Свойства логарифмов и тождественные преобразования: задания с ответами

Используем основное свойство логарифмов: log_bx − log_by = log_b(x/y), которое верно только при одном и том же основании b и положительных аргументах x, y. Это свойство удобно тем, что позволяет не вычислять каждый логарифм отдельно, а сразу сводить разность к одному логарифму.

Применим его к данному выражению:

log₃81 − log₃3 = log₃(81/3) = log₃27.

Теперь нужно вычислить log₃27. Это означает: в какую степень нужно возвести число 3, чтобы получить 27? Так как 27 = 3³, получаем:

log₃27 = 3.

Итак, значение выражения равно 3.

Частая ошибка на ЕГЭ — пытаться “вычесть подлогарифмические выражения” напрямую, то есть считать, что log₃81 − log₃3 = log₃(81 − 3). Так делать нельзя: логарифм не сохраняет вычитание аргументов. Правильно именно перейти к логарифму частного. Ещё одна ловушка — забыть, что аргументы логарифмов должны быть положительными; здесь это выполнено, потому что 81 > 0 и 3 > 0.

Полезная проверка: если результат получился целым числом, можно быстро проверить его по степеням основания. Здесь 3³ = 27, значит ответ действительно равен 3.

Используем свойства логарифмов и стараемся привести оба слагаемых к числам.

1) Первый логарифм. По определению степенного логарифма \(\log_{3}(3^{-2}) = -2\), потому что основание и аргумент уже записаны через одну и ту же степень тройки.

2) Второй логарифм. Здесь основание обратное: \(\frac13 = 3^{-1}\), а аргумент \(9 = 3^2\). Тогда

\[\log_{1/3}(9)=\log_{3^{-1}}(3^2).\]

Можно применить формулу \(\log_{1/a}(b)=-\log_a(b)\):

\[\log_{3^{-1}}(3^2)=-\log_3(3^2)=-2.\]

3) Складываем результаты:

\[\log_{3}(3^{-2}) + \log_{1/3}(9) = -2 + (-2) = -4.\]

Ответ: \(-4\).

Полезный экзаменационный приём: если видите основание вида \(a^{-1}\), почти всегда выгодно заменить его на логарифм с основанием \(a\) и сразу учесть знак минус. Типичная ошибка — забыть, что при переходе к обратному основанию значение логарифма меняет знак. Ещё одна частая ловушка — пытаться “сократить” выражение внутри логарифма без преобразования основания. Для самопроверки можно переписать всё через степень одного числа: тогда логарифм сводится к показателю степени.

Решим выражение, аккуратно используя определение логарифма и свойства степеней.

1. Вычислим первый логарифм. Число 32 представим как степень двойки: \(32=2^5\). Тогда

\(\log_{2}32=\log_{2}(2^5)=5\),

потому что логарифм показывает, в какую степень нужно возвести основание 2, чтобы получить 32.

2. Вычислим второй логарифм. Основание здесь 4, а аргумент \(\frac{1}{16}\). Запишем всё через степень числа 2: \(4=2^2\), \(\frac{1}{16}=2^{-4}\). Тогда

\(\log_{4}\frac{1}{16}=\log_{2^2}(2^{-4})=\frac{-4}{2}=-2\).

Это частный случай формулы \(\log_{a^m}(a^n)=\frac{n}{m}\), но важно понимать её не механически, а как следствие равенства \((a^m)^x=a^n\). Тогда \(a^{mx}=a^n\), откуда \(mx=n\) и \(x=n/m\).

3. Подставим в исходное выражение.

\(\log_{2}32 - \log_{4}\frac{1}{16}=5-(-2)=7\).

Ответ: \(7\).

На что часто ошибаются: не замечают, что \(\frac{1}{16}=2^{-4}\); путают знак при вычитании отрицательного числа; пытаются сразу сокращать логарифмы с разными основаниями без приведения к одному основанию. В задачах ЕГЭ по логарифмам полезно сначала переписать все числа как степени одного и того же основания — это самый надежный способ избежать ошибок.

Используем формулу смены основания логарифма:

\(\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}\), где основания и аргументы положительны, а основание не равно 1.

Тогда

\(\log_2 3 \cdot \log_3 8 = \dfrac{\ln 3}{\ln 2} \cdot \dfrac{\ln 8}{\ln 3}.\)

Здесь сразу видно важное свойство: множитель \(\ln 3\) в числителе и знаменателе сокращается, потому что это обычные алгебраические множители. Получаем

\(\dfrac{\ln 8}{\ln 2} = \log_2 8.\)

Теперь считаем: \(8 = 2^3\), значит

\(\log_2 8 = 3.\)

Ответ: 3.

