Вписанные и описанные многоугольники: задания с ответами

Ключевой факт здесь — свойство четырёхугольника, описанного около окружности: суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции с основаниями AB и CD и боковыми сторонами AD и BC это означает

AB + CD = AD + BC.

Это главное место, где многие ошибаются: путают описанную трапецию с вписанной или пытаются сразу применять формулу средней линии, забыв сначала связать основания с боковыми сторонами.

Подставим данные:

AB + CD = 7 + 11 = 18.

Теперь используем формулу средней линии трапеции:

m = (AB + CD)/2.

Следовательно,

m = 18/2 = 9.

Итак, длина средней линии равна 9.

Почему это работает: в описанной около окружности трапеции окружность касается всех четырёх сторон, и это накладывает жёсткое условие на стороны: сумма одной пары противоположных сторон равна сумме другой пары. А средняя линия всегда равна полусумме оснований, поэтому фактически она оказывается равной полусумме боковых сторон.

Полезная проверка для ЕГЭ: если боковые стороны равны 7 и 11, то средняя линия должна быть между ними, то есть 9 выглядит естественно. Ответы вроде 18 — это типичная ошибка «забыли разделить пополам», а ответы вроде 2 или 4 — признак неверного применения разности вместо суммы.

Ключевая идея здесь состоит в том, что у описанного четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны. Для параллелограмма это особенно сильно: если его стороны равны a и b, то у него противоположные стороны попарно равны, а условие описанности даёт

a + a = b + b, то есть 2a = 2b, значит a = b. Следовательно, параллелограмм, около которого можно описать окружность, — это ромб.

Дальше нужно использовать известную формулу площади ромба через диагонали:

S = (d₁ · d₂) / 2.

Почему эта формула работает? Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам, поэтому ромб распадается на 4 равных прямоугольных треугольника. Если обозначить диагонали через d₁ и d₂, то площадь равна половине произведения диагоналей.

Подставим данные:

S = (10 · 24) / 2 = 240 / 2 = 120.

Ответ: 120.

На что обращать внимание на ЕГЭ:

• Нельзя сразу применять формулу площади параллелограмма через сторону и высоту: высота не дана, и её не нужно искать.
• Главный переход — от «параллелограмм описан около окружности» к выводу, что это ромб.
• Формула S = d₁d₂/2 применима именно потому, что после этого перехода фигура становится ромбом.
• Частая ошибка — забыть деление на 2 и написать просто произведение диагоналей.

Полезная самопроверка: у ромба с диагоналями 10 и 24 площадь должна быть заметно меньше 240, потому что диагонали «перемножаются» и затем результат делится пополам. Значение 120 выглядит разумно.

Ключевая идея здесь очень важная для ЕГЭ: у прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится в середине гипотенузы, а значит радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Это свойство часто используют вместо общей формулы для радиуса через стороны.

1) Сначала найдём гипотенузу AB по теореме Пифагора:

AB² = AC² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Отсюда AB = 10.

2) Теперь используем свойство прямоугольного треугольника: радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

R = AB / 2 = 10 / 2 = 5.

Ответ: 5.

Почему это работает? В прямоугольном треугольнике точка, равноудалённая от всех трёх вершин, — это середина гипотенузы. Действительно, окружность, построенная с диаметром, равным гипотенузе, проходит через оба конца гипотенузы и через третью вершину по теореме Фалеса. Поэтому искать центр через пересечение серединных перпендикуляров здесь не нужно — достаточно найти гипотенузу.

Типичная ошибка на экзамене — пытаться применить общую формулу радиуса описанной окружности R = abc / 4S, хотя в задачах на прямоугольный треугольник она обычно лишь усложняет вычисления. Вторая частая ошибка — взять половину катета вместо половины гипотенузы. Чтобы себя проверить, всегда сначала убеждайтесь, что нашли именно сторону напротив прямого угла.

Ключевое наблюдение здесь такое: если около параллелограмма можно описать окружность, то такой параллелограмм одновременно является и описанным около окружности, и вписанным в окружность. Но для параллелограмма это очень сильное условие: противоположные углы равны (свойство параллелограмма), а у четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Значит, каждый угол параллелограмма равен 90°. Однако в условии сказано именно про параллелограмм, около которого описана окружность, то есть окружность касается всех его сторон. Для параллелограмма это возможно только тогда, когда все его стороны равны, то есть фигура — ромб.

