Логарифмические неравенства: преобразования и область определения: задания с ответами

Решаем неравенство аккуратно, с обязательным учетом области определения. Здесь это особенно важно, потому что логарифм стоит и в числителе, и в знаменателе рациональной дроби: ошибиться можно как в ОДЗ, так и при анализе знаков.

1) Находим область допустимых значений.

Для логарифма требуется, чтобы аргумент был положительным:

\(x-1>0\), значит \(x>1\).

Кроме того, знаменатель дроби не должен обращаться в ноль:

\(\log_{2}(x-1)+1\ne 0\).

Отсюда \(\log_{2}(x-1)\ne -1\), то есть \(x-1\ne 2^{-1}=\tfrac12\), значит \(x\ne \tfrac32\).

Итак, ОДЗ: \(x>1\), \(x\ne \tfrac32\).

2) Вводим замену переменной.

Пусть \(t=\log_{2}(x-1)\). Тогда неравенство принимает вид

\(\dfrac{t-1}{t+1}\ge 0\), где \(t\ne -1\).

Это стандартная дробь. Она неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака или числитель равен нулю (при ненулевом знаменателе).

Критические точки: \(t=-1\) и \(t=1\).

Сделаем таблицу знаков:

— при \(t<-1\): \(t-1<0\) и \(t+1<0\), значит дробь положительна;

— при \(-1<t<1\): \(t-1<0\), \(t+1>0\), значит дробь отрицательна;

— при \(t>1\): \(t-1>0\), \(t+1>0\), значит дробь положительна;

— точка \(t=1\) подходит, потому что дробь равна нулю;

— точка \(t=-1\) не подходит, так как знаменатель обращается в ноль.

Значит,

\(t\in(-\infty,-1)\cup[1,+\infty)\).

3) Возвращаемся к переменной \(x\).

Так как основание логарифма 2 больше 1, функция \(\log_2(x-1)\) возрастает, поэтому можно переводить неравенства по аргументам без изменения знака:

1) \(\log_2(x-1)<-1\iff x-1<2^{-1}=\tfrac12\iff 1<x<\tfrac32\);

2) \(\log_2(x-1)\ge 1\iff x-1\ge 2\iff x\ge 3\).

Объединяем с ОДЗ, и получаем:

\(x\in(1,\tfrac32)\cup[3,+\infty)\).

4) Почему легко ошибиться.

Частая ошибка — забыть исключить \(x=\tfrac32\). На экзамене это типично: если знаменатель обращается в ноль, точка обязательно вычеркивается, даже если по знаковой схеме она выглядит «границей промежутка».

Еще одна ошибка — попытаться сразу сократить на \(\log_2(x-1)+1\) или \(\log_2(x-1)\), не исследовав знаки. Для рациональных неравенств это опасно: после умножения на выражение неизвестного знака знак неравенства может измениться.

Ответ: \((1,\tfrac32)\cup[3,+\infty)\).

Сначала нужно не решать неравенство, а переписать все логарифмические выражения через одну переменную t = log₅(x). Это ключевая техника ЕГЭ: если в задаче просят преобразование, то мы обязаны сохранить эквивалентность и аккуратно использовать свойства логарифмов.

1. Проверим область допустимых значений. Основание логарифма 5 подходит: 5 > 0, 5 ≠ 1. Для аргументов логарифмов требуется x > 0, что уже указано. Значит, при преобразованиях мы можем свободно применять свойства логарифмов, не вводя новых ограничений.

2. Выразим каждый логарифм через t.

Используем свойства:

• log₅(ab) = log₅(a) + log₅(b);
• log₅(x^n) = n log₅(x).

Тогда:

log₅(25x) = log₅(25) + log₅(x) = 2 + t, потому что 25 = 5^2.

2log₅(x^3) = 2 · 3 log₅(x) = 6t.

log₅(5x^2) = log₅(5) + log₅(x^2) = 1 + 2t.

log₅(125) = log₅(5^3) = 3.

3. Подставим в дробь.

Числитель:

(2 + t) - 6t = 2 - 5t.

Знаменатель:

(1 + 2t) - 3 = 2t - 2.

