Определение и область определения логарифмов: задания с ответами

Используем основное тождество логарифмов и степеней:

\(a^{\log_a b}=b\), где \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\).

Здесь основание степени равно основанию логарифма: \(4^{\log_4 5}\). Значит, эта часть выражения сразу упрощается до аргумента логарифма:

\(4^{\log_4 5}=5\).

Тогда всё выражение равно:

\(3\cdot 5=15\).

Итак, ответ: 15.

Важно понимать, что логарифм в показателе степени и степень с тем же основанием «взаимно уничтожаются» только при соблюдении условий определения: основание логарифма должно быть положительным и не равным 1, а аргумент логарифма — положительным. В таких задачах типичная ошибка — пытаться вычислять \(\log_4 5\) отдельно и потом возводить 4 в эту степень, хотя в этом и состоит смысл тождества. Ещё одна распространённая ошибка — забыть умножить на коэффициент перед степенью. Поэтому сначала упрощают степенную часть, а затем выполняют обычное арифметическое действие.

Используем определение логарифма: если log_a(b)=x, то a^x=b. Это главный способ вычислять такие выражения на ЕГЭ Профиль, особенно когда аргумент логарифма можно представить как степень основания.

Здесь основание равно 5, а аргумент — 1/125. Сначала преобразуем аргумент к степени числа 5:

125=5³, значит 1/125=1/5³=5^-3.

Теперь подставляем в определение: нужно найти такое число x, что 5^x=5^-3. Очевидно, x=-3.

Следовательно, log₅(1/125)=-3.

Почему здесь легко ошибиться:

• Некоторые ученики путают основание и аргумент и пытаются отвечать по виду дроби, не переводя её в степень.
• Частая ошибка — забыть, что 1/aⁿ=a^-n, и написать положительное число.
• Иногда пытаются использовать формулы свойств логарифмов, хотя здесь достаточно прямого определения. Для базовых задач это самый надёжный и быстрый путь.

Самопроверка: если ответ -3, то действительно 5^-3=1/125. Значит, логарифм найден верно.

Разберём выражение по частям и обязательно проверим, что все логарифмы определены. Это важный навык для ЕГЭ: прежде чем считать, нужно убедиться, что основания больше 0 и не равны 1, а аргументы положительны.

Имеем:

${\log }_3\left({27}^{-2}\right)+{\log }_{\frac{1}{9}}\left(81\right)$.

1) Первый логарифм. Число 27 представим как степень тройки: $27=3^3$. Тогда

${27}^{-2}={\left(3^3\right)}^{-2}=3^{-6}=\frac{1}{3^6}$.

Теперь используем определение логарифма: ${\log }_3\left(3^{-6}\right)=-6$.

2) Второй логарифм. Основание $\frac{1}{9}=3^{-2}$, а аргумент $81=3^4$. Значит нужно найти показатель, в который надо возвести $3^{-2}$, чтобы получить $3^4$. Пусть этот показатель равен $x$. Тогда

${\left(3^{-2}\right)}^x=3^{-2x}=3^4$,

откуда $-2x=4$, значит $x=-2$. Следовательно,

${\log }_{\frac{1}{9}}\left(81\right)=-2$.

3) Складываем результаты:

$-6+(-2)=-8$.

Ответ: $-8$.

Почему здесь легко ошибиться? Частая ошибка — перепутать, что именно является основанием, а что аргументом, особенно когда основание дробное. Ещё одна ловушка — неверно работать с отрицательной степенью: ${27}^{-2}=\frac{1}{{27}^2}$, а не $-{27}^2$. В задачах этого типа всегда полезно сначала привести все числа к степеням одного и того же основания — тогда логарифм вычисляется буквально по определению.

Сначала проверим, почему выражение корректно определено. Логарифм \(\log_2 3\) существует, потому что основание логарифма равно \(2>0\) и \(2\neq 1\), а аргумент \(3>0\). Значит, показатель степени — обычное действительное число, и выражение имеет смысл.

Теперь используем ключевую идею: удобно переписать основание степени через то же основание, что и у логарифма. Поскольку \(4=2^2\), получаем

\(4^{\log_2 3 + \frac12}=(2^2)^{\log_2 3 + \frac12}.\)

Далее применяем свойство степени степени:

\((2^2)^{\log_2 3 + \frac12}=2^{2\left(\log_2 3 + \frac12\right)}=2^{2\log_2 3+1}.\)

Теперь разложим степень на произведение:

\(2^{2\log_2 3+1}=2^{2\log_2 3}\cdot 2^1.\)

Используем свойство логарифма в показателе: \(2\log_2 3=\log_2 3^2=\log_2 9\), поэтому

\(2^{2\log_2 3}=(2^{\log_2 3})^2=3^2=9.\)

Тогда всё выражение равно

\(9\cdot 2=18.\)

Ответ: \(18\).

