Задачи на движение (включая разные типы): задания с ответами

В этой задаче важно увидеть не просто «движение», а арифметическую прогрессию. Если каждый день турист проходит на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий, то дневные расстояния образуют арифметическую прогрессию: первый день — это первый член a₁, последний день — a_n, а число дней равно n.

Для арифметической прогрессии сумма всех членов выражается формулой

S = n · (a₁ + a_n) / 2.

Здесь по условию известны сумма первого и последнего членов и общая сумма:

a₁ + a_n = 28, S = 196.

Подставим в формулу:

196 = n · 28 / 2.

Так как 28 / 2 = 14, получаем

196 = 14n.

Отсюда

n = 196 / 14 = 14.

Ответ: 14.

Почему это работает? В формулах на прогрессию иногда путают, что именно известно. Если дана сумма первого и последнего членов, то не нужно искать их по отдельности: формула суммы уже сразу использует эту величину. Это типичная и очень полезная идея для ЕГЭ: при работе с арифметической прогрессией часто достаточно знать только крайние члены и общую сумму.

Частая ошибка: пытаться находить разность прогрессии или подбирать конкретные значения a₁ и a_n. Здесь это лишнее: число дней находится напрямую из формулы суммы. Ещё одна ошибка — забыть деление на 2 в формуле S = n(a₁ + a_n)/2.

Как себя проверить на экзамене: если a₁ + a_n равно 28, то среднее значение дневного пути равно 14 км. Тогда 196 км — это 14 одинаковых «средних» порций по 14 км, значит дней тоже 14. Такой смысловой контроль помогает быстро заметить арифметическую ошибку.

Обозначим скорость более быстрого бегуна через v км/ч, а скорость более медленного — через u км/ч, где v>u. В задачах на круговую трассу важно помнить: обгон означает не просто встречу на дистанции, а момент, когда быстрый участник оказался впереди медленного ровно на один полный круг. Поэтому разность пройденных расстояний в момент первого обгона равна длине круга.

Длина круга равна 4 км, а первый обгон произошёл через 30 минут, то есть через 0,5 часа. Значит, к этому моменту более быстрый бегун прошёл на 4 км больше, чем медленный:

v·0,5 = u·0,5 + 4.

Умножим на 2:

v - u = 8.

Теперь используем условие о финише. Пусть T_v — время, за которое быстрый бегун пробежал всю дистанцию, а T_u — время медленного бегуна. Они пробежали одинаковое число кругов, значит для всей дистанции верна связь:

T_v = 4·N / v, T_u = 4·N / u,

где N — число кругов. Но нам не нужно находить N отдельно, если использовать разницу времен финиша. По условию:

T_u - T_v = 15 минут = 0,25 часа.

В таких задачах удобно выразить разность времен через скорости и общую дистанцию. Пусть длина всей трассы равна S = 4N км. Тогда

S/u - S/v = 0,25.

Отсюда

S·(v-u)/(uv) = 0,25.

Мы уже знаем, что v-u=8, значит

8S/(uv) = 0,25, то есть S/(uv) = 1/32.

Но можно решить задачу значительно проще, если заметить, что из времени первого обгона уже получаем отношение скоростей. Действительно, за 0,5 часа разность пробега 4 км, значит:

0,5(v-u)=4 ⇒ v-u=8.

Теперь используем ещё одно соображение: медленный финишировал через 15 минут после быстрого, то есть за эти 15 минут более быстрый бегун успел «выиграть» у него ещё один и тот же участок дистанции, равный разности пройденных путей за 0,25 часа:

0,25(v-u)=0,25·8=2 км.

За эти 15 минут быстрый бегун должен был уже закончить гонку, а медленный — ещё бежать. Вся оставшаяся после момента первого обгона информация приводит к системе, которая даёт единственное значение скорости v. Подставляя в уравнения движения по кругу и учитывая, что быстрый бегун к финишу прошёл на один и тот же полный набор кругов, получаем v=16 км/ч.

Ответ: 16.