Почему этот приём работает. В произведениях логарифмов с «сцепленными» основаниями часто выгодно приводить всё к одному основанию. Если основания и аргументы подобраны удачно, возникают сокращения. Это типичная идея для ЕГЭ: не вычислять логарифмы по отдельности, а использовать структуру выражения.

Частая ошибка: пытаться «перемножить» логарифмы по каким-то несуществующим правилам, например думать, что \(\log_2 3 \cdot \log_3 8 = \log_{2\cdot 3}(3\cdot 8)\). Так делать нельзя: у логарифмов нет такого свойства для произведения. Разрешены только стандартные формулы — смена основания, логарифм произведения, степени, частные и т. п.

Как быстро проверять себя на экзамене. Если видите выражение вида \(\log_a b \cdot \log_b c\), почти всегда полезно преобразовать его к \(\log_a c\): основания и аргументы «сцепляются», и лишний промежуточный логарифм сокращается. В нашей задаче именно это и произошло: \(\log_2 3 \cdot \log_3 8 = \log_2 8 = 3\).

Решим задачу аккуратно, используя главное правило: если основания логарифмов являются степенями одного и того же числа, то удобно всё переписать через это число.

Здесь видно, что

\(8=2^3\), \(32=2^5\), \(4=2^2\).

Тогда

\(\log_{8} 32 = \log_{2^3} 2^5\).

По свойству логарифма \(\log_{a^m} a^n = \dfrac{n}{m}\), если \(a>0\), \(a\neq 1\), получаем:

\(\log_{2^3} 2^5 = \dfrac{5}{3}\).

Аналогично

\(\log_{4} 8 = \log_{2^2} 2^3 = \dfrac{3}{2}\).

Теперь вычитаем:

\(\dfrac{5}{3} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{10-9}{6} = \dfrac{1}{6}.\)

Ответ: \(\dfrac{1}{6}\).

Почему этот способ надежен на ЕГЭ? Частая ошибка — пытаться применять формулу разности логарифмов как будто это один логарифм: \(\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}\) работает только при одинаковом основании. Здесь основания разные, поэтому сначала нужно свести их к общему основанию или выразить как степени одного числа.

Типичные ловушки:

• перепутать \(\log_{8} 32\) с \(\log_{32} 8\);
• не заметить, что \(8\) и \(4\) — это степени числа 2;
• ошибочно написать \(\log_{2^3} 2^5 = \dfrac{3}{5}\) вместо \(\dfrac{5}{3}\): в формуле наверху стоит показатель аргумента, а внизу — показатель основания.
• ошибиться со знаком при вычитании дробей.

Проверка ответа: так как \(8^ {5/3} = 32\), действительно \(\log_8 32 = 5/3\). А \(4^{3/2}=8\), значит \(\log_4 8 = 3/2\). Разность равна \(1/6\), что согласуется с вычислением.

Используем формулу перехода к новому основанию:

\(\log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}\), где \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\).

Тогда

\(\log_{4}5=\dfrac{\ln 5}{\ln 4}\), \(\log_{16}5=\dfrac{\ln 5}{\ln 16}\).

Подставим это в дробь:

\(\dfrac{\log_{4} 5}{\log_{16} 5}=\dfrac{\frac{\ln 5}{\ln 4}}{\frac{\ln 5}{\ln 16}}=\dfrac{\ln 5}{\ln 4}\cdot\dfrac{\ln 16}{\ln 5}\).

Теперь \(\ln 5\) сокращается, и остаётся

\(\dfrac{\ln 16}{\ln 4}=\log_{4}16\).

Так как \(16=4^2\), получаем

\(\log_{4}16=2\).

Ответ: \(2\).

Почему это работает и где часто ошибаются: многие пытаются «сократить» логарифмы по аргументу, будто это обычные дроби, но так делать нельзя. Сначала нужно привести оба логарифма к одному основанию по формуле перехода. После этого одинаковый множитель \(\ln 5\) действительно сокращается. Ещё одна типичная ошибка — перепутать \(\log_{16}5\) с \(\log_{4}5\) и сразу записать ответ 1. Важно видеть, что основания разные, но одно связано с другим степенью: \(16=4^2\). Именно это и позволяет быстро довести выражение до числа.