Значит, исходное неравенство переписывается как

\( \dfrac{2 - 5t}{2t - 2} \ge 0 \), где t = log₅(x).

4. Почему это важно и где обычно ошибаются?

• Частая ошибка — забыть, что log₅(25) = 2, и оставить выражение без числовой части.
• Ещё одна типичная ошибка — написать log₅(x^3) = log₅(x) + 3, что неверно: степень выносится множителем, а не прибавляется.
• Иногда теряют log₅(125) = 3 и получают неправильный свободный член в знаменателе.

5. Самопроверка. В правильном преобразовании после замены должна остаться только одна переменная t, и никаких логарифмов быть не должно. Здесь это выполнено: получено рациональное неравенство по t.

Итак, правильный ответ: \(\dfrac{2 - 5t}{2t - 2} \ge 0\).

Сначала всегда нужно найти область допустимых значений (ОДЗ), потому что логарифм определён только при положительном аргументе. Здесь требуется, чтобы одновременно выполнялись условия:

\(x-1>0\) и \(5-2x>0\).

Отсюда получаем \(x>1\) и \(x<\tfrac{5}{2}\). Значит, ОДЗ: \((1;\tfrac{5}{2})\).

Теперь смотрим на основание логарифма. Основание \(\tfrac12\) лежит между 0 и 1, а это важный экзаменационный нюанс: функция \(\log_a t\) при \(0<a<1\) убывает. Поэтому при переходе от неравенства с логарифмами к неравенству между аргументами знак неравенства меняется.

Имеем:

\(\log_{1/2}(x-1) \le \log_{1/2}(5-2x)\iff x-1 \ge 5-2x\),

но только на ОДЗ.

Решим алгебраическое неравенство:

\(x-1 \ge 5-2x\)

\(3x \ge 6\)

\(x \ge 2\).

Пересекаем это с ОДЗ \((1;\tfrac{5}{2})\): получаем \([2;\tfrac{5}{2})\).

Проверка границ полезна для самоконтроля: при \(x=2\) аргументы равны \(1\) и \(1\), логарифмы равны, значит точка входит. При \(x=\tfrac{5}{2}\) второй аргумент обращается в ноль, поэтому эта точка не входит. При \(x=1\) первый аргумент равен нулю, тоже не входит.

Ответ: \([2;\tfrac{5}{2})\).

Типичные ошибки в таких заданиях: 1) забыть ОДЗ; 2) не поменять знак неравенства при основании \(0<a<1\); 3) найти решение алгебраического неравенства, но не пересечь его с ОДЗ. В ЕГЭ проверяйте все три шага отдельно: допустимость аргументов, монотонность логарифма, пересечение результатов.

Сначала обязательно находим область допустимых значений. Здесь логарифм \(\log_2(x-1)\) определён только при \(x-1>0\), то есть \(x>1\). Кроме того, знаменатель дроби не должен обращаться в ноль:

\[\log_2(x-1)+2\ne 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_2(x-1)\ne -2 \quad\Longleftrightarrow\quad x-1\ne 2^{-2}=\frac14,\]

то есть \(x\ne \frac54\). Но это ещё не решение, а только ОДЗ.

Далее удобно ввести замену \(t=\log_2(x-1)\). Тогда исходное неравенство превращается в рациональное:

\[\frac{t-1}{t+2}>0.\]

Для дроби знак положителен, когда числитель и знаменатель одного знака. Находим критические точки: \(t=1\) — ноль числителя, \(t=-2\) — ноль знаменателя. По методу интервалов:

1) при \(t<-2\): числитель \(t-1<0\), знаменатель \(t+2<0\), дробь положительна;

2) при \(-2<t<1\): числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна;

3) при \(t>1\): числитель и знаменатель положительны, дробь положительна.

