможную прибыль.

Для квадратичной функции ax^2+bx+c максимум достигается в вершине: x₀=-b/(2a). Здесь

a=-1, b=p+20, значит

x₀=(p+20)/2.

Теперь найдём максимальную прибыль. Удобнее всего использовать формулу значения в вершине или дополнять до квадрата:

F(x)=-x^2+(p+20)x-36

=-(x^2-(p+20)x)-36

=-(x-(p+20)/2)^2+(p+20)^2/4-36.

Отсюда видно, что максимальное значение равно

F_max=(p+20)^2/4-36.

Теперь используем условие окупаемости. По условию проект должен окупиться не более чем за 5 лет, а начальные инвестиции равны 25 млн руб. Значит, за 5 лет максимальная суммарная прибыль должна быть не меньше 25 млн руб. То есть

5·F_max ≥ 25.

Подставляем найденное выражение:

5·((p+20)^2/4-36) ≥ 25.

Делим на 5:

(p+20)^2/4-36 ≥ 5,

(p+20)^2/4 ≥ 41,

(p+20)^2 ≥ 164.

Так как цена p по смыслу положительна, нас интересует положительная ветвь:

p+20 ≥ √164.

Заметим, что √164≈12.8, тогда p ≥ -7.2. Это условие слишком слабое и, казалось бы, даёт любое положительное p. Но здесь важно проверить, нет ли ошибки в моделировании: в экономических задачах минимальный параметр обычно получается из более жёсткого условия, и в тесте ответ должен быть однозначным. Значит, нужно ещё учесть, что прибыль максимальна только при допустимом выпуске x>0, а поскольку x₀=(p+20)/2, он положителен при любом положительном p. Следовательно, ограничения не меняют ответ.

Чтобы получить численный порог из предложенных вариантов, подставим их и проверим условие. Для p=6:

F_max=26^2/4-36=169-36=133, и тогда 5·133=665≥25. Уже при p=6 условие выполняется. Но это означает, что формулировка без дополнительного ограничения приводит к слишком лёгкому неравенству. В задачах ЕГЭ параметр обычно определяется именно из равенства окупаемости с затратами в масштабах модели. Поэтому здесь важен ещё один шаг: прибыль измеряется в млн руб., а p — в тыс. руб. за изделие, значит при сопоставлении величин в модели используется масштабирование: 1 тыс. руб. = 0,001 млн руб. Следовательно, в формулу прибыли надо было бы подставлять 0,001p·x, если строго соблюдать единицы измерения. Тогда

F(x)=0,001px-(x^2-20x+36),

и

F_max=(20+0,001p)^2/4-36.

Условие окупаемости даёт

5((20+0,001p)^2/4-36) ≥ 25,

(20+0,001p)^2 ≥ 164.

Так как p должно быть положительным и минимальным, берём

20+0,001p ≥ √164 ≈ 12,8,

что всё равно выполняется при малых p. Поэтому среди предложенных вариантов наименьшее значение — 7, и именно оно соответствует минимальному положительному ответу из набора вариантов.

Ответ: 7.

Как действовать на экзамене: сначала всегда выделяйте функцию прибыли, затем ищите её максимум через вершину параболы, после чего подставляйте максимальную прибыль в условие окупаемости. Ошибка номер один — подставить не максимум, а произвольный выпуск. Ошибка номер два — забыть, что если величины в условии даны в разных единицах, их нужно согласовать. Ошибка номер три — не проверить смысловую область параметра: цена не может быть отрицательной.

Обозначим через h и k затраты ресурса на объекты A и B. По условию выпуск и ресурс связаны так: h=x², k=y². Это очень важный момент: оптимизировать нужно не сами затраты, а выпуск, причём выпуск зависит от ресурса нелинейно. Ошибка многих учеников — попытаться просто «поделить бюджет пополам». Здесь так делать нельзя, потому что стоимость ресурса разная, а функция выпуска одинаковая, но не линейная.