Итак, задача сводится к ромбу. Для ромба площадь выражается через диагонали формулой

S = d₁ · d₂ / 2.

Почему эта формула верна? Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Тогда ромб разбивается диагоналями на 4 равных прямоугольных треугольника. Если диагонали равны d₁ и d₂, то катеты каждого такого треугольника равны d₁/2 и d₂/2. Площадь одного треугольника равна (d₁/2)·(d₂/2)/2, а всего таких треугольников 4, поэтому в итоге получается S = d₁d₂/2.

Подставим числа: S = 8·15/2 = 120/2 = 60.

Ответ: 60.

Полезная проверка для ЕГЭ: если в условии есть «параллелограмм, описанный около окружности», почти всегда нужно вспомнить, что это ромб. Ошибка многих учеников — пытаться использовать формулу площади через основание и высоту, хотя высота не дана и условие специально нацелено на свойство касательного четырехугольника. Еще одна типичная ошибка — забыть деление на 2 в формуле площади ромба через диагонали. Быстрая самопроверка: произведение диагоналей 8·15 = 120, а площадь ромба меньше этого произведения вдвое, то есть 60.

Ключевая идея здесь — использовать свойство правильного многоугольника, вписанного в окружность: все его вершины лежат на одной окружности, а центр этой окружности совпадает с центром многоугольника. Для правильного шестиугольника это особенно удобно, потому что центральный угол, соответствующий одной стороне, равен \(360^\circ/6=60^\circ\).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами, проведёнными к концам одной стороны, и самой этой стороной. Получается равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны радиусу \(R\), а угол между ними равен \(60^\circ\). Тогда этот треугольник на самом деле равносторонний: если два его угла по \(60^\circ\), то и третий тоже \(60^\circ\), значит все стороны равны. Следовательно, сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

Так как сторона равна \(6\), то \(R=6\).

Можно решить и по общей формуле для стороны правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность: \(a=2R\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\). Для \(n=6\) получаем \(a=2R\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=2R\cdot\frac12=R\), значит снова \(R=6\).

Что важно не перепутать на ЕГЭ: речь идёт именно об окружности, описанной около многоугольника, то есть о радиусе до вершины. Ошибка №1 — случайно взять радиус вписанной окружности, который относится к стороне как перпендикуляр от центра к стороне и в этой задаче не нужен. Ошибка №2 — использовать формулу для неправильного угла или для другого числа сторон. У правильного шестиугольника как раз особый случай: сторона равна радиусу описанной окружности.

Итак, ответ: \(6\).

Главное свойство описанного четырехугольника (то есть четырехугольника, около которого можно описать окружность) такое: суммы противоположных сторон равны. Для трапеции это особенно удобно, потому что у неё противоположные стороны — это основания и боковые стороны.

Обозначим основания трапеции через a и b, а боковые стороны — через c и d. Тогда для трапеции, описанной около окружности, выполняется

a + b = c + d.

Периметр равен сумме всех сторон:

P = a + b + c + d.

Но так как a + b = c + d, то можно заменить одну из этих сумм другой:

P = (a + b) + (c + d) = (a + b) + (a + b) = 2(a + b).

Значит, сумма оснований равна половине периметра:

a + b = P/2 = 96/2 = 48.

Средняя линия трапеции по определению равна половине суммы оснований:

m = (a + b)/2 = 48/2 = 24.

Ответ: 24.

Почему это важно помнить на ЕГЭ: в таких задачах не нужно искать высоту, радиус окружности или использовать площадь. Если трапеция описана около окружности, то достаточно свойства равенства сумм противоположных сторон. Частая ошибка — перепутать описанную и вписанную фигуру: здесь окружность вписана в трапецию, а не наоборот. Ещё одна типичная ошибка — сразу пытаться найти боковые стороны по отдельности, хотя они вообще не нужны. Как только найдено, что сумма оснований равна половине периметра, задача решается в одну строку через формулу средней линии.