Значит,

\[t\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty).\]

Возвращаемся к переменной \(x\):

\[\log_2(x-1)<-2 \quad\Longleftrightarrow\quad x-1<\frac14 \quad\Longleftrightarrow\quad 1<x<\frac54,\]

и

\[\log_2(x-1)>1 \quad\Longleftrightarrow\quad x-1>2 \quad\Longleftrightarrow\quad x>3.\]

Итак, множество решений:

\[(1,\tfrac54)\cup(3,\infty).\]

Почему важно не забывать ОДЗ: при логарифмических неравенствах ошибки чаще всего связаны с тем, что учащийся сразу переходит к исследованию дроби и забывает, что аргумент логарифма должен быть положительным. В этой задаче это особенно критично, потому что точка \(x=\frac54\) исключается не только как ноль знаменателя, но и как точка, где сам знаменатель дроби равен нулю, а такие точки никогда не входят в решение строгого неравенства.

Ответ: \((1,\tfrac54)\cup(3,\infty)\).

Решим неравенство аккуратно, потому что здесь есть две типичные «ловушки» ЕГЭ: область определения логарифма и точки, где дробь не существует или равна нулю.

1. Сначала находим область допустимых значений (ОДЗ).

В выражении стоит логарифм \(\log_2(x-1)\), значит аргумент должен быть положительным:

\(x-1>0\Rightarrow x>1\).

Кроме того, знаменатель не должен обращаться в ноль:

\(\log_2(x-1)+2\ne 0\Rightarrow \log_2(x-1)\ne -2\Rightarrow x-1\ne 2^{-2}=\frac14\Rightarrow x\ne \frac54\).

Итак, ОДЗ: \(x>1\), \(x\ne \frac54\).

2. Введём замену, чтобы увидеть структуру дроби.

Пусть \(t=\log_2(x-1)\). Тогда неравенство превращается в

\(\dfrac{t-1}{t+2}\ge 0\),

а условие \(x>1\) уже учтено автоматически, потому что логарифм определён только при положительном аргументе.

3. Решаем рациональное неравенство методом интервалов.

Критические точки по переменной \(t\):

\(t=1\) — нуль числителя,

\(t=-2\) — нуль знаменателя.

Рассмотрим знаки дроби на промежутках:

• если \(t<-2\), то \(t-1<0\) и \(t+2<0\), дробь положительна;
• если \(-2<t<1\), то \(t-1<0\), \(t+2>0\), дробь отрицательна;
• если \(t>1\), то оба множителя положительны, дробь положительна.

Так как знак неравенства \(\ge 0\), точку \(t=1\) включаем, а \(t=-2\) не включаем.

Получаем:

\(t\in(-\infty,-2)\cup[1,\infty)\).

4. Возвращаемся к переменной \(x\).

Так как основание логарифма \(2>1\), логарифмическая функция возрастает, значит знаки интервалов по \(t\) сохраняются при переходе к \(x-1\):

\(\log_2(x-1)<-2\iff x-1<2^{-2}=\frac14\iff 1<x<\frac54\),

\(\log_2(x-1)\ge 1\iff x-1\ge 2\iff x\ge 3\).

Не забываем про ОДЗ: \(x>1\) уже выполнено на найденных промежутках.

Итоговое решение:

\((1,\frac54)\cup[3,\infty)\).

Ответ: именно это множество значений переменной.

Что часто делают неправильно:

• забывают исключить \(x=\frac54\), где знаменатель равен нулю;
• включают \(x=1\), хотя логарифм там не определён;
• ошибочно считают, что при замене \(t=\log_2(x-1)\) нужно менять знак неравенства — это не так, если переход идёт к числовой переменной \(t\);
• не замечают, что при основании больше 1 логарифм возрастает, и потому интервалы по \(t\) переводятся без изменения порядка.

Для самопроверки можно подставить по одному числу из каждого промежутка: например, \(x=1{,}1\) подходит, \(x=2\) не подходит, \(x=4\) подходит.

Сначала в задачах на логарифмические неравенства с дробью нужно обязательно найти область определения. Здесь логарифм \(\log_2(x-1)\) определён только при \(x-1>0\), то есть \(x>1\). Кроме того, знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: \(\log_2(x-1)+2\ne 0\), но эту точку мы всё равно увидим среди критических и исключим при методе интервалов.

Сделаем замену: пусть \(t=\log_2(x-1)\). Тогда неравенство принимает вид

\[\frac{t-1}{t+2}<0.\]

Это обычное рациональное неравенство. Дробь отрицательна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель разных знаков. Найдём критические точки:

\(t-1=0 \Rightarrow t=1\),

\(t+2=0 \Rightarrow t=-2\).