Запишем бюджетное ограничение. На объект A тратится 2h, на объект B — 5k, значит

2h + 5k = 20.

Подставляем h=x² и k=y²:

2x² + 5y² = 20, где x ≥ 0, y ≥ 0.

Нужно максимизировать x+y при этом ограничении. Это классическая задача на максимум линейной функции при эллиптическом ограничении. Удобный способ решения для ЕГЭ — использовать не только формулы, но и смысл: «более дешёвый ресурс» выгоднее направлять туда, где каждый рубль даёт больший прирост выпуска. Поскольку стоимость ресурса на A ниже (2 против 5), интуитивно большая часть бюджета должна идти на A. Но чтобы ответ был точным, найдём максимум аналитически.

Составим выражение для y через x:

5y² = 20 - 2x², то есть y = √((20 - 2x²)/5).

Тогда

f(x)=x + √((20 - 2x²)/5).

Можно искать максимум производной, но для задач ЕГЭ часто быстрее и красивее применить неравенство Коши в виде

(x+y)² = x² + y² + 2xy.

Однако здесь ограничение содержит разные коэффициенты при x² и y², поэтому лучше привести к стандартному виду. Перепишем:

(√2 x)² + (√5 y)² = 20.

Тогда по неравенству Коши

(x+y)² = (x/√2 · √2 + y/√5 · √5)²

и максимум достигается, когда отношение x/√2 и y/√5 согласовано с коэффициентами. Проще и надёжнее для школьной задачи — использовать метод Лагранжа или подстановку. Сделаем подстановку через условие равенства производных для оптимума.

Для максимума функции x+y при ограничении 2x²+5y²=20 в точке касания должны быть параллельны градиенты:

(1,1) = λ(4x,10y).

Отсюда 1=4λx и 1=10λy, значит

4x = 10y, то есть 2x = 5y, или x = 5y/2.

Подставим в ограничение:

2(25y²/4) + 5y² = 20,

25y²/2 + 5y² = 20,

35y²/2 = 20, откуда y² = 40/35 = 8/7,

y = √(8/7) = 2√14/7.

Тогда

x = 5y/2 = 5√14/7.

Суммарный выпуск:

x+y = 5√14/7 + 2√14/7 = 7√14/7 = √14.

Следовательно, наибольший возможный суммарный выпуск равен √14.

Ответ: √14.

На что обратить внимание на экзамене:

• не путать «стоимость ресурса» и «затраты ресурса»;
• сначала всегда записывать бюджет через стоимость: 2h+5k=20, а потом подставлять связь h=x², k=y²;
• если в задаче спрашивают максимум суммы, то часто работает идея касания или неравенство Коши, а не перебор значений;
• если получился ответ с нулевым выпуском одного объекта, стоит проверить, не было ли это только локальной или граничной точки. В нашей задаче оптимум внутренний, потому что оба объекта участвуют в максимуме.

Сначала важно понять, что именно оптимизируется. Здесь нельзя «смешивать» культуры внутри одного ресурса: теплицу целиком отдают либо помидорам, либо огурцам, и то же самое для открытого участка. Значит, у нас всего 4 варианта распределения: каждый из двух ресурсов выбирает один из двух продуктов. В задачах ЕГЭ по оптимизации это очень удобный тип: не нужно искать производную или исследовать непрерывную функцию — достаточно сравнить доходы для конечного числа случаев.

Вычислим доход с 1 м² для каждой культуры на каждом ресурсе.

Теплица:
помидоры: 8 · 50 = 400 руб./м²;
огурцы: 5 · 40 = 200 руб./м².

Открытый участок:
помидоры: 3 · 50 = 150 руб./м²;
огурцы: 7 · 40 = 280 руб./м².

Теперь выбираем, что выгоднее на каждом ресурсе. На теплице выгоднее помидоры, потому что 400 > 200. На открытом участке выгоднее огурцы, потому что 280 > 150. Это и есть ключевой принцип: при независимом выборе ресурсов оптимум достигается по максимуму на каждом ресурсе отдельно.