Полезный экзаменационный приём: если видите в степени логарифм по основанию \(b\), старайтесь привести основание самой степени к виду \(b^k\). Тогда можно «свести» логарифм и степень через формулу \(a^{\log_a x}=x\) или её близкие варианты. Типичная ошибка — забыть, что \((a^m)^n=a^{mn}\), и неверно раскрыть скобки в показателе. Ещё одна частая ошибка — пытаться сразу вычислить \(\log_2 3\) как десятичное число: в ЕГЭ это обычно не нужно, если выражение можно упростить точно.

Здесь важно узнать типовую связку между степенью и логарифмом с одним и тем же основанием. Если основание степени совпадает с основанием логарифма, то работает основное тождество:

a^{\log_a b}=b, где a>0, a\ne 1, b>0.

Но в нашем выражении показатель не равен просто \log_4 3; там есть ещё 2\log_4 2. Поэтому сначала нужно аккуратно преобразовать показатель степени.

Используем свойство логарифма:

2\log_4 2=\log_4(2^2)=\log_4 4=1.

Тогда показатель становится:

\log_4 3 + 1.

Теперь применим правило для суммы в показателе степени:

4^{\log_4 3 + 1}=4^{\log_4 3}\cdot 4^1.

По основному тождеству 4^{\log_4 3}=3, значит:

4^{\log_4 3 + 1}=3\cdot 4=12.

Ответ: 12.

Почему это задание полезно для ЕГЭ? Очень часто ученики пытаются сразу «сокращать логарифмы» или вычислять их приближённо, хотя это не нужно. Главная идея — увидеть, что коэффициент перед логарифмом можно «спустить» внутрь аргумента: k\log_a b=\log_a(b^k). Это позволяет свести показатель к удобному виду и затем применить формулу a^{\log_a b}=b.

Типичные ошибки:

• не замечают, что 2\log_4 2 можно заменить на \log_4 4;
• путают \log_4 3 + 2\log_4 2 с \log_4(3+2\cdot 2) — так делать нельзя;
• забывают, что основание логарифма и основание степени должны совпадать, иначе тождество a^{\log_a b}=b неприменимо.

Проверка себя в подобных задачах: если после преобразований у вас получилось выражение вида a^{\log_a( ext{что-то})}, значит почти наверняка можно сразу заменить его на это «что-то».

Используем основное тождество логарифмов и степеней:

\(a^{\log_a b}=b\), если \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\).

В нашем выражении основание степени и основание логарифма совпадают: это число \(5\). Значит, можно сразу заменить

\(5^{\log_5 8}=8\).

Тогда всё выражение становится простым произведением:

\(3\cdot 8=24\).

Ответ: \(24\).

Полезно помнить, что здесь логарифм и степень «взаимно уничтожаются» только при полном совпадении основания. Частая ошибка — пытаться как-то считать \(\log_5 8\) отдельно и затем возводить 5 в полученную дробь; это не нужно. Другая типичная ошибка — забыть про числовой коэффициент перед степенью. Сначала упрощаем именно часть \(5^{\log_5 8}\), а потом уже умножаем на 3.

На экзамене полезно всегда проверять три условия: основание логарифма положительно, не равно 1, а аргумент логарифма положителен. Здесь все условия выполнены, поэтому тождество применимо без ограничений.

Здесь используется ключевое свойство, связывающее логарифм и показательную функцию:

\( a^{\log_a b} = b \), где обязательно выполнены условия \( a > 0 \), \( a \neq 1 \), \( b > 0 \).

В нашей задаче основание степени и логарифма одинаковое: \( a=5 \). Аргумент логарифма — число \( 18 \). Значит, выражение сразу упрощается:

\( 5^{\log_5 18} = 18 \).

Почему это работает? По определению логарифма \( \log_5 18 \) — это такой показатель степени, в который нужно возвести 5, чтобы получить 18. Тогда возведение 5 в этот самый показатель «отменяет» логарифм. Это частный случай взаимной обратимости функций \( y=5^x \) и \( y=\log_5 x \).