Расположим их на числовой прямой: \(-2\) и \(1\). Проверяем знаки по промежуткам:

1) при \(t<-2\): числитель \(t-1<0\), знаменатель \(t+2<0\), дробь положительна;

2) при \(-2<t<1\): числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна;

3) при \(t>1\): числитель и знаменатель положительны, дробь положительна.

Значит,

\[-2<t<1.\]

Возвращаемся к переменной \(x\):

\[-2<\log_2(x-1)<1.\]

Так как основание \(2>1\), знак неравенств при переходе к аргументу не меняется:

\[2^{-2}<x-1<2^1.\]

То есть

\[\frac14<x-1<2.\]

Прибавляем 1 ко всем частям:

\[\frac54<x<3.\]

Проверка области определения: на этом промежутке действительно \(x>1\), значит дополнительных ограничений нет.

Ответ: \(\left(\frac54,3\right)\).

Важно для ЕГЭ: типичная ошибка — сразу «перемножить крест-накрест» или забыть, что дробь меньше нуля не означает «числитель меньше нуля». Нужно рассматривать знаки обоих множителей и не забывать исключать точки, где знаменатель равен нулю, а также точки, где логарифм не определён.

Сначала всегда проверяем область определения, потому что в логарифмических неравенствах это главный источник ошибок. Здесь подлогарифмическое выражение должно быть положительным:

\[x-1>0 \quad \Rightarrow \quad x>1.\]

Кроме того, знаменатель дроби не должен обращаться в ноль:

\[\log_2(x-1)+2\ne 0.\]

Теперь удобно ввести замену:

\[t=\log_2(x-1).\]

Тогда неравенство превращается в рациональное:

\[\frac{t-1}{t+2}\ge 0,\quad t\ne -2.\]

Это уже обычное дробное неравенство. Найдём критические точки: числитель равен нулю при \(t=1\), знаменатель — при \(t=-2\). Метод интервалов даёт:

• при \(t<-2\): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна;
• при \(-2<t<1\): числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна;
• при \(t>1\): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.

Так как стоит знак \(\ge 0\), то точки, где дробь равна нулю, можно включать, если они допустимы. Значит:

\[t\in(-\infty,-2)\cup[1,+\infty).\]

Возвращаемся к \(x\). Поскольку основание логарифма \(2>1\), функция \(\log_2\) возрастает, поэтому неравенства по \(t\) можно переводить напрямую:

1) \(\log_2(x-1)<-2\) означает

\[x-1<2^{-2}=\frac14,\]

то есть \(1<x<\frac54\).

2) \(\log_2(x-1)\ge 1\) означает

\[x-1\ge 2,\]

то есть \(x\ge 3\).

Итак, множество решений:

\[\boxed{(1,\tfrac54)\cup[3,+\infty)}.\]

На ЕГЭ важно помнить две типичные ловушки: во-первых, нельзя забывать про \(x>1\); во-вторых, точка \(t=-2\) не включается, потому что там знаменатель обращается в ноль. Ещё одна частая ошибка — перепутать знак при переходе от \(\log_2(x-1)<c\) к \(x-1<2^c\): при основании больше 1 знак не меняется.

Решать такие неравенства нужно не «в лоб», а в два слоя: сначала область определения, затем знаки числителя и знаменателя. Это особенно важно для дроби с логарифмами, потому что ошибка в ОДЗ сразу делает весь ответ неверным.

1. Найдём область определения. Логарифм \(\log_2(x-1)\) существует только при \(x-1>0\), то есть \(x>1\). Кроме того, знаменатель дроби не должен обращаться в ноль:

\[\log_2(x-1)+1\ne 0.\]

Обозначим \(t=\log_2(x-1)\). Тогда условие знаменателя: \(t\ne -1\), то есть \(x-1\ne 2^{-1}=\tfrac12\). Значит, \(x\ne \tfrac32\).

Итак, ОДЗ: \(x>1\), \(x\ne \tfrac32\).