Полезная стратегия на ЕГЭ: если в числителе и знаменателе стоят логарифмы одного и того же аргумента, почти всегда выгодно применять формулу перехода к новому основанию. Тогда задача сводится к отношению логарифмов оснований, а оно часто упрощается до простого числа.

Сначала упростим само выражение под логарифмом:

72/9 = 8, значит нужно найти log₂ 8.

Но 8 = 2³, поэтому по свойству логарифма степени получаем

log₂ 8 = log₂(2³) = 3 · log₂ 2 = 3.

Здесь значение log₂ 3 = a оказалось лишним: оно дано как «шум», чтобы проверить, умеете ли вы сначала упрощать выражение, а не подставлять лишние данные. На ЕГЭ это частая ловушка: если внутри логарифма после сокращения получается степень основания, то нужно сразу применять формулу log_b(b^k) = k.

Ответ: 3.

Как действовать на экзамене: сначала приводите аргумент логарифма к простому виду; только если остаются произведения, частные или степени, используйте свойства логарифмов. Это помогает избежать ошибок со знаками и лишними преобразованиями.

Сначала приведём основание и аргумент к степеням одного и того же числа. Это ключевой приём в задачах такого типа: если и основание, и аргумент записаны через одну базу, логарифм удобно вычислять по формуле \(\log_{a^p}(a^q)=\dfrac{q}{p}\), где \(a>0\), \(a\neq 1\).

В нашем примере

\(\sqrt[3]{8}=2\), потому что \(8=2^3\), а значит \(\sqrt[3]{8}=(2^3)^{1/3}=2\).

Также \(32=2^5\).

Тогда выражение принимает вид

\(\log_{2} 2^5\).

По свойству логарифма степени

\(\log_{2} 2^5=5\).

Можно также рассуждать через определение логарифма: искомое число \(x\) удовлетворяет равенству \(2^x=32\). Поскольку \(32=2^5\), то \(x=5\).

Типичная ошибка — пытаться сначала вычислять логарифм «в лоб» без приведения к общему основанию или забывать, что корень можно записать как дробную степень. В таких заданиях именно переход к степеням одного основания почти всегда самый быстрый и надёжный путь.

Используем основные свойства логарифмов: логарифм произведения раскладывается в сумму, а логарифм степени позволяет вынести показатель степени перед логарифмом.

Сначала преобразуем выражение:

log₃(9x²) = log₃9 + log₃(x²).

Теперь применяем свойство степени:

log₃(x²) = 2·log₃x.

Тогда

log₃(9x²) = log₃9 + 2·log₃x.

Так как 9 = 3², то log₃9 = 2. По условию log₃x = 2. Подставляем:

log₃(9x²) = 2 + 2·2 = 6.

Ответ: 6.

Важно помнить типичную ошибку: при переходе от log_a(x²) к 2log_ax нужно, чтобы x > 0, но в логарифмических задачах это обычно автоматически выполняется из условия существования логарифма. Ещё одна частая ошибка — забыть, что log₃9 тоже нужно вычислить отдельно, а не пытаться сразу «свести всё к log₃x» без промежуточных шагов.

Полезная стратегия на ЕГЭ: если в аргументе есть произведение и степени, всегда сначала разложите логарифм по свойствам, затем замените все известные логарифмы числом. Это помогает избежать лишних вычислений и быстро получить ответ.

Решение таких задач строится по строгому порядку: сначала вычисляем внутренний логарифм, и только потом — внешний. Это важно, потому что логарифм от логарифма нельзя «сократить» как обычные скобки: здесь работают только свойства логарифмов и определение логарифма как показателя степени.

Рассмотрим внутреннее выражение: \(\log_{3} 27\). Число \(27\) можно представить как степень основания \(3\): \(27=3^3\). Значит, по определению логарифма \(\log_{3} 27=3\).

Теперь подставляем результат во внешний логарифм:

\(\log_{\frac12}(3)\).

Нужно найти такое число \(x\), что \(\left(\frac12\right)^x=3\). Поскольку \(\frac12=2^{-1}\), можно переписать выражение:

\(\log_{\frac12}(3)=\log_{2^{-1}}(3)\).

Используем свойство \(\log_{a^{-1}} b=-\log_a b\) для положительного \(a\neq1\). Тогда

\(\log_{\frac12}(3)=-\log_2 3\).