Типичная ошибка на ЕГЭ — пытаться вычислить логарифм отдельно, а потом еще возводить в степень. Делать этого не нужно: если основание совпадает, ответ получается мгновенно. Еще одна ловушка — забыть про область определения. Такое преобразование допустимо только при \( a>0 \), \( a\neq 1 \) и \( b>0 \). Иначе логарифм не определен, и формулу применять нельзя.

Итак, правильный ответ: \( 18 \).

Здесь важно узнать типовую связку: основание степени 16 удобно переписать через основание логарифма 4. Это и есть основной приём для задач вида A^{\log_B C}: сначала приводим A к виду B^k, а затем используем свойства степеней и определение логарифма.

Имеем 16 = 4^2. Тогда

16^{\log_4 9} = (4^2)^{\log_4 9}.

Теперь применяем правило степени степени: (a^m)^n = a^{mn}. Получаем

(4^2)^{\log_4 9} = 4^{2\log_4 9}.

Далее удобно воспользоваться свойством логарифма: k\log_a b = \log_a(b^k). Тогда

4^{2\log_4 9} = 4^{\log_4(9^2)} = 4^{\log_4 81}.

А теперь работает базовое тождество определения логарифма: a^{\log_a x} = x при a>0, a\ne 1, x>0. Поэтому

4^{\log_4 81} = 81.

Ответ: 81.

Почему это важно для ЕГЭ: многие пытаются сначала вычислять логарифм отдельно, но это обычно не нужно и часто мешает. В таких задачах главный приём — увидеть одинаковое основание у степени и логарифма после преобразования. Если основание степени не совпадает с основанием логарифма, попробуйте разложить его как степень этого основания. После этого выражение почти всегда сводится к очень простому виду.

Типичные ошибки:

• путают 16^{\log_4 9} с (16^{\log_4})9 и теряют смысл записи;
• забывают, что 16 = 4^2, и ищут численное значение логарифма напрямую;
• ошибаются в формуле (a^m)^n = a^{mn}, записывая a^{m+n};
• не проверяют область определения: аргумент логарифма должен быть положительным, а основание — положительным и не равным 1.

Самопроверка: если переписать всё в базе 4, должно получиться выражение вида 4^{\log_4(\text{что-то})}. Тогда ответ должен совпасть с этим «что-то».

Сначала важно увидеть не «число под логарифмом», а его структуру. В задачах этого типа почти всегда нужно свести аргумент логарифма к степени основания логарифма. Тогда используется основное свойство:

\(\log_b(b^k)=k\), где \(b>0\), \(b\neq 1\).

Разберём выражение \(\log_4 \sqrt[3]{16}\).

1) Представим корень как степень:

\(\sqrt[3]{16}=16^{1/3}\).

2) Теперь выразим 16 через основание логарифма 4:

\(16=4^2\), значит

\(16^{1/3}=(4^2)^{1/3}=4^{2/3}\).

3) Подставляем в логарифм:

\(\log_4 4^{2/3}=\dfrac{2}{3}\).

Ответ: \(\dfrac{2}{3}\).

Почему это работает: логарифм показывает, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Если аргумент уже записан как степень того же основания, значение логарифма читается сразу. Это гораздо надёжнее, чем пытаться вычислять корень в десятичном виде.

Типичные ошибки:

• записывают \(\sqrt[3]{16}\) как \(4^{1/3}\), забывая, что 16 = \(4^2\);
• путают показатель корня и показатель степени: для \(\sqrt[n]{a}\) верно \(a^{1/n}\), а не \(a^n\);
• вместо \(\log_4(4^{2/3})\) пытаются сначала считать число, а потом брать логарифм — это лишний и опасный путь;
• ошибочно получают \(\dfrac{3}{2}\), перепутав показатель степени с обратным числом. На самом деле логарифм возвращает именно тот показатель, который стоит у основания.

Экзаменационная стратегия: если в аргументе логарифма есть корень или дробная степень, всегда сначала перепишите всё через степени с общим основанием. Это позволяет быстро увидеть ответ и избежать вычислительных ошибок.

Здесь проверяется базовое тождество, которое нужно знать на автомате: a^log_ab = b при a > 0, a ≠ 1, b > 0. Это не просто формула «для запоминания», а следствие определения логарифма: если log_ab = x, то a^x = b. Поэтому выражение вида a^log_ab всегда упрощается до b, но только если основание степени и основание логарифма совпадают.

Разберём выражение по частям.

1) 2^log₂7.
Основание степени — 2, основание логарифма — тоже 2. Значит, применяем тождество напрямую:
2^log₂7 = 7.

2) log₇49.
Нужно понять, в какую степень надо возвести 7, чтобы получить 49. Поскольку 49 = 7², получаем:
log₇49 = 2.

