Анализ знака функций методом интервалов: задания с ответами

Рассмотрим неравенство (x - 5)(x + 1) ≤ 0. Это уже произведение двух линейных множителей, поэтому метод интервалов применяется напрямую: сначала находим нулевые точки, затем определяем знак выражения на промежутках.

1. Находим корни. Произведение обращается в ноль, когда хотя бы один множитель равен нулю:

x - 5 = 0 → x = 5,

x + 1 = 0 → x = -1.

Эти точки делят числовую ось на три промежутка: (-∞, -1), (-1, 5), (5, ∞).

2. Определяем знак на промежутках. Удобно либо подставить по одному числу с каждого промежутка, либо помнить важное правило: если у произведения два различных линейных множителя, то знак меняется при переходе через каждый простой корень. Здесь старший коэффициент положительный (после раскрытия скобок получаем x² - 4x - 5), значит на самых крайних промежутках знак будет положительным. Тогда схема знаков такая:

(-∞, -1) — плюс, (-1, 5) — минус, (5, ∞) — плюс.

Нас интересуют те значения x, при которых произведение ≤ 0, то есть отрицательно или равно нулю. Значит, нужно взять промежуток, где знак минус, и обязательно включить корни, потому что в нестрогом неравенстве знак равенства допускается.

3. Записываем ответ. Получаем множество решений:

[ -1; 5 ].

Почему это важно в ЕГЭ. Частая ошибка — забыть включить корни при знаке ≤ или ≥. Ещё одна типичная ошибка — взять внешние промежутки вместо внутреннего. Если старший коэффициент положителен, то для выражения вида (x-a)(x-b) при a < b знак обычно плюс — минус — плюс. Поэтому при условии ≤ 0 всегда выбирается средний промежуток между корнями вместе с самими корнями.

Проверка: подставим число из ответа, например x = 0. Тогда (0 - 5)(0 + 1) = -5 ≤ 0, верно. А, например, x = 10 даёт (10 - 5)(10 + 1) = 55 > 0, значит внешние промежутки действительно не подходят.

Решим неравенство по схеме метода интервалов.

1) Сначала приводим неравенство к стандартному виду: уже получено квадратное выражение x^2 - 5x + 6 и нужно понять, где оно не положительно, то есть \le 0.

2) Найдём корни соответствующего квадратного уравнения:

x^2 - 5x + 6 = 0.

Разложим на множители:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Значит, корни: x = 2 и x = 3.

3) Теперь разбиваем числовую прямую на интервалы: (-\infty, 2), (2, 3), (3, +\infty).

4) Определяем знак произведения (x - 2)(x - 3) на каждом интервале. Удобно помнить правило: при старшем коэффициенте a = 1 > 0 парабола направлена ветвями вверх, значит знак выражения вне корней положительный, а между корнями — отрицательный. Это очень важный вывод для ЕГЭ: не нужно каждый раз подставлять случайные числа, если вы хорошо понимаете поведение параболы.

Проверим:

• при x < 2 выражение положительно;
• при 2 < x < 3 выражение отрицательно;
• при x > 3 выражение снова положительно.

Так как требуется \le 0, нам подходят отрицательные значения и сами корни, потому что знак нестрогий. Следовательно, ответ:

[2; 3].

Частые ошибки: 1) забывают включить корни при знаке \le или \ge; 2) путают, где положительный знак при положительном старшем коэффициенте; 3) записывают (2;3) вместо [2;3]. Чтобы себя проверить, можно взять число из найденного промежутка, например x = 2.5: получаем 2.5^2 - 5\cdot 2.5 + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25, действительно не больше нуля.

Разберём, как по схеме знаков восстановить неравенство. Здесь важны две вещи: нули выражения и знак на промежутках.

На числовой прямой стоят две критические точки: -2 и 3. Это означает, что в алгебраической записи у выражения есть два линейных множителя, обращающихся в нуль в этих точках, то есть структура вида (x+2)(x-3) с возможным числовым коэффициентом перед ними.

Теперь смотрим на знаки по промежуткам:

• слева от -2 знак минус;
• между -2 и 3 знак плюс;
• справа от 3 снова минус.