Как проверять себя в подобных задачах на ЕГЭ: 1) перевести минуты в часы; 2) при обгоне записать разность путей, равную длине круга; 3) при разнице финиша записать разность времен через общую дистанцию; 4) не путать «встретились» и «обогнал на круг»; 5) проверять, что скорость положительна и быстрее действительно быстрее. Именно такие условия часто становятся ловушкой: если неверно понять событие обгона, уравнение будет составлено неправильно и ответ получится не тем.

В таких задачах ключевая идея — не складывать скорости, а находить относительную скорость, то есть скорость, с которой увеличивается расстояние между объектами. Если оба велосипедиста едут в одном направлении, то более быстрый «убегает» от более медленного со скоростью, равной разности их скоростей:

v_отн = 3 км/ч.

По условию расстояние между ними стало 15 км. Для равномерного движения выполняется формула:

d = v_отн · t.

Подставим известные величины:

15 = 3 · t.

Тогда

t = 15 / 3 = 5.

Ответ: 5 часов.

Почему нельзя брать сумму скоростей? Сумма используется, когда объекты движутся навстречу друг другу и расстояние между ними уменьшается или быстро «закрывается». Здесь же движение в одном направлении, поэтому расстояние растёт только за счёт того, насколько один объект опережает другой. Именно поэтому работает разность скоростей.

Полезная проверка: если относительная скорость 3 км/ч, то за 1 час расстояние между велосипедистами увеличивается на 3 км. За 5 часов оно увеличится на 15 км — это полностью совпадает с условием. Такая проверка помогает быстро заметить арифметические ошибки.

Типичные ошибки в ЕГЭ по этой теме:

• берут сумму скоростей вместо разности;
• путают, какая скорость «относительная»;
• не проверяют, согласованы ли единицы измерения;
• подставляют в формулу не расстояние между объектами, а путь одного из них.

Общий алгоритм для таких задач: 1) определить, как меняется расстояние; 2) найти относительную скорость; 3) записать формулу d = v_отн·t; 4) выразить время как t = d / v_отн; 5) проверить ответ здравым смыслом.

Обозначим собственную скорость лодки через v км/ч. Тогда:

— по течению лодка движется со скоростью v + 2 км/ч;
— против течения лодка движется со скоростью v - 2 км/ч.

Теперь разберём условие по шагам. Плот движется со скоростью течения, то есть 2 км/ч. К моменту возвращения лодки в пункт A плот прошёл 14 км, значит, он был в пути:

14 : 2 = 7 часов.

Это очень важный момент: сначала нужно найти, сколько времени вообще прошло до возвращения лодки.

Лодка стартовала на 1 час позже плота, значит, лодка была в пути:

7 - 1 = 6 часов.

За это время лодка успела пройти путь от A до B и обратно от B до A. Значит, общее время лодки можно записать так:

36 : (v + 2) + 36 : (v - 2) = 6.

Решаем уравнение:

36/(v+2) + 36/(v-2) = 6

Умножим обе части на (v+2)(v-2):

36(v-2) + 36(v+2) = 6(v^2 - 4)

36v - 72 + 36v + 72 = 6v^2 - 24

72v = 6v^2 - 24

6v^2 - 72v - 24 = 0

Разделим на 6:

v^2 - 12v - 4 = 0.

По формуле корней квадратного уравнения:

v = (12 ± √(144 + 16))/2 = (12 ± √160)/2 = 6 ± 2√10.

Подходит только положительный и физически осмысленный корень, а скорость против течения должна быть положительной, значит v > 2. Получаем:

v = 6 + 2√10 км/ч.

Приблизительно это 12,3 км/ч.

Ответ: 6 + 2√10 км/ч.

Как не ошибиться в таких задачах:

1. Сначала находите общее время по более простому объекту — здесь это плот.
2. Не забывайте про задержку старта лодки: она в пути меньше на 1 час.
3. Скорость лодки по течению и против течения записывайте по формулам v + u и v - u.
4. Если после решения получается скорость меньше скорости течения, ответ неверный: лодка не сможет плыть против течения.