Теперь подставляем результаты в исходное выражение:

3·2^log₂7 − log₇49 = 3·7 − 2 = 21 − 2 = 19.

Ответ: 19.

Полезно помнить типичные ошибки. Во-первых, некоторые пытаются «сократить» логарифм и степень неправильно, например превращают 2^log₂7 в log₂14 или в 2·log₂7. Это неверно: логарифм и степень не перемножаются и не складываются, а взаимно уничтожаются по формуле a^log_ab = b. Во-вторых, важно не забывать область определения: аргумент логарифма должен быть положительным. Здесь 7 > 0 и 49 > 0, значит, всё корректно. В экзамене полезно сначала проверить, совпадают ли основание логарифма и основание степени; если да — почти всегда выражение резко упрощается за один шаг.

Рассмотрим выражение \((3^{\log_2 5})^{\log_3 2}\). Здесь важно не пытаться считать логарифмы «вручную» десятичными приближениями: в задачах ЕГЭ профильного уровня почти всегда нужно увидеть структуру и применить свойства степеней и логарифмов.

Сначала используем правило возведения степени в степень:

\((a^m)^n = a^{mn}\),

поэтому

\((3^{\log_2 5})^{\log_3 2} = 3^{(\log_2 5)(\log_3 2)}\).

Теперь нужно упростить произведение логарифмов. Здесь полезна формула перехода к новому основанию:

\(\log_3 2 = \dfrac{1}{\log_2 3}\).

Тогда

\((\log_2 5)(\log_3 2) = \log_2 5 \cdot \dfrac{1}{\log_2 3} = \dfrac{\log_2 5}{\log_2 3} = \log_3 5\).

Итак, выражение стало

\(3^{\log_3 5}\).

А теперь используем базовое тождество:

\(a^{\log_a x} = x\) при \(a>0, a\ne 1, x>0\).

Значит,

\(3^{\log_3 5} = 5\).

Ответ: 5.

Почему это задание на понимание области определения? Потому что все логарифмы здесь корректны только при положительных аргументах и допустимых основаниях: основание логарифма должно быть положительным и не равным 1, аргумент логарифма — строго положительным. В подобных заданиях часто ошибаются в двух местах:

• пытаются сложить или сократить логарифмы как обычные дроби без приведения к одному основанию;
• не замечают, что \(\log_3 2\) и \(\log_2 3\) — взаимно обратные числа, но только после корректного применения формулы перехода к новому основанию.

Полезная стратегия самопроверки для ЕГЭ: если в выражении есть «степень в степени» и логарифмы с разными основаниями, попробуйте сначала собрать показатели вместе, а затем свести их к виду \(\log_a b\) и \(a^{\log_a b}\). Это почти всегда ведёт к простому числу.

Здесь проверяется одно из базовых и очень важных тождеств для ЕГЭ: если основание степени совпадает с основанием логарифма, то выражение можно заметно упростить.

Рассмотрим выражение \(3^{\frac{1}{2}\log_3 49}\). Сначала удобно вынести коэффициент \(\frac{1}{2}\) из показателя в виде корня через свойство степеней:

\(3^{\frac{1}{2}\log_3 49} = \left(3^{\log_3 49}\right)^{\frac{1}{2}}\).

Теперь используем главное тождество:

\(a^{\log_a x} = x\),

при условиях \(a>0\), \(a\neq 1\), \(x>0\). Оно верно именно потому, что логарифм \(\log_a x\) — это показатель степени, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(x\).

Следовательно,

\(3^{\log_3 49}=49\).

Тогда всё выражение равно

\(49^{\frac{1}{2}}=\sqrt{49}=7\).

Итак, правильный ответ: \(7\).

Почему здесь легко ошибиться:

• Некоторые ученики забывают, что коэффициент перед логарифмом тоже влияет на ответ. Если бы в показателе стояло просто \(\log_3 49\), ответ был бы \(49\), а не \(7\).
• Иногда путают правило \(a^{\log_a x}=x\) с похожими выражениями вида \(a^{\log_b x}\). Если основания разные, это тождество уже не работает в таком простом виде.
• Нужно не забывать об области определения: аргумент логарифма должен быть положительным. Здесь \(49>0\), условие выполнено.

Полезная стратегия для экзамена: если в степени стоит логарифм по тому же основанию, сначала выделяйте часть вида \(a^{\log_a x}\), затем заменяйте её на \(x\), а уже после этого доводите вычисление до конца. Это помогает не терять коэффициенты и не делать лишних преобразований.