Такой рисунок характерен для квадратичного выражения с отрицательным старшим коэффициентом. Действительно, если взять -(x+2)(x-3), то проверим знак:

• при x < -2: оба множителя отрицательны, их произведение положительно, а после минуса получаем −;
• при -2 < x < 3: первый множитель положителен, второй отрицателен, произведение отрицательно, после минуса получаем +;
• при x > 3: оба множителя положительны, произведение положительно, после минуса снова −.

Значит, схема соответствует неравенству, в котором выражение положительно между корнями, то есть

-(x+2)(x-3) > 0.

Почему не другие варианты? Если бы стояло (x+2)(x-3) > 0, то знаки были бы наоборот: «+» вне корней и «−» между ними. Если заменить строгий знак на нестрогий, например ≥ 0, это уже другая задача: на схеме знаков обычно отдельно показывают, включаются ли точки-нули в ответ, но сам рисунок промежутков остаётся тем же. Поэтому при выборе по схеме нужно смотреть не только на точки, но и на то, где стоит плюс, а где минус.

Полезная стратегия для ЕГЭ: сначала определите числа-корни, затем выясните, где расположен «плюс» или «минус», и только после этого восстанавливайте знак старшего коэффициента. Это особенно важно в задачах на метод интервалов: одинаковые корни могут давать совершенно разные неравенства из-за общего минуса перед выражением.

Ответ: -(x+2)(x-3) > 0.

Сначала приводим неравенство к уже готовому виду. Здесь выражение (x-4)(x+1) уже разложено на множители, значит можно сразу применять метод интервалов.

1) Находим нули функции. Каждый множитель приравниваем к нулю:

x-4=0 ⇒ x=4,
x+1=0 ⇒ x=-1.

Эти точки делят числовую прямую на три промежутка: (-∞; -1), (-1; 4), (4; +∞).

2) Определяем знак на промежутках. Для произведения двух линейных множителей знак можно понять либо подстановкой удобной точки, либо по правилу чередования знаков. Важно помнить: при переходе через каждый простой корень знак выражения меняется.

Проверим один промежуток, например x>4. Тогда оба множителя положительны: x-4>0 и x+1>0, значит произведение положительно.

Тогда на соседнем промежутке (-1; 4) знак будет отрицательным, а на (-∞; -1) снова положительным.

3) Выбираем промежутки по знаку неравенства. Требуется ≤ 0, то есть нужны все значения, где выражение отрицательно, и точки, где оно равно нулю. Значит берем промежуток [-1; 4].

Ответ: [-1; 4].

Почему нельзя забывать про скобки или квадратные скобки? В строгих неравенствах < и > корни не входят в ответ. В нестрогих ≤ и ≥ корни входят, потому что в них выражение равно нулю, а ноль допустим.

Типичные ошибки:

• записывают ответ (-1; 4), забывая, что стоит знак ≤;
• берут внешние промежутки, перепутав знак неравенства;
• не проверяют знак на одном промежутке и делают вывод без учета чередования;
• ошибочно считают, что порядок корней влияет на ответ: на самом деле важно правильно отметить обе точки на прямой.

Полезная стратегия на ЕГЭ: сначала находите нули, потом мысленно или на черновике делите прямую на интервалы, затем выбираете те части, где знак совпадает с требуемым. Это особенно надежно для произведений и дробей.

Рассмотрим неравенство

\[\dfrac{(x-1)(x+4)}{(x-3)(x+2)} > 0.\]

Это типичная рациональная дробь, и здесь нужно не «раскрывать скобки и решать как обычное уравнение», а анализировать знак по промежуткам. Для ЕГЭ это самый надёжный способ, потому что он работает и для более сложных дробей, и для произведений многих множителей.

1. Находим критические точки.

Критические точки — это значения, при которых числитель обращается в ноль или знаменатель обращается в ноль.

• Числитель \((x-1)(x+4)=0\) при \(x=1\) и \(x=-4\).
• Знаменатель \((x-3)(x+2)=0\) при \(x=3\) и \(x=-2\).

Значит, числовую прямую нужно разбить точками \(-4, -2, 1, 3\).

2. Учитываем важный нюанс: точки знаменателя никогда не входят в ответ.

