Длины, периметры и базовые вычисления углов: задания с ответами

Разберём задачу так, как это удобно делать на ЕГЭ: сначала выпишем все стороны по порядку обхода контура, затем найдём длину каждой стороны в единичных отрезках и только после этого сложим результаты.

Даны вершины многоугольника: A(1;1), B(5;1), C(5;4), D(3;4), E(3;6), F(1;6). Соединяем их по порядку A→B→C→D→E→F→A. Это важно: периметр — это длина замкнутой границы, поэтому нельзя забыть последнюю сторону FA. Одна из самых частых ошибок в таких заданиях — посчитать только «видимые» стороны и пропустить замыкающий отрезок.

Теперь вычислим длины сторон. Все стороны здесь горизонтальные или вертикальные, а значит длина каждой равна разности соответствующих координат.

1) AB: точки A(1;1) и B(5;1) лежат на одной горизонтали, значит длина равна 5 - 1 = 4.

2) BC: точки B(5;1) и C(5;4) лежат на одной вертикали, значит длина равна 4 - 1 = 3.

3) CD: точки C(5;4) и D(3;4) на одной горизонтали, длина 5 - 3 = 2.

4) DE: точки D(3;4) и E(3;6) на одной вертикали, длина 6 - 4 = 2.

5) EF: точки E(3;6) и F(1;6) на одной горизонтали, длина 3 - 1 = 2.

6) FA: точки F(1;6) и A(1;1) на одной вертикали, длина 6 - 1 = 5.

Складываем все длины:

P = 4 + 3 + 2 + 2 + 2 + 5 = 18.

Итак, периметр равен 18.

Почему ответ не может быть меньше? Иногда школьники считают только внешние «ступеньки» и забывают нижнюю или левую сторону. В этой фигуре контур состоит из шести отрезков, и каждый из них обязательно входит в периметр.

Почему здесь не нужна формула расстояния? Потому что все стороны идут строго по осям координат. Для горизонтальных и вертикальных отрезков достаточно разности координат; формулу sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) обычно применяют для наклонных отрезков. На ЕГЭ полезно сразу замечать тип стороны: это экономит время и уменьшает риск арифметической ошибки.

Самопроверка: если мысленно обвести фигуру по клеткам, видно, что общая «ширина» сверху равна 4, справа опускание на 3, затем два выступа по 2, и слева возврат на 5. Сумма выглядит реалистично и попадает в разумный диапазон для такой фигуры.

Найдём периметр как сумму длин трёх сторон: AB, BC и CA. В задачах на координатной сетке главное — не пытаться «на глаз» оценить длины наклонных сторон, а аккуратно использовать координаты и формулу расстояния между точками.

1. Сторона AB. Точки A(1; 1) и B(7; 1) лежат на одной горизонтальной прямой, значит длина отрезка равна разности абсцисс: AB = 7 - 1 = 6. Это типичный случай, когда можно обойтись без теоремы Пифагора: если отрезок горизонтальный или вертикальный, его длина сразу читается по координатам.

2. Сторона AC. У точек A(1; 1) и C(4; 5) координаты различаются на 3 по оси x и на 4 по оси y. Значит, образуется прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, поэтому по теореме Пифагора:

AC = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = 5.

3. Сторона BC. Для B(7; 1) и C(4; 5) разности координат снова равны 3 и 4 по модулю: по x — 7 - 4 = 3, по y — 5 - 1 = 4. Тогда

BC = √(3² + 4²) = 5.

4. Периметр. Складываем все стороны:

P = AB + BC + CA = 6 + 5 + 5 = 16.

Ответ: 16.

Почему это важно для ЕГЭ. В подобных задачах часто встречаются два основных типа сторон: горизонтальные/вертикальные и наклонные. Первые надо считать как разность координат, вторые — через Пифагора или формулу расстояния. Частая ошибка — перепутать длину стороны с числом клеток по ломаной, хотя периметр треугольника считается по прямым отрезкам. Ещё одна ошибка — забыть взять модуль разности координат: длина отрезка не может быть отрицательной. Для самопроверки полезно заметить, что здесь две стороны равны, значит треугольник равнобедренный, а числа 3, 4 и 5 образуют классическую пифагорову тройку, что делает вычисления особенно удобными.

Для концентрических окружностей расстояние между ними понимают как ширину кольца, то есть разность радиусов внешней и внутренней окружностей. Это важный момент: здесь не нужно искать ни длину окружности, ни диаметр, ни сумму радиусов. Если окружности имеют общий центр, то самая короткая «перемычка» между ними вдоль любого луча от центра равна именно разности радиусов.