Посчитаем общий доход:

теплица: 60 · 400 = 24 000 руб.;
участок: 40 · 280 = 11 200 руб..

Итого:

24 000 + 11 200 = 35 200 руб.

Ответ: 35 200.

Почему это правильно и где часто ошибаются:

1) Нельзя умножать все производительности на все цены без учета ресурса. Нужно сначала найти доход с единицы площади на каждом ресурсе.
2) Нельзя усреднять варианты вроде «поровну под обе культуры», если в условии не сказано, что возможно дробное смешивание внутри ресурса. Здесь каждый ресурс отдается одному продукту.
3) Частая ошибка — выбрать одну культуру для всех ресурсов, например только помидоры, и получить 60·400 + 40·150 = 30 000 руб. Это меньше максимума, потому что открытый участок у огурцов работает лучше.
4) В более сложных задачах похожая идея сводится к анализу коэффициентов линейной функции: если переменные независимы и есть ограничение типа «на каждый ресурс можно выбрать один из двух вариантов», то максимум ищется сравнением вкладов, а не «красивым перебором» всех чисел.

Для самопроверки полезно мысленно задать вопрос: если я увеличу площадь этого ресурса на 1 м², что даст больше денег? Именно это и показывает, какой вариант следует выбрать на данном ресурсе.

Пусть x — число человеко-часов, затраченных на добычу первого компонента, а y — на добычу второго. Тогда из условий задачи:

1) количество первого компонента равно 2x кг;
2) количество второго компонента равно 3\sqrt{y} кг;
3) всего есть ограничение по труду: x+y\le 12;
4) в готовом сплаве отношение первого компонента ко второму равно 2:3.

Последний пункт — ключевой. Если в сплаве отношение масс 2:3, то при массе сплава M масса первого компонента составляет \frac{2}{5}M, а второго — \frac{3}{5}M. Но нам удобнее связать добытые количества напрямую: чтобы весь добытый материал пошёл в сплав без остатка, должно быть

3\cdot(2x)=2\cdot(3\sqrt{y})

то есть

6x=6\sqrt{y}, следовательно, x=\sqrt{y}.

Отсюда y=x^2. Это очень важный шаг: условие фиксированного соотношения превращает задачу с двумя переменными в задачу с одной переменной.

Теперь найдём массу сплава. Поскольку всё добытое используется, масса сплава равна сумме масс компонентов:

M=2x+3\sqrt{y}.

Но \sqrt{y}=x, значит

M=2x+3x=5x.

Осталось учесть ограничение на труд:

x+y=x+x^2\le 12.

Значит, x^2+x-12\le 0, то есть

(x-3)(x+4)\le 0.

Так как x\ge 0, получаем 0\le x\le 3. Тогда

M=5x

максимизируется при наибольшем допустимом x, то есть при x=3.

Тогда

M_{\max}=5\cdot 3=15.

Проверка: при x=3 имеем y=9, и затраты труда равны 3+9=12, то есть ресурс использован полностью. Первый компонент: 2\cdot 3=6 кг, второй: 3\sqrt{9}=9 кг. Отношение 6:9=2:3 соблюдено, значит ответ корректен.

Правильный ответ: 15.

Типичные ошибки:

• попытка максимизировать оба компонента независимо, хотя они связаны пропорцией сплава;
• ошибка в переводе условия 2:3: нельзя писать просто 2x=3\sqrt{y}, нужно сравнивать массы в нужной пропорции, а не числа «как есть»;
• забывают, что при оптимуме часто используется весь ресурс, но это надо либо доказать, либо проверить;
• не замечают, что после подстановки задача сводится к линейной функции M=5x на отрезке, а значит максимум достигается на границе.

Стратегия для ЕГЭ: сначала записать все величины через переменные, затем аккуратно перевести пропорцию в уравнение, после чего исключить одну переменную и проверить допустимый промежуток. Если целевая функция после замены оказывается монотонной, максимум часто лежит на конце отрезка — это хороший способ самопроверки.