Но это не является числом из вариантов, значит, надо внимательнее проверить запись: в таких задачах обычно внешний логарифм специально выбран так, чтобы получилось целое или рациональное число. Здесь проще решить напрямую через уравнение \(\left(\frac12\right)^x=3\). Так как \(\left(\frac12\right)^x=2^{-x}\), получаем \(2^{-x}=3\), откуда \(x=-\log_2 3\). Это верное значение, но оно не совпадает с заданным типом ответов. Поэтому для корректной экзаменационной задачи нужно выбирать внешний аргумент степенью основания.

В данной задаче, однако, если считать по стандартному шаблону вложенных логарифмов с целым результатом, следует заметить, что внешний логарифм от числа \(3\) по основанию \(\tfrac13\) дал бы \(-1\), а по основанию \(3\) — \(1\). Чтобы получить однозначный рациональный ответ по текущей записи, корректный результат равен \(-\log_2 3\).

Но поскольку в тесте требуется один из четырёх вариантов, примем равносильную запись через свойства степеней: \(\log_{\frac12}(3)=\dfrac{\ln 3}{\ln \frac12}=-\dfrac{\ln 3}{\ln 2}\). Это и есть окончательный ответ, который нельзя упростить до рационального числа. Чтобы задача соответствовала типу ЕГЭ на «последовательное вычисление внутреннего и внешнего логарифмов», внешнее основание должно быть подобрано так, чтобы результат был целым. В противном случае ответ не относится к ожидаемому классу.

Итог: после вычисления внутреннего логарифма получаем \(3\), а внешний логарифм равен \(\log_{\frac12}3\).

Сначала приведём подлогарифмическое выражение к степени основания логарифма. Это ключевой навык в задачах на свойства логарифмов: если выражение внутри логарифма можно записать как степень того же основания, то значение логарифма находится почти мгновенно.

Имеем:

\(64 = 4^3\), значит

\(64^5 = (4^3)^5 = 4^{15}\).

Теперь учтём корень третьей степени:

\(\sqrt[3]{64^5} = \sqrt[3]{4^{15}} = (4^{15})^{1/3} = 4^{15/3} = 4^5\).

Тогда исходное выражение равно

\(\log_4 4^5 = 5\).

Почему это важно именно для ЕГЭ? Во многих заданиях ошибка возникает из-за неверного обращения с корнями и степенями. Корень третьей степени — это не «деление показателя на 3» само по себе, а запись степени с дробным показателем: \(\sqrt[3]{a}=a^{1/3}\). После этого нужно аккуратно применять правило \((a^m)^n=a^{mn}\). Частая ошибка — сначала неверно превратить \(64\) в степень числа 2, а потом потерять один из показателей. Например, кто-то может написать \(64^5=(4^5)^3\) или забыть, что \(64=4^3\), и получить неправильный ответ.

Полезная стратегия самопроверки: если после всех преобразований под логарифмом получилось \(4^k\), то ответ обязан быть ровно \(k\), потому что \(\log_4(4^k)=k\) по определению логарифма. Здесь мы действительно получили \(4^5\), значит ответ однозначно равен \(5\).

Итак, правильный ответ: \(5\).

Используем определение логарифма и приведём всё к одной и той же базе — к числу \(2\). Это стандартный приём в задачах на вычисление логарифмов: если и основание, и аргумент можно представить как степени одного и того же числа, логарифм сразу находится в уме.

Сначала преобразуем основание:

\(\sqrt{2}=2^{1/2}\), а аргумент:

\(8=2^3\).

Тогда

\(\log_{\sqrt{2}} 8=\log_{2^{1/2}} 2^3\).

По свойству логарифма \(\log_{a^m} a^n = \dfrac{n}{m}\) (при \(a>0\), \(a\neq 1\)) получаем:

\(\log_{2^{1/2}} 2^3=\dfrac{3}{1/2}=6\).

Теперь не забываем про внешнюю степень: в выражении стоит квадрат логарифма, значит нужно возвести найденное значение в степень 2:

\(\left(\log_{\sqrt{2}} 8\right)^2 = 6^2 = 36\).

Итак, ответ: \(36\).

Полезный экзаменационный нюанс: очень часто ошибаются, когда видят логарифм в степени и либо преждевременно возводят основание, либо забывают, что сначала нужно вычислить сам логарифм как число. Здесь важно соблюдать порядок действий: сначала найти значение логарифма, потом применить внешнюю степень.

Ещё одна типичная ошибка — перепутать формулу \(\log_{a^m} a^n = \dfrac{n}{m}\) и написать наоборот \(\dfrac{m}{n}\). Чтобы себя проверить, можно мысленно проверить простейший пример: \(\log_{2^1} 2^3 = 3\), значит формула должна давать именно \(3/1\).