В задаче радиус внутренней окружности равен 3, а внешней — 7 (в единицах длины сетки). Тогда расстояние между окружностями вычисляется так:

7 − 3 = 4.

Следовательно, искомое расстояние равно 4.

Почему именно так: любая точка внутренней окружности находится на расстоянии 3 от центра, а любая точка внешней — на расстоянии 7 от того же центра. Если рассматривать один и тот же радиус-луч, то от внутренней окружности до внешней нужно пройти ещё 4 единицы. Это и есть толщина кольца.

Частые ошибки на ЕГЭ:

• путают радиус и диаметр; если на рисунке указан диаметр, его надо сначала разделить пополам;
• складывают радиусы вместо вычитания;
• считают расстояние между центрами, хотя для концентрических окружностей центры совпадают;
• забывают, что единица длины уже задана стороной клетки, поэтому дополнительного пересчёта не требуется.

Самопроверка: ответ должен быть положительным и меньше большего радиуса. Здесь 4 действительно меньше 7 и больше 0, значит результат разумен.

Здесь удобно использовать координатный подход: периметр треугольника равен сумме длин его сторон. Координаты вершин заданы целыми числами, значит сначала находим длины сторон по отдельности.

1) Сторона AB. Точки A(1,1) и B(7,1) лежат на одной горизонтали, поэтому длина отрезка равна разности абсцисс: AB = 7 - 1 = 6. Это самый простой случай: если отрезок горизонтальный или вертикальный, не нужно применять формулу расстояния.

2) Сторона AC. Для точек A(1,1) и C(4,5) разности координат равны: по горизонтали 3, по вертикали 4. Значит, отрезок AC является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4. По теореме Пифагора: AC = √(3² + 4²) = √25 = 5. Это классическая тройка 3–4–5; её полезно узнавать сразу, чтобы экономить время на экзамене.

3) Сторона BC. Для точек B(7,1) и C(4,5) снова разности координат: по горизонтали 3, по вертикали 4. Поэтому BC = √(3² + 4²) = 5.

4) Периметр. Складываем длины всех сторон: P = AB + BC + AC = 6 + 5 + 5 = 16.

Ответ: 16.

Как действовать на ЕГЭ и где часто ошибаются:

• Если сторона лежит на одной линии сетки, её длину надо находить как обычную разность координат, а не считать клетки «на глаз».

• Для наклонной стороны нельзя складывать просто горизонтальный и вертикальный отрезки: это частая ошибка. Нужно либо строить прямоугольный треугольник и применять теорему Пифагора, либо использовать формулу расстояния между точками.

• Полезно проверять, не получается ли известная пифагорова тройка. Здесь обе наклонные стороны имеют приращения 3 и 4, значит длина каждой равна 5.

• В задачах на периметр важно не забыть ни одну сторону и не перепутать периметр с площадью: периметр — это сумма длин границ, а не число клеток внутри фигуры.

Таким образом, стратегия решения всегда одна и та же: определить тип каждой стороны, найти её длину удобным способом и затем сложить результаты.

Так как окружности концентрические, у них один и тот же центр, а расстояние между ними в любой точке измеряется как разность радиусов: R − r, где R — радиус большей окружности, r — радиус меньшей.

По условию сторона клетки равна 1, значит число клеток от центра до точки на окружности сразу даёт радиус в единицах длины сетки.

Следовательно, радиус меньшей окружности равен 3, а радиус большей — 7.

Тогда расстояние между окружностями равно:

7 − 3 = 4.

Ответ: 4.

Полезное замечание для ЕГЭ: в задачах на концентрические окружности часто путают «расстояние между окружностями» с суммой радиусов или с длиной какой-то дуги. Но здесь речь идёт именно о минимальном расстоянии между точками двух окружностей, а для окружностей с общим центром оно всегда одинаково и равно разности радиусов. Также важно не ошибиться с масштабом: если бы сторона клетки была не 1, а, например, 2, тогда нужно было бы умножать оба радиуса на 2 перед вычитанием. Здесь масштаб уже учтён, поэтому ответ получается целым числом в клетках.

Идея решения очень простая, но именно на таких задачах часто теряют баллы из-за невнимательности. Радиус окружности — это расстояние от её центра до любой точки окружности. Если окружность нарисована на клетчатой сетке с единичным шагом, то это расстояние можно посчитать по клеткам.

В этой задаче центр окружности отмечен точкой O. Дальше нужно выбрать любое удобное направление: по горизонтали, по вертикали или по другому явно видимому лучу, если на рисунке радиус «ложится» на клетки. Самый надёжный путь на ЕГЭ — считать именно по горизонтали или вертикали, потому что там единичные отрезки видны без дополнительных вычислений.