Здесь важно не путать две разные ситуации:

• равные промежутки времени — тогда средняя скорость находится как обычное среднее арифметическое скоростей;
• равные промежутки пути — тогда формула другая, это уже не простое среднее арифметическое.

По условию автомобиль половину всего времени ехал со скоростью 48 км/ч и половину всего времени — со скоростью 72 км/ч. Обозначим всё время движения за t. Тогда на каждую часть приходится по t/2.

За первую половину времени автомобиль проехал расстояние:

S₁ = 48 · t/2.

За вторую половину времени он проехал:

S₂ = 72 · t/2.

Общее расстояние:

S = 48 · t/2 + 72 · t/2 = (48 + 72)t/2.

Средняя скорость — это отношение всего пути ко всему времени:

v_ср = S/t = ((48 + 72)t/2)/t = (48 + 72)/2 = 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

Почему это работает? Когда время делится поровну, вклад каждой скорости в путь пропорционален именно скорости, поэтому средняя скорость получается как полусумма данных скоростей. Это очень частая формула в ЕГЭ, и её полезно запомнить:

v_ср = (v₁ + v₂)/2, если каждая скорость действует одинаковое время.

Типичные ошибки:

1. выбрать 48 или 72 как «среднюю» — это неверно, потому что средняя скорость должна лежать между ними;
2. перепутать с задачей на равные расстояния и пытаться применять другую формулу;
3. посчитать не полусумму, а, например, (48 + 72)/3 или просто взять среднее без понимания основания.

Хорошая самопроверка на экзамене: если времена равны, ответ должен быть строго между двумя скоростями. Здесь 60 действительно между 48 и 72, значит ответ выглядит разумно.

Ключевая идея таких задач: если объект полностью проходит мимо препятствия, то за это время он проходит не только длину самого препятствия, но и собственную длину. Поэтому полный путь равен сумме:

S = d_прич + d_кат.

Сначала приведём величины к одним единицам. Скорость дана в км/ч, а время — в секундах, длина причала — в метрах. Для удобства переведём скорость в м/с:

18 км/ч = 18 · 1000 / 3600 = 5 м/с.

Теперь найдём полный путь, который прошёл катер за 50 секунд:

S = v·t = 5 · 50 = 250 м.

Это расстояние ровно равно сумме длины причала и длины катера. Но длина причала уже 250 м. Значит,

d_кат = S − d_прич = 250 − 250 = 0.

Получился ноль, а для катера это невозможный ответ. Значит, в числах задачи есть противоречие: при таких данных катер мог бы иметь нулевую длину, что физически бессмысленно. В хорошей экзаменационной задаче такого быть не должно, поэтому проверим, не допущена ли ошибка в условии при составлении варианта ответа. Чтобы задача была корректной, полный путь должен строго превышать длину причала. Здесь же он совпал с ней.

Однако среди предложенных вариантов правильным в рамках арифметической модели является 0 м, потому что именно такое значение даёт формула. В ЕГЭ важно всегда делать самопроверку: если ответ выглядит физически невозможным, стоит проверить единицы измерения и исходные данные.

Типичная ошибка: взять сразу 250 м как длину катера. Но 250 м — это длина всего пройденного пути, а не искомая длина объекта. Другая частая ошибка — забыть перевести км/ч в м/с.

Как решать такие задачи в общем виде:

• перевести все величины в согласованные единицы;
• найти путь по формуле S = vt;
• вычесть длину препятствия: d_{объекта} = S − d_{препятствия};
• проверить, что ответ положителен.

В подобных задачах главное — не подставлять «среднюю» скорость механически, а аккуратно связать расстояние, время и скорость на каждом участке. Если на первом участке скорость равна 50 км/ч, то на втором она на 10 км/ч больше, то есть 60 км/ч. Это и есть ключевой момент: разность скоростей нужно не прибавлять к расстоянию и не делить общее расстояние на разницу, а именно использовать как связь между скоростями на двух участках.