2. Упростим неравенство заменой. После замены \(t=\log_2(x-1)\) получаем:

\[\frac{t-1}{t+1}\ge 0, \quad t\ne -1.\]

Теперь это обычное рациональное неравенство. Критические точки: \(t=-1\) и \(t=1\).

Сделаем таблицу знаков или рассуждение по промежуткам:

• при \(t<-1\): числитель \(t-1<0\), знаменатель \(t+1<0\), дробь положительна;
• при \(-1<t<1\): числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна;
• при \(t>1\): числитель и знаменатель положительны, дробь положительна;
• при \(t=1\): дробь равна \(0\), это подходит;
• при \(t=-1\): выражение не определено, это запрещено.

Следовательно,

\[t\in(-\infty,-1)\cup[1,+\infty).\]

3. Возвращаемся к переменной \(x\).

1) \(\log_2(x-1)<-1\iff x-1<2^{-1}=\tfrac12\iff 1<x<\tfrac32\).

2) \(\log_2(x-1)\ge 1\iff x-1\ge 2\iff x\ge 3\).

Объединяем с ОДЗ: \(x>1\), \(x\ne \tfrac32\). Получаем

\[x\in(1,\tfrac32)\cup[3,+\infty).\]

Ответ: \((1,\tfrac32)\cup[3,+\infty)\).

Почему здесь легко ошибиться: часто забывают, что ноль в числителе разрешён, а ноль в знаменателе — нет; поэтому точка \(x=3\) входит, а \(x=\tfrac32\) не входит. Ещё одна типичная ошибка — пытаться решать неравенство без замены, «сокращая» логарифмы как обычные алгебраические выражения. В логарифмических задачах замена \(t=\log_a(\dots)\) обычно делает структуру прозрачной и помогает не потерять ОДЗ.

После замены переменной важно не потерять смысл неравенства: мы сначала находим множество значений t, а затем возвращаемся к исходной переменной x. Здесь дано, что после решения по вспомогательной переменной получено объединение двух условий:

t < -1 или t > 2, где t = log₂(x + 1).

Дальше нужно отдельно рассмотреть каждое условие и только потом объединить ответы. Это ключевой приём: объединение по t сохраняется как объединение по x, а не превращается в пересечение. Частая ошибка — попытаться сразу «склеить» неравенства или, наоборот, забыть одно из них.

1) Решаем условие t < -1.

Подставляем замену:

log₂(x + 1) < -1.

Так как основание логарифма 2 > 1, логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к показательной форме:

x + 1 < 2^-1 = 1/2.

Отсюда

x < -1/2.

Но не забываем об области допустимых значений логарифма: x + 1 > 0, то есть x > -1. Значит, для этого случая получаем

-1 < x < -1/2.

2) Решаем условие t > 2.

Подставляем замену:

log₂(x + 1) > 2.

Снова основание больше 1, поэтому знак сохраняется:

x + 1 > 2² = 4, значит

x > 3.

Это условие уже автоматически согласуется с ОДЗ x > -1.

3) Объединяем результаты.

Так как исходно было t < -1 или t > 2, то после возврата к x получаем объединение:

(-1, -1/2) ∪ (3, +∞).

Почему это правильно и где обычно ошибаются:

• Если забыть ОДЗ x > -1, можно ошибочно записать x < -1/2 вместо -1 < x < -1/2.
• Если перепутать объединение с пересечением, можно неверно получить слишком маленькое множество или даже пустое множество.
• Если не учитывать, что при основании логарифма больше 1 знак неравенства сохраняется, можно перевернуть его без причины.

Ответ: (-1, -1/2) ∪ (3, +∞).

Сначала всегда выписываем область определения, потому что логарифм определён только при положительном аргументе.

1) Область определения:

$x+2>0$, то есть $x>-2$;

$5-x>0$, то есть $x<5$.

Значит, ОДЗ: $(-2,5)$.

2) Учитываем основание логарифма.

Основание $\frac{1}{3}$ лежит между 0 и 1, поэтому логарифмическая функция убывает. Это очень важный момент: при переходе от неравенства между логарифмами к неравенству между аргументами знак меняется на противоположный.