По рисунку от центра O до окружности по горизонтали видно 9 единичных отрезков. Значит, радиус окружности равен 9.

Ответ: 9.

Почему другие ответы часто появляются у учеников:

• 18 — это типичная ошибка, когда вместо радиуса берут диаметр. Диаметр в 2 раза больше радиуса.
• 8 или 10 — результат неточного подсчёта клеток: иногда забывают включить одну из границ или считают не от центра, а от соседней линии сетки.
• Если пытаться считать по диагонали, можно ошибиться: по диагонали клетки длина не равна 1, а равна √2, поэтому такой способ требует аккуратности и в простых задачах не нужен.

Как быстро самопровериться на экзамене: если вы получили число, мысленно сравните его с диаметром: окружность на рисунке должна выглядеть так, чтобы расстояние от центра до края было ровно этим числом клеток. Если ответ кажется слишком маленьким или слишком большим, пересчитайте только в одном направлении — горизонтально или вертикально.

Полезное правило: в задачах на клетчатой сетке сначала ищем центр, потом считаем единичные отрезки до окружности, и только после этого называем радиус. Периметр, площадь и координаты здесь не нужны.

Ключевая идея здесь очень простая, но именно на таких задачах часто ошибаются из-за невнимательности: радиус окружности — это расстояние от её центра до любой точки окружности. Если окружность изображена на клетчатой сетке, то это расстояние удобно считывать по числу клеток.

В условии сказано, что центр окружности находится в узле сетки, а сторона клетки равна 1. Значит, мы можем измерять радиус в клетках и сразу переводить его в единицы длины: 1 клетка = 1 единица длины.

По рисунку видно, что от центра до окружности по горизонтали или вертикали получается 5 клеток. Это и есть радиус, потому что любая точка окружности находится на одинаковом расстоянии от центра. Выбирать лучше горизонтальное или вертикальное направление: так меньше риск ошибиться, чем при подсчёте по диагонали, где легко перепутать длину стороны клетки с длиной диагонали.

Следовательно, радиус окружности равен 5.

Полезная проверка для ЕГЭ: если центр стоит в узле сетки и окружность хорошо “ложится” на клетки, то радиус часто удобно считывается по числу клеток до крайних точек слева/справа/сверху/снизу. Если получилось число нецелое, проверьте, не считали ли вы по диагонали или не приняли ли диаметр за радиус.

Искомое расстояние между двумя точками на координатной плоскости удобно находить через теорему Пифагора. Это один из самых надежных способов для задач на клетчатой сетке: мы не измеряем «на глаз», а точно считаем горизонтальное и вертикальное смещение.

Точка A(1;2) и точка B(5;5). Сначала найдем, насколько точки различаются по горизонтали и по вертикали:

• по оси x: 5 - 1 = 4;
• по оси y: 5 - 2 = 3.

Это означает, что между точками можно построить прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 4 и 3 клеткам, а искомый отрезок AB — гипотенуза. Тогда по теореме Пифагора:

AB = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Следовательно, расстояние между точками равно 5.

Важно понимать типичные ошибки. Во-первых, некоторые ученики путают разность координат с самими координатами и пишут, например, 5 и 2 вместо 4 и 3. Во-вторых, часто забывают, что расстояние — это не сумма смещений, а именно гипотенуза прямоугольного треугольника. В-третьих, на клетчатой сетке полезно проверять себя: если по одной оси получилось 4 клетки, а по другой 3 клетки, то это классическая тройка 3–4–5, значит ответ должен быть целым числом 5. Такая самопроверка помогает быстро обнаружить арифметические ошибки на экзамене.

Итак, правильный ответ: 5.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: P = AB + BC + CA. В задачах на координатной сетке самое важное — не пытаться «считать клетки» для наклонной стороны как горизонтальный/вертикальный отрезок, а правильно находить расстояние между точками. Для этого используем теорему Пифагора: если при переходе от одной вершины к другой по координатам нужно сдвинуться на m клеток по горизонтали и на n клеток по вертикали, то длина отрезка равна \sqrt{m^2+n^2}.

Найдём длины сторон по очереди.

1) Сторона AB. Точки A(1;1) и B(7;1) лежат на одной горизонтали, значит длина равна разности абсцисс: AB = 7 - 1 = 6.

2) Сторона AC. От точки A(1;1) до точки C(4;5) нужно пройти 3 клетки вправо и 4 клетки вверх. Тогда по теореме Пифагора:

AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5.

3) Сторона BC. От точки B(7;1) до точки C(4;5) сдвиг составляет 3 клетки влево и 4 клетки вверх. Длина отрезка зависит только от модулей приращений, поэтому:

BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.