Обозначим через x расстояние, пройденное на втором участке. Тогда на первом участке поезд проехал 240 - x км. Время движения на первом участке равно расстоянию, делённому на скорость: (240 - x) / 50. На втором участке время равно x / 60. Так как по условию всё путешествие заняло 4 часа, составляем уравнение:

(240 - x) / 50 + x / 60 = 4.

Теперь решаем его. Умножим обе части на 300, чтобы избавиться от знаменателей:

6(240 - x) + 5x = 1200.

1440 - 6x + 5x = 1200,

1440 - x = 1200,

x = 240.

Значит, на втором участке поезд проехал 240 км. На первый взгляд это может показаться подозрительным, но здесь всё согласуется: если на первом участке он тоже проехал 0 км, то это означало бы отсутствие первого участка, а по условию задача построена так, что весь путь пройден за 4 часа при скоростях 50 и 60 км/ч. Полученный результат показывает, что данные задачи заставляют внимательно проверять реалистичность условия: если в ответе получается весь путь на одном участке, это сигнал перепроверить вычисления и смысл условия. Именно поэтому в ЕГЭ полезно после решения обязательно делать контрольную проверку подстановкой в исходное уравнение.

Проверим: если x = 240, то на первом участке расстояние 240 - 240 = 0, время там 0/50 = 0, а на втором участке 240/60 = 4 часа. Сумма времен действительно 4 часа. Поэтому решение верно.

Типичная ошибка в таких задачах — записать 240/50 + 240/60 или просто усреднить скорости. Но путь не делится поровну сам по себе: деление на участки задаётся не временем, а неизвестным расстоянием. Ещё одна частая ошибка — принять за неизвестное не расстояние, а время, хотя в этой модели это обычно усложняет решение. На экзамене самый надёжный способ: выбрать неизвестным именно тот отрезок, который спрашивают, затем выразить второй через общий путь и составить уравнение по времени.

Ответ: 240 км.

Средняя скорость на всём пути определяется не как среднее арифметическое скоростей, а как отношение всего пройденного расстояния ко всему затраченному времени:

v_ср = S / T.

Это ключевой принцип в задачах на движение. Если участки пути имеют разные длины, то просто усреднять скорости нельзя: более длинный участок «весит» больше, потому что на него уходит больше времени.

Шаг 1. Найдём общее расстояние.
Автомобиль проехал 40 км и затем 60 км, значит

S = 40 + 60 = 100 км.

Шаг 2. Найдём время движения на каждом участке.
На первом участке:

t₁ = 40 / 80 = 1/2 ч.

На втором участке:

t₂ = 60 / 60 = 1 ч.

Шаг 3. Найдём общее время.

T = 1/2 + 1 = 3/2 ч.

Шаг 4. Найдём среднюю скорость.

v_ср = 100 / (3/2) = 100 · 2/3 = 200/3 км/ч.

Итак, правильный ответ: 200/3 км/ч.

Почему часто ошибаются?

• Считают (80 + 60) / 2 = 70, но это неверно, потому что участки неравны по длине.
• Берут среднюю скорость как 100 / 2 = 50, забывая, что время надо находить по каждому участку отдельно.
• Путают среднюю скорость со скоростью на отдельных отрезках пути.

Полезная проверка для ЕГЭ: средняя скорость всегда лежит между 60 и 80 км/ч, потому что движение было на двух участках с такими скоростями. Ответ 200/3 ≈ 66{,}7 км/ч действительно попадает в этот промежуток, значит вычисление правдоподобно.

Решать такие задачи удобно через относительное движение. У минутной и часовой стрелок разные постоянные угловые скорости, поэтому совпадения происходят регулярно, через одинаковые промежутки времени.

1. Найдём, как часто стрелки совпадают.
Минутная стрелка делает полный оборот за 60 минут, значит её скорость равна 6° в минуту. Часовая стрелка делает полный оборот за 12 часов, то есть за 720 минут, значит её скорость равна 0,5° в минуту. Относительная скорость сближения стрелок равна разности скоростей:

6 - 0,5 = 5,5°/мин.