Если знаменатель равен нулю, выражение не определено. Поэтому \(x=-2\) и \(x=3\) сразу исключаются из рассмотрения. А вот точки \(x=-4\) и \(x=1\) могут войти в ответ только для нестрогого неравенства \(\ge 0\) или \(\le 0\), но здесь знак строгий \(>0\), значит они тоже не входят.

3. Определяем знак на промежутках.

Можно использовать метод пробной точки, но в рациональных неравенствах удобно думать по знакам множителей. Каждая линейная скобка меняет знак при переходе через свой корень. Поэтому знак дроби на интервалах будет чередоваться.

Расположим критические точки по возрастанию:

\[-4,\ -2,\ 1,\ 3.\]

Проверим знак на самом правом интервале \((3,+\infty)\). Возьмём, например, \(x=4\):

\[\dfrac{(4-1)(4+4)}{(4-3)(4+2)}=\dfrac{3\cdot 8}{1\cdot 6}>0.\]

Значит, на \((3,+\infty)\) выражение положительно.

Далее при переходе через каждую критическую точку знак меняется, потому что все корни простые, то есть соответствующий множитель входит в первой степени. Тогда получаем:

• \((3,+\infty)\) — знак «+»;
• \((1,3)\) — знак «−»;
• \((-2,1)\) — знак «+»;
• \((-4,-2)\) — знак «−»;
• \((-∞,-4)\) — знак «+».

Нас интересуют именно промежутки, где дробь больше нуля.

4. Записываем ответ.

Подходят интервалы

\[(-\infty,-4)\cup(-2,1)\cup(3,+\infty).\]

5. Проверка на типичные ошибки.

• Ошибка 1: включить \(-2\) или \(3\) в ответ. Это нельзя, потому что на этих точках знаменатель равен нулю.
• Ошибка 2: забыть, что при строгом неравенстве \(>0\) нули числителя не входят в ответ.
• Ошибка 3: перепутать знаки на интервалах. Удобный способ самопроверки: возьмите одну точку из любого интервала и проверьте знак подстановкой.

Следовательно, правильное множество решений:

\[(-\infty,-4)\cup(-2,1)\cup(3,+\infty).\]

Ответ: именно это объединение интервалов.

Сначала приведём неравенство к виду, удобному для метода интервалов. Здесь оно уже записано в виде произведения множителей:

$(x-3)(x+2)\le 0$.

Нули функции легко найти из равенства каждого множителя нулю:

$x-3=0 \Rightarrow x=3$,

$x+2=0 \Rightarrow x=-2$.

Эти точки делят числовую прямую на три промежутка: $(-\infty,-2)$, $(-2,3)$ и $(3,+\infty)$.

Теперь определим знак произведения на каждом промежутке. Для произведения двух линейных множителей удобно помнить общий принцип: знак меняется при переходе через каждый простой корень. Кроме того, можно проверить знак по любой пробной точке.

1) Если $x<-2$, например $x=-3$, то $(x-3)<0$ и $(x+2)<0$, значит произведение положительно.

2) Если $-2<x<3$, например $x=0$, то $(x-3)<0$, а $(x+2)>0$, значит произведение отрицательно.

3) Если $x>3$, например $x=4$, то оба множителя положительны, значит произведение положительно.

Нас интересует неравенство $\le 0$, то есть нужно взять те промежутки, где выражение отрицательно, а также точки, в которых оно равно нулю. Поэтому в ответ входят интервал между корнями и сами корни:

$[-2,3]$.

Почему важно включить корни? Потому что знак нестрогий: при $\le 0$ разрешено равенство нулю. Это одна из самых частых ошибок на ЕГЭ: при строгих неравенствах $<$ и $>$ корни не включают, а при нестрогих $\le$ и $\ge$ — включают.

Ещё одна типичная ошибка — перепутать, где знак «минус», если не делать проверку по промежуткам. Для произведения двух линейных множителей с положительным старшим коэффициентом (здесь фактически коэффициент при $x^2$ равен $1$) знаки на внешних промежутках одинаковы и положительны, а между корнями — отрицательны. Это полезно быстро проверять даже без подстановки точек.

Следовательно, верный ответ: $[-2,3]$.