Теперь складываем все стороны:

P = AB + BC + CA = 6 + 5 + 5 = 16.

Ответ: 16.

Полезная проверка для ЕГЭ: если одна сторона горизонтальная или вертикальная, её длину удобно находить простым счётом клеток; наклонные стороны — только через теорему Пифагора или формулу расстояния между точками. Частая ошибка — перепутать количество клеток по диагонали с длиной отрезка: например, 3 и 4 клетки дают не 7, а 5, потому что это катеты прямоугольного треугольника. Ещё одна типичная ошибка — забыть, что у двух наклонных сторон одинаковая длина, если их горизонтальные и вертикальные смещения совпадают по модулю.

Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. Здесь многоугольник задан координатами вершин, причём все его стороны идут вдоль линий сетки: горизонтально или вертикально. Это очень удобный случай, потому что длина каждой стороны равна разности соответствующих координат.

Обойдём многоугольник по порядку: A → B → C → D → E → F → A.

1) AB: точки A(1;1) и B(5;1) лежат на одной горизонтали, значит длина отрезка равна 5 - 1 = 4.

2) BC: точки B(5;1) и C(5;3) лежат на одной вертикали, значит длина равна 3 - 1 = 2.

3) CD: C(5;3) и D(3;3) — горизонтальный отрезок, длина 5 - 3 = 2.

4) DE: D(3;3) и E(3;5) — вертикальный отрезок, длина 5 - 3 = 2.

5) EF: E(3;5) и F(1;5) — горизонтальный отрезок, длина 3 - 1 = 2.

6) FA: F(1;5) и A(1;1) — вертикальный отрезок, длина 5 - 1 = 4.

Теперь складываем все стороны:

4 + 2 + 2 + 2 + 2 + 4 = 16.

Ответ: 16.

Полезная проверка для ЕГЭ: если фигура идёт только по линиям сетки, то периметр можно считать без формулы расстояния — просто как сумму горизонтальных и вертикальных «шагов» по клеткам. Частая ошибка — пропустить одну из сторон при обходе по контуру или перепутать периметр с площадью. Ещё одна ловушка — если фигура невыпуклая, как здесь, надо обязательно пройти по всему внешнему контуру и не сокращать путь «через середину».

Радиус окружности — это расстояние от её центра до любой точки окружности. В этой задаче важен не сам вид окружности, а то, как на клетчатой сетке можно прочитать длину отрезка OA.

По условию точка A лежит на окружности и расположена на 9 единичных отрезков правее центра O. Значит, отрезок OA состоит ровно из 9 клеток (единичных отрезков). А так как OA соединяет центр окружности с точкой на окружности, то это и есть радиус.

Следовательно, радиус окружности равен 9.

Ответ: 9.

Как решать такие задачи на ЕГЭ: сначала убедитесь, что на рисунке действительно отмечен центр окружности. Затем выберите направление, где от центра до границы окружности удобно считать клетки: обычно по горизонтали или вертикали. Не путайте радиус с диаметром: диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов, поэтому он вдвое больше. Если по рисунку видно, что от центра до окружности 9 клеток, то радиус равен 9, а не 18.

Типичная ошибка: некоторые ученики начинают измерять «по дуге» или считают диагональные клетки как целые единицы без проверки. Здесь это не нужно: достаточно прямого расстояния по сетке от центра до точки окружности.

Ключевая идея здесь очень простая: если центр окружности находится в узле сетки, а одна клетка соответствует 1 единице длины, то радиус можно считать прямо по клеткам. Радиус — это отрезок от центра до любой точки окружности, а не вся ширина окружности.

В подобных задачах самая частая ошибка — перепутать радиус с диаметром. Если по рисунку видно, что окружность тянется, например, на 8 клеток по горизонтали от левой крайней точки до правой, то это ещё не радиус, а диаметр. Радиус вдвое меньше. Поэтому всегда сначала мысленно проводим от центра горизонтальный или вертикальный отрезок до границы окружности и считаем именно его длину в клетках.

В данной задаче правая крайняя точка окружности находится на расстоянии 4 клеток от центра по горизонтали. Значит, радиус равен 4.

Почему удобно считать именно по горизонтали или вертикали? Потому что клетки квадратные, и шаг сетки равен 1, поэтому длина такого отрезка измеряется без дополнительных формул. Если бы точка окружности лежала на диагонали клетки, тогда пришлось бы использовать теорему Пифагора, но в этой задаче это не нужно: достаточно прямого счёта по оси.

Проверка себя на экзамене: если вы нашли расстояние от центра до края окружности и оно равно числу клеток, то это радиус. Если вы случайно получили вдвое большее число, значит, вы посчитали диаметр. Здесь правильный ответ: 4.