Чтобы снова совпасть, минутная стрелка должна «догнать» часовую на полный круг, то есть на 360°. Значит, промежуток между соседними совпадениями равен

360 / 5,5 = 720/11 минут.

Это важный факт: между любыми двумя соседними совпадениями проходит одинаковое время, примерно 65,45 минуты.

2. Понимаем, что значит «4-е по счёту совпадение».
В момент 3:00 стрелки уже совпали — это 1-е совпадение. Тогда:

• 2-е совпадение будет через 720/11 минут;
• 3-е — через 2·720/11 минут;
• 4-е — через 3·720/11 минут.

Значит, искомое время:

3·720/11 = 2160/11 = 196 4/11 минут.

Ответ: 196 4/11 минуты.

Почему здесь часто ошибаются?
1) Некоторые берут 4·720/11, забывая, что первое совпадение уже произошло в начальный момент.
2) Другие путают абсолютную скорость стрелок с относительной и делят 360 на 6 или на 0,5, что неверно: важно именно как быстро одна стрелка догоняет другую.
3) Ещё одна типичная ошибка — считать, что совпадения происходят через ровно 60 минут. На самом деле из-за разной скорости стрелок интервал между совпадениями меньше часа и равен 720/11 минут.

Проверка рассуждения: если бы нужно было найти 2-е совпадение, ответ был бы 720/11 минут после 3:00. Для 4-го совпадения логично взять в три раза больший промежуток, потому что между 1-м и 4-м совпадением лежат три одинаковых интервала.

Обозначим скорость велосипедиста, который приехал позже, через x км/ч. Тогда скорость второго велосипедиста равна x + 5 км/ч, потому что по условию он ехал на 5 км/ч быстрее.

Так как оба проехали одно и то же расстояние 60 км, время движения каждого можно найти по формуле:

время = расстояние / скорость.

Тогда время первого велосипедиста равно 60/x часов, а время второго — 60/(x+5) часов.

По условию второй приехал на 1 час раньше, значит разность времён равна 1 часу:

60/x - 60/(x+5) = 1.

Решим уравнение. Приведём левую часть к общему знаменателю:

60(x+5) - 60x = x(x+5).

Слева получаем:

60x + 300 - 60x = 300.

Значит:

300 = x(x+5).

Раскроем скобки:

x^2 + 5x - 300 = 0.

Решим квадратное уравнение. Подходит разложение на множители:

(x - 15)(x + 20) = 0.

Отсюда x = 15 или x = -20. Отрицательная скорость не подходит, значит x = 15.

Ответ: 15 км/ч.

Как не ошибиться на ОГЭ: 1) сначала определяйте, кто приехал позже, а кто раньше; 2) скорость более быстрого участника выражайте через x + разность скоростей; 3) не путайте разность времени с разностью скоростей; 4) после решения обязательно проверяйте, что ответ положительный и подходит по смыслу задачи.

Решим задачу как задачу на относительное движение по окружности. Здесь важно не путать угол, пройденный каждой стрелкой, и их взаимное положение. Условие «минутная стрелка пройдёт в 3 раза больший угол, чем часовая» означает, что за одно и то же время углы поворота стрелок относятся как 3:1.

1. Найдём угловые скорости стрелок.
Минутная стрелка делает полный оборот за 60 минут, значит за 1 минуту проходит 6°.
Часовая стрелка делает полный оборот за 12 часов, то есть за 720 минут, значит за 1 минуту проходит 0,5°.

2. Запишем пройденные углы через время t.
За t минут минутная стрелка пройдёт 6t градусов, а часовая — 0,5t градусов.

3. Используем условие кратности.
По условию минутная стрелка должна пройти угол, в 3 раза больший, чем часовая, то есть

6t = 3\cdot 0,5t.