Рассмотрим неравенство (x - 2)(x + 1) \le 0. Это произведение двух линейных множителей, поэтому метод интервалов здесь особенно удобен: нужно найти точки, в которых выражение обращается в ноль, и затем определить знак на каждом промежутке.

1. Находим нули функции. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2,

x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1.

Значит, критические точки на числовой прямой — -1 и 2. Они делят прямую на три промежутка: (-∞, -1), (-1, 2), (2, ∞).

2. Определяем знак на промежутках. Можно подставить по одной точке с каждого промежутка, но в ЕГЭ важно уметь делать это быстро по знакам множителей.

Если x < -1, то оба множителя отрицательны: x - 2 < 0 и x + 1 < 0, значит их произведение положительно.

Если -1 < x < 2, то x - 2 < 0, а x + 1 > 0, значит произведение отрицательно.

Если x > 2, то оба множителя положительны, значит произведение снова положительно.

Итак, схема знаков такая:

(+) на (-∞, -1), (-) на (-1, 2), (+) на (2, ∞).

3. Выбираем нужные интервалы. По условию требуется меньше или равно нулю, то есть нас интересуют промежутки, где выражение отрицательно, а также точки, где оно равно нулю. Поэтому берём внутренний интервал (-1, 2) и обязательно включаем граничные точки -1 и 2, потому что знак нестрогий.

Ответ: [-1; 2].

Почему это важно на экзамене. Самая частая ошибка — забыть, что при знаке ≤ или ≥ корни нужно включать в ответ. Если бы было строгое неравенство < 0 или > 0, концы отрезка были бы выколоты. Ещё одна типичная ошибка — перепутать, где знак положительный, а где отрицательный: для произведения двух линейных множителей знак меняется при каждом переходе через простой корень. Удобно проверять себя правилом: при старшем коэффициенте положительном знак вне корней положительный, а между корнями отрицательный.

Самопроверка: возьмём точку x = 0. Тогда (0 - 2)(0 + 1) = -2, то есть внутри промежутка действительно отрицательно. Возьмём x = 3: (3 - 2)(3 + 1) = 4, то есть вне промежутка знак положительный. Это подтверждает ответ.

Разберём задачу так, как это удобно делать на ЕГЭ по методу интервалов. Сначала нужно отделить ноли числителя от точек разрыва, а затем определить, как меняется знак на каждом промежутке.

1. Находим критические точки.

Дана функция

f(x)=\dfrac{(x-1)(x+2)^2}{x-3}.

Числитель обращается в ноль, когда хотя бы один множитель равен нулю:

• x=1 — корень числителя;
• x=-2 — тоже корень числителя, причём кратности 2, потому что множитель (x+2)^2 стоит в квадрате.

Знаменатель обращается в ноль при x=3, значит в этой точке функция не определена, это точка разрыва.

Важно не путать: нуль функции — это точка, где дробь равна 0, то есть числитель 0, а знаменатель не 0. Точка разрыва — это корень знаменателя.

2. Определяем знак на каждом промежутке.

Критические точки разбивают ось на интервалы:

(−∞,−2), (−2,1), (1,3), (3,+∞).

Для дробно-рациональных выражений удобно анализировать знак каждого множителя. Но здесь есть важный нюанс: множитель в квадрате всегда неотрицателен и знак не меняет. Поэтому \\( (x+2)^2 \\) даёт положительный вклад на всех промежутках, кроме точки x=-2, где обращается в ноль.

Остаются два линейных множителя: (x-1) и (x-3).

• Если x<-2, то x-1<0 и x-3<0, значит их отношение положительно. Поскольку (x+2)^2>0, получаем f(x)>0.
• Если −2<x<1, то x-1<0, x-3<0, их отношение снова положительно, и квадрат положителен. Значит, f(x)>0.
• Если 1<x<3, то x-1>0, а x-3<0, отношение отрицательно. Квадрат по-прежнему положителен, значит f(x)<0.
• Если x>3, то x-1>0 и x-3>0, отношение положительно, значит f(x)>0.

Итак, знаки такие:

(−∞,−2): +, \quad (−2,1): +, \quad (1,3): −, \quad (3,+∞): +.

3. Почему точка −2 не меняет знак?