Итак, из

${\log }_{\frac{1}{3}}(x+2)\le {\log }_{\frac{1}{3}}(5-x)$

получаем

$x+2\ge 5-x$.

3) Решаем алгебраическое неравенство:

$x+2\ge 5-x$

$2x\ge 3$

$x\ge \frac{3}{2}$.

Теперь пересекаем с ОДЗ:

$x\in [\frac{3}{2},5)$.

4) Проверка логики.

Если забыть, что основание меньше 1, можно ошибочно написать $x+2\le 5-x$ и получить неверный ответ. Это самая частая ошибка в таких задачах. Вторая типичная ошибка — не отследить ОДЗ и оставить, например, числа не из интервала $(-2,5)$.

Ответ: $[\frac{3}{2},5)$.

Сначала важно не решать неравенство, а только привести его к одной логарифмической переменной. В таких заданиях главная идея ЕГЭ — аккуратно применить свойства логарифмов и не потерять область допустимых значений.

Обозначим t = log₂(x). Тогда нужно выразить все логарифмы через t.

1) Числитель:

log₂(4x^3) = log₂4 + log₂(x^3) = 2 + 3t.

Здесь часто ошибаются дважды: либо забывают, что log₂4 = 2, либо пишут log(x^3)=3log(x) без указания основания. Но это верно именно при одном и том же основании.

Далее:

2log₂(\sqrt{x}) = 2\cdot log₂(x^{1/2}) = 2\cdot \frac12 t = t.

Это важный момент: \sqrt{x} = x^{1/2}, поэтому логарифм степени даёт множитель 1/2. Типичная ошибка — написать сразу 2t, перепутав корень со степенью 2.

Значит числитель равен:

(2 + 3t) - t = 2 + 2t.

2) Знаменатель:

log₂(8x) = log₂8 + log₂x = 3 + t.

log₂(x^{-1}) = -log₂x = -t.

Следовательно, знаменатель:

(3 + t) + (-t) = 3.

Обратите внимание: здесь происходит полная компенсация t. Это не ошибка, а нормальный результат. Но нужно помнить про ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю. Здесь он равен 3, значит проблем нет.

Теперь исходное неравенство превращается в

\(\dfrac{2+2t}{3} > 1\).

Это и есть искомая запись через одну переменную t = log₂(x).

Почему это эквивалентно: мы использовали только тождественные преобразования логарифмов и подстановку новой переменной. Никаких дополнительных ограничений, кроме x>0, не появилось. Если бы знаменатель содержал выражение, зависящее от t, нужно было бы отдельно следить, чтобы он не обращался в ноль. Здесь знаменатель стал константой, поэтому преобразование особенно надежно.

Что проверять в вариантах ответа:

1. Все ли логарифмы действительно заменены через t.
2. Не потерян ли множитель при log(x^{1/2}).
3. Не забыта ли константа 2 из log₂4 и 3 из log₂8.

Ответ: \(\dfrac{2+2t}{3} > 1\).

Обозначим t = log₃x. Тогда все логарифмы нужно переписать через t по свойствам логарифмов:

• log₃(9x) = log₃9 + log₃x = 2 + t, потому что 9 = 3²;
• log₃(3x²) = log₃3 + log₃x² = 1 + 2t; здесь важно не забыть, что log₃(x²) = 2log₃x, а не (log₃x)²;
• log₃(x²) + log₃3 = 2t + 1.

Подставляем в исходное неравенство:

\(\dfrac{(2+t)-(1+2t)}{2t+1}\ge 0\)

Упростим числитель:

\(\dfrac{1-t}{2t+1}\ge 0\)

Это и есть неравенство только через одну логарифмическую переменную t = log₃x.

Почему важно именно так преобразовывать? В заданиях на замену всех логарифмов на одну переменную проверяется не решение неравенства, а умение аккуратно применять свойства логарифмов и не потерять область определения. Частые ошибки:

• записать log₃(x²) = t² вместо 2t;
• забыть, что log₃9 = 2 и log₃3 = 1;
• не привести все выражения к одной переменной, оставив логарифмы от x в разных формах.

Итак, правильная запись: (1 - t)/(2t + 1) ≥ 0, где t = log₃x.