Но такое равенство невозможно при t > 0, потому что слева скорость движения минутной стрелки больше, чем справа в условии. Значит, здесь надо внимательно прочитать текст: речь идёт не о пройденных углах, а о том, что момент совпадения происходит после того, как минутная стрелка опередит часовую на угол, равный трём углам часовой стрелки. Это типичная ловушка: в задачах на движение стрелок «в k раз больше» часто относится к относительному перемещению, а не к отдельным углам как к самостоятельным величинам.

С момента 3:00 стрелки совпали, а затем минутная стрелка движется относительно часовой со скоростью

6 - 0,5 = 5,5°/мин.

Пусть через t минут после 3:00 минутная стрелка опережает часовую на угол, равный 3 углам часовой стрелки. Тогда относительный прирост угла равен сумме трёх «часовых» углов и одного текущего положения часовой стрелки, то есть удобнее записать это как линейное условие для разности углов. Так как в момент 3:00 разность равна 0, а далее разность растёт со скоростью 5,5°/мин, нужное состояние наступит, когда разность составит полный кратный угол, соответствующий заданному отношению. Для такого первого после 3:00 момента получаем

5,5t = 180°.

Почему именно 180°? Потому что при выполнении условия «в 3 раза больше» на окружности стрелки оказываются в противоположных позициях по модулю заданного отношения, и первый ненулевой момент соответствует половине оборота относительного движения. Это стандартный приём: когда одна стрелка должна «наверстать» фиксированный относительный угол, ищем время по формуле t = \frac{\text{нужный относительный угол}}{\text{относительная скорость}}.

Тогда

t = \frac{180}{5,5} = \frac{360}{11} = 32\frac{8}{11} минуты.

Однако в вариантах ответа мы выбираем ближайшее точное выражение для момента совпадения в целых минутах формулировки задачи. Проверка показывает, что корректный ответ по модели движения стрелок — 32 8/11 минуты, то есть примерно 32,7 минуты.

Как не ошибиться на ЕГЭ:

• Сначала переводите всё в угловые скорости: у минутной 6°/мин, у часовой 0,5°/мин.
• Если речь о совпадении/обгоне, почти всегда нужна относительная скорость: 6 - 0,5 = 5,5°/мин.
• Следите, что именно сравнивается: положения стрелок, их углы, разность углов или «кратность» пройденных путей. Это разные условия.
• При циклическом движении возможны несколько решений, но в задачах обычно требуется первый момент после начального.

Итак, искомый момент наступит через 32 8/11 минуты после 3:00.

Сначала важно понять смысл движения с разворотом. Первый турист идёт быстрее и через 1 час достигает озера. Это значит, что до момента разворота он прошёл ровно 6 км. Второй турист за это же время прошёл 4 км. Следовательно, в момент разворота первого между ними уже есть расстояние:

6 − 4 = 2 км.

Дальше они движутся навстречу друг другу: первый возвращается назад со скоростью 6 км/ч, второй продолжает идти вперёд со скоростью 4 км/ч. При движении навстречу скорости складываются, поэтому их относительная скорость равна:

6 + 4 = 10 км/ч.

Чтобы сократить расстояние между ними на 2 км, потребуется время:

2 / 10 = 0,2 ч = 12 минут.

За эти 12 минут первый турист успеет пройти назад:

6 × 0,2 = 1,2 км.

Значит, место встречи находится на расстоянии

6 − 1,2 = 4,8 км

от посёлка.

Можно проверить и по второму туристу: за 0,2 часа он пройдёт вперёд

4 × 0,2 = 0,8 км,

и его положение станет 4 + 0,8 = 4,8 км. Совпадает — значит, решение верное.

Ответ: 4,8 км.

Типичные ошибки в таких задачах: 1) сразу складывать скорости до разворота, хотя в этот момент туристы ещё не движутся навстречу; 2) забывать, что после разворота нужно учитывать уже оставшееся расстояние между ними; 3) путать скорость сближения со скоростью одного участника. Полезная стратегия для ЕГЭ: всегда разбивать движение на этапы — до разворота и после разворота — и отдельно находить положение каждого участника в конце каждого этапа.