Ключевая идея здесь — узнать, какой именно параллелограмм может быть описан около окружности. Это не просто любой параллелограмм: у описанного около окружности четырёхугольника суммы противоположных сторон равны. Для параллелограмма противоположные стороны и так попарно равны, значит из условия описанности получаем, что все его стороны равны. Следовательно, данный параллелограмм — это ромб.

Дальше нужно вспомнить важное свойство ромба: его площадь равна половине произведения диагоналей:

S = ^d₁·d₂/₂.

Это формула очень удобна именно в задачах, где даны диагонали. Подставим числа:

S = ^10·12/₂ = 60.

Ответ: 60.

Почему нельзя сразу пытаться искать высоту или сторону? Потому что в условии даны не стороны и не угол, а диагонали. Без дополнительного свойства фигуры задача была бы недоопределённой. Но условие про окружность как раз и делает фигуру ромбом, после чего площадь выражается напрямую через диагонали.

Полезная проверка для ЕГЭ: если в условии встречается параллелограмм, описанный около окружности, почти всегда нужно вспомнить цепочку: описанный четырёхугольник → суммы противоположных сторон равны → в параллелограмме это возможно только при равенстве всех сторон → ромб. После этого уже применять формулу площади ромба через диагонали.

Здесь используется центральная формула связи стороны треугольника и описанной окружности через теорему синусов:

AB / sin ∠C = 2R,

где R — радиус описанной окружности, а 2R — её диаметр. Это одна из самых важных формул в теме «вписанные и описанные многоугольники»: если треугольник вписан в окружность, то любую его сторону можно связать с противолежащим углом и диаметром окружности.

Почему именно так? В треугольнике выполняется расширенная теорема синусов:

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R.

Если нам дана сторона и синус угла, лежащего напротив этой стороны, то сразу можно найти 2R. Это и есть диаметр окружности.

В нашей задаче сторона AB лежит напротив угла ∠C, значит:

AB / sin ∠C = 2R.

Подставляем данные:

10 / 0{,}4 = 2R.

Считаем:

10 / 0{,}4 = 25.

Следовательно, диаметр окружности равен 25.

Ответ: 25.

Полезная проверка для ЕГЭ: если вы нашли радиус, не забудьте, что в задаче спрашивают именно диаметр. Очень частая ошибка — остановиться на числе R, хотя по формуле получается сразу 2R. Ещё одна типичная ловушка — перепутать противолежащий угол: в формуле должен стоять именно тот угол, который лежит напротив данной стороны.

Ключевая идея здесь — использовать общее свойство описанного четырёхугольника: если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных сторон равны. Для трапеции это особенно удобно, потому что нас просят найти среднюю линию, а она выражается через основания.

Обозначим основания трапеции через a и b, а боковые стороны — через c и d. Так как трапеция описана около окружности, выполняется свойство описанного четырёхугольника:

a + b = c + d.

Периметр трапеции равен

P = a + b + c + d.

Но из равенства противоположных сторон получаем, что c + d = a + b, значит

P = a + b + a + b = 2(a + b).

Следовательно, сумма оснований равна половине периметра:

a + b = P/2 = 52/2 = 26.

Теперь используем определение средней линии трапеции: она равна полусумме оснований, то есть

m = (a + b)/2 = 26/2 = 13.

Ответ: 13.

Почему это важно запомнить для ЕГЭ: в описанной трапеции не нужно ничего искать через высоту, площадь или углы. Если известен периметр, то средняя линия находится сразу по формуле m = P/4. Это частный, но очень полезный вывод: сначала периметр делится пополам, чтобы получить сумму оснований, а потом ещё раз пополам — чтобы получить среднюю линию.

Частая ошибка — перепутать среднюю линию с высотой или попытаться применить теорему Пифагора. Здесь этого не нужно: задача решается только через свойство описанного четырёхугольника и определение средней линии.

Здесь используется одна из самых важных формул планиметрии для треугольника с вписанной окружностью:

S = r \cdot \frac{P}{2},

где S — площадь треугольника, r — радиус вписанной окружности, P — периметр треугольника.

Эта формула часто запоминается в виде S = pr, если обозначить p полупериметром: p = P/2. Тогда площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. В экзаменационных задачах важно не перепутать этот радиус с радиусом описанной окружности: для описанной окружности используется совсем другая формула.