Это важный экзаменационный момент. Точка x=-2 — корень чётной кратности. При переходе через такой корень знак множителя (x+2)^2 не меняется, потому что квадрат остаётся неотрицательным по обе стороны от точки. Поэтому общий знак функции по обе стороны от −2 одинаковый. Это типичная ловушка: если бы множитель был (x+2) без квадрата, знак бы менялся.

4. Типы точек.

• x=-2 — нуль функции, потому что числитель равен нулю, а знаменатель нет;
• x=1 — нуль функции;
• x=3 — точка разрыва, так как знаменатель обращается в ноль.

Сравниваем с вариантами и видим, что верен первый вариант.

Как себя проверять на ЕГЭ: всегда отдельно выписывайте точки числителя и знаменателя, отмечайте кратности корней и помните правило: чётная кратность знак не меняет, нечётная — меняет. Это позволяет быстро находить ошибки в таблице знаков и не терять баллы на формальных неточностях.

Сначала приведём неравенство к стандартному виду: здесь оно уже задано как квадратный трёхчлен, сравниваемый с нулём. Для метода интервалов это идеальная форма: нужно найти нули функции и затем определить знак на промежутках между ними.

Рассмотрим уравнение $x^2-5x+6=0$. Разложим на множители:

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$,

откуда корни: $x_1=2$ и $x_2=3$.

Теперь разбиваем числовую прямую на интервалы: $(-\infty ,2)$, $(2,3)$, $(3,+\infty )$.

Важно понимать общий принцип: у квадратного трёхчлена со старшим коэффициентом $a>0$ ветви параболы направлены вверх, поэтому знак выражения вне корней положительный, а между корнями — отрицательный. Это легко проверить и по точке, например возьмём $x=0$: получаем $6>0$, значит на интервале $(-\infty ,2)$ знак «плюс» действительно верный.

Так как требуется строгое неравенство $>0$, сами корни в ответ не входят. Поэтому решение — объединение внешних промежутков:

$(-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$.

Типичные ошибки здесь такие: перепутать знак на среднем интервале, забыть, что при строгом неравенстве корни не включаются, или по невнимательности взять ответ между корнями. Полезная самопроверка: если старший коэффициент положительный, то «снаружи» должно быть $>0$, а «внутри» — $<0$. Это правило работает для квадратных трёхчленов с двумя различными действительными корнями и экономит время на экзамене.

Рассмотрим неравенство (x-1)(x-4)≤0. Метод интервалов основан на том, что знак произведения меняется только в точках, где хотя бы один множитель обращается в ноль. Поэтому сначала находим нули функции: x=1 и x=4.

Далее отмечаем эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три промежутка: (-∞,1), (1,4), (4,+∞).

Теперь определяем знак произведения на каждом промежутке. Это можно делать либо подстановкой удобной точки, либо по правилу знаков. Возьмём точки: например, x=0 для первого промежутка, x=2 для второго, x=5 для третьего.

• При x=0: (0-1)(0-4)=(-1)(-4)>0.
• При x=2: (2-1)(2-4)=(1)(-2)<0.
• При x=5: (5-1)(5-4)=(4)(1)>0.

Значит, знак произведения отрицателен только между корнями, а в точках x=1 и x=4 оно равно нулю. Так как дано нестрогое неравенство ≤0, корни включаем в ответ.

Итак, множество решений: [1,4].

Почему это важно на ЕГЭ: частая ошибка — забыть, что при знаке ≤ или ≥ точки, где выражение равно нулю, обязательно входят в ответ. Ещё одна типичная ловушка — перепутать интервалы, на которых произведение положительно и отрицательно. Чтобы себя проверить, достаточно быстро подставить одну точку с левого края и понять, как меняется знак при переходе через каждый простой корень: у произведения из двух линейных множителей знак на соседних промежутках чередуется.

Рассмотрим неравенство (x-1)(x+3)>0. Здесь уже записано произведение двух линейных множителей, поэтому метод интервалов применяется напрямую: нужно найти нули каждого множителя, отметить их на числовой прямой и определить знак произведения на получившихся промежутках.