Подставим данные:

84 = 7 · P / 2.

Теперь выразим периметр:

P = 2 · 84 / 7.

Считаем:

P = 168 / 7 = 24.

Ответ: 24.

Полезно понимать и логику формулы. Если провести радиусы к точкам касания вписанной окружности, треугольник разобьётся на три треугольника с одинаковой высотой, равной r. Тогда суммарная площадь действительно равна r, умноженному на полупериметр. Это объясняет, почему в формуле появляется именно P/2, а не весь периметр.

Типичные ошибки в таких задачах:

• путают вписанную и описанную окружности;
• пытаются искать стороны по отдельности, хотя это не нужно;
• забывают, что в формуле стоит полупериметр, и вместо P = 2S/r пишут P = S/r;
• ошибаются при делении, особенно если числа сокращаются.

Хорошая проверка себя: подставьте найденный периметр обратно в формулу. Если P = 24, то полупериметр равен 12, и площадь должна быть 7 · 12 = 84, что совпадает с условием. Значит, решение верно.

Ключевое свойство здесь — не формула площади и не какие-то сведения о высоте, а общее свойство описанного четырёхугольника: если вокруг окружности описан четырёхугольник, то суммы длин противоположных сторон равны.

Для трапеции это означает, что если обозначить основания через a и b, а боковые стороны через c и d, то выполняется равенство

a + b = c + d.

Почему это важно? Потому что периметр трапеции равен

P = a + b + c + d.

А из свойства описанного четырёхугольника получаем, что c + d = a + b. Подставляем это в формулу периметра:

P = (a + b) + (a + b) = 2(a + b).

Значит, сумма оснований равна половине периметра:

a + b = P/2 = 84/2 = 42.

Теперь используем определение средней линии трапеции: она равна полусумме оснований, то есть

m = (a + b)/2 = 42/2 = 21.

Ответ: 21.

Почему часто ошибаются:

• путают среднюю линию с высотой — но высота здесь вообще не нужна;
• берут не половину, а четверть периметра «на глаз» без обоснования;
• забывают, что свойство равенства сумм противоположных сторон относится именно к четырёхугольнику, описанному около окружности, а не к любой трапеции.

Экзаменационная стратегия: если в задаче дана описанная около окружности трапеция и спрашивают среднюю линию, почти всегда нужно идти через цепочку свойство описанного четырёхугольника → сумма оснований → средняя линия. Это быстрый и надёжный путь без лишних вычислений.

Ключевая идея здесь — использовать свойство правильного шестиугольника, вписанного в окружность. У правильного шестиугольника каждая сторона стягивает в центре угол 360^\circ/6=60^\circ. Если соединить центр окружности с двумя соседними вершинами, получится треугольник, в котором две стороны — радиусы окружности, а угол между ними равен 60^\circ. Такой треугольник оказывается равносторонним, поэтому сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

Это очень важный факт для ЕГЭ: для правильного шестиугольника формула особенно простая, и именно на этом часто строятся задачи. Если сторона равна a, то радиус описанной окружности тоже равен a.

В нашей задаче a=4\sqrt{3}. Значит, радиус окружности:

R=4\sqrt{3}.

Но ответов с таким значением нет. Это сигнал, что нужно внимательно проверить саму модель задачи: для правильного шестиугольника, действительно, радиус описанной окружности равен стороне. Следовательно, в вариантах ответа должно быть именно 4\sqrt{3}, а не 4.

Однако в предложенных вариантах мы должны выбрать корректный. Чтобы задача была однозначной и соответствовала стандартной формуле, верный ответ — 4\sqrt{3}.

Проверка по формуле: для правильного n-угольника, вписанного в окружность, сторона выражается как a=2R\sin(\pi/n). При n=6 получаем a=2R\sin 30^\circ=2R\cdot\tfrac12=R. Значит, снова R=a.

Типичная ошибка — перепутать описанную и вписанную окружности. Для описанной окружности радиус находится через центральный угол и хорду. Для вписанной — через апофему, и формула будет другой. В задачах ЕГЭ всегда сначала уточняйте, о какой окружности идёт речь.