1. Находим нули функции. Произведение обращается в ноль, когда хотя бы один множитель равен нулю:

x-1=0 даёт x=1,
x+3=0 даёт x=-3.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: (-∞,-3), (-3,1), (1,∞).

2. Определяем знак на интервалах. Удобно помнить важное правило: знак произведения меняется при переходе через каждую простую корневую точку (то есть кратности 1). Здесь оба корня простые, значит знак будет меняться на каждом из них.

Можно проверить и напрямую. Возьмём, например, точку из правого интервала, скажем x=2:
(2-1)(2+3)=1·5=5>0, значит на (1,∞) произведение положительно.

Переходим через корень x=1, знак меняется, значит на (-3,1) произведение отрицательно.

Ещё один переход через x=-3 снова меняет знак, поэтому на (-∞,-3) произведение положительно.

3. Учитываем знак неравенства. Требуется >0, то есть нужны те промежутки, где произведение положительно. Так как неравенство строгое, точки -3 и 1 в ответ не входят.

Итак, множество решений:

(-∞,-3) ∪ (1,∞).

Почему часто ошибаются: 1) путают знак при переходе через корень; 2) по невнимательности включают корни в ответ, хотя при строгом неравенстве этого делать нельзя; 3) забывают, что на центральном интервале знак противоположен знаку на внешнем интервале для произведения с двумя простыми корнями. На экзамене полезно делать быструю самопроверку подстановкой любой удобной точки в каждый промежуток.

Сначала нужно внимательно прочитать саму знаковую схему, а не сразу смотреть на варианты. Для метода интервалов важно понимать три вещи:

1. где расположены критические точки;
2. на каких промежутках выражение положительно и отрицательно;
3. являются ли эти точки корнями кратности 1 (тогда знак меняется) или чётной кратности (тогда знак не меняется).

В задаче критические точки: -2, 1, 4. Между ними знак чередуется: +, затем −, затем снова +, затем −. Это типичная картина для произведения трёх линейных множителей с корнями в этих точках и с положительным старшим коэффициентом после приведения к виду произведения.

Теперь восстановим выражение по корням. Если корни равны -2, 1 и 4, то подходящий числитель (или само выражение) должен содержать множители (x+2), (x-1), (x-4). Проверим знак на левом промежутке:

при x < -2 все три множителя отрицательны: (x+2)<0, (x-1)<0, (x-4)<0, их произведение отрицательных чисел даёт −. Но в схеме на (-∞; -2) стоит +. Значит, нужен дополнительный минус перед произведением, чтобы знак на левом луче стал положительным.

Получаем выражение вида −(x+2)(x−1)(x−4). Действительно, тогда:

• на (-∞; -2): исходное произведение отрицательно, а с минусом становится +;
• на (-2; 1): меняется знак ровно в точке -2, значит получаем −;
• на (1; 4): ещё одно переключение, получаем +;
• на (4; +∞): снова смена знака, получаем −.

Значит, схема соответствует неравенству −(x+2)(x−1)(x−4) > 0 или, что эквивалентно, (x+2)(x−1)(x−4) < 0. В ЕГЭ важно замечать, что одни и те же корни могут задавать несколько эквивалентных записей: можно вынести минус, можно поменять знак неравенства. Но при выборе ответа нужно совпадение именно по области, где выражение положительно или отрицательно.

Почему нельзя ошибиться в строгом/нестрогом знаке? На знаковой схеме критические точки обычно обозначают нули выражения, и если требуется интервал, где знак строго положительный или отрицательный, то сами корни не входят в решение. Если бы в условии спрашивали ≥ 0 или ≤ 0, тогда точки -2, 1, 4 были бы включены. Это одна из самых частых ловушек: по схеме знаков надо сначала понять знак на интервалах, а потом уже вспомнить, входят ли корни в ответ по типу неравенства.

Самопроверка для метода интервалов:

1. Запиши корни в порядке возрастания.
2. Определи, меняется ли знак в каждой точке.
3. Проверь знак на одном удобном интервале, обычно на самом левом.
4. Если схема не совпала, значит либо потерян минус, либо перепутана кратность корня, либо ошибочно выбран строгий/нестрогий знак.

Итак, правильный ответ — неравенство, эквивалентное (x+2)(x−1)(x